第四章　第31课时　正弦定理、余弦定理 2027届高中数学（通用版）一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理、余弦定理”专题，依据高考评价体系明确了掌握定理及变形、解决三角形度量问题的考查要求，通过梳理近五年高考真题，明确解三角形、形状判断、面积计算三大高频考点，归纳出“边角互化”“公式选择”等常考题型，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“真题精研+策略建模+素养落地”，如以2024新高考Ⅱ卷为例，解析“已知边角关系求周长”问题，提炼“先求角再用正弦定理”的解题策略，培养学生逻辑推理与运算能力。设置“易错点警示”和“二级结论速用”模块，帮助学生高效掌握答题技巧，教师可据此精准开展专题复习，助力学生高考冲刺提分。

第31课时　正弦定理、余弦定理 第四章　三角函数与解三角形 [考试要求] 1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形． 2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 第31课时　正弦定理、余弦定理 2 以题引理·激活思维 1．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为(　　) A．120° B．90° C．60° D．45° √ A　[由余弦定理的推论知cos A＝＝－，所以A＝120°．] 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 3 2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b＝(　　) A．2 B．12 C．2 D．28 √ A　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2．] 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 4 3．(人教B版必修第四册P6例4改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有(　　) A．一个 B．两个 C．0个 D．不能确定 √ B　[由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得，所以sin B＝． 因为a<b，所以B>A，故B有两解，即符合条件的三角形有两个．] 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 5 4．(湘教版必修第二册P47练习T1改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝__________． 　[B＝180°－45°－75°＝60°， 由正弦定理，得，得c＝．] 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 6 5．(北师大版必修第二册P130习题2－6A组T1改编)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝＝_____________． 　[依题意有S△ABC＝bcsin 60°＝，c＝4，由余弦定理得a＝．] 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 7 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a2＝________________； b2＝_________________； c2＝_________________ b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 8 定理 正弦定理 余弦定理 变形 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 9 2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：   A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a＝bsin A bsin A <a<b a≥b a>b a≤b 解的 个数 ____ ____ ____ ____ ____ 一解 一解 两解 一解 无解 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 10 3．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝___________； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)； (4)S＝． bcsin A 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 11 [二级结论] 1．三角形中的边角关系 在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔ cos A<cos B． 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 12 应用正、余弦定理解题的常见策略 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 13 考点一　利用正、余弦定理解三角形 [典例1]　(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2． (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 精研考点·提升素养 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 14 [解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得 sin A＋cos A＝1，即sin＝1， 由于A∈(0，π)，所以A＋∈， 故A＋，所以A＝． 15 (2)由题设条件和正弦定理得 sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，所以cos B＝，所以B＝， 所以C＝π－A－B＝． sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理， 解得b＝2，c＝， 故△ABC的周长为2＋＋3． 16 名师点评：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 17 [巩固迁移] 1．(2026·安徽蚌埠模拟)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边长．若a∶b∶c＝4∶5∶6，则＝(　　) A． B．1 C． D．2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 18 B　[因为a∶b∶c＝4∶5∶6，设a＝4k，k>0，则b＝5k，c＝6k，由余弦定理的推论得 cos A＝， 由正弦定理得，sin A∶sin C＝a∶c＝2∶3， 则＝2××cos A＝2×＝1． 故选B．] 19 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是(　　) A．6 B．8 C．4 D．2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 20 A　[由csin A＝acos C及正弦定理可得 sin Csin A＝sin Acos C，因为A∈(0，π)， 所以sin A≠0，所以sin C＝cos C，可得tan C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝．又c＝2，ab＝8， 所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得 12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24， 所以a＋b＝6．] 21 3．(2025·河北秦皇岛一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，B＝的三角形有两个，则b的取值范围为(　　) A．(0，2) B．(2，4) C．(2，4) D．(2，2) √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 22 D　[在△ABC中，a＝2，B＝，由△ABC有两解， 得即 解得2<b<2，所以b的取值范围为(2，2)．故选D．] 23 【教用·备选题】 1．在△ABC中，若2cos2A－cos A＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝(　　) A． B． C． D． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 24 B　[因为2cos2A－cos A＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)， 所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)] ＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)， 则2－2sin2A＋cos Bcos C－sin Bsin C ＝2－2sin2B－2sin2C＋cos Bcos C＋sin Bsin C， 整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C． 所以b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理的推论得cos A＝， 因为A∈(0，π)，故A＝．故选B．] 25 2．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 26 [解]　(1)证明：因为sin Csin(A－B)＝sin B·sin(C－A)， 所以sin Csin Acos B－sin Csin Bcos A＝sin B·sin Ccos A－sin Bsin Acos C， 所以ac·－2bc·＝－ab·， 即－(b2＋c2－a2)＝－， 所以2a2＝b2＋c2． 