2025-2026学年北师大版八年级数学下册综合练习卷（3）

**基本信息** 以几何变换与代数推理为核心，整合图形性质、方程不等式及数学阅读，通过构造全等、分组分解等方法培养推理能力与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|第4、8、10、25题|构造全等三角形、旋转性质应用|从图形折叠到旋转综合，构建“性质-变换-证明”逻辑链| |代数综合|第2、9、13、24题|分式方程无解分析、分组因式分解|从分式意义到方程求解，形成“概念-解法-拓展”应用链| |数学阅读|第5、24、25题|可分解分式方程定义、问题转化策略|通过阅读材料提炼方法，体现“抽象-建模-迁移”思维过程|

八年级数学下学期 综合练习卷（3） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 2.若分式有意义，则的取值范围是（        ）． A. B. C. D. 3.若，则下列不等式一定成立的是（        ） A. B. C. D. 4.如图，把的一角折叠，若，则为（       ） A. B. C. D. 5.在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（        ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.如图，在中，，点在边的延长线上，且，则的度数为（       ） A. B. C. D. 7.已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（     ） A. B. C. D. 8.如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的长是（       ） A. B. C. D.3 9.如果关于的分式方程 无解，那么实数的值是（        ） A.且 B. C.或 D. 10.如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为．其中正确的是（       ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.因式分解：_______． 12.如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_______． 13.若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为_______． 14.如图，在平行四边形中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的周长为________．     15.如图，是的角平分线，的面积为，长为，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是______． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 解方程、解不等式组 （1）解方程：； （2）解不等式组并把不等式解集在数轴上表示出来：． 17.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于轴对称的． （2）请画出绕原点顺时针旋转后得到的（其中的对应点是的对应点是的对应点是）； （3）点在轴上，点在轴上，若，且以四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 18.（6分）如图，中，点E、F分别在、上，且．求证：． 19.(8分) 如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 20.(10分) “七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多元预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍． （1）求，奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，，两种奖品共件．求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？ 21.(10分) 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 22.(10分) 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． （1）点的“2系雅培点”，则的坐标为         ； （2）已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 23.(10分) 如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．     （1）若，求的长度； （2）求证：； （3）求证：． 24.(10分) 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： =       ，     ； （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 25.（12分）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，， ，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，， ，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，， ，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期 综合练习卷（3） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 2.若分式有意义，则的取值范围是（        ）． A. B. C. D.  3.若，则下列不等式一定成立的是（        ） A. B. C. D.  4.如图，把的一角折叠，若，则为（       ） A. B. C. D. 5.