第三章　第25课时　导数与函数的极值课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值”专题，依据高考评价体系明确了极值的必要条件与充分条件、极值求解及参数问题三大核心考点，通过近五年真题分析，归纳出图象判断极值、函数求极值、由极值求参数等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+通性通法+思维建模”策略，如以2023年新高考Ⅱ卷真题为例，解析“知极值求参三步骤”，培养学生逻辑推理的数学思维和规范表达的数学语言素养。特设易错提醒和多维变迁训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此实现高效复习指导。

第三章　一元函数的导数及其应用 第25课时　导数与函数的极值 [考试要求]　1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数． 第25课时　导数与函数的极值 理法先行·题练固本 知识点　函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f '(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_____________，右侧_____________．则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． f '(x)<0 f '(x)>0 第25课时　导数与函数的极值 3 (2)函数的极大值 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f '(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_____________，右侧_____________．则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____． f '(x)>0 　f '(x)<0　 极值点 极值 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 [常用结论] 1．极值点不是点，若函数f (x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f (x1)． 2．有极值的函数一定不是单调函数． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1)已知函数f (x)的导函数y＝f '(x)的图象如图所示，则函数f (x)的极大值点是______________，极小值点是______________．  x2 　x4 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 x2　x4　[因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f '(x)>0，当x∈(x2，x3)时，f '(x)<0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f '(x) <0，当x∈(x4，x5)时，f '(x)>0，所以x4是极小值点．] 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 2．(人教A版选择性必修第二册P91例5)函数f (x)＝x3－4x＋4的极大值为______________，极小值为______________．  　－　[因为f (x)＝x3－4x＋4， 所以f '(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)， 由f '(x)>0，得x<－2或x>2， 由f '(x)<0，得－2<x<2， 故f (x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增， 在(－2，2)内单调递减，故f (x)的极大值为f (－2)＝，极小值为f (2)＝－．] 　 －　 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 考点深研·题型突破 考点一　根据函数图象判断极值 [典例1]　(多选)(2025·九江期末)如图是函数y＝f (x)的导函数f '(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．f (x)在(－3，1)内单调递增 B．f (x)在(1，2)内单调递减 C．当x＝2时，f (x)取得极大值 D．当x＝4时，f (x)取得极小值 √ √ 第25课时　导数与函数的极值 9 CD　[对于选项A，由题图知，当x∈(－3，1)时，f '(x)的符号有正有负， f (x)不是单调函数，所以选项A错误； 对于选项B，由题图知，当x∈(1，2)时，f '(x)>0，f (x)单调递增，所以选项B错误； 对于选项C，由题图知f '(2)＝0，且在x＝2左侧附近，f '(x)>0，在x＝2右侧附近，f '(x)<0，所以x＝2是极大值点，f (x)在x＝2处取到极大值，所以选项C正确； 对于选项D，由题图知f '(4)＝0，且在x＝4左侧附近，f '(x)<0，在x＝4右侧附近，f '(x)>0，所以x＝4是极小值点，f (x)在x＝4处取到极小值，所以选项D正确． 故选CD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 通性通法：由图象判断函数y＝f (x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f '(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f (x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f '(x)的图象可以看出y＝f '(x)的值的正负，从而可得函数y＝f (x)的单调性．两者结合可得极值点． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 考点二　求已知函数的极值 [典例2]　(2025·成都期末改编)求函数g(x)＝ax－ln(x＋1)(a∈R)的极值． [解]　由题意知g(x)＝ax－ln(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)， 则g'(x)＝a－， ①当a≤0时，g'(x)＝a－恒小于0，无极值； 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 ②当a>0时，令g'(x)＝a－>0，则x>－1，当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如表所示． x －1 g'(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 极小值 单调递增 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 所以当x>－1时，g(x)单调递增，当－1<x<－1时，g(x)单调递减， 所以g(x)在x＝－1处取得极小值g＝1－a＋ln a，无极大值． 综上所述，当a≤0时，g(x)在(－1，＋∞)上无极值； 当a>0时，g(x)在(－1，＋∞)上有极小值g＝1－a＋ln a，无极大值． