第二章　第15课时　指数函数课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“指数函数”专题，依据高考评价体系梳理了概念、图象与性质、单调性及应用等核心考点，通过近五年真题分析明确“单调性应用”“比较大小”等高频考点权重，归纳出定义域值域、解指数不等式等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题导向+方法提炼+素养培养”，如以2023新高考Ⅰ卷复合函数单调性题为例，运用数学思维拆解“同增异减”原理，总结比较大小“中间量法”、解不等式“单调性转化”等通法，培养学生逻辑推理与数学表达能力，助力学生高效突破考点，教师可据此实施精准复习教学。

第二章　函数 第15课时　指数函数 [考试要求]　1．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 第15课时　指数函数 理法先行·题练固本 知识点1　指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 第15课时　指数函数 3 知识点2　指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 _____________ (0，＋∞) 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 项目 a>1 0<a<1 性质 过定点__________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，______； 当x<0时，_________ 当x<0时，______； 当x>0时，_________ 在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________ y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增函数 减函数 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 [常用结论] 1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究． 3．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0． 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 1．(人教B版必修第二册P13练习AT1)已知指数函数的图象过点(2，81)，则这个指数函数的解析式是________． y＝9x　[设指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，则81＝a2， 所以a＝9，所以这个指数函数的解析式为y＝9x．] y＝9x　 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 2．(人教A版必修第一册P118练习T2改编)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(　　) A．b<c<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c √ D　[b＝2-0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 3．(多选)(苏教版必修第一册P165本章测试T5改编)若函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 (　　) A．2 B． C． D． √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 CD　[当a>1时，y＝ax在[0，1]上单调递增， 此时f (1)－f (0)＝a－a0＝a－1＝， 解得a＝； 当0<a<1时，y＝ax在[0，1]上单调递减， 此时f (0)－f (1)＝a0－a＝1－a＝， 解得a＝ 所以实数a的值为或故选CD．] 4．(人教A版必修第一册P119习题4.2 T3改编)已知2x-1<23-x，则实数x的取值范围是______________． (－∞，2)　[由指数函数的性质，得x－1<3－x，解得x<2，所以实数x 的取值范围是(－∞，2)．] (－∞，2)　 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 考点深研·题型突破 考点一　指数函数的概念与图象 [典例1]　(1)(多选)下列选项正确的是(　　) A．若函数f (x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a＝ B．指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的值域为(0，＋∞) C．函数y＝ax+1(a>0，且a≠1)的图象可以由f (x)＝ax的图象向右平移一个单位长度得到 D．函数y＝a2x+3－1(a>0，且a≠1)恒过定点 √ √ √ 第15课时　指数函数 12 (2)(2025·上海市宝山区期末)如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)满足关系式：y＝at(a＞0，且a≠1)，则浮萍面积从4 m2到12 m2至少需要经过 ________ 个月．(log23≈1.6) 1.6　 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 (1)ABD　(2)1.6　[(1)对于A，令2a2－3a＋2＝1且a>0，a≠1，则a＝，A正确； 对于B，不论0<a<1，还是a>1，值域都为(0，＋∞)，B正确； 对于C，f (x)＝ax的图象向左平移一个单位长度得到y＝ax+1的图象，C错误； 对于D，令2x＋3＝0，则x＝－，y＝0，所以函数y＝a2x+3－1(a>0，且a≠1)恒过定点，D正确．故选ABD． (2)由题图可得，a＝2，f (t)＝2t， 当浮萍面积为4 m2时＝4，即t1＝2， 当浮萍面积为12 m2时＝12，即t2＝log212＝2＋log23， 则t2－t1＝log23≈1.6．] 通性通法：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 考点二　指数函数的性质及应用 考向1　比较大小 [典例2]　(2026·济南模拟)若函数f (x)定义域为R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f (x)＝3x－1，则有(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f ＜f＜f √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 B　[∵函数f (x)定义域为R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，函数f (x)＝3x－1单调递增， ∴当x＜1时，函数f (x)单调递减，且f ＝f ∵＜＜＜1， ∴f＜f＜f， 即f＜f＜f故选B．] [多维变迁] (2025·无锡三模)已知函数f (x)＝ex＋e－x，若a＝f (21.1)，b＝f (－1)，c＝f (log23)，则实数a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 D　[函数f (x)＝ex＋e－x为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增． ∵a＝f (21.1)，b＝f (－1)＝f (1)，c＝f (log23)，1＜log23＜2＜21.1， ∴实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 考向2　解指数方程或不等式 [典例3]　(1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是 (　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] (2)(2025·武汉质检)已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1－x<2，则p是q的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 (1)D　(2)B　[(1)∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x>0， ∴0<2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2． (2)∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数， ∴p：{x|x<0}． 对于不等式2x+1<x＋2， 作出函数y＝2x+1与y＝x＋2的图象，如图所示． 由图象可知，不等式2x+1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}， ∴q：{x|－1<x<0}． 又∵{x|－1<x<0}{x|x<0}， ∴p是q的必要不充分条件．] 考向3　指数函数性质的综合应用 [典例4]　(2025·上海市静安区期末)已知函数f (x)＝1－是定义域为R的奇函数． (1)求实数a的值，并判断函数y＝f (x)的单调性； (2)写出函数y＝f (x)的值域． 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 [解]　(1)因为函数f (x)＝1－是定义域为R的奇函数， 所以f (0)＝0，即1－＝0，解得a＝2， 当a＝2时，f (x)＝1－， 所以f (－x)＋f (x)＝1－＋1－＝2－＝0对任意实数x恒成立， 所以a＝2． 因为y＝2x是增函数，所以y＝2x＋1是增函数，所以y＝是减函数， 所以y＝－是增函数， 所以f (x)＝1－是增函数． (2)由y＝2x＞0，得y＝2x＋1＞1，所以0＜＜2， 所以－2＜－＜0，所以－1＜1－＜1， 所以函数y＝f (x)＝1－的值域为(－1，1)． 通性通法：(1)比较指数式的大小的方法 ①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小． (2)指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． (3)涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 1．(链接考点一)(2025·阜阳期末)四个指数函数y＝2x，y＝3x，y＝，y＝的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 A．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x B．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x C．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x D．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x √ D　[当x＝1时，31＞21＞＞，所以图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 2．(链接考点一)(2025·石家庄期末)函数y＝3ax-2＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(　　) A．(2，6) B．(2，4) C．(1，6) D．(1，4) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 A　[令x－2＝0，得x＝2， 将x＝2代入函数可得y＝3a0＋3＝6， 即函数y＝3ax-2＋3的图象恒过点(2，6)． 故选A．] 3．(链接考向1)(2026·扬州模拟)若a＝()3，b＝，c＝，则有 (　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b √ D　[∵a＝()3＝3，b＝＝3， ∴c＞b，且 a＞c，即 a＞c＞b， 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 4．(链接考向3)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以≥1，解得a≥2．故选D． 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．] 5．(链接考向2)(2026·上海模拟)不等式2x2－2x－3<的解集为___________． (－3，2)　[函数y＝2x在R上单调递增，则 2x2－2x－3<⇔2x2－2x－3<2-3(x-1)⇔x2－2x－3<－3(x－1)， 即x2＋x－6<0，解得－3<x<2， 所以原不等式的解集为(－3，2)．] (－3，2)　 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题　 1．(2026·沧州模拟)若集合A＝{x|＜1}，B＝，则A∩(∁RB)＝(　　) A． B． C． D． 课时作业(十五)　指数函数 第15课时　指数函数 36 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[集合A＝{x|＜1}＝{x|0≤x＜1}， 集合B＝＝， 所以∁RB＝， 所以A∩(∁RB)＝ 故选D．] 37 √ 2．(2025·广州期中)已知函数f (x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝mx－n的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 38 B　[由指数函数的性质可知，f (x)＝ax-2＋1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点M(2，2)， 则函数g(x)＝mx－n＝2x－2的图象经过第一、三、四象限． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 39 √ 3．(北师大版必修第一册P92习题3-3 B组T1)已知0<a<1，0<x<y<1，下面结论正确的是(　　) A．ax<ay B．a-x>a-y C．< D．< 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 40 C　[因为0<a<1，所以y＝at在R上单调递减，又0<x<y<1，所以ax>ay，故A错误；因为－x>－y，所以a-x<a-y，故B错误；因为，故C正确；因为>1，所以y＝在R上单调递增，又，故D错误．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 41 √ 4．