2025-2026学年北师大版七年级数学下册综合练习卷（3）

**基本信息** 以跨章节知识整合为核心，通过代数、几何、统计与概率的综合题型，培养抽象能力、几何直观与数据意识，构建期末复习的系统性训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|3题|科学记数法、整式运算|数与式的抽象表达及运算逻辑| |空间图形|5题|轴对称、垂直性质、三角形证明|从图形性质到逻辑推理的几何直观构建| |统计概率|2题|频率估计概率、转盘概率|数据收集与随机现象的量化分析| |函数应用|2题|油温变化、弹簧长度|变量关系的模型意识及应用表达| |综合几何|3题|动态三角形、全等证明|图形变换与多结论综合的推理能力|

七年级数学下学期 综合练习卷（3) 考试总分：150分考试时间：120 卷I(选择题) 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1.B 2.C 3.A 4.D 5.D. 6.B. 7.B. 8.C 9.A 10.D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） Ⅱ计：立 3 12. 1 素 13.77 14.y=2x+30 15.1. 三、解答题（本题共计10小题，共计90分) 16.解：(1)原式=-1+1+4 =4: (2)原式=x-4x5+x6 =-2x6 (3)原式×-2yP-x+8xy+4y+4y+4y =x2-4y2-x2-8xy-16y2+4xy+4y2 =-16y2-4xy 17.(1)如图，△ABC1即为所求： (2)如图，△EFG即为所求： (3)如图，点M即为所求： 18.(1)解：参与此次调查的学生总人数为90÷30%=300（人）， 选择周末活动方式为D的人数为300-70-90-60=80（人）， 补全条形统计图如下： 2 抽取的学生选择周末活动方式 人数 条形统计图 100 90 80 80 -70-1 60 60 40 20 A B C D选项 故答案为： (2)解：在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得 P=80、4 30015 故答案为：15 (3》解：3400×90+60-1700（人） 300 答：估计该校七年级学生中选择活动方式为B和活动方式 19.(1)解：：OD平分∠BOF, ∠B0D=∠0D-3∠B0r×50=25 .:∠COE+∠BOE+∠BOD=180 ∴.∠B0E=180°-110°-25°=45 (2)解：设∠AOC=X,∠AOF=7x, ∴.∠AOC=∠BOD=x :OD平分∠BOF' ·∠A0G=∠BOD=∠FOD=X克∠BOF, 3 选中周末活动方式为D的学生的概率 为C的共有1700人. .·∠AOC+∠AOF+∠FOD=180°' .x+7x+x=180° 解得：x=20°， ∴.∠BOD=∠FOD=20°' .∴.∠B0F=20°×2=40° 0B平分 ∠EOF' .∴.∠EOB=∠BOF=40 .:∠COE+∠EOB+∠BOD=180° .∴.∠C0E=180°-40°-20°=120 20.(1)证明：.∠1=∠B, ∴.GDAB ∴.∠2=∠BAD ∠2+∠3=180 .∴.∠BAD+∠3=180° ∴.EH‖AD° (2)解：.GDAB, ∴.∠DGC=∠BAC=62 .∠4=24 .∴.∠BAD=∠BAC-∠4=62°-24°=38° .EH‖AD .∴.∠BEH=∠BAD=38' :GD‖AB .∴.∠H=∠BEH=38 21.(1)解：该问题情境中，自变量是出发后的时长X,因变量是离山脚的相对高度y: (2)解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为： 600=15(米/分)： 40 他们下山的相对高度平均变化速度是： 800 =20(米/分)： 140-100 (3)解：出发20分钟时，离山脚的相对高度为20×15=300（米）， 出发110分钟时，离山脚的相对高度为800-20×110-100=600（米）： 将下表信息补充完整： 出发后时长x(分钟) 20 45 90 110 离山脚的相对高度y 300 600 800 600 (米) (4)解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是： 800-600=10(米/分)， 70-50 50+700-600÷10=60(分钟)， 即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度是700米； 100+800-700÷20=105(分钟)， 即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度是700米： 综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度是700米. 22.(1)解：.DM,EN分别垂直平分AC和BC, ∴.AM=CM,BN=CN' .'AB=AM+MN+BN=CM+MN +CN '4CMN的周长为20cm, ∴.CM+MN+CN=20cm ∴.AB=20cm1 (2)解：在△ABC中，∠ACB=106, .∴.∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-106°=74 AM=CM,BN=CN' .∴.∠MCA=∠A,∠NCB=∠B' .∴.∠MCA+∠NCB=∠A+∠B=74 六∠MCN=∠ACB-∠MCA+∠NCB=106-74=32即∠MCN的度数为32. 23.(1)解：1.∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80° :AE平分∠BAC, 6 ·∠BAE=号∠BAC=40 2 (2).AD⊥BC, ∴.∠ADE=90° 而∠ADE=∠B+∠BAD, ∴.∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°， .∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20° (3)能， ,∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C. ∷ AE平分∠BAC, &∠BAE=I∠BAC =h80-∠B-C =90-12B+∠c ,AD⊥BC, ∠ADE=90°， 而∠ADE=∠B+∠BAD, .