第三章　第24课时　导数中的构造问题(进阶课)课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数中的构造问题”进阶专题，依据高考评价体系梳理了利用导数运算法则（与xn、e、三角函数结合）和数式结构构造函数的核心考点，明确其在比较大小、解不等式、恒成立问题中的高频考查要求，通过典例解析和通性通法归纳，构建了系统的备考框架。 课件亮点在于“母题变式+真题实战+素养培养”策略，如以2025萍乡期末题为例，详解构造xf(x)判断单调性的方法，培养学生的数学抽象能力和逻辑推理素养。包含高考真题训练、易错点分析及课时作业，帮助学生掌握构造技巧提高得分率，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

第三章　一元函数的导数及其应用 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) [总体概览]　导数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，既可能在选择、填空题中运用，也可能在解答题中运用，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 类型一　利用导数的运算法则构造 技法1　利用f (x)与xn构造函数 [典例1]　(2025·萍乡期末)已知f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)为 f (x)的导函数，且满足f (x)<－xf '(x)，则不等式f (x＋1)>(x－1)·f (x2－1)的解集是(　　) A．(0，1) B．(2，＋∞) C．(1，2) D．(1，＋∞) √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) B　[构造函数y＝xf (x)，x∈(0，＋∞)， 则y'＝f (x)＋xf '(x)<0， 所以函数y＝xf (x)在(0，＋∞)上单调递减． 又因为f (x＋1)>(x－1)f (x2－1)， 所以(x＋1)f (x＋1)>(x2－1)f (x2－1)， 所以x＋1<x2－1，且x2－1>0，x＋1>0，解得x>2或x<－1(舍去)， 所以不等式f (x＋1)>(x－1)f (x2－1)的解集是(2，＋∞)．] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) [母题探究] (综合变式)把本例中的条件“f (x)<－xf '(x)”换为“f (x)<xf '(x)”，解不等式(x2＋1)f (2x＋1)>(2x＋1)f (x2＋1)． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) [解]　设g(x)＝，则g'(x)＝， ∵f (x)<xf '(x)，∴g'(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由(x2＋1)f (2x＋1)>(2x＋1)f (x2＋1)得， ，即g(2x＋1)>g(x2＋1)， ∴解得0<x<2． 即不等式(x2＋1)f (2x＋1)>(2x＋1)f (x2＋1)的解集为(0，2)． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 通性通法：(1)出现nf (x)＋xf '(x)形式，构造函数 F(x)＝xnf (x)． 特别地，①出现xf '(x)＋f (x)形式，构造函数F(x)＝xf (x)； ②出现xf '(x)＋2f (x)形式，构造函数F(x)＝x2f (x)． (2)出现xf '(x)－nf (x)形式，构造函数F(x)＝． 特别地，①出现xf '(x)－f (x)，构造函数F(x)＝； ②出现xf '(x)－2f (x)，构造函数F(x)＝． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 【教用·备选题】 (2025·萍乡期末)已知函数y＝f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)为其导函数，若xf '(x)－2f (x)>0恒成立，且f，则不等式f (x)<x2的解集为(　　) A．(0，1) B． C． D．(1，＋∞) √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) B　[令函数g(x)＝(x>0)， 则导函数g'(x)＝， 由在(0，＋∞)上，xf '(x)－2f (x)>0恒成立，可知函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由于f，因此g＝1， 当f (x)<x2时，<1， 可得g(x)<g， 所以0<x<． 故选B．] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 技法2　利用f (x)与ex构造函数 [典例2]　(2026·枣庄模拟)已知f (x)为R上的可导函数，其导函数为f '(x)，且对于任意的x∈R，均有f (x)＋f '(x)>0，则(　　) A．e-2 026f (－2 026)<f (0)，e2 026f (2 026)>f (0) B．e-2 026f (－2 026)<f (0)，e2 026f (2 026)<f (0) C．e-2 026f (－2 026)>f (0)，e2 026f (2 026)>f (0) D．e-2 026f (－2 026)>f (0)，e2 026f (2 026)<f (0) √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) A　[令h(x)＝exf (x)，则h'(x)＝exf (x)＋exf '(x)＝ex[f (x)＋f '(x)]>0， 所以函数h(x)在R上单调递增， 故h(－2 026)<h(0)，即e-2 026f (－2 026)<e0f (0)，即e-2 026f (－2 026)<f (0)． 同理，h(2 026)>h(0)，即e2 026f (2 026)>f (0)．故选A．] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) [母题探究] (变条件)把本例中的条件“f (x)＋f '(x)>0”换为“f '(x)>f (x)”，比较e2 026f (－2 026)和f (0)的大小． [解]　令g(x)＝，则g'(x)＝， 因为对任意的x∈R，都有f '(x)>f (x)， 所以g'(x)>0，即g(x)在R上单调递增， 所以g(－2 026)<g(0)，即， 所以e2 026f (－2 026)<f (0)． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 通性通法：(1)出现f '(x)＋nf (x)形式，构造函数F(x)＝enxf (x)；特别地，出现f '(x)＋f (x)形式，构造函数F(x)＝exf (x)． (2)出现f '(x)－nf (x)形式，构造函数F(x)＝；特别地，出现f '(x)－ f (x)形式，构造函数F(x)＝． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 【教用·备选题】 (2025·重庆北碚区期末)已知f '(x)－f (x)>0在R上恒成立，且f (0)＝1，则不等式e-xf (x)>1的解集为______________．  (0，＋∞)　[令F(x)＝e-xf (x)，则F'(x)＝e-x[f '(x)－f (x)]>0，F(x)在定义域上单调递增， 故e-xf (x)>1⇒F(x)>F(0)，即解集为(0，＋∞)．] (0，＋∞) 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 技法3　利用f (x)与sin x，cos x构造函数 [典例3]　(多选)(2025·长沙调研)已知函数y＝f (x)对任意x∈满足f '(x)cos x＋f (x)sin x>0(其中f '(x)是函数f (x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　) A．f (0)> B．>f C．f (0)>2f D．<f √ √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) BD　[构造函数F(x)＝， 依题意，当x∈时，F'(x)＝>0， 故函数F(x)在内单调递增． 由F(0)<F， 即f (0)<，排除A； 由F>F>f ，B正确； 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 由F(0)<F， 即f (0)<2f ，排除C； 由F<F<f，D正确．] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 通性通法：sin x与cos x 的导函数之间可以相互转化，考虑到这一点，归纳出函数f (x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式如下： (1)出现f '(x)sin x＋f (x)cos x形式，构造函数F(x)＝f (x)sin x； (2)出现f '(x)cos x－f (x)sin x形式，构造函数F(x)＝f (x)cos x； (3)出现形式，构造函数F(x)＝； (4)出现形式，构造函数F(x)＝． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 【教用·备选题】 (2026·杭州模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)sin x＋f '(x)cos x >0，则(　　) A．f B．f C．f D．f √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) B　[令F(x)＝，x≠＋kπ，k∈Z， 故F'(x)＝>0恒成立，故F(x)＝，k∈Z上单调递增， 故F<F⇒⇒f．] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 类型二　利用数(式)结构构造函数 [典例4]　若实数a，b，c∈[0，1]，且满足ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，则实数a，b，c的大小关系是(　　) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) C　[由ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec， 得． 令f (x)＝，则f '(x)＝， 当x<1时，f '(x)>0； 当x>1时，f '(x)<0， 所以f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 于是f (1)>f (1.2)>f (1.6)， 即f (a)>f (b)>f (c)， 又a，b，c∈[0，1]，所以a>b>c． 故选C．] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 通性通法：若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解． 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 【教用·备选题】 若ln x－ln y<(x>1，y>1)，则(　　) A．ey-x>1 B．ey-x<1 C．ey-x-1>1 D．ey-x-1<1 √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) A　[依题意，ln x－<ln y－， 令f (t)＝t－(t≠0)， 则f '(t)＝1＋>0， 所以f (t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． 又x>1，y>1，得ln x>0，ln y>0． 因为f (ln x)<f (ln y)， 所以ln x<ln y， 所以1<x<y，即y－x>0， 所以ey-x>e0＝1，A正确，B不正确； 无法确定y－x－1与0的大小关系，故C，D不正确． 故选A．] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 一、单项选择题 1．(2025·广州质检)若函数y＝f (x)满足xf '(x)>－f (x)在R上恒成立，且a>b，则(　　) A．af (b)>bf (a) B．af (a)>bf (b) C．af (a)<bf (b) D．af (b)<bf (a) √ 课时作业(二十四)　导数中的构造问题(进阶课) 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 B　[由题意，设g(x)＝xf (x)， 则g'(x)＝xf '(x)＋f (x)>0， 所以g(x)在R上单调递增， 又a>b，所以g(a)>g(b)， 即af (a)>bf (b)．故选B．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 2．(2026·昆明模拟)设a＝，b＝，c＝，则(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[设f (x)＝，x>0，则f '(x)＝， 令f '(x)＝0，得x＝， 则f (x)在(0，，＋∞)上单调递减， b＝f ()，c＝f ()，则b>c， 又a－b＝>0，得a>b， 所以c<b<a．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 3．(2025·淄博期末)已知f (x)为定义在R上的可导函数，f '(x)为其导函数，且f (x)<f '(x)恒成立，e是自然对数的底数，则(　　) A．f (2 024)<ef (2 025) B．ef (2 024)<f (2 025) C．ef (2 024)＝f (2 025) D．