27 (2)因为a＝5，cos A＝， 由(1)得b2＋c2＝50， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得50－bc＝25， 所以bc＝， 故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81， 所以b＋c＝9， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14． 28 考点二　判断三角形的形状 [典例2]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C ＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 √ A　[法一(化角为边)：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝a， 所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 29 法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A， 所以sin A＝sin2A， 又sin A≠0， 故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形． 法三(射影定理)：因为bcos C＋ccos B＝a＝asin A， 所以sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．] 30 【深度思考】　若本例条件变为，判断△ABC的形状． [解]　由，得， 所以sin Acos A＝cos Bsin B， 所以sin 2A＝sin 2B． 因为A，B为△ABC的内角， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 31 名师点评：判定三角形形状的两种常用途径 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 32 [巩固迁移] 4．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcos C＋ccos B＝b，且a＝ccos B，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 33 D　[bcos C＋ccos B＝b⇒sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B⇒sin＝sin B， 即sin A＝sin B，故a＝b， a＝ccos B⇒sin A＝sin Ccos B⇒sin＝sin Ccos B⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Ccos B⇒sin Bcos C＝0， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，故cos C＝0， 因为C∈，所以C＝， 故△ABC为等腰直角三角形．故选D．] 34 【拓展融合】　三角形中的射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 35 【加固训练】　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A，则A＝(　　) A． B． C． D． (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝_____________． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 36 (1)D　(2)　[(1)因为2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A，所以2bcos(B＋C)＝acos C＋ccos A，由射影定理得2bcos(B＋C)＝b，所以cos A＝－，又A∈(0，π)，所以A＝．故选D． (2)在△ABC中，2cos C(acos B＋bcos A)＝c， 由射影定理得2cos C·c ＝ c，即2cos C ＝1， ∴cos C＝， 又0<C<π，∴C＝．] 37 考点三　三角形面积的有关计算 [典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 38 [解]　(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab，可得cos C＝， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C＝， 又因为sin C＝cos B，即cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝． 39 (2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)， 从而C＝，A＝π－， 而sin A＝sin＝sin， 由正弦定理有， 从而a＝c＝c，b＝c＝c， 所以S△ABC＝absin C＝c·c·c2， 由已知△ABC的面积为3＋c2＝3＋，所以c＝2． 40 名师点评：三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 41 [巩固迁移] 5．(2026·陕西安康模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝1，△ABC的面积为，则c＝___________． 　[a＝2，b＝1，△ABC的面积为， 所以absin C＝×2×1×sin C＝， 解得sin C＝， 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 42 因为0<C<π，所以C＝， 当C＝时，由余弦定理可得， c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1－2＝3，即c＝， 当C＝时，由余弦定理可得， c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋1＋2＝7，即c＝， 综上，c＝或c＝．] 43 6．(2026·陕西咸阳模拟)如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝3，AD＝3，CD＝，∠C＝2∠CBD． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 44 [解]　(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A， 即BD2＝9＋27－2×3×3＝9， 所以BD＝3． 45 (2)在△BCD中，由正弦定理 得， 则sin C＝sin∠CBD． 而∠C＝2∠CBD，于是sin∠CBD＝sin 2∠CBD＝2sin∠CBDcos ∠CBD， 又∠CBD∈(0，π)，则sin∠CBD>0，cos∠CBD＝，∠CBD＝， 因此∠C＝2∠CBD＝，∠BDC＝， 46 所以四边形ABCD的面积 S＝AB·AD·sin A＋BD·CD＝×3×3×3＝． 47 【教用·备选题】 1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝． (1)若CD＝2，求sin∠ADC； (2)若C＝，求四边形ABCD的面积． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 48 [解]　(1)如图，连接BD， 在Rt△ABD中，BD＝＝2，且tan∠ADB＝， ∠ADB∈，所以∠ADB＝． 在△BCD中，由余弦定理的推论得 cos∠BDC＝＝， 所以sin∠BDC＝． 所以sin∠ADC＝sin ＝sin∠BDCcos＋cos∠BDCsin＝． 49 (2)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos，即CD2－2CD－2＝0，解得CD＝1＋或CD＝1－(舍去)， 所以四边形ABCD的面积为 S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD＋BC·CD·sin． 50 2．(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B． (1)求∠A； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 条件①：b＝7； 条件②：cos B＝； 条件③：csin A＝． 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 51 [解]　(1)由题知，2sin B·cos B＝bcos B． 又A为钝角，所以B为锐角， 故cos B≠0，所以2sin B＝b． 又， 所以sin A＝． 又A为钝角，所以A＝． 52 (2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π， 则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①． 若选②，由题知sin B＝， 又，所以b＝3． 53 又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝． 所以S△ABC＝absin C＝×7×3×． 若选③，由题知c·，所以c＝5． 由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)． 所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×． 54 一、单项选择题 1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45°　　B．60°　　C．120°　　D．135° A　[cos A＝，因为0°<A<180°， 所以A＝45°．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 课后作业(三十一)　正弦定理、余弦定理 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知△ABC的外接圆半径为1，A＝，则ACcos C＋ABcos B＝(　　) A． B．1 C． D． √ D　[由射影定理得AC·cos C＋AB·cos B＝ BC， 由正弦定理可得＝2，所以BC＝2sin A＝．] 