∠BAD=90°-∠B, ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD =90-2B+∠C-90-2Bl =B-2C ∠B-∠C=40°， 六∠DAE=×40=20. 24,(1)解：图2中，方法1：阴影部分的边长为a-b的正方形，因此面积为(a-b, 方法2：从边长为(a+b的正方形面积减去图1的面积，即(a+bP-4ab ∴.a-b2=a+b2-4ab 故答案为：a-b或a+bP-4ab(a-bP=a+bP-4ab (2)解：由（①可得x-y=x+y2-4xy 72=x+y-4x15, 4 解得：X+y=±8： (3)解：，两块直角三角板全等， ∴.AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD=90 :点A,0,D在同-直线上，点B,0,C也在同-直线上 ,∴.∠AOC=180°-∠COD=90°，∠B0D=∠AOC=90' 设AO=CO=x,BO=DO=y, .∴.AD=AO+OD=x+y=14' :5ac+5a8050,即x+2y=50 2 .x2+y2=100 :(x+y=x2+2y+y2 142=100+2y解得：Xy=48 .SOAB=SaOCD=AOOB=24. 阴影部分的面积为S40AB+S4CD=48 25.(1)证明：.CD⊥CE, ∴.∠DCE=90=∠ACB, .∴.∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB, .∴.∠ACD=∠BCE, 又.'AC=BC,CD=CE, .∴.△CAD≈△CBE SAS: (2)证明：如图2，连接BE,过点A作AHAD, 图2 :ADCE是等腰直角三角形.且∠DCE=90 .∴.CD=CE,∠CDE=∠CED=45°， .·∠ACB=90°=∠DCE, ∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, .∴.∠ACD=∠BCE, 又.'AC=BC, .AACD ABCE (SAS) .∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC, .AD⊥CD, .∴.∠ADC=∠BEC=90°， .∠BEF=∠BEC-∠CED=45°， .·∠ADH=180°-∠ADC-∠CDE=45°， ∴·△ADH是等腰直角三角形， .∴.AH=AD,∠H=45°， .∴.AH=BE，,∠H=∠BEF, 又.·∠AFH=∠BFE, .·△AFH≥ABFE(AAS) ∴.AF=BF, F为线段AB的中点： (3)解：.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .∴.∠CAB=∠CBA=45 .BM‖AC .∴.∠CBM=∠ACB=90' .CF⊥CE' .∴.∠FCE=90°=∠ACB .∴.∠FCE-∠FCB=∠ACB-∠FCB' .∴.∠FCA=∠ECB 又.CA=CB,CF=CE, .·AACF=4 BCE (SAS), 10 .∴.∠CAF=∠CBE=90 .∴.∠DAF=∠CAF-∠CAB=45' :.点F在射线AP上运动， 、.当DF⊥AF时，DP最短， 如图所示，当DF⊥AF时，则△AFD是等腰直角三角形， ∴.AF=DF'∠AFD=90°，∠ADF=45 ∴.∠ODB=∠ADF=45 如图所示，延长FD交BC于点O,过点O作OM/CF交AB于点M, :点D为AB的中点，AC=BC .∴.CD⊥BD'AD=BD' 又.∵∠CBD=45°， ∴，△BDC是等腰直角三角形， ∴.BD=CD=AD :∠0DB=45=1 ∠BDC, 2 .∴.OD⊥BC'OB=OC .∴.∠COD=∠AFD=90°' 又.'∠ODC=∠CDB-BDO=45°=∠FDA, 11 连接CM, .∴.△AFD=△COD (AAS), ∴.DF=DO .OM//CE' .∴.∠DFG=∠DOM'∠DMO=∠DGF' .∴.△DFG≈△DOM (AAS), ∴.FG=OM' 如点C作CNI|AB交MO的延长线于点N, C ---:N M E G A B D M 分 .∴.OM=ON, .MN=OM+ON=2OM=2FG, .'CF‖OM,CN‖AB, ∴.∠GCM=∠NMC,∠CGM=∠BMN=ㄥCNM, 又.'CM=MC, ∴.△CGM=△MNC AAS, ∴.CG=MN, ∴.CG=2FG, 12 90 DH 七年级数学下学期 综合练习卷（3） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚写的诗．苔花的孢子直径约为0.0000084米，将数据0.0000084用科学记数法表示为（        ） A. B. C. D. 2.中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗的基本图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3.如图所示，刘师傅为了检验门框是否垂直于水平地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（       ） A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.经过两点有且只有一条直线 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 4.在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（       ） A.没有加热时，油的温度是 B.加热，油的温度是 C.时间t是自变量，油温y是因变量 D.每隔，油温上升 5.等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（        ） A.8 B. C.8或 D.8或或4 6.在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（       ） A.掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B.从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C.抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D.从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 7.若的结果中不含项，则a的值为（   ） A.0 B.2 C. D. 8.已知，于点E，，，则的度数是（       ） A. B. C. D. 9.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（        ） A. B. C. D. 10.如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.计算：____________． 12.如图，转动转盘一次，当转盘停止后(指针落在等分线上重转)，指针停留的区域中的数字为奇数的概率是______ . 13.电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为________度时，与平行． 14.小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧长度与所挂物体的质量的几组对应值： 所挂物体的质量 弹簧长度 则在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量之间的关系式为       ． 15.如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 _______ ． 三、解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.计算： (1)； (2) ； (3)． 17.如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图： （1）在图中画出关于直线l的轴对称图形； （2）平移，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应； （3）在直线l上找一点M使的值最小． 18.周末不仅是暂停学习的“缓冲带”，更是学生全面发展的重要窗口．理想的周末应平衡休息、社交、兴趣与自主学习，帮助学生在快节奏教育环境中保持身心健康，成长为更具适应力的个体．某校对七年级同学们喜爱的周末活动方式情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了种选项：．电子游戏；．户外运动；．阅读学习；．影视追剧．现收集、整理、分析数据后，绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）参与此次调查的学生总人数为_______人，请补全条形统计图． （2）在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得，求选中周末活动方式为的学生的概率为________． （3）若该校七年级学生共有人，根据本次调查估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有多少人？ 19.如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分． （1）若，，求的度数； （2）若平分，求的度数． 20.如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 21.小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过分钟到达山腰休息平台，休息了分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________________，因变量是_______________； （2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是______________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是_____________米／分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 离山脚的相对高度（米） （4）他们出发后多少分钟，离山脚的相对高度是米．   22.如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 23.如图，在中，，平分，，.求： （1）的度数；     （2）的度数； （3）探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 24.【操作发现】 （1）如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2），那么图2中的阴影部分的面积为：         （用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出之间的等量关系是         ． 【灵活应用】 （2）运用你所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】 （3）将两块全等的特制直角三角板按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接．若，求阴影部分的面积．  25.如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． （1）如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作，且，连接，求证：； （2）如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形．且．延长交于F，证明：F为线段的中点； （3）如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期 综合练习卷（3） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚写的诗．苔花的孢子直径约为0.0000084米，将数据0.0000084用科学记数法表示为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【解答】 解：  故选：B. 2.