4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两角和与差、二倍角公式”核心考点，依据课标要求梳理公式推导逻辑与内在联系，通过近三年高考真题分析明确“公式直接应用”“逆用变形”“角的变换”三大高频考查方向，构建“知识梳理+考点突破+真题训练”的备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如以2024新高考Ⅰ卷“两角和差余弦公式应用”真题为例，提炼“已知角表示所求角”的变换策略，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。特设“规律方法总结”和“易错点警示”，帮助学生掌握公式逆用与角的拆分技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2027 课标解读　1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用这些公式解决相关的求值与化简问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第三册8.2.1节练习第5题改编)cos 80°cos 20°+ sin 80°sin 20°的值等于(　　) A. B. C.cos 100° D.sin 100° A 解析 cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°=. 故选A. 2.(人教A版必修第一册5.5.1节练习第4题改编)若sin θ-cos θ=2sin(θ-φ),则φ的值可以是(　　) A. B. C.- D. B 解析 sin θ-cos θ=2(sin θ-cos θ)=2sin(θ-),所以φ的值可以是.故选B. 3.(人教A版必修第一册5.5.1节例3改编)已知sin α=-,α是第四象限角,则tan(α-)的值为　　　　　.  -7 解析 由题意,得cos α=, 所以tan α==-, tan(α-)==-7. 4.(人教A版必修第一册5.5.1节第223页练习第4题改编)已知tan 2α=, 则tan α的值是　　　　 　　　　.  -3+或-3- 解析 因为tan 2α=, 所以tan2α+6tan α-1=0,所以tan α==-3±. 知识梳理 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 微点拨 1.两角和与差的正切公式中,tan α,tan β,tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用. 2.诱导公式可以看成和差公式中β=k·(k∈Z)时的特殊情形. 2.辅助角公式 asin x+bcos x(a,b为常数)可以化为sin(x+φ)的形式,其中 sin φ=,cos φ=,tan φ=. 3.二倍角公式的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 简记 使用条件 二倍角 的正弦 sin 2α=　　 　　    二倍角是相对的,如:的2倍 S2α α,β∈R 二倍角的余弦 cos 2α=　　 　　= 　　　　　　=　　　　  C2α α,β∈R 二倍角的正切 tan 2α=　　　  T2α α,2α≠kπ+(k∈Z) 2sin αcos α　 cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 微点拨 1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α=β的特殊情况. 2.对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式:sin2α=,其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值和余弦值的平方,从降幂公式可以看出,在降幂的同时,角扩大为原来的2倍,因此又称“降幂扩角公式”. 研考点•精准突破 考点一　和差倍角公式的直接应用 例1　(1)(2025·全国2,8)已知0<α<π,cos,则sin(α-)=(　　) A. B. C. D. D 解析 由0<α<π可知0<,因为cos,所以sin, 所以sin α= 2sincos=2×,cos α=2cos2-1=2×()2-1=-. 所以sin(α-)=sin αcos-cos αsin-(-)×.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)[一题多变](2024·新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则 cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m A 解析 ∵tan αtan β=2, ∴sin αsin β=2cos αcos β. ∵cos(α+β)=m,即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m, ∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.故选A. 考点一 考点二 考点三 (3)(2026·广东江门期中)已知tan θ=,0<θ<,则tan 2θ=　 .  - 解析 因为tan θ=,所以tan θ=,解得tan θ=3或tan θ=-1.又0<θ<,所以tan θ>0,则tan θ=3,所以tan 2θ==-. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版必修第一册复习参考题第15(1)题)已知cos(α+β)=,求tan αtan β的值. 解 由题得,cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=, 解得cos αcos β=,sin αsin β=, 故tan αtan β=. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](互换条件和结论)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则的值等于　　　　.  5 解析 由已知得sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=, 解得sin αcos β=,cos αsin β=, 所以=5. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用和、差、倍角公式求值化简的基本策略 (1)熟记公式结构特征以及符号规律; (2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合; (3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2026·山西太原三模)已知α∈(-),sin 2α=cos α,则 cos 2α=(　　) A. B. C. D.1 A 解析 由sin 2α=cos α,得2sin αcos α=cos α.