在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（        ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.如图，在中，，点在边的延长线上，且，则的度数为（       ） A. B. C. D. 7.已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（     ） A. B. C. D.  8.如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的长是（       ） A. B. C. D.3 9.如果关于的分式方程 无解，那么实数的值是（        ） A.且 B. C.或 D. 10.如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为．其中正确的是（       ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.因式分解：________．  12.如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为________．   13.若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为________． 14.如图，在平行四边形中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的周长为________．     15.如图，是的角平分线，的面积为，长为，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 解方程、解不等式组 （1）解方程：； （2）解不等式组并把不等式解集在数轴上表示出来：． 17.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于轴对称的． （2）请画出绕原点顺时针旋转后得到的（其中的对应点是的对应点是的对应点是）； （3）点在轴上，点在轴上，若，且以四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．  18.（6分）如图，中，点E、F分别在、上，且．求证：．   19.(8分) 如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 20.(10分) “七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多元预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍． （1）求，奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，，两种奖品共件．求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？ 21.(10分) 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 22.(10分) 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． （1）点的“2系雅培点”，则的坐标为         ； （2）已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值．  23.(10分) 如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．     （1）若，求的长度； （2）求证：； （3）求证：． 24.(10分) 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： =          ，        ； （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 25.（12分）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，， ，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，， ，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，， ，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期 综合练习卷（3） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可. 【解答】 解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D. 2.若分式有意义，则的取值范围是（        ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据分式有意义的条件为分母不等于0，据此列不等式求解即可得到结果. 【解答】 解；分式 有意义， 分母不能为0，即x+2≠0，解得x≠-2. 故选：C. 3.若，则下列不等式一定成立的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据不等式的性质即可判断. 【解答】 解：A、若a>b，则a-b>0，故选项不符合题意; B、若a>b，则-3a<-3b，故选项符合题意; C、若a>b，则，故选项不符合题意; D、若a>b，则a+2>b+2，故选项不符合题意. 故选：B. 4.如图，把的一角折叠，若，则为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 首先，由折叠的性质得 ，然后，根据平角的定义及 ，得 ，进而得 ，最后，根据三角形的内角和定理得 【解答】 解：如图， 把 的一角折叠， 故选：B.  5.在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（        ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】 A 【解析】 将已知等式移项后分组因式分解，结合三角形三边的性质即可判断 的形状. 