中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗的基本图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴. 【解答】 解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C.  3.如图所示，刘师傅为了检验门框是否垂直于水平地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（       ） A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.经过两点有且只有一条直线 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】 A 【解析】 根据铅垂线垂直于地面，若门框也垂直于地面，利用垂线的性质“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可判断. 【解答】 ：铅垂线 垂直于水平地面，门框 垂直于水平地面， 过点 有直线 和 都垂直于地面， 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”， 直线 与 重合， 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.  故选：A. 4.在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（       ） A.没有加热时，油的温度是 B.加热，油的温度是 C.时间t是自变量，油温y是因变量 D.每隔，油温上升 【答案】 D 【解析】 本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键. 由表格可得，时间t每增加10s，油温y增加20℃，据此逐一判断即可. 【解答】 解：A：当t=0时，即没有加热时，油的温度是10℃，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加10s，油温y增加20℃， ∴ 加热50s，温度升高了5×20=100℃， ∵ 初始10℃， ∴ y=110℃，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每10s油温上升20℃，而非30℃，符合题意. 故选D. 5.等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（        ） A.8 B. C.8或 D.8或或4 【答案】 D 【解析】 分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，计算出底边长后根据三角形三边关系验证，即可得到结果. 【解答】 解：若2x为腰长，则三边长为2x，2x,x+6，列方程得： 2x+2x+(x+6)=28， 解得x=4.4， 此时三边长为8.8,8.8,10.4， ∵ 8.8+8.8>10.4，满足三边关系，此时底边长为10.4； 若x+6为腰长，则三边长为2x,x+6,x+6，列方程得： 2x+2(x+6)=28， 解得x=4， 此时三边长为8,10,10， ∵ 8+10>10，满足三边关系，此时底边长为8； 若2x=x+6，即已知两边都是腰， 解得x=6，此时两腰长均为12， 则底边长为28-12-12=4， 三边长为12,12,4， ∴ 12+4>12，满足三边关系，此时底边长为4； 综上，底边长度可以为8或10.4或4.  故选：D. 6.在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（       ） A.掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B.从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C.抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D.从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 【答案】 B 【解析】 根据统计图判断频率，计算四个选项的概率，并与频率值判断即可求出答案. 【解答】 解：根据统计图可知，试验结果的频率30% - 40%之间， 设频率为P，则. A、掷一枚质地均匀的骰子出现2点的概率为，不符合题意； B、从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，符合题意； C、抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为，不符合题意. 故选：B.  7.若的结果中不含项，则a的值为（   ） A.0 B.2 C. D. 【答案】 B 【解析】 根据要求结果不含x²项，即展开后x²项的系数为0，列方程求解即可得到a的值. 【解答】 解：先展开并整理原式： 结果中不含x²项， 项的系数为0，即， 解得a=2.  故选：B. 8.已知，于点E，，，则的度数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查平行线的性质，垂线以及三角形的内角和定理，过点H作HM AB，延长EF交CD于点N，由平行线的性质可得HM CD，则可求 ， ，可得 ，再利用三角形的内角和定理即可求 的度数．解答的关键是作出正确的辅助线. 【解答】 解：如图，过H作HM ，延长EF交CD于点N， ，EN 故选：C 9.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据垂直平分线的性质可得，进而推出；结合三角形内角和定理求出的度数；利用角平分线的定义及角的和差关系求出的度数，最后在Rt中利用两锐角互余求出。 【解答】 解：在中，， ， 垂直平分， ，， ， 平分， ， ， ， ，即， 在Rt中，。  故选：A. 10.如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 【答案】 D 【解析】 先证得 ，从而推得 ①正确；利用 及三角形内角和与对顶角，可判断 ②正确；证明 ，得出AM=BD，同理 ，得出NG=AD，AN=CD，则FM=NG，证明 ，得出EM=EN.