第四章 第36课时 正弦定理、余弦定理 课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理、余弦定理”专题，依据高考评价体系梳理了定理变形、面积公式应用、三角形度量问题三大考查要求，通过近五年高考真题分析明确“解三角形”“面积计算”“形状判断”为高频考点，构建了系统的知识网络与题型分类体系。 课件亮点在于“真题溯源+通性通法+素养提升”的备考设计，如以2024新高考Ⅰ卷为例，运用“边角互化模型”破解边角共存式问题，培养学生数学思维中的推理能力与数学语言中的模型观念。特设“易错点警示”和“多维变迁训练”，助力学生掌握定理应用技巧，教师可据此实现考点精准突破，提升复习效率。

第四章　三角函数与解三角形 第36课时　正弦定理、余弦定理 [考试要求]　1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．2．理解三角形的面积公式并能应用．3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 第36课时　正弦定理、余弦定理 理法先行·题练固本 知识点1　正弦定理、余弦定理 在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝ a2＝_________________； b2＝_________________； c2＝_________________ b2＋c2－2bccos A 　c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 第36课时　正弦定理、余弦定理 3 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝______________________； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝__________ 　sin A∶sin B∶sin C 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 知识点2　三角形解的个数的判断 项目 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 知识点3　三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)． (2)S＝_____________＝___________＝_____________．  (3)S＝________________(r为三角形的内切圆半径)． absin C　 　acsin B bcsin A　 r(a＋b＋c) 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [常用结论] 1．三角形中的边角关系 在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B ⇔cos A<cos B． 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin＝cos；(4)cos＝sin． 3．在△ABC中，S＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 1．(人教A版必修第二册P48练习T2(2))在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝______________．  　[在△ABC中，因为b＝2，A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，则由正弦定理，得c＝．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 2．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则A＝______________．  　[由余弦定理的推论，得 cos A＝＝－， 因为0<A<π，所以A＝．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 3．(北师大版必修第二册P120练习T2)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　) A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150° C．a＝72，b＝50，A＝135° D．a＝30，b＝40，A＝26° √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 D　[对于选项A，由，得sin B＝＝1，又0°<B<180°，从而B＝90°，C＝180°－90°－30°＝60°，只有一解；对于选项B，因为A＝150°，△ABC是钝角三角形，所以只有一解；同理选项C只有一解；对于选项D，由bsin A<a<b，所以B可能是锐角，也可能是钝角，故有两解．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 4．(人教B版必修第四册P5例3)已知△ABC中，b＝3，c＝6，B＝120°，则△ABC的面积为______________．  　[由得sin C＝．由于0°<C<180°，所以C＝45°或C＝135°． 由于b>c，故B>C，所以C＝45°， 所以A＝180°－120°－45°＝15°， sin 15°＝sin(60°－45°)＝，所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×6×．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 5．(人教A版必修第二册P47例8改编)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝(　　) A．150°　　B．90°　　C．60°　　D．30° √ D　[由正弦定理，得，得sin A＝．又a<b，∴A<B＝45°．∴A＝30°．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 6．(用结论)已知△ABC的三边长分别为a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的外接圆半径＝______________．  　[由题意可得p＝＝9，S△ABC＝＝6，设外接圆半径为R，则R＝．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 考点深研·题型突破 考点一　利用正、余弦定理解三角形 [典例1]　(1)(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° √ 第36课时　正弦定理、余弦定理 15 (2)(2024·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos B＝，b＝5，． (i)求a的值； (ii)求sin A的值． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 (1)A　[由题意得cos A＝，因为0°<A<180°，所以A＝45°．] (2)[解]　(i)由得a＝c， 由余弦定理及其推论得a2＋c2－b2＝2accos B， 即c2＋c2－25＝2×c×c×， 整理得c2＝25，解得c＝6(舍负)，故a＝c＝4． (ii)因为cos B＝，所以sin B＝， 由正弦定理， 即sin A＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 通性通法：应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解． (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理的推论cos A＝等求解． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [多维变迁] 1．(2025·雅安期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．30° √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 C　[∵B＝30°，b＝，c＝2， 则sin C＝， ∵C>B，0°<C<180°， ∴C＝45°或C＝135°． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 2．(2025·北海期末)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A的值为(　　) A． B． C． D．－ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 A　[∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， ∴由正弦定理，得a∶b∶c＝2∶3∶4， 不妨设a＝2，b＝3，c＝4， ∴cos A＝． 故选A．] 3．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2．若b＝，a＝3sin B，则C＝(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 D　[在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理的推论，可得cos A＝＝－， 由0<A<π，可得A＝， 又b＝，a＝3sin B， 由正弦定理得sin B＝， 又sin B>0，解得sin B＝， 又0<B<，因此B＝， 所以C＝π－A－B＝．