【解答】 解： ， 移项得 ， 分组得 ， 分解得 ， 提取公因式得 ， 是 的三边长， ，即 ， ，即 ， 是等腰三角形. 故选：A.  6.如图，在中，，点在边的延长线上，且，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据平行四边形的性质求出，根据得到，由等边对等角可求出的度数。 【解答】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 。 。 。 故选B. 7.已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可. 【解答】 解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是 交点坐标的纵坐标值. 联立两直线解析式： 解得 ，代入 解析式求得 故选：D.  8.如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的长是（       ） A. B. C. D.3 【答案】 A 【解析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键。连接AM，设BM与AC交于点O，由旋转的性质可推出 为等边三角形， ，结合AB=BC，可推出BM垂直平分AC，然后利用勾股定理分别求得BO、OM，即可解答. 【解答】 解：如图，连接AM，设BM与AC交于点O， 由旋转可知， 为等边三角形， 垂直平分AC， 在Rt 中， 在Rt 中， 故选：A.  9.如果关于的分式方程 无解，那么实数的值是（        ） A.且 B. C.或 D. 【答案】 C 【解析】 分式方程无解分两种：变形后的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况讨论即可求出m的值。 【解答】 解：原方程变形为， 方程两边同乘（），得， 整理得， 原分式方程无解 分两种情况讨论： ①当整式方程无解时，， 解得， 此时方程不成立，整式方程无解，符合要求； ②当整式方程的解为增根时，原分式方程的增根为， 将代入，得， 解得，符合要求； 综上，或． 故选：C.  10.如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为．其中正确的是（       ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】 B 【解析】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为，即可判断③． 【解答】 解：过点作于点，则， 平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 的面积不变，故①正确； 由上知， 点到直线的距离为，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ，， ， 点为点关于直线上的对称点， ， ， 当点三点共线时，取得最小值为， ，，， ， ， ， 在中，， 的最小值为，②错误； 点在直线上运动， ， 的最小值为，故③正确， 正确的为①③， 故选：． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.因式分解：________． 【答案】 【解析】 本题考查了因式分解，观察多项式的结构特征，判断其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可. 【解答】 解： 故答案为：. 12.如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____11___． 【答案】 11 【解析】 先由平移性质得 ， ，则可得 ，然后利用梯形面积公式求解即可. 【解答】 解：由平移性质得 ， ， ， , 阴影部分的面积  故答案为：. 13.若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为___0_____． 【答案】 0 【解析】 根据分式方程的解为正数即可得出a＞-2且a≠2，根据不等式组有解，即可得a＜ ，找出所有的整数，将其相加即可得出结论． 【解答】 解：解分式方程 =5，得x=， ∵ 分式方程的解为正数， ∴ a+2＞0，即a＞-2， 又x≠1， ∴ ≠1，即a≠2， 则a＞-2且a≠2， ∵ 关于y的不等式组 有解， ∴ a-1≤y＜6-2a，即a-1＜6-2a， 解得：a＜ ， 综上，a的取值范围是-2＜a＜ ，且a≠2， 则符合题意的整数a的值有-1、0、1，它们的和为0，  故答案为：. 14.如图，在平行四边形中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的周长为___20_____．     【答案】 20 【解析】 根据勾股定理得到 ，由作图可知， 是线段 的垂直平分线，求得 ， ，推出 ，根据平行四边形的性质得到 ， ， ，同理可得 ，于是得到结论. 【解答】 解： ， ， ， , 由作图可知， 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 同理可得 ， 四边形 的周长 . 故答案为：20. 15.如图，是的角平分线，的面积为，长为，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是____6____． 【答案】 6 【解析】 作点A关于CD的对称点H，由CD是 的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值为HF，过A作AG BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论. 【解答】 作点A关于CD的对称点H， 是 的角平分线， CD是 的用平分线， 点H一定在BC上， 过H作HF AC于F，交CD于E， 则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值为HF，过A作AG BC于G， 的面积为12，BC长为4， CD垂直平分AH， 的最小值是6， 故答案为：6. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 解方程、解不等式组 （1）解方程：； （2）解不等式组并把不等式解集在数轴上表示出来：． 