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 通性通法：运用导数求函数f (x)极值的一般步骤：(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求导数f '(x)；(3)解方程f '(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根；(4)判断f '(x)在f '(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 [多维变迁] (2025·南阳期末)已知函数f (x)＝x＋ln x＋． (1)求f '(1)的值； (2)求f (x)的极值． [解]　(1)因为f (x)＝x＋ln x＋，x>0， 所以f '(x)＝1＋， 所以f '(1)＝1＋－3，解得f '(1)＝－4． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 (2)由(1)可知f (x)＝x－2ln x＋，x>0， 所以f '(x)＝， 令f '(x)＝0，解得x＝－1(舍去)或x＝3， 所以当x变化时，f (x)，f '(x)的变化情况如表所示． 所以f (x)仅有极小值为f (3)＝4－2ln 3，无极大值． x (0，3) 3 (3，＋∞) f '(x) － 0 ＋ f (x) 单调递减 4－2ln 3 单调递增 考点三　由函数的极值求参数 [典例3]　(1)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则实数c＝ (　　) A．－6 B．－2 C．－6或－2 D．－4 (2)已知函数f (x)＝bln x＋x2＋2ax＋a2－3a在x＝1处取得极小值，则的值为______________．  √ －　 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 (1)A　(2)－　[(1)第1步　极值点导数为0：可导函数存在极值的必要条件是极值点一阶导数为0． 由函数f (x)＝x(x－c)2， 可得f '(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)， 因为函数f (x)在x＝－2处取得极小值， 可得f '(－2)＝0， 第2步　求解：求方程或方程组的解． 即(－2－c)(－6－c)＝0， 解得c＝－2或c＝－6， 第3步　检验：出现多解时，检验是否符合题中的极值情况． 当c＝－2时，令f '(x)>0，解得x<－2或x>－；令f '(x)<0，解得－2<x<－， 所以函数f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在上单调递增， 所以f (x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去． 当c＝－6时，令f '(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f '(x)<0，可得－6<x<－2， 所以函数f (x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)内单调递减，在 (－2，＋∞)上单调递增， 所以f (x)在x＝－2处取极小值，符合题意． 综上可得，c＝－6．故选A． (2)对f (x)＝bln x＋x2＋2ax＋a2－3a求导，得f '(x)＝＋3x＋2a，依题意得 即 解得 当a＝4，b＝－11时，f (x)＝－11ln x＋x2＋8x＋4，x>0，f '(x)＝－＋3x＋8＝， 当0<x<1时，f '(x)<0，f (x)在(0，1)内单调递减，当x>1时，f '(x)>0， f (x)在(1，＋∞)上单调递增， 即x＝1时，函数f (x)取得极小值f (1)＝＝－； 当a＝－3，b＝3时，f (x)＝3ln x＋x2－6x＋18，x>0，f '(x)＝＋3x－6＝≥0，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，与题意不符，舍去．] 思维建模：知极值求参模型 第1步　极值点导数为0：可导函数存在极值的必要条件是极值点一阶导数为0． 第2步　求解：求方程或方程组的解． 第3步　检验：出现多解时，检验是否符合题中的极值情况． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 【教用·易错提醒】 (1)不能忽略函数的定义域． (2)f '(x0)＝0是可导函数f (x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f '(x)的变号零点才是f (x)的极值点，所以判断f (x)的极值点时，除了找f '(x)＝0的实数根x0外，还需判断f (x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 [多维变迁] (多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝aln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 BCD　[因为函数f (x)＝aln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝，因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f '(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则 即故选BCD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 【教用·备选题】 (2025·福州期末)若函数f (x)＝2x＋ln x＋在其定义域内的区间(2m－1，2m)内有极值点，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 C　[f '(x)＝2＋，x>0， 当x∈时，f '(x)>0，当x∈时，f '(x)<0， 所以函数f (x)的单调递增区间为， 则依题意有0≤2m－1<<2m，可得m∈． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 微点突破6　六个基本超越函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 [典例4]　(人教A版选择性必修第二册P95例7)给定函数f (x)＝(x＋1)ex． (1)判断函数f (x)的单调性，并求出f (x)的极值； (2)画出函数f (x)的大致图象； (3)求出方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 [解]　(1)函数的定义域为R． f '(x)＝(x＋1)'ex＋(x＋1)(ex)' ＝ex＋(x＋1)ex ＝(x＋2)ex． 令f '(x)＝0，解得x＝－2． f '(x)，f (x)的变化情况如下表所示． x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞) f '(x) － 0 ＋ f (x) 单调递减 － 单调递增 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 所以，f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增． 当x＝－2时，f (x)有极小值f (－2)＝－． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 (2)令f (x)＝0，解得x＝－1． 当x<－1时，f (x)<0；当x>－1时，f (x)>0． 所以，f (x)的图象经过特殊点A，B(－1，0)，C(0，1)． 当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e-x呈爆炸性增长，从而f (x)＝→0； 当x→＋∞时，f (x)→＋∞，f '(x)→＋∞． 根据以上信息，画出f (x)的大致图象如图所示． