第三章 规范答题一 导数及其应用课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了导数几何意义、单调性判断、极值最值求解、函数零点分析等核心考点，通过2024新高考Ⅱ卷等真题案例，明确“极值与参数范围”“切线方程”等高频考点占比，归纳出分类讨论、构造函数等常考题型解题框架。 课件亮点在于“真题精讲+规范答题+陷阱警示”的备考设计，如以2024新高考Ⅱ卷函数极值题为例，示范“求导—分类讨论单调性—构造新函数解不等式”的完整思路，培养学生的逻辑推理与数学建模素养。特设“易错点清单”如定义域优先、极值点与导数零点关系，助力学生掌握得分技巧，教师可据此开展靶向复习，提升备考效率。

第三章　一元函数的导数及其应用 规范答题一　导数及其应用 [典例]　(15分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝ex－ax－a3． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围． 明条件，顺思路 读题干：函数f (x)＝ex－ax－a3→想问题：①含参数a． ②三种函数：指数函数y＝ex，幂函数y＝x，常函数y＝c． 第(1)问 读所求：求f (x)＝ex－x－1在点(1，f (1))处的切线方程→想方法： ① f (1)＝e－2； 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 明条件，顺思路 ②已知切点(1，e－2)，要求切线方程，由导数的几何意义可知，还需求f '(1)； ③基本初等函数的导数：(ex)'＝ex，x'＝1，c'＝0； ④导数的运算法则． 第(2)问 读已知：f (x)有极小值，且极小值小于0→想问题：①求极值问题、求导； ②解方程f '(x)＝ex－a＝0； ③讨论f (x)的单调性，得极小值f (ln a)＝a－aln a－a3(a>0)； 读所求：求a的取值范围→想方法：①解不等式a－aln a－a3<0(a>0)，即1－ ln a－a2<0(a>0)； ②超越不等式(不易求解)，构造新函数，利用单调性求解． 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 规范答，抢得分(填一填) [解]　第1步：求当a＝1时函数的解析式与导函数 (1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1， 所以f '(x)＝ex－1，…………………………………………………(1分) 第2步：求切线的斜率与切点坐标 则f '(1)＝e－1，………………(2分) f (1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，………………………(3分) 第3步：求切线方程 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0．(5分) 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 规范答，抢得分(填一填) (2)第1步：求导 易知函数f (x)的定义域为R，f '(x)＝ex－a，………………………(6分) 第2步：讨论函数的单调性，求出极小值 当a≤0时，f '(x)>0，函数f (x)在R上单调递增，无极值；………(7分) 当a>0时，由f '(x)>0，得x>ln a， 由f '(x)<0，得x<ln a， 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 规范答，抢得分(填一填) 所以函数f (x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f (x)的极小值为f (ln a)＝a－aln a－a3．…………(9分) 第3步：根据极小值小于零，求a的取值范围 由题意知a－aln a－a3<0(a>0)等价于1－ln a－a2<0(a>0)，……(10分) 令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g'(a)＝－－2a<0，……………………………………………(12分) 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 规范答，抢得分(填一填) 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减．…………………………(13分) 又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0， 当a>1时，g(a)<0＝g(1)， 故实数a的取值范围为(1，＋∞)．………………………………(15分) 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 点关键，防陷阱 ①记清求导公式； ②“在某点”“过某点”求切线时的解法区别． 切线问题常用的三个关系： ①切点(x0，y0)在切线上； ②切点(x0，y0)在曲线上； ③k＝f '(x0)． 研究单调性，定义域优先原则． 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 点关键，防陷阱 f '(x)的符号与a的取值有关． 当a≤0时，f '(x)恒正； 当a>0时，f '(x)＝0有解． 进行讨论得单调性、极值． 超越不等式及超越方程，常构造函数，结合单调性求解． [思考：此时能否借助两函数图象求解？] g(x1)<g(x2)且g(x)在(0，＋∞)上单调递减，则得x1>x2． 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(2025·丽江期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e-kt，其中P0，k是正的常数，则P对于t的瞬时变化率为(　　) A．e-kt B．P0e-kt C．kP0e-kt D．－kP0e-kt 阶段检测(四)　第21～28课时 规范答题一　导数及其应用 10 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[因为P＝P0e-kt， 求导得P'＝P0·e-kt·(－kt)'＝－kP0e-kt． 故选D．] 11 √ 2．(2025·武汉期末)函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．3是f (x)的极小值 B．f (x)的极值点有3个　 C．f (x)在区间(－∞，3)上单调递减 D．曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率小于零 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 12 D　[由导函数图象可知，当x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增， 当x∈(－3，3)时，f '(x)≤0，函数f (x)单调递减． 