【答案】 原方程无解 -1≤x<4 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：， 由①得， 由②得， 不等式的解集为.  在数轴上表示为： 17.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于轴对称的． （2）请画出绕原点顺时针旋转后得到的（其中的对应点是的对应点是的对应点是）； （3）点在轴上，点在轴上，若，且以四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】 如图， 即为所求； 如图， 即为所求； 或 【解析】 （1）根据轴对称的性质，画出 即可； （2）根据旋转的性质，画出 即可； （3）根据题意，分两种情况，进行讨论，即可得到 点坐标. 【解答】 （1）、（2）如图， 即为所求； 如图， 即为所求； （3）解： ，且以A、C、E、F四点为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形ACEF为平行四边形时， ，即 轴， ，点E在x轴上， ②当四边形ACFE为平行四边形时，则 ，C（-1，4），点E在x轴上，点F在y轴上，点C向右平移1个单位，落在y轴上， 点 A也要先向右平移1个单位，得到 E点的横坐标， ; 综上： 或 18.（6分）如图，中，点E、F分别在、上，且．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，进而可得AE=CF，再由AB∥CD，可证四边形CEAF是平行四边形．即可证得AF=EC． 【解答】 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD． ∵ BE=DF， ∴ AB-BE=CD-DF，即AE=CF． ∵ AB//CD， ∴ 四边形CEAF是平行四边形． ∴ AF=EC． 19.(8分) 如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】 证明：平分 ， ， 又 ， ， . 【解析】 （1）根据 平分 得到 ，再由 等量代换推出 ，根据“内错角相等，两直线平行.”即可得证; （2）先根据平行线的性质求出 的度数，然后根据三角形内角和定理求出 的度数，由 平分 推出 的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出 的度数. 【解答】 （1）证明：平分 ， ， 又 ， ， . （2）解：，， ， 在 中，，， ， 又 平分 ， ， .  20.(10分) “七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多元预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍． （1）求，奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，，两种奖品共件．求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？ 【答案】 ，奖品的单价分别是元，元； 购买奖品件，奖品件；购买奖品件，奖品件；购买奖品件，奖品件． 【解析】 （1）设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，根据“购买奖品的数量是奖品的倍”，列出分式方程，即可求解； （2）设购买奖品件，则购买奖品件，列出一元一次不等式组，即可求解． 【解答】 （1）解：设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，由题意得：，解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， ， 答：，奖品的单价分别是元，元； （2）设购买奖品件，则购买奖品件，由题意得：，解得：， 取正整数， ，，， 答：购买奖品件，奖品件；购买奖品件，奖品件；购买奖品件，奖品件． 21.(10分) 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】 25 见解析 【解析】 （1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形中位线定理求出 ，进而求出 ，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到 ，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到 ，得到 ，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【解答】 （1）解：平分 又 (ASA), 是 的中点， 是 的中位线， 的周长 （2）证明：由题意可知，为 的中位线， 平分 22.(10分) 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． （1）点的“2系雅培点”，则的坐标为         ； （2）已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 【答案】 (8,4) ①；②2或-4 【解析】 (1) 根据新定义的运算法则，即可求出 的坐标； (2) ①根据点 是点 的 “-3系雅培点”，且点 在第四象限，结合 ，即可求解；②由 ①可得出 的值，代入方程，再根据分式方程无解，即可求出 的值. 【解答】【详解】 (1) 解：(1) ， 点 的 “2系雅培点” 的坐标为 ， 的坐标为 . (2) 解：①点 是点 的 “-3系雅培点”，同理可得：点 ， ，故 ，即 ， 点 在第四象限，故 ， . ②由 ①得 ，代入分式方程得 ， 整理得 ， 当 时，方程无解； 当 时，则 ， 该方程无解，即方程有增根为3， ，即 ， 解得 ， 综上所述， 或 -4. 23.(10分) 如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．     （1）若，求的长度； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）根据勾股定理得出CG，进而利用平行四边形的性质解答即可； （2）延长AE交BC于H，根据平行四边形的性质得到 ，根据平行线的性质得到 ，推出 ，则可证明 （3）根据全等三角形的性质得到 ，于是得到结论. 