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 (3)方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数为函数y＝f (x)的图象与直线y＝a的交点个数． 由(1)及图可得，当x＝－2时，f (x)有最小值f (－2)＝－． 所以，关于方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数有如下结论： 当a<－时，解为0个； 当a＝－或a≥0时，解为1个； 当－<a<0时，解为2个． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 1．(链接考点一)(2025·泉州期中)已知函数f (x)的导函数f '(x)的图象如图所示，则f (x)极小值点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 C　[如图，设f '(x)与x轴的交点的横坐标为a，0，b，c，其中a<0<b<c， 由图象可得x<a时，f '(x)<0， 当a<x<0时，f '(x)>0， 当0<x<b时，f '(x)>0， 当b<x<c时，f '(x)<0， 当x>c时，f '(x)>0， 所以x＝a，x＝c是f (x)的极小值点，x＝b是f (x)的极大值点， 故f (x)极小值点的个数为2． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 2．(链接考点二)(2025·黄石期末)已知函数f (x)＝sin x＋x(0<x<π)，则f (x)(　　) A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 A　[ f '(x)＝cos x＋， 由f '(x)＝0，得cos x＝－，结合x∈(0，π)，可得x＝， 因为当x∈时，f '(x)>0，当x∈时，f '(x)<0． 所以f (x)在内单调递减， 可知当x＝时，f (x)取得极大值，极大值为f ，无极小值． 故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 3．(链接考点三)(2026·保定模拟)已知函数f (x)＝(x－a2)(x－1)2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0) D．(0，1) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 A　[函数f (x)＝(x－a2)(x－1)2， 则f '(x)＝(x－1)2＋2(x－a2)(x－1)＝(x－1)·(3x－1－2a2)， 令f '(x)＝0，可得x＝1或x＝， 因为函数f (x)在x＝1处取得极小值， 所以在x＝1两侧导数需满足左负右正， 所以<1，解得－1<a<1． 故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 4．(链接考点三)(2025·全国二卷)若x＝2是函数f (x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f (0)＝______________．  －4　[f '(x)＝(x－2)'[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'，因为x＝2是函数f (x)的极值点，所以f '(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f (x)＝(x－1)(x－2)2，所以f (0)＝－4．] －4 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 一、单项选择题 1．(2025·赤峰期末)函数f (x)＝x－sin x在(0，＋∞)上(　　) A．既无极大值也无极小值　 B．有极小值无极大值　 C．既有极大值又有极小值　 D．有极大值无极小值 √ 课时作业(二十五)　导数与函数的极值 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[根据题意导函数f '(x)＝1－cos x≥0恒成立， 因此函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)既无极大值也无极小值． 故选A．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 2．(2025·喀什期末)函数f (x)＝ex－x－2的极小值点为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 C　[由题意可知f (x)的定义域为R，且f '(x)＝ex－1， 令f '(x)＝0，可得x＝0， 当x<0时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 当x>0时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 所以x＝0是f (x)的极小值点． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 3．(2025·广州期末)已知x＝1是函数f (x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f (x)的极大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[因为f (x)＝x3－3ax＋2，x∈R， 所以f '(x)＝3x2－3a， 又因为x＝1是函数f (x)的极小值点， 所以f '(1)＝3－3a＝0， 解得a＝1， 所以f (x)＝x3－3x＋2，f '(x)＝3x2－3， 令f '(x)＝3x2－3＝0，得x1＝－1，x2＝1， 所以当x∈(－∞，－1)时，f '(x)>0，f (x)单调递增； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 当x∈(－1，1)时，f '(x)<0，f (x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 所以f (x)在x＝－1处取极大值，在x＝1处取极小值， 所以f (x)的极大值为f (－1)＝－1＋3＋2＝4． 故选D．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4．(2025·汕头一模)设a∈R，若函数f (x)＝x3－x2＋x＋2在(1，2)内存在极值点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，3) D． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 B　[由题意可得f '(x)＝2x2－ax＋1， 若函数f (x)在(1，2)内存在极值点， 则f '(x)在(1，2)内有变号零点， 即ax＝2x2＋1在(1，2)内有解， 即a＝2x＋在(1，2)内有解， 等价于直线y＝a与函数y＝2x＋在(1，2)内的图象有交点， 因为y＝2x＋在(1，2)内单调递增， 所以y＝2x＋， 所以a∈． 故选B．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 二、多项选择题 5．(2026·吉安模拟)若x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，则下面结论正确的为(　　) A．a＝－1 B．f (x)的单调递增区间为(－2，1) C．f (x)的极小值为1 D．