对于A，3是函数f (x)的极小值点，f (x)的极小值为f (3)，故A错误； 对于B，f (x)的极值点有两个，极大值点－3，极小值点3，故B错误； 对于C，当x∈(－∞，－3)时，f '(x)>0，函数单调递增，当x∈(－3，3)时，f '(x)≤0，函数单调递减，故C错误； 对于D，由题干图象可知f '(1)<0，即函数f (x)在x＝1处的切线的斜率小于零，故D正确． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 3．(2026·驻马店模拟)已知函数f (x)＝x2＋2x－3ln x，则f (x)的单调递减区间是 (　　) A．(－3，1) B．(0，1) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 14 B　[ f '(x)＝x－＋2＝，定义域为(0，＋∞)． 令f '(x)<0，得x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1．又x>0， 故0<x<1．所以f (x)的单调递减区间是(0，1)．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 15 √ 4．(2025·东莞期中)函数f (x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　) A．－ B．－1 C． D．1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 16 C　[因为f (x)＝(x≥2)， 所以f '(x)＝， 令f '(x)>0，解得x>3，令f '(x)<0，解得2≤x<3， 故f (x)在[2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故f (x)min＝f (3)＝．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 17 √ 5．(2026·兰州模拟)若x＝2是函数f (x)＝x3－ax2的极小值点，则实数a＝(　　) A．6 B．3 C．2 D．4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 18 B　[易得导函数f '(x)＝3x2－2ax，那么f '(2)＝3×4－4a＝0，解得a＝3． 当a＝3时，导函数f '(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 因此当x∈(0，2)时，f '(x)<0， 当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f '(x)>0， 故x＝2是f (x)的极小值点，符合题意． 所以a＝3．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 19 √ 6．(2025·岳阳期末)若函数f (x)＝(x＋1)ex的图象与直线y＝a(a∈R)恰有两个公共点，则实数a的取值范围为(　　) A．a≥0或a＝－ B．a>－ C．－<a<0 D．a≥0 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 20 C　[根据题意得导函数f '(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，令f '(x)＝0，解得x＝－2， 根据导函数f '(x)<0得x<－2，f '(x)>0，得x>－2， 因此函数f (x)的单调递减区间为(－∞，－2)，单调递增区间为(－2，＋∞)， 因此函数f (x)的极小值为f (－2)＝(－2＋1)e-2＝－，当x<－1时， f (x)<0， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 21 作出f (x)的图象． 根据图象可知y＝a与f (x)的图象恰有两个公共点时，－<a<0．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 22 √ 二、多项选择题 7．(2025·玉林期末)下列命题正确的有(　　) A．已知函数f (x)在R上可导，若f '(1)＝2，则＝4 B．设函数f (x)的导函数为f '(x)，且f (x)＝x2＋3xf '(2)＋ln x，则f '(2)＝－ C．已知函数f (x)＝ln(2x＋1)，若f '(x0)＝1，则x0＝ D．'＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 23 ABC　[对于A， ＝2＝2f '(1)＝4，故A正确； 对于B，由f (x)＝x2＋3xf '(2)＋ln x，得f '(x)＝2x＋3f '(2)＋，则f '(2)＝4＋3f '(2)＋，解得f '(2)＝－，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 24 对于C，因为f (x)＝ln(2x＋1)， 所以f '(x)＝(2x＋1)'＝， 令＝1，解得x0＝，故C正确； 对于D，'＝，故D错误． 故选ABC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 25 √ 8．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f (x)有两个极值点 B．f (x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 26 AC　[由题意知，f '(x)＝3x2－1，令f '(x)>0得x>或x<－， 令f '(x)<0得－<x<， 所以f (x)在上单调递增， 所以x＝±是极值点，故A正确； 因为f ＝1＋>0，f ＝1－>0，f (－2)＝－5<0， 所以函数f (x)在上有一个零点， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 27 当x≥－时，f (x)≥f >0，即函数f (x)在上无零点， 综上所述，函数f (x)有一个零点，故B错误； 令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)， 则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)图象的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f (x)的图象， 所以点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 28 令f '(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f (1)＝f (－1)＝1， 当切点坐标为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点坐标为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误． 故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 29 三、填空题 9．