【解答】 （1）解： （1）解： 四边形ABCD是平行四边形， （2）证明：如图，延长 交BC于H， 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是平行四边形， 在 与 中， （3）证明： 24.(10分) 先阅读材料，再回答问题． 我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”．例如： 为可分解分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： （1）若 为可分解分式方程，则： =   6    ，   -2   ； （2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值． （3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为 (k为实数)，且 求k的值． 【答案】 6，-2（或-2，6） -4 【解析】 （1）由方程 是可分解分式方程，可得 ，进而可求 （2）由可分解分式方程 的两个解分别为 ，可得 ，根据 ，代值求解即可； （3）由方程 是可分解分式方程，可得 ，不妨设 ，则 ，由 ，可得 ，可求 ，由 ，可得 ，进而可得 的值为 【解答】 （1）解： 方程 是可分解分式方程， ， 故答案为：6，-2. （2）解： 可分解分式方程 的两个解分别为 ， 的值为 （3）解：方程 是可分解分式方程， ， 为实数，不妨设 解得， 的值为   25.（12分）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，， ，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，， ，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，， ，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】 答案不唯一，见解析 【解析】 ①选择小辉同学的解题思路，证明 （AAS），再证出 为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得 AC2+CF2=AF2，即可得出结论； ②选择小光同学的解题思路，证明 ，再根据勾股定理可得 即可得出结论； (2) 过E作EG BC于G，过D作DH FC于H，证明 （SAS），得到CD=CE， ；再证明 （AAS），即可得出结论： (3) 在AB边上截取 ，连接DQ，过D作DP AF于P，可得 （SAS），证明 根据含20°角直角三角形的性质得到AF的长，再根据勾股定理得出DP，即可求出面积。 证明：如图2，过E作EM CA交CA的延长线于M 【解答】 解：选择小辉同学的解题思路. 将线段BD绕点D顺时针旋转 90°得到线段DE， . BD = DE CD=ME，BC=DM 为等腰直角三角形， AC=CF, 证明：如图3，在BC上截取 ，连接DN. 选择小光同学的解题思路. BC-CN=AC-CD，即BN=DA. - BD=ED, , BN=DA, (2) 证明：如图4，过E作 于G，过D作 于H AC=BC， DH 在 和 中， DH 1 即 (3) 解：如图5，在AB边上截取 ，连接DQ，过D作DP AF于P， 由题意得， ，BD=DE 图5 BO = DC. 在 和 中， 又 根据勾股定理得， 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学下学期 综合练习卷（3) 考试总分：150分考试时间：120分钟 卷I(选择题) 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 题号 y 3 6 8 10 答案 D C B B B D A B 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 1.a-6P:1211130:1420:15.6 三、解答题（本题共计10小题，共计90分） X=8+1, 16.(6分)(1)解：-2X-4 两边同乘以x-4得xx+2=8+x2-4 去括号，得x+2X=8+x2-4, 移项并合并同类项，得2x=4, 解得X=2, 经检验，X=2是原方程的增根， :.原方程无解： -2x+3≤7x+3① (2)解： x+1-1<X+3② 263 由①得x≥-1， 由②得x<4, :不等式的解集为-1≤x<4 -2 101234 在数轴上表示为： 17.(8分)(1)、(2)如图，△A1BC1即为所求： 如图，△A2B2C2即为所求： E -4-3 19E442.345x A --Brs (3)解：AC/1EF,且以A、C、E、F四点为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形ACEF为平行四边形时，AF‖CE,即CE‖y轴， C-1,4·点E在x轴上， ∴.E-1,0 ②当四边形ACFE为平行四边形时，则AE‖CF A0,1·C(-,4),点E在x轴上，点F在y轴上，点C向右平移1个单位，落在y 轴上， :.点A也要先向右平移1个单位，得到E点的横坐标， .E1,0 综上：E-1,0或E1,0. 18.(6分)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD. .BE=DF, AB-BE=CD-DF,即AE=CF. .AB//CD, 四边形CEAF是平行四边形. ∴.AF=EC. 19.(8分)(1)证明：.CD平分∠ACB, .∴.∠DCB=∠1' 又∠1=∠D, .∴.∠DCB=∠D' .DF//BC (2)解：.DF11BC,∠DFE=36, .∠B=∠DFE=36 在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°， ∴.∠ACB=180°-40°-36°=104 又.CD平分∠ACB, 21=32ACB=52, .∠2=180°-40°-52°=88 20.