f (x)的极大值为5e-3 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 AD　[由题可得f '(x)＝ex-1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R， 因为x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点， 所以f '(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，解得a＝－1，故f (x)＝(x2－x－1)ex-1， f '(x)＝ex-1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex-1， 当x<－2时，f '(x)>0，f (x)单调递增； 当－2<x<1时，f '(x)<0，f (x)单调递减； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 当x>1时，f '(x)>0，f (x)单调递增， 故f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)， 单调递减区间为(－2，1)，故A正确，B错误． 由上可知，f (x)的极大值为f (－2)＝5e-3，极小值为f (1)＝－1，故C错误，D正确．故选AD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 6．(2025·全国二卷)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A．f (0)＝0 B．当x<0时，f (x)＝－(x2－3)e-x－2 C．f (x)≥2，当且仅当x≥ D．x＝－1是f (x)的极大值点 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 ABD　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，因此f (－x)＝[(－x)2－3]e-x＋2＝－f (x)，因此f (x)＝－(x2－3)e-x－2，故B正确；当x>0时，f (x)＝(x2－3)·ex＋2，f '(x)＝(x2＋2x－3)·ex＝(x＋3)(x－1)ex，令f '(x)>0，得x>1，令f '(x)<0，得0<x<1，因此f (x)在x＝1处取得极小值，因此奇函数f (x)在x＝－1处取得极大值，故D正确；当x>0时，f (x)≥2，即(x2－3)·ex≥0，解得x≥，当x<0时，f (x)在x＝－1处取得极大值，f (－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2>2，因此在(－∞，0)上也存在满足f (x)≥2的区间，故C错误．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 三、填空题 7．(2024·全国甲卷改编)已知函数f (x)＝(1＋2x)·ln(1＋x)－x，则f (x)的极小值为______________．  0　 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 0　[函数f (x)的定义域为(－1，＋∞)，则f '(x)＝2ln(1＋x)＋，令F(x)＝2ln(1＋x)＋(x>－1)，则F'(x)＝，可得F'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，则F(x)在(－1，＋∞)上单调递增，又F(0)＝0，所以当－1<x<0时，F(x)<0，即f '(x)<0，f (x)单调递减，当x>0时，F(x)>0，即f '(x)>0，f (x)单调递增，所以f (x)在x＝0处取得极小值， f (x)极小值＝f (0)＝0．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 8．(2026·儋州模拟)已知函数f (x)＝ln x＋ax2－2x有两个极值点，则实数a的取值范围是______________．  (0，2)　[f (x)＝ln x＋ax2－2x的定义域为(0，＋∞)，且导函数f '(x)＝＋ax－2， 因此方程ax2－2x＋1＝0在x∈(0，＋∞)时有两个不等的正实根x1，x2， (0，2) 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 根据根与系数的关系可得，解得0<a<2． 所以实数a的取值范围是(0，2)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 四、解答题 9．(2026·乌兰察布模拟)已知函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线垂直于直线2x＋y＋1＝0． (1)求实数a的值； (2)求f (x)的极值． 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [解]　(1)因为直线2x＋y＋1＝0的斜率为k＝－2， 又函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线垂直于直线2x＋y＋1＝0， 所以函数f (x)＝(x2－ax－a)ex在(0，f (0))处的切线斜率为， 所以f '(0)＝， 由f '(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax－a)ex＝(x2＋2x－ax－2a)ex， 所以f '(0)＝－2a＝，解得a＝－． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 (2)由(1)知，f (x)＝ex， 则f '(x)＝ex(x＋2)， 令f '(x)＝ex(x＋2)＝0，可得x＝－2或x＝－． 当x∈(－∞，－2)时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增； 当x∈时，f '(x)<0，函数f (x)单调递减； 当x∈时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增， 故当x＝－2时，f (x)取极大值，极大值为f (－2)＝， 当x＝－时，函数f (x)取极小值，极小值为f． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 10．(2025·上海卷节选)已知f (x)＝x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R．若函数y＝f (x)满足在(0，＋∞)上存在极大值，求实数m的取值范围． [解]　由题意，f '(x)＝2x－(m＋2)＋，x>0． 当m≤0时，2x－m>0，令f '(x)＝>0，解得x>1， 令f '(x)<0，解得0<x<1． 故f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x)无极大值，不成立； 理法先行 考点深研 课时作业 第25课时　导数与函数的极值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 当m＝2时，f '(x)＝≥0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故f (x)无极大值，不成立； 当0<m<2时，令f '(x)＝>0，解得x>1或0<x<，令f '(x)<0，则<x<1， 故f (x)在和 (1，＋∞)上单调递增，在内单调递减，故f (x)在x＝处取得极大值； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 当m>2时，令f '(x)＝>0，解得x>或0<x<1，令f '(x)<0，解得1<x<， 故f (x)在(0，1)和内单调递减，故f (x)在x＝1处取得极大值， 综上，实数m的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)． 谢谢！ $