已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)＞0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 42 D　[函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)>0的解集即为2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象(图略)，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 43 √ 5．(2025·汕头月考)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 44 D　[y＝1.01x在R上单调递增，y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增， 则a＝1.010.5＜b＝1.010.6＞1，a＝1.010.5＞c＝0.60.5＜1． 所以b＞a＞c． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 45 √ 6．(2025·南昌期末)已知函数y＝2x＋22-x的最小值为a，则f (x)＝的值域为(　　) A．(－∞，－4)∪(0，＋∞) B．(－4，＋∞)　 C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－2，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 46 A　[∵2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝1时取等号， ∴a＝4，f (x)＝ 令3x－1≠0，解得x≠0， ∴f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x＞0时，3x－1＞0，＞0； 当x＜0时，－1＜3x－1＜0，＜－4， ∴f (x)的值域为(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 47 √ 二、多项选择题 7．(人教A版必修第一册P118练习T1改编)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　　　　　　B C　　　　　　　D √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 48 AB　[由题图可得a1＝2，即a＝2， y＝a－x＝单调递减，且图象过点(－1，2)，故A正确； y＝x－a＝x-2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，且图象过点(－1，1)和(1，1)，故B正确； y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，结合指数函数的图象可知C错误； y＝|ax|＝|2x|，根据指数函数及绝对值函数的图象可知D错误．故选AB．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 49 √ 8．(2025·南宁市西乡塘区开学考试)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的定义域为R B．函数f (x)的值域为(－1，1) C．函数f (x)的图象关于y轴对称 D．函数f (x)在R上为减函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 50 AB　[A项，因为2x＞0，所以函数f (x)的定义域为R，故A正确； B项，f (x)＝＝1－， 由2x＞0⇒2x＋1＞1⇒0＜＜1⇒－2＜－＜0⇒－1＜1－＜1， 所以函数f (x)的值域为(－1，1)，故B正确； C项，因为f (－x)＝＝＝－f (x)， 所以函数f (x)是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 51 D项，因为函数y＝2x＋1是增函数，y＝2x＋1＞1，所以函数y＝是减函数， 因此函数f (x)＝1－是增函数，故D错误． 故选AB．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 52 √ 9．(2025·成都月考)若3x＝2，5y＝3，则下列选项正确的有(　　) A．x＞1 B．x＜y C．xy＜1 D．x＋y＞2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 53 BC　[对于A，3x＝2＜31，又y＝3x在R上单调递增，所以x＜1，选项A错误； 对于B，因为3x＝2，5y＝3，则x＝log32，y＝log53， 又＝log3＝log3>log3＝log32＝x， y＝log53＝log5>log5， 所以x＜y，选项B正确； 对于C，因为0＜x＝log32＜1，0＜y＝log53＜1，所以0＜xy＜1，选项C正确； 对于D，由选项C知0＜x＝log32＜1，0＜y＝log53＜1，所以0＜x＋y＜2，选项D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 54 三、填空题 10．(人教A版必修第一册P120习题4.2 T9改编)已知函数f＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则f＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 55 　[因为f的图象过原点，所以f＝a＋b＝0，即a＋b＝0． 又f的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f＝－＋1， 所以f＝－＋1＝] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 56 11．(2025·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个交点，则实数a的取值范围是____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 57 　[y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，且保持x轴上及其上方的图象不变得到的． 当a>1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意； 当0<a<1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，即0<a< 综上可知，a的取值 范围是] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 58 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2025·杭州月考)已知函数f (x)＝－＋1，则不等式f (2m－1)＜f (m＋3)成立的实数m的取值范围为____________． 　[因为f (x)＝－＋1， 所以f (－x)＝－＋1＝－＋1＝f (x)，定义域为R，关于原点对称，所以f (x)为偶函数， 　 理法先行 考点深研 课时作业 第15课时　指数函数 59 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 又当x≥0时，f (x)＝－＋1单调递增；当x＜0时，f (x)单调递减， 所以f (2m－1)＜f (m＋3)，即|2m－1|＜|m＋3|， 两边平方整理可得3m2－10m－8＜0，解得－＜m＜4．] 60 谢谢！ $