故选D．] 【教用·备选题】 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2． (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得 sin A＋cos A＝1，即sin＝1， 由于A∈(0，π)，所以A＋，故A＋， 所以A＝． (2)由题设条件和正弦定理得 sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，所以cos B＝，所以B＝，所以C＝π－A－B＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理，解得b＝2，c＝， 故△ABC的周长为2＋＋3． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 考点二　判断三角形的形状 [典例2]　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形　　 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 A　[法一(化角为边)：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形． 法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A， 所以sin A＝sin2A， 又sin A≠0， 故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 通性通法：判断三角形形状的技巧 (1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边、等腰或直角三角形； (2)通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形． 求解三角形形状问题时，既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑，以免漏解． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [多维变迁] (多选)(2025·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A．若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形 B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解 C．若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B D．若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 BC　[对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°， 即A＝B或A＋B＝90°， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，asin B＝40sin 25°<40sin 30°＝40×＝20， 即asin B<b<a，∴△ABC必有两解，故B正确； 对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴0°<A<90°，0°<B<90°，180°>A＋B>90°， 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 即90°>A>90°－B>0°， ∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，故C正确； 对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1， 即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos C>0， 即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误．故选BC．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 【教用·备选题】 (多选)(2026·吉林模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，下列叙述正确的是(　　) A．若，则△ABC为等腰三角形 B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 C．若tan A＋tan B＋tan C<0，则△ABC为钝角三角形 D．若a＝bsin C＋ccos B，则C＝ √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 BCD　[对于A，因为，即sin 2A＝sin 2B， 由于A，B为三角形的内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，因为A＝30°，b＝4，a＝3，由正弦定理得，，可得sin B＝，cos A＝，cos B＝±＝±，则cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B， 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 若cos B＝，B是锐角，则cos C＝<0，C是钝角； 若cos B＝－，B是钝角，cos C＝>0，C是锐角， 故B有两解，故B正确； 对于C，若tan A＋tan B＋tan C<0， 因为tan C＝－tan(A＋B)＝－， 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 tan A＋tan B＝－tan C(1－tan Atan B)， 所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C<0， 所以tan A，tan B，tan C中必有一个值为负，即A，B，C中必有一个为钝角， 所以△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D，a＝bsin C＋ccos B，由正弦定理得sin A＝sin Bsin C＋sin Ccos B，即sin( B＋C)＝sin Bsin C＋sin Ccos B，即sin Bcos C＝sin Bsin C，因为sin B≠0， 所以cos C＝sin C，即tan C＝1， 因为0<C<π，所以C＝，故D正确． 故选BCD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 考点三　三角形的面积、周长问题 [典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [解]　(1)因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，又0<C<π，所以C＝． 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝． (2)法一：由(1)得A＝π－B－C＝． 因为sin＝sin＝sincos＋cos·sin， 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 所以由正弦定理， 所以a＝c． 所以S△ABC＝acsin B＝c2×＝3＋， 解得c＝2(舍负)． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 法二：由(1)得A＝π－B－C＝． 设△ABC的外接圆半径为R， 由正弦定理得b＝2Rsin B＝R，c＝2Rsin C＝R． 因为sin＝sin＝sincos＋cos·sin，所以S△ABC＝bcsin A＝R·R·sin＝3＋＝3＋，解得R2＝4，所以R＝2(舍负)，所以c＝R＝2． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 思维建模：边角互化模型(解三角形中的边角共存式) 第1步　边化角或角化边：将边角共存式化成只含角或只含边的等式． 正弦定理可将每一项的边化成正弦值，也可将每一项的正弦值化成边；余弦定理可将某一项的余弦值化成边． 第2步　解方程：解三角方程或关于边的方程． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 【教用·通性通法】 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [多维变迁] 1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为 (　　) A．6 B．8 C．24 D．48 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 C　[由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，即64＝100＋AB2－2AB×10×，∴AB2－12AB＋36＝0， ∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC， ∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 2．