(2025·厦门三模)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝x2－2x－a也相切，则实数a＝______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 －3 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 30 －3　[因为y＝x＋ln x，所以y'＝1＋，即曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线斜率k＝1＋1＝2，切线方程为y＝2x－1， 又由y＝x2－2x－a，得y'＝2x－2，设切点坐标为(x0，y0)，令2x0－2＝2，解得x0＝2，将x0＝2代入y＝2x－1，可得y0＝3，将点(2，3)代入y＝x2－2x－a，可得3＝4－4－a，解得a＝－3．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 31 10．(2026·北京海淀区模拟)写出“使函数f (x)＝kx－ex在(1，＋∞)上存在最值”的实数k的一个值为______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 3(答案不唯一)　[由题可得f '(x)＝k－ex． 当k≤0时，f '(x)＝k－ex<0，函数f (x)在(1，＋∞)上单调递减，不存在最值； 当k>0时，令f '(x)＝k－ex＝0，可得x＝ln k， 3(答案不唯一)　 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 32 当x<ln k时，f '(x)>0，当x>ln k时，f '(x)<0，所以函数f (x)在(－∞，ln k)上单调递增，在(ln k，＋∞)上单调递减，若函数f (x)＝kx－ex在(1，＋∞)上存在最值，则ln k>1，解得k>e， 所以实数k的一个值为3．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 33 四、解答题 11．(人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T5)已知a>0且f (x)＝ax＋＋2－2a，若f (x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 34 [解]　因为f (x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立， 所以ax＋＋2－2a－2ln x≥0(a>0)在[1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝ax＋＋2－2a－2ln x，x≥1， 则g'(x)＝a－＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 35 令g'(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－． 若－＝1，即a＝1，则g'(x)≥0， 函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以g(x)≥g(1)＝0， 所以f (x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立． 若－>1，即0<a<1，则当x∈(0，1)∪时，g'(x)>0，g(x)单调递增； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 36 当x∈时，g'(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g， 又因为g(1)＝0，所以g<0，不合题意． 若－<1，即a>1，则当x∈(1，＋∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)， 又因为g(1)＝0，所以g(x)≥g(1)＝0， 所以f (x)≥2ln x恒成立． 综上可知，实数a的取值范围是[1，＋∞)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 37 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T19)已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围． 阶段检测 规范答题一　导数及其应用 38 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，f '(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． 若a≤0，则f '(x)<0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 若a>0，则由f '(x)＝0得x＝－ln a． 当x∈(－∞，－ln a)时，f '(x)<0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f '(x)>0，所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 39 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)由(1)知当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (x)在(－∞，＋∞)上最多仅有一个零点，故a≤0不符合题意． 当a>0时，由(1)知f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增，欲使f (x)有两个零点，首先f (－ln a)＝1－＋ln a<0， 令h(a)＝1－＋ln a(a>0)， ∴h'(a)＝>0，∴h(a)在(0，＋∞)上单调递增，而h(1)＝1－1＝0， 40 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ∴当0<a<1时，h(a)<0，即f (－ln a)<0． 其次，证f (x)在x∈(－∞，－ln a)和x∈(－ln a，＋∞)上各有1个零点． 当x∈(－∞，－ln a)时，f (x)＝ae2x＋(a－2)·ex－x＝a(e2x＋ex)－(2ex＋x)， 这里a(e2x＋ex)>0，只需2ex＋x<0即可，可取x＝－1，即－1<0， ∴f (－1)>0，又f (－ln a)<0， ∴∃x1∈(－1，－ln a)，使f (x1)＝0，即f (x)在(－∞，－ln a)上存在一个零点x1； 41 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 当x∈(－ln a，＋∞)时，f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x>ae2x－2ex－ex＝ae2x－3ex． 令ae2x－3ex＝0，∴aex－3＝0，∴x＝ln ， ∴f>0，又f (－ln a)<0， ∴∃x2∈，使f (x2)＝0，即f (x) 在(－ln a，＋∞)上存在一个零点x2． 综上，a的取值范围为(0，1)． 42 谢谢！ $