又α∈(-),所以cos α≠0, 因此sin α=,故cos 2α=1-2sin2α=.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点二　和差倍角公式的逆用与变形用 考向1　和差倍角公式的逆用 例2　(1)(多选题)(2026·广东佛山期中)下列各式的值为1的是(　　) A.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12° B.4sincos C. D.sin 15°+cos 15° BC 考点一 考点二 考点三 解析 对于选项A,cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°) =cos 60°=,故A错误;对于选项B,4sincos=2sin=1,故B正确;对于选项C,=tan(10°+35°)=tan 45°=1,故C正确;对于选项D, sin 15°+cos 15°=cos 30°sin 15°+sin 30°cos 15°=sin 45°=,故D错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·湖南邵阳期末)若sin 3α+cos 3α=,则sin(3α+)=(　　) A. B. C.- D.- C 解析 因为sin 3α+cos 3α=,所以2(sin 3α·+cos 3α·)=,即2sin(3α+)=,故sin(3α+)=,因此sin(3α+)=-sin(3α+)=-.故选C. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)sin 75°-cos 75°的值等于(　　) A. B. C. D. B 解析 由于(sin 75°-cos 75°)2=1-2sin 75°cos 75°=1-sin 150°=. 又因为sin 75°>cos 75°,所以sin 75°-cos 75°=.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·浙江金华期末)已知sin θ-cos θ=,θ∈(0,),则cos(θ+)=(　　) A.- B.- C. D. B 解析 由sin θ-cos θ=,得2sin(θ-)=,故sin(θ-)=, 则cos(θ+)=-sin(θ+)=-sin(θ-)=-.故选B. 考点一 考点二 考点三 考向2　和差倍角公式的变形应用 例3　(1)(2026·陕西西安模拟)已知函数f(x)=4cos2x-2sin2x,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)=3cos 2x B.f()=2 C.若f(α)=0,则sin 2α= D.若f(α)=3,则cos 4α=- D 考点一 考点二 考点三 解析 对于选项A,因为f(x)=4cos2x-2sin2x=2(1+cos 2x)-(1-cos 2x)=3cos 2x +1,故A错误;对于选项B,由于f(x)=3cos 2x+1,所以f()=3cos+1=,故B错误;对于选项C,由f(α)=0,得3cos 2α+1=0,所以cos 2α=-,因此sin 2α=±,故C错误;对于选项D,由f(α)=3,得3cos 2α+1=3,所以cos 2α=,于是cos 4α =2cos22α-1=-,故D正确.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江苏南京期中)tan 78°-tan 18°-tan 78°tan 18°=　　　　.  解析 因为tan(78°-18°)=tan 60°=, 所以tan 78°-tan 18°=(1+tan 78°tan 18°)=tan 78°·tan 18°, 于是tan 78°-tan 18°-tan 78°·tan 18°=. 考点一 考点二 考点三 规律方法　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)和差角公式变形:sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β,cos αsin β+sin(α-β) =sin αcos β,tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). (3)倍角公式变形:降幂公式. [提醒]tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2025·河北唐山期末)若α+β=,则(1+tan α)(1+tan β)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 D 解析 由题得,tan(α+β)==tan=1,则tan α+tan β=1-tan αtan β,所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+1-tan αtan β+tan αtan β =2.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·山东烟台模拟)若sin2(-θ)+cos2(+θ)=,则sin 2θ=(　　) A.- B.- C. D. 解析 由sin2(-θ)+cos2(+θ)=,得,即,因此sin 2θ=.故选D. D 考点一 考点二 考点三 考点三　角的变换 例4　(1)(2026·广东惠州期中)已知α--β均为第一象限角,且sin(α-)=, cos(-β)=,则sin的值为(　　) A.- B.- C. D. B 考点一 考点二 考点三 解析 由于α--β均为第一象限角,sin(α-)=,cos(-β)=,所以cos(α-) =,sin(-β)=,所以sin() =sin[(α-)-(-β)]=sin(α-)cos(-β)-cos(α-)sin(-β)==-. 故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·安徽蚌埠期末)已知sin(-α)=,则cos(+2α)的值为(　　) A.- B. C.- D. C 解析 (方法1)cos(+2α)=cos 2(+α)=2cos2(+α)-1=2cos2[-(-α)]-1 =2sin2(-α)-1=2×()2-1=-.故选C. (方法2)因为sin(-α)=,所以cos(-2α)=cos 2(-α)=1-2sin2(-α) =1-2×,所以cos(+2α)=cos[π-(-2α)]=-cos(-2α)=-.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2025·内蒙古呼和浩特模拟)若tan(α+)=-,α是第二象限角,则sin α=(　　) A. B.- C. D.- A 解析 因为tan(α+(=-,所以tan α=tan[(α+)-]= =-2,故 解得sin α=±.又α是第二象限角,所以sin α=.故选A. 考点一 考点二 考点三 $