(2026·漳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A＝(2c－a)cos B． (1)求角B的值； (2)若a＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [解]　(1)法一：由bcos A＝(2c－a)cos B及正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B， 可得2sin Ccos B＝sin(A＋B)， 因为A＋B＝π－C，所以2sin Ccos B＝sin C， 因为sin C≠0，所以cos B＝， 因为0<B<π，所以B＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 法二：由bcos A＝(2c－a)cos B及余弦定理可得b·＝(2c－a)·， 化简得a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理可得2accos B＝ac， 因为ac≠0，所以cos B＝， 因为0<B<π，所以B＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 (2)由S△ABC＝acsin B，得×4×c×， 解得c＝1， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得b2＝42＋12－2×4×1×＝13，解得b＝， 故△ABC的周长为5＋． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 【教用·备选题】 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝sin C，cos B＝，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为(　　) A．8＋2 B．11 C．8＋2 D．8＋4 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 A　[因为sin A＝sin C，由正弦定理可得c＝3a， 由cos B＝可得sin B＝， 由题意可得S△ABC＝2，即S△ABC＝acsin B＝a2×＝2，解得a＝2(舍负)，所以c＝6， 由余弦定理可得b2＝4＋36－2×2×6×＝24， 所以b＝2， 所以△ABC的周长为8＋2． 故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 2．(2025·西安期末)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2asin C＝c． (1)求角A的大小； (2)若a＝2，b＝4，求△ABC的面积． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [解]　(1)由已知及正弦定理，得 2sin Asin C＝sin C， 因为C为锐角，则sin C≠0， 所以sin A＝， 因为A为锐角，则A＝． (2)由余弦定理可得，b2＋c2－2bccos A＝a2， 则c2＋16－8c×＝28，即c2－4c－12＝0，即(c－6)(c＋2)＝0， 因为c>0，则c＝6， 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×4×6×＝6． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1． (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 [解]　(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，解得BC＝． 法一：由正弦定理， 得sin∠ABC＝． 法二：由余弦定理的推论得cos∠ABC＝， 所以sin∠ABC＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 (2)法一：由sin∠ABC＝， 得tan∠ABC＝， 又tan∠ABC＝，所以DA＝， 故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝×1×． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 法二：△ABC的面积为AC·AB·sin∠BAC＝×1×2×， ＝， 故△ADC的面积为S△ABC＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 教材拓展5　射影定理的应用 射影定理：记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则有a＝bcos C＋ccos B，b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A． [典例4]　(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 C　[法一(正弦定理法)：由acos B－bcos A＝c结合正弦定理得sin A cos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)， 即sin Acos B－cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin Bcos A＝0． 在△ABC中，∵sin B≠0，∴cos A＝0，即A＝． 则B＝π－A－C＝π－．故选C． 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 法二(余弦定理法)：由acos B－bcos A＝c结合余弦定理的推论得a·－b·＝c， 化简得b2＋c2＝a2，∴A＝． 则B＝π－A－C＝π－．故选C． 法三(射影定理法)：由acos B－bcos A＝c结合射影定理acos B＋bcos A＝c，得bcos A＝0． 在△ABC中，b≠0，∴cos A＝0，即A＝， 则B＝π－．故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 1．(链接考点一)(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　) A．2 B．1 C． D． √ D　[由正弦定理，得b＝×2＝．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 2．(链接考点一)(2025·四川期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，cos A＝，则BC＝(　　) A．1 B．2 C． D． √ B　[根据余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos A＝4＋1－2×2×1×＝4，解得BC＝2(舍负)． 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 3．(链接考点二)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列判断三角形的形状正确的是(　　) A．若AB＝6，AC＝5，BC＝8，则△ABC为钝角三角形 B．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形 C．若a∶b∶c＝4∶6∶7，则△ABC为锐角三角形 D．若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC一定为等腰三角形 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 ABC　[对于A，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8， 由余弦定理的推论得cos A＝＝－<0， 则A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，A正确； 对于B，在△ABC中，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，B正确； 对于C，由a∶b∶c＝4∶6∶7，设a＝4k，b＝6k，c＝7k(k>0)， 所以C是△ABC的最大内角， 所以cos C＝>0，又0<C<π，所以C是锐角，则△ABC是锐角三角形，C正确； 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 对于D，由正弦定理及题意，得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B cos A， 所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，故cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin A＝sin B，即A＝或A＝B， 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形，D错误．故选ABC．] 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 4．(链接考点三)(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos A＝______________，△ABC的面积为______________．  　　[依题意得cos A＝， 所以sin A＝， 所以△ABC的面积为bcsin A＝．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ 一、单项选择题 1．