(10分)(1)解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为x+25元，由题意得： 800 ×3=1700-800 解得：X=15, x+25 经检验：x=15是方程的解，且符合题意， 15+25=40 答：A,B奖品的单价分别是40元，15元： (2)设购买A奖品a件，则购买B奖品100-a件，由题意得： 40×0.8a+15×0.8100-a≤1700解得：22.5≤a≤25 40×0.8a≥720 g取正整数， ∴.a=2324'25 答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B 奖品75件。 21.(10分)(1)解：.AF平分∠BAC,BF⊥AF, ∴.∠BAF=∠DAF,∠BFA=∠DFA=90, 又AF=AF, .△AFB=△AFD(ASAW, .∴.AD=AB=6,BF=FD, :G是BC的中点，BF=FD, .FG是ABCD的中位线， ∴.DC=2FG=4, .∴.AC=AD+DC=6+4=10, :4ABC的周长=AB+AC+BC=6+9+10=25. (2)证明：由题意可知，DE为△ABC的中位线， ∴.DE//BC, ∴.∠BHE=∠NBH, :BM平分∠ABN, .∠ABH=∠NBH, ∴.∠ABH=∠EHB, ∴.HE=BE=AE, .∴.∠EHA=∠EAH, .:∠EHA+∠EAH+∠EHB+∠ABH=180°， .∴.∠EHA+∠EHB=90°， .AH⊥BM. 22.(10分)(1)解：(1).P6,1, :.点P的“2系雅培点”P的坐标为 6+2×1,1+ 2 P的坐标为8,4 (2)解：①，点A是点Bm,n的“-3系雅培点”，同理可得：点 Am-3n,n- 名 :y=-12故m-3nn-四-12即m-3m2-36 3 :点A在第四象限，故 m-3n>0 .m-3n=6 ②由①得m-3n=6,代入分式方程得6。x+18=1, x-34x-12 整理得c+4x=18, 当c=-4时，方程无解： 当c≠-4时，则x=18 c+4 该方程无解，即方程有增根为3， x=18=3,即c+4=6 C+4 解得c=2, 综上所述，C=2或-4 23.(10分)(1)解：CG⊥AB, (1)解：CG⊥AB, ∴.∠AGC=∠BGC=90°， BG=1,BC=5, ∴.CG=VBC2-BG2=2, :∠ABF=45, ∴.BG=EG=1, ∴.EC=1, ·.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB/ICD, .∴.∠GCD=∠BGC=90°，∠EFC=∠GBE=45°， ∴.CF=CE=1, ∴.EF=EC2+CF2=V2; (2)证明：如图，延长AE交BC于H, G A E 分 .四边形ABCD是平行四边形， ..四边形ABCD是平行四边形， .∴.BCAD,AB=CD .·AE⊥AD, .∴.∠AHB=∠HAD=90, ∴.∠BAH+∠ABH=∠BCG+∠CBG=90°， ∴.∠GAE=∠GCB, 在△BCG与△EAG中， ∠AGE=∠CGB=90 ∠GAE=ㄥGCB i=BG .△BCG≈△EAGAAS, (3)证明：.△BCG≈△EAG, ∴.BG=≥，CG=AG .∠BGC=90°， BG-EG-BE 2 .AB=BG+AG=CE+EG+BG, ∴.CE+V2BE=AB=CD, .∴.CD-CE=V2BE 2410分1)解：“方程X-2-4是可分解分式方程， x+6x-2=6+-2 .X1=6,X2=-2, 故答案为：6，-2. (2)解：可分解分式方程X-乙=5的两个解分别为X=口，X=b, X ∴.ab=-7,a+b=5, 8+日--o2的， ab 8+9-3-22-9 -7 ∴台名的值为 7 （3)解：方程X-,k6=2k是可分解分式方程， 1-x x-1+k+2k-3=2k-1=k+21+k-31 x-1 k为实数，不妨设X,-1=k+2,X-1=k-3, X1=k+3,X2=k-2, .x1x2=k+3川x-2=k+k-6=6, .k2+k-12=0, .k+4k-3=0, 解得，k1=-4,k2=3, .k+2k-3≠0， .k≠-2，k≠3， k的值为-4 25.(12分)解：选择小辉同学的解题思路. E M -1 B C 图2 .∴.∠M=∠BCD=90°， .∠ACB=∠BDE=90°， ∴.∠DBC+∠BDC=90°，∠EDM+∠BDC=90°， ∴.∠DBC=∠EDM ..将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE, BD =DE ∠BCD=∠M∠DBC=∠EDM BD=DE CD=ME,BC=DM .AC=BC .'AC=DM, ∴.AC-AD=DM-AD, ∴.ME=AM △ACF为等腰直角三角形， AC=CF, .AC2+CF2=AF2, ∴.AF=2AC. D 图3 证明：如图3，在BC上截取CN=CD,连接DN 选择小光同学的解题思路： .∠ACB=∠BDE=90, ∴.∠DBC+∠BDC=∠ADE+∠BDC=90°， BC-CN=AC-CD,即BN=DA -BD=ED,∠DBC=∠ADE,BN=DA △BDN=△DEA SAS ∴.∠CND=45°， .'CN=CD∠NCD=90 ∴.∠DAE=∠BND=180°-∠CND=135°， .AC2+CF2=AF2 ∴.AE=V2AC; (2)证明：如图4，过E作EG⊥BC于G,过D作DH⊥FC于H D B GF 图4 .AC=BC, ∠ACB=90° .∴.∠A=B=45 .'AD=BE∠A=∠BAC=BC .CD=CE,∠ACD=∠BCF. .EG⊥BC,DH⊥FC,AC⊥FC, ∠CGE=∠DHC=90,DH AC, 在△DHC和△CGE中， .∴.△DHC≈△CGEAAS :DC=DFH⊥FC,1 :∠B=45°∠EGB=90 :CH=2BE即1CF-2BE (3)解：如图5，在AB边上截取AQ=AD,连接DQ,过D作DP⊥AF于P, F B E 由题意得，∠BAC=∠BDE=120°，BD=DE 图5 .AQ=AD AB=AC ∠ABD=∠EDC BO=DC. 在△QBD和ACDE中， .'BQ=DC, .∴.△QBD≈△CDE SAS .'BQ=DC∠ABD=∠EDC BD=DE .∠BQD=∠ECD. .AQ=AD∠QAD=120° ..∠BQD=150 ∴.∠ECD=150°， 又∠CAF=60 .∴.∠AFC=180°-30°-60°=90°，∠ADP=90°-60°=30°， .AC=6,∠ACF=30° .AE=号AC=2 根据勾股定理得，DP=VAD2-AP=V2-1=3,