则可得出 ④正确，由 可得出结论 ③正确，根据全等三角形的性质即可得到 ⑤正确. 【解答】 解： ，即 又 ，故 ①正确； 又 与AC所交的对顶角相等， 与FC所交角等于 ，即等于 ，故 ②正确； 过点F作EM AF于点M，过点G作GN AF交AF的延长线于点N. 过点F作FM AE于点M，过点G作GN AE交AE的延长线于点N， 又 同理 故 ④正确， 故 ③正确. 故 ⑤正确. 故选：D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.计算：______________． 【答案】 【解析】 根据，逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则进行计算即可． 【解答】 解： 故答案为：．  12.如图，转动转盘一次，当转盘停止后(指针落在等分线上重转)，指针停留的区域中的数字为奇数的概率是________ . 【答案】 【解析】 由占圆，与占，可得把数字为的扇形可以平分成部分，即可得转动转盘一次共有种等可能的结果，分别是，，，；然后由概率公式即可求得． 【解答】 解：由图可知，占圆，与各占， ∴ 把数字为的扇形可以平分成部分， ∴ 转动转盘一次共有种等可能的结果， 分别是，，，， 其中是奇数的有，，，有种可能， ∴ 当转盘停止后，指针指向的数字为奇数的概率是：． 故答案为：．  13.电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为____77____度时，与平行． 【答案】 77 【解析】 根据平行线的传递性得出AB∥CD，利用平行线的性质求出∠ACD的度数，结合已知比例关系求出∠ACB的度数，最后根据平行线的性质得出∠MAC的度数. 【解答】 解：设底面为直线l， 因为AB∥l，CD∥l 所以AB∥CD 所以∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补） 因为∠BAC=48°， 所以∠ACD=180°-48°=132° 因为∠ACB:∠BCD=7:5, 设∠ACB=7x°，∠BCD=5x° 因为∠ACD=∠ACB+∠BCD， 所以7x+5x=132 解得x=11 所以∠ACB=7×11°=77° 若AM∥BC， 则∠MAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等） 所以∠MAC=77° 所以当∠MAC为77度时，AM与BC平行.  故答案为：． 14.小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧长度与所挂物体的质量的几组对应值： 所挂物体的质量 弹簧长度 则在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量之间的关系式为        ． 【答案】 【解析】 由题意，依据表格可知，当弹簧不挂物体的长度为，每增加千克物体，弹簧伸长，即可求解弹簧长度与所挂物体的质量之间的关系式． 【解答】 解：由题意，依据表格的数据可知：当弹簧不挂物体的长度为，每增加千克物体，弹簧伸长， 所以， 故答案为：． 15.如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ___1_____ ． 【答案】 1 【解析】 过点B作BE//AC，且 ，在BA上截取 ，连接CH，由SAS可证 ，可得 ，由“SAS”可证 ，可得 ，则 ，即当点C，点E，点H三点共线时， 有最小值，由“ASA”可证 ，可得 ，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形. 【解答】 解：如图：过点B作 ，且 ，在BA上截取 ，连接CH， , ， 在 和 中， (SAS) 在 和 中， (SAS) 当点C，点E，点H三点共线时， 有最小值， 此时， 又 (ASA) 点H是AB的中点， 点P与点H重合， 故答案为：． 三、解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.计算： (1)； (2) ； (3)． 【答案】 4 【解析】 （1） 利用零指数幂、负整数指数幂等知识求解； （2） 利用同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则等计算即可； （3） 利用平方差公式、完全平方公式积单项式与多项式相乘法则解释。 【解答】 解：（1）原式= =4； （2）原式= =  （3）原式= = =. 17.如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图： （1）在图中画出关于直线l的轴对称图形； （2）平移，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应； （3）在直线l上找一点M使的值最小． 【答案】 如图， 即为所求； 如图， 即为所求； 如图，点M即为所求； 【解析】 （1）根据轴对称的性质，画出 即可； （2）根据平移的性质，作图即可； （3）连接 ， 与l的交点即为点M. 【解答】 （1）如图， 即为所求； （2）如图， 即为所求； （3）如图，点M即为所求； 18.周末不仅是暂停学习的“缓冲带”，更是学生全面发展的重要窗口．理想的周末应平衡休息、社交、兴趣与自主学习，帮助学生在快节奏教育环境中保持身心健康，成长为更具适应力的个体．某校对七年级同学们喜爱的周末活动方式情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了种选项：．电子游戏；．户外运动；．阅读学习；．影视追剧．现收集、整理、分析数据后，绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）参与此次调查的学生总人数为___300_____人，请补全条形统计图． （2）在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得，求选中周末活动方式为的学生的概率为___ _____． （3）若该校七年级学生共有人，根据本次调查估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有多少人？ 