第四章　第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，覆盖和差倍角公式、辅助角公式等核心考点，依据高考评价体系明确公式推导与应用的考查要求，通过近五年真题分析归纳“给值求值”“辅助角化简”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模”，如2024新高考Ⅰ卷“cos(α+β)与cos(α-β)关系”题，运用角变换与公式变形培养数学思维，结合“凑角求值模型”突破难点，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效规划复习。

第四章　三角函数与解三角形 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 [考试要求]　1．会推导两角差的余弦公式．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用． 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 理法先行·题练固本 知识点1　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 3 知识点2　辅助角公式 asin α＋bcos α＝________________，其中sin φ＝，cos φ＝． sin(α＋φ) 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 [常用结论] 1．升幂、降幂公式 (1)1＋cos 2α＝2cos2α， (2)1－cos 2α＝2sin2α， (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， (4)1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， (5)cos2α＝，sin2α＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 2．公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， (2)sin α±cos α＝sin， (3)sin 2α＝， (4)cos 2α＝， (5)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 1．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cos 10° －cos 160°sin 10°＝(　　) A．－ B． C．－ D． √ D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 2．(人教A版必修第一册P223练习T2)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝______________．  　[因为sin(α－π)＝－sin α＝，所以sin α＝－， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 3．(苏教版必修第二册P55例2)求值cos 15°＝______________．  　[cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°·sin 45°＝．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 4．(北师大版必修第二册P156例4)已知tan α＝2，tan β＝－，则tan(α－β)＝______________．  7　[tan(α－β)＝＝7．] 7 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 5．(湘教版必修第二册P76习题2.1T5改编)已知cos α＋sin α＝，则cos＝______________．  　[由题意，得coscos α＋sinsin α＝， 即cos．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 6．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(3))若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝______________．  2　[由tan(α＋β)＝＝tan ＝－1，得tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2．] 2 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 考点深研·题型突破 考点一　公式的基本应用 [典例1]　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos，则sin＝(　　) A． B． C． D． √ 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 13 (2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m (3)(2024·全国甲卷)已知，则tan＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)D　(2)A　(3)B　[(1)cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，所以sin α＝， 所以sin(sin α－cos α)＝． (2)因为cos(α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos(α－β)＝－3m． 故选A． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 (3)因为， 所以，解得tan α＝1－， 所以tan＝2－1． 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 通性通法：使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 考点二　公式的逆用及变形应用 考向1　辅助角公式及其应用 [典例2]　(1)(2025·沈阳质量检测)已知sin＋cos＝1，则cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2)(2020·北京卷)若函数f (x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________________________________．  √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)B　(2) [(1)由sin＋cos＝1，得cos θ＋cos θ＋sin θ＝cos θ＋sin θ＝1， 所以cos＝1， 所以cos， 则cos＝2cos2－1＝－．故选B． (2)f (x)＝sin(x＋φ)＋cos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ＋cos x＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝·sin(x＋θ)，由f (x)的最大值为2，所以＝2，化简可得sin φ＝1，则φ可为，其取值满足φ＝＋2kπ(k∈Z)即可．] 考向2　公式的逆用 [典例3]　(多选)(2025·柳州模拟)下列化简正确的是(　　) A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝－ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C． D．cos2－sin2 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 ABD　[对于A，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin(52°－82°)＝－，故A正确； 对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B正确； 对于C，＝tan(48°＋72°)＝－，故C错误； 对于D，由二倍角公式可得，cos2－sin2＝cos，故D正确． 故选ABD．] 考向3　公式的变形应用 [典例4]　(2025·遵化市期末)已知α＋β＝，则(1＋tan α)·(1＋tan β)＝(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．3 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 C　[∵α＋β＝， ∴tan(α＋β)＝tan＝tan＝tan＝1， ∴＝1，化简得tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 可得(1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 通性通法：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． (3)对asin x＋bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 考点三　角的变换与名的变换 [典例5]　(1)(2025·凌源市期末)已知角α，β均为锐角，满足cos(α＋β)＝，sin β＝，则cos(α＋2β)＝(　　) A．－ B． C．－ D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1 C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)C　(2)D　[(1)因为角α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 因为cos(α＋β)＝，sin β＝， 所以sin(α＋β)＝，cos β＝， 所以cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝cos(α＋β)cos β－sin(α＋β)sin β ＝＝－． 故选C． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 (2)法一：设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝，排除A，C； 再取α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除B．故选D． 法二：∵sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos·sin β， ∴sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β＝2cos αsin β－2sin αsin β， ∴sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0， ∴sin(α－β)＝－cos(α－β)， ∴tan(α－β)＝－1．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 思维建模：凑角求值模型(常见于“给值求值”) 第1步　作和或作差：将两角作和或作差使之为定值或题中角． 第2步　换角：用已知角表示未知角． 第3步　化简求值，注意范围：根据角的范围化简求值即可． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 【教用·通性通法】 (1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 [多维变迁] (2026·秦皇岛模拟)已知角α，β满足cos β＝，cos αcos(α＋β)＝，则cos(2α＋β)＝(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 C　[∵cos β＝，cos αcos(α＋β)＝， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos[α－(α＋β)] ＝cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝＋sin αsin(α＋β)＝， ∴sin αsin(α＋β)＝， ∴cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β) ＝． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 【教用·备选题】 (2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A． B． C． D． √ B　[∵sin θ＋sinsin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin，故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 教材拓展4　万能公式 (1)sin α＝，(2)cos α＝， (3)tan α＝． 上述三个公式统称为万能公式．所谓“万能”，就是通过半角代换将任意角α的三角函数转换成关于tan的函数(这里的角α、角需使三角函数有意义)． 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 [典例6]　(2025·成都锦江区期末)已知tan＝3，则＝(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 B　[因为tan＝3， 所以sin α＝，cos α＝＝－， 则．故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 1．(链接考向2)(多选)(2025·淄博期末)下列各式的值为1的是(　　) A． B．4sinsin C．sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18° D．2cos222.5°－1 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 BC　[对于A，＝－ ＝－tan(20°＋25°)＝－1，不符合题意； 对于B，4sinsin＝4sincos＝2sin＝2×＝1，符合题意； 对于C，sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18°＝sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°＝sin(72°＋18°)＝1，符合题意； 对于D，2cos222.5°－1＝cos 45°＝，不符合题意． 故选BC．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 2．(链接考向1)sin 15°＋sin 75°＝(　　) A． B． C． D． √ D　[sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝sin(15°＋45°)＝． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 3．(链接考向3)已知α，β∈，tan α＋tan β＋tan αtan β，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 C　[tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)， 所以tan(α＋β)＝＝－， 故α＋β＝． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 4．(链接考点三)(2026·吉安市模拟)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos2α－cos2β＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[cos2α－cos2β＝(cos 2α－cos 2β)＝[cos(α＋β＋α－β)－cos(α＋β－α＋β)]＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝－＝ －．故选D．] √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 5．(链接考点一)(2025·楚雄州期末)已知α为第四象限角，且cos α＝，则sin α＝ ______________，cos＝______________．  －　　[因为cos α＝，且α为第四象限角，所以sin α＝－， 所以coscos α－sin α＝．] － 　 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(2025·苏州期末)cos 54°cos 24°＋sin 54°cos 66°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 课时作业(三十一)　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 45 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[cos 54°cos 24°＋sin 54°cos 66°＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°＝cos(54°－24°)＝cos 30°＝．故选B．] 46 √ 2．(2025·威海期末)已知cos(α－β)＝－，sin αsin β＝－，则cos(α＋β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 47 A　[因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，sin αsin β＝－， 所以cos αcos β＝－， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 48 √ 3．(2025·邓州市期末)已知sin θ－cos θ＝，θ∈，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 49 D　[因为sin θ－cos θ＝， 所以sin θ－cos θ＝， 所以sin， 又因为θ∈，所以θ－， 所以cos＝． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 50 √ 4．(2025·深圳期末)已知α为第一象限角，＝－，则sin＝(　　) A． B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 51 C　[由题意＝－， 可得－2tan α＝3tan＝3×， 所以tan α＝或tan α＝－3， 又因为α为第一象限角，可得tan α＝， 所以sin(sin 2α－cos 2α)＝ ＝．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 52 √ 5．(2025·常州市金坛区模拟)已知sin＝－，x∈，则tan＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 53 B　[因为x∈，所以x＋， 因为sin＝－，所以x＋， 所以cos＝－＝－＝－， 所以tan， 所以tan＝tan＝－tan＝－＝－＝－． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 54 √ 6．(2025·广元期末)已知sin＝－，cos，α∈，β∈，则cos(α－β)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 55 D　[因为α∈＋α∈， 由sin＝－，得 cos＝－＝－， 因为β∈＋β∈(π，2π)， 由cos，得 sin＝－＝－， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 56 所以sin＝sincos－cossin＝－＝－， 由sin＝sin＝－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 57 √ 二、多项选择题 7．(人教A版必修第一册P220练习T3改编)计算下列各式的值，结果为2的有(　　) A．tan 75°＋tan 120° B． C．(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°) D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 58 AC　[对于A，tan 75°＋tan 120°＝tan(45°＋30°)－tan 60°＝＝2，故A正确； 对于B，＝4，故B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 59 对于C，(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan 45°(1－tan 20°·tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝1＋1＝2，故C正确； 对于D， ＝＝4，故D错误． 故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 60 √ 8．已知tan α＝3tan β，α，β∈，则下列说法正确的是(　　) A．若α＝，则tan(α＋β)＝2 B．若α＝2β，则α＋β＝ C．tan(α－β)的最大值为 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 61 ABD　[已知tan α＝3tan β，α，β∈， 对于A，若α＝，则tan α＝1，tan β＝， ∴tan(α＋β)＝＝2，故A正确； 对于B，若α＝2β，则tan α＝tan 2β＝＝3tan β， 由β∈，得tan β>0，故＝3， 解得tan β＝， ∴β＝，α＝，故α＋β＝，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 62 对于C，∵tan α＝3tan β，α，β∈， ∴tan(α－β)＝， 当且仅当＝3tan β，即tan β＝时等号成立，故C错误； 对于D，由tan α＝3tan β，得， 即sin αcos β＝3sin βcos α． ∴，故D正确． 故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 63 √ 9．(2025·聊城模拟)已知sin(α－β)＝－，sin αcos β＝，则(　　) A．cos αsin β＝－ B．sin(α＋β)＝ C．3tan α＝2tan β D．sin 2αsin 2β＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 64 BC　[因为sin αcos β＝， sin(α－β)＝－＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β， 所以cos αsin β＝，A错误； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，B正确； 因为sin αcos β＝，cos αsin β＝， 所以，即3tan α＝2tan β，C正确； sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×(2sin βcos β)＝4(sin αcos β)·(cos αsin β)＝4×，D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 65 三、填空题 10．(2025·春季上海卷)已知tan α＝1，则cos＝________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 0　[因为tan α＝1，所以sin α＝cos α， 所以cos(cos α－sin α)＝0．] 0　 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 66 11．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝_______．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝tan 10°tan 50°， ∴原式＝tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 67 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．已知α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)＝______________．  　[因为α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，所以cos α>0，sin β<0， 所以cos α＝，sin β＝－＝ －＝－， 　 理法先行 考点深研 课时作业 第31课时　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 68 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ ＝．] 69 谢谢！ $