三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数概念、同角三角函数基本关系及诱导公式三大核心考点，依据高考评价体系明确各考点考查要求，通过分析近五年高考真题归纳出三角函数定义应用、同角关系弦切互化、诱导公式化简求值等高频题型，构建了系统的知识网络与备考框架。 课件亮点在于“真题导向+技巧提炼+素养培养”的复习模式，如以终边过点P(-3,4)求三角函数值为例，示范坐标法与定义结合的解题步骤，通过“1的变换”“和差积转换”等技巧培养学生的抽象能力和运算能力。配套变式训练覆盖不同情境，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准定位薄弱环节，提升复习效率。

4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 返回目录 知识清单 知识点1　三角函数的概念 1.终边相同的角 (1)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360°+α,k∈Z}或{β| β=α+2kπ,k∈Z}. (2)角α,β的终边关于x轴对称⇔β=-α+2kπ,k∈Z. 角α,β的终边关于y轴对称⇔β=π-α+2kπ,k∈Z. 2.弧长与扇形面积公式 (1)弧长公式:l=|α|r; (2)扇形面积公式:S= lr= |α|r2.(其中|α|为圆心角弧度数的绝对值,r为扇形半径) 返回目录 3.任意角的三角函数的定义 (1)借助单位圆:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0). (2)借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x,y),它与原点的 距离为r,则sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0). (3)三角函数值在各象限内的符号   记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 返回目录 知识点2　同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1. 2.商数关系:tan α=  . 返回目录 知识点3　三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 函数名不变,符号 看象限 二 π+α -sin α -cos α tan α 三 -α -sin α cos α -tan α 四 π-α sin α -cos α -tan α 返回目录 五  -α cos α sin α 函数名改变,符号 看象限 六  +α cos α -sin α 七  π+α -cos α sin α 八  π-α -cos α -sin α 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)若α为锐角,则2α为钝角. ( ) (2)1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角. ( ) (3)若sin α=sin β,则角α与角β的终边相同.( )     ✕         ✕         ✕     返回目录 2.设点P从点(1,0)出发,沿着圆心在原点的单位圆按顺时针方向运动 π到达点Q,则劣弧  的长为_________. 返回目录 3.已知角α的终边过点P(-1,2),则 =_________. 返回目录 4.若sin α=- ,α为第三象限角,则sin =_________. 返回目录 5.若点P(m,n)(n≠0)为角600°终边上一点,则 等于_________. 返回目录 考点清单 考点1　三角函数的概念和同角三角函数的基本关系 角度1　三角函数的定义及应用 典例1　设角θ的终边经过点P(-3,4),那么sin θ+2cos θ= ( ) A. 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.      C     解析　根据三角函数的定义知sin θ= = ,cos θ= =- ,所以sin θ+2cos θ = +2× =- . 返回目录 解题技巧　求角的终边经过某一点的三角函数值 已知角α终边上任意一点P(x,y)(x≠0),当P在单位圆上时,直接由sin α=y,cos α=x,tan α=  求解;当P不在单位圆上时,则先求出r= ,再由sin α= ,cos α= ,tan α= 求解.当P 的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)(2025届山东潍坊二模,6)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与 x轴非负半轴重合,其终边与圆O交于点A(3,4).若角α终边沿逆时针方向旋转角θ,交圆O 于点B ,则角θ可能为 ( ) A.75°　　    B.105°　　    C.375°　　    D.405°     D     解析　因为角α的终边与圆O交于点A(3,4),所以由三角函数的定义得cos α= = , sin α= = ,设旋转后的角为β,因为旋转后角的终边交圆O于点B , 所以由三角函数的定义得 返回目录 cos β= =- ,sin β= = , 则sin θ=sin(β-α)= × - × = = , cos θ=cos(β-α)= × + × = = ,故θ=45°+2k·180°,k∈Z,当k=1时,θ=405°. 故选D. 返回目录 角度2　同角三角函数基本关系的应用 典例2    (多选)若 =1,则 ( ) A.tan x=2　　     B.sin x=  C. = 　　    D.cos4x-sin4x=-      AD     返回目录 解析　由 = = =1,解得tan x=2,A正确; 由tan x= =2,sin2x+cos2x=1,解得sin x=± ,B错误;  = ,把tan x=2代入得 =- ,C错误; cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x=1-2sin2x,把sin x=± 代入得cos4x-sin4x =- ,D正确.故选AD. 返回目录 解题技巧    利用同角三角函数基本关系解题的技巧 1.弦切互化:利用公式tan α= (cos α≠0)实现角α的弦切互化. 2.和(差)积转换:利用(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行变形、转化,可以解决sin α+cos α, sin αcos α,sin α-cos α知一求二的问题,注意方程思想的应用. 3.巧用“1”的变换:1=sin2α+cos2α=cos2α·(tan2α+1) 或1=sin2α = tan  . 返回目录 变式训练 2.(差积转换)(2025届湖北孝感三模,2)已知x∈ ,sin4x+cos4x= ,则sin x-cos x=  ( ) A. 　　    B.- 　　     C. 　　    D.-      B     返回目录 解析    sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x, 又sin4x+cos4x= ,所以1-2sin2xcos2x= ,所以sin2xcos2x= , 又x∈ ,所以sin x<0,cos x>0,则sin x-cos x<0,sin xcos x=- , 故sin x-cos x=- =- =- =- .故选B. 返回目录 3.(“1”的应用)(2025届湖南师大附中月考,3)若钝角α满足 =2,则cos α 的值为( ) A.- 　　    B.- 　　     C.- 　　     D.-      C     返回目录 解析　因为 =2,则1+sin α-cos α=2(1+sin α+cos α), 所以sin α=-1-3cos α,两边平方得sin2α=(1+3cos α)2,则1-cos2α=9cos2α+6cos α+1,【利用sin2α+ cos2α=1化简】 即(5cos α+3)2cos α=0, 所以cos α=0或cos α=- , 又因为α为钝角,所以cos α=- . 故选C. 返回目录 考点2　诱导公式 典例3    (2025届广东惠州光正实验学校月考,12)已知sin = ,那么cos α=_______. 　-      解析　解法一　因为sin =sin =sin  =sin =-sin =-cos α= ,所以cos α=- . 解法二　因为sin =sin =sin =-cos α,【利用诱导公式化简时 将α当“锐角”】 所以cos α=- . 返回目录 解题技巧    利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1.“负化正”:用公式一或公式三来转化. 2.“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角. 3.“小化锐”:用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. 4.“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 返回目录 变式训练 4.(设问条件变式)(2025届大湾区二模,13)已知θ是第四象限角,且sin = , 则tan =_______. 　-      返回目录 解析　∵θ是第四象限角, ∴- +2kπ<θ<2kπ,k∈Z,则- +2kπ<θ+ < +2kπ,k∈Z,【求θ+ 的范围】 又sin = , ∴cos = = = . ∴cos =sin = ,sin =cos = . 【利用 -θ+θ+ = 求得sin 及cos 】 返回目录 则tan =-tan =- =- =- . 返回目录 $