【答案】 ，见解析 估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有人 【解析】 （1）根据选择活动方式为的学生人数和所占百分比求出学生总人数，得出选择活动方式为的学生人数，即可补全条形统计图； （2）根据概率的计算公式即可求解； （3）先求出选择活动方式为和活动方式为的占比，再乘以即可得出答案． 【解答】 （1）解：参与此次调查的学生总人数为（人）， 选择周末活动方式为的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为： （2）解：在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得，选中周末活动方式为的学生的概率． 故答案为：． （3）解：（人）， 答：估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有人．  19.如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分． （1）若，，求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】 45° 120° 【解析】 （1）根据角平分线的定义得出 ，再根据 ，求出结果即可； （2）设 ，，根据角平分线的定义得出 ，根据 ，列出关于的方程，求出，根据角平分线的定义得出 ，根据 ，求出结果即可. 【解答】 （1）解：平分 ， ， ， ； （2）解：设 ，， ， 平分 ， ， ， ， 解得：， ， ， 平分 ， ， ， ． 20.如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】 见解析 38° 【解析】 （1）先由推出，再根据平行线的性质得到，结合推出，从而证明。 （2）先由，得。进而求得。再根据，即可求解。 【解答】 （1）证明：， ， 。 ， ， 。 （2）解：， 。 ， 。 ， ， ， 。 21.小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过分钟到达山腰休息平台，休息了分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是______出发后的时长__________，因变量是_______离山脚的相对高度_________； （2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是_______15_________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________20________米／分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 离山脚的相对高度（米） （4）他们出发后多少分钟，离山脚的相对高度是米． 【答案】 出发后的时长；离山脚的相对高度 ； 见解析 或 【解析】 （1）由图即可求解； （2）根据速度，并结合图象即可求解； （3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可； （4）根据图象分两种情况：他们登山时或下山时，离山脚的相对高度是米时的出发时间即可． 【解答】 （1）解：该问题情境中，自变量是出发后的时长，因变量是离山脚的相对高度； （2）解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为： （米/分）； 他们下山的相对高度平均变化速度是： （米/分）； （3）解：出发分钟时，离山脚的相对高度为（米）， 出发分钟时，离山脚的相对高度为（米）； 将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 离山脚的相对高度（米） （4）解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是： （米/分）， （分钟）， 即他们出发后分钟，离山脚的相对高度是米； （分钟）， 即他们出发后分钟，离山脚的相对高度是米； 综上分析可知：他们出发后分钟或分钟，离山脚的相对高度是米．   22.如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】 的长为20cm 的度数为32° 【解析】 （1）由题意易得, 则有, 然后根据的周长为20cm进行求解即可; （2）由题意易得, 然后可得, 进而问题可求解. 【解答】 （1）解: 分别垂直平分和, , . 的周长为20cm, , ; （2）解: 在中, , , , , . , 即的度数为32°.   23.如图，在中，，平分，，.求： （1）的度数；     （2）的度数； （3）探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】 解：∵ ， ∴ . ∵ 平分， ∴ . ∵ ， ∴ . 而， ∴ ， ∴ . 能， ∵ ， ∴ . ∵ 平分， ∴ . ∵ ， ∴ ， 而， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ． 【解析】 （1）根据三角形内角和定理得，然后根据角平分线定义得； （2）由于，则，根据三角形外角性质得，所以，然后利用进行计算； （3）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，加上，则，然后利用角的和差得，即的度数等于与差的一半． 【解答】 （1）解：∵ ， ∴ . ∵ 平分， ∴ . （2）∵ ， ∴ . 而， ∴ ， ∴ . （3）能， ∵ ， ∴ . ∵ 平分， ∴ . ∵ ， ∴ ， 而， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ． 24.【操作发现】 （1）如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2），那么图2中的阴影部分的面积为：   或      （用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出之间的等量关系是         ． 