(2025·咸宁期末)在△ABC中，B＝，AB＝8，AC＝7，则BC＝ (　　) A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 课时作业(三十六)　正弦定理、余弦定理 第36课时　正弦定理、余弦定理 67 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 B　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝49， 整理得BC2－8BC＋15＝0，解得BC＝3或BC＝5，经检验均符合题意． 故选B．] 68 √ 2．(人教A版必修第二册P61复习参考题6T11改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　) A．b＝10，A＝45°，B＝70° B．a＝60，c＝48，B＝60° C．a＝7，b＝5，A＝80° D．a＝14，b＝16，A＝45° 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 69 D　[对于A，已知两角及其中一角的对边，三角形确定，只有一解；对于B，已知两边及其夹角，用余弦定理，只有一解；对于C，已知两边及其中一边的对角，且已知的是两边中较大边所对的角，所以三角形有一解；对于D，bsin A＝16sin 45°＝8<a<b，有两解．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 70 √ 3．(2026·喀什市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝，A＝60°，则B＝(　　) A．30° B．30°或150° C．45° D．45°或135° 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 71 C　[由正弦定理， 得，解得sin B＝， 因为a>b，所以A>B， 又因为0°<B<120°， 所以B＝45°． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 72 √ 4．(2026·杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2＋a2＝b2，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 73 B　[在△ABC中，4c2＋a2＝b2， 由余弦定理得b2＝4c2＋a2＝a2＋c2－2accos B，则3c2＝－2accos B>0， 因此cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 74 √ 5．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　) A． B． C．＋1 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 75 D　[因为A＝105°，B＝45°， 所以C＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理， 得c＝， 因为sin A＝sin 105°＝sin(60°＋45°) ＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝， 所以△ABC的面积为bcsin A＝×2×． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 76 √ 二、多项选择题 6．(2025·葫芦岛月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A∶(sin A＋sin B)∶(sin B＋sin C)＝2∶5∶7，则(　　) A．a∶b＝2∶3 B．a∶c＝1∶2 C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 77 ABD　[在△ABC中，sin A∶(sin A＋sin B)∶(sin B＋sin C)＝2∶5∶7， 由正弦定理得a∶(a＋b)∶(b＋c)＝2∶5∶7，设a＝2t(t>0)， 则a＋b＝5t，b＋c＝7t，得b＝3t，c＝4t，因此a∶b＝2∶3，a∶c＝1∶2，A和B正确； 由c>b>a，得C为△ABC的最大内角，而cos C＝＝－<0，因此C为钝角， 即△ABC是钝角三角形，C错误，D正确． 故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 78 √ 7．(2025·扬州期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　) A．a＝，b＝4，c＝6 B．A＝，B＝，a＝2 C．a＝2，b＝4，sin A＝ D．a＝2，b＝4，cos B＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 79 ABD　[对于A，a＝，b＝4，c＝6，根据＋4>6，可知a，b，c可以构成三角形， 结合余弦定理，可得角A，B，C均有唯一解，所以△ABC有唯一解，A项符合题意； 对于B，由A＝，B＝，可得C＝π－A－B＝， 所以△ABC是以c为斜边的直角三角形，结合a＝2，可知△ABC有唯一解，B项符合题意； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 80 对于C，bsin A＝4×，可得a＝2∈(bsin A，b)，所以△ABC有两解，C项不符合题意； 对于D，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即16＝c2＋12－2·2c·， 整理得c2－c－4＝0，解得c＝(舍负)， 所以△ABC有唯一解，D项符合题意． 故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 81 三、填空题 8．(人教A版必修第二册P44例6改编)已知在△ABC中，b＝，a＝1，B＝，则c＝______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 2　[由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即c2＋c－6＝0，解得c＝2 或c＝－3(舍去)．] 2　 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 82 9．(人教A版必修第二册P54习题6.4T22)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋asin C－b－c＝0，则A＝______________；若a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 　 4　 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 83 　4　[由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0．因为sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Asin C－cos A sin C－sin C＝0．由于sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，所以sin．又0<A<π，故A＝．由题意知△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4①．而a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝2，故b2＋c2＝8②，由①②得b＝c＝2，所以b＋c＝4．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 84 四、解答题 10．(2025·江阴市月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B． (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝sin A，求c． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 85 [解]　(1)利用正弦定理化简已知等式可得 sin Bsin A＝sin Acos B， 又sin A>0，可得sin B＝cos B， 可得＝tan B＝，B∈(0，π)， 可得B＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 86 (2)因为sin C＝sin A，由正弦定理得c＝a， 又因为b＝3， 由余弦定理可得b2＝9＝a2＋3a2－2×a×a×＝a2，所以a＝3，c＝a＝3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 87 11．(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C． (1)求C； (2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 理法先行 考点深研 课时作业 第36课时　正弦定理、余弦定理 88 [解]　(1)由题知sin 2C＝sin C，即2sin Ccos C＝sin C，∵C∈(0，π)，∴sin C>0，∴cos C＝，C＝． (2)∵S△ABC＝6，∴absin C＝6，解得a＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴c2＝48＋36－2×4×6×＝12，解得c＝2(舍负)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋6． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 89 谢谢！ $