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 56 3．(2026·广东梅州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝120°，a＝2ccos C，则C＝(　　) A．60° B．45° C．30° D．15° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 57 C　[因为A＝120°，a＝2ccos C，由正弦定理可得sin A＝2sin Ccos C＝sin 2C， 所以sin 2C＝，因为0°<C<60°，则0°<2C<120°， 所以2C＝60°，解得C＝30°．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 58 4．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　) A．6 B．8 C．24 D．48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 59 C　[∵BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝， ∴根据余弦定理可知，BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC， ∴64＝100＋AB2－2AB×10×， ∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC为直角三角形， ∴AB⊥BC． ∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 60 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为(　　) A．a＝8 B．a＝9 C．a＝10 D．a＝11 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ B　[由正弦定理可得，，所以sin B＝，因为三角形有两解，所以sin B<1，且b>a，由选项知，只有a＝9符合．故选B．] 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 61 6．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 62 A　[因为sin2 ，所以，即cos B＝． 法一：由余弦定理得， 即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2． 所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 63 法二：由正弦定理得cos B＝， 又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 即sin Bcos C＝0， 又sin B≠0，所以cos C＝0， 又C为三角形的内角，所以C＝， 所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 64 二、多项选择题 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．若cos A>cos B，则sin A<sin B B．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝ C．已知a＝7，b＝4，c＝ D．若，则B＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 65 ABC　[对于A，cos A>cos B⇔A<B⇔sin A<sin B，故A正确；对于B，由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝，因为0<C<π，所以C＝，故B正确；对于C，因为a＝7，b＝4，c＝，所以c<b<a，所以C<B<A，所以cos C＝，因为0<C<π，所以C＝，故C正确；对于D，由正弦定理得＝1，即tan B＝1，所以B＝，故D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 66 8．(2026·湖北武汉模拟)锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin＝cos B，b＝2，c＝3，则(　　) A．C＝ B．a＝ C．sin A＝ D．△ABC的面积为 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 67 AD　[因为sin＝cos B且△ABC为锐角三角形， 所以A－＋B＝⇒A＋B＝， 根据三角形的内角和定理，得C＝，故A正确； 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab， 得a2－2a－5＝0， 又a>0，所以a＝＝1＋，故B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 68 根据正弦定理得 sin A＝，故C错误； 因为S△ABC＝absin C＝×2×，故D正确．故选AD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 三、填空题 9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 4　[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4．] 4 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 70 10．(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面 积S＝_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 71 　[法一：S＝． 法二：由余弦定理的推论得cos A＝，sin A＝，S＝bcsin A＝×2×．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 72 四、解答题 11．(2026·陕西汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从下面三个条件中选择两个，使得△ABC存在，并回答下列问题：①b＋c＝2a，②A＝，③3csin B＝4asin C． (1)求cos B的值； (2)当a＝2时，求△ABC的面积． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 73 [解]　(1)若选择①②，由b＋c＝2a，可知b≤a≤c或c≤a≤b，因此B≤A≤C 或C≤A≤B， 结合A＝，可知△ABC中有两个钝角，与三角形内角和定理矛盾，所以△ABC不存在； 若选择②③，由3csin B＝4asin C，得3sin Csin B＝4sin Asin C， 结合sin C≠0，可得sin B＝sin A＝>1，与sin B≤1矛盾，所以△ABC不存在； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 74 若选择①③，根据正弦定理得sin B＝sin A，即b＝a， 结合b＋c＝2a，解得c＝a，此时△ABC存在． 综上所述，选择①③，可得 cos B＝＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 (2)若a＝2，结合(1)的结论可得c＝， 由cos B＝－，可得sin B＝． 所以△ABC的面积S＝acsin B＝×2×． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 76 12．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝asin． (1)求A； (2)若a＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 77 [解]　(1)由b＝asin，得sin B＝sin Asin， 因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， sin＝sin C＋cos C， 所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin A(sin C＋cos C)， 即cos Asin C＝sin Asin C， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 所以cos A＝sin A， 所以tan A＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 78 (2)因为△ABC的面积为bcsin A＝， 所以bc＝4， 由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2＋c2＝1＋4， 所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝9＋4＝(1＋2)2，故b＋c＝1＋2， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 79 13．(2026·江苏连云港模拟)在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝，∠DBC＝，AB＝1． (1)若BC＝2，求AD； (2)若AD＝2CD，求AD． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第31课时　正弦定理、余弦定理 80 [解]　(1)在△ABC中，∠ABC＝， 由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝12＋22－2×1×2cos＝7， 得AC＝， 所以cos∠BAC＝＝． 所以在Rt△ABD中，AD＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 81 (2)设CD＝t，AD＝2t(t>0)，在△BCD中， 由正弦定理得， 又因为sin∠CDB＝sin∠ADB＝， 代入上式有， 得BC＝1． 由余弦定理得AC＝， 所以AD＝AC＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 82 谢 谢 ！ $