ef (2 024)>f (2 025) √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 B　[根据题意得f '(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝， 可得g'(x)＝>0，所以g(x)在R上单调递增， 则，两边同乘e2 025， 即ef (2 024)<f (2 025)． 故选B．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4．(2026·福州模拟)定义在内的函数f (x)，f '(x)是它的导函数，且恒有f '(x)tan x＋f (x)>0成立，则(　　) A．>2f B．<2f C．＝2f D．与2f 的大小不确定 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[由f '(x)tan x＋f (x)>0，x∈，得f '(x)sin x＋f (x)cos x>0． 构造函数F(x)＝f (x)sin x，则F'(x)>0， 故F(x)在内单调递增， 有F>F， 即>2f．故选A．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 5．(2025·北京顺义区期末)已知函数f (x)＝－a，当0<x1<x2≤1时，，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．(1，e] D．(－∞，e] 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[因为当0<x1<x2≤1时，， 所以x1 f (x1)<x2 f (x2)， 令g(x)＝xf (x)＝ex－ax，则g(x)在(0，1]上单调递增， 所以g'(x)＝ex－a≥0在(0，1]上恒成立， 所以a≤ex在(0，1]上恒成立， 因为1<ex≤e， 所以a≤1， 故a的取值范围为(－∞，1]． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 6．(2025·白银期中)定义在(0，＋∞)上的函数f (x)的导函数为f '(x)，若xf '(x)－f (x)<0，且f (3)＝0，则不等式(x－1)f (x)>0的解集为(　　) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(3，＋∞) √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[令函数g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则导函数g'(x)＝， 由于xf '(x)－f (x)<0，因此导函数g'(x)<0，因此函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由于f (3)＝0，因此g(3)＝0， 因此当0<x<3时，函数g(x)>0，即f (x)>0； 当x>3时，函数g(x)<0，即f (x)<0， 由(x－1)f (x)>0， 可得解得1<x<3， 综上可得(x－1)f (x)>0的解集为(1，3)． 故选A．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 二、多项选择题　 7．(2026·开封模拟)已知e是自然对数的底数，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)是f (x)的导函数，且＋ln x·f '(x)>0，则(　　) A．f＋f (e)>0 B．f<0 C．f (e)>0 D．f (1)＝0 √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 AC　[令函数g(x)＝ln x·f (x)，则g'(x)＝＋ln x·f '(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0， 所以g(e)＝f (e)>0，g＝－f<0， 所以f＋f (e)>0，f>0，f (1)的大小不确定．故选AC．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 8．(2025·玉溪期末)已知定义在R上的函数f (x)，其导函数为f '(x)，满足f '(x)＋2f (x)>0，e为自然对数的底数，则(　　) A．f (1)>e2f (2) B．e2f (－1)>f (－2) C．f (2)<e2f (3) D．e4f (－1)>f (－3) √ √ 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 BCD　[令g(x)＝e2xf (x)， 则g'(x)＝e2x[f '(x)＋2f (x)]，x∈R， 由f '(x)＋2f (x)>0，可得g'(x)>0，故g(x)在R上单调递增， 由g(1)<g(2)，得f (1)<e2f (2)，故A不正确； 由g(－1)>g(－2)，得e2f (－1)>f (－2)，故B正确； 由g(2)<g(3)，得f (2)<e2f (3)，故C正确； 由g(－1)>g(－3)，得e4f (－1)>f (－3)，故D正确，故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 三、填空题 9．(2026·绵阳模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足2xf (x)＋x2f '(x)<0，f (2)＝，则关于x的不等式f (x)>的解集为______________．  (0，2) 课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 (0，2)　[令h(x)＝x2f (x)，则h'(x)＝2xf (x)＋x2f '(x)<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，不等式f (x)>可以转化为x2f (x)>4×＝22f (2)，即h(x)>h(2)，所以0<x<2．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 10．(2025·眉山东坡区期末)奇函数f (x)的定义域为(－π，0)∪(0，π)，其导函数为f '(x)．当0<x<π时，有f '(x)sin x－f (x)cos x<0，则关于x的不等式f (x)<sin x的解集是_____________________．  课时作业 第24课时　导数中的构造问题(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 　[令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)， g'(x)＝<0，0<x<π． ∴函数g(x)在(0，π)内单调递减． 奇函数f (x)的定义域为(－π，0)∪(0，π)，因此函数g(x)为偶函数． 当x∈(0，π)时，不等式f (x)<fsin x化为，∴<x<π． 当x∈(－π，0)时，不等式f (x)<sin x化为， ∴－<x<0． 综上可得，x∈．] 谢谢！ $