【灵活应用】 （2）运用你所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】 （3）将两块全等的特制直角三角板按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接．若，求阴影部分的面积． 【答案】 或; ; ; 48 【解析】 （1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系； （2）利用(1)中关系，整体代入求值即可； （3）根据两块全等的特制直角三角板可得 ，进而得到 ，设 ，根据已知条件 、 列方程求得 ，进而求得阴影部分的面积即可。 【解答】 （1）解：图2中，方法1：阴影部分的边长为 的正方形，因此面积为 ， 方法2：从边长为 的正方形面积减去图1的面积，即 故答案为：或；； （2）解：由(1) 可得 ， ， 解得：； （3）解： 两块直角三角板全等， ， 点 在同一直线上，点 也在同一直线上， ， 设 ， ， ，即 ， ，解得：， ， 阴影部分的面积为 。  25.如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． （1）如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作，且，连接，求证：； （2）如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形．且．延长交于F，证明：F为线段的中点； （3）如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 【答案】 （1）见解答； （2）见证明 （3） 【解析】 （1）先证明 ，再利用SAS即可证明 （2）连接BE，过点A作AH ，交EF的延长线于点H，证明 ，得到AD=BE， ，则可证明 ，证明 是等腰直角三角形，得到AH=AD， ，则可证明 ，推出AF=BF，则F为线段AB的中点； （3）证明 ，得到 ，证明 ，当DF 时，DF最短，证明 是等腰直角三角形；延长FD交BC于点O，过点O作OM//CF交AB于点M，连接CM，证明 是等腰直角三角形，得到BD=CD，则CD=AD，证明 ，得到DF=DO；证明 ，得到FG=OM；过点C作CN 交MO的延长线于点N，证明 ，得到OM=ON，则可证明MN=2FG；再证明 .得到CG=MN，则CG=2FG，即 【解答】 （1） 证明： 又 （2）证明：如图2，连接BE，过点A作AHAD， 图2 是等腰直角三角形，且 又 (SAS) 是等腰直角三角形， 又 (AAS) 为线段AB的中点； （3）解： 在 中，，， ， ， ， ， ， ， ， 又 ，， (SAS)， ， ， 点F在射线AF上运动， 当 时，DF最短， 如图所示，当 时，则 是等腰直角三角形， ，，， ， 如图所示，延长FD交BC于点O，过点O作OM // CF交AB于点M，连接CM， 点D为AB的中点，， ，， 又 ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 又 ， (AAS)， ， ， ，， (AAS)， ， 如 点C作CN || AB交MO的延长线于点N， 又 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期 综合练习卷（3） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚写的诗．苔花的孢子直径约为0.0000084米，将数据0.0000084用科学记数法表示为（        ） A. B. C. D. 2.中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗的基本图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3.如图所示，刘师傅为了检验门框是否垂直于水平地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（       ） A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.经过两点有且只有一条直线 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 4.在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（       ） A.没有加热时，油的温度是 B.加热，油的温度是 C.时间t是自变量，油温y是因变量 D.每隔，油温上升 5.等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（        ） A.8 B. C.8或 D.8或或4 6.在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（       ） A.掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B.从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C.抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D.从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 7.若的结果中不含项，则a的值为（   ） A.0 B.2 C. D. 8.已知，于点E，，，则的度数是（       ） A. B. C. D. 9.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（        ） A. B. C. D. 10.如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.计算：____________． 12.如图，转动转盘一次，当转盘停止后(指针落在等分线上重转)，指针停留的区域中的数字为奇数的概率是______ . 13.电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为________度时，与平行． 14.小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧长度与所挂物体的质量的几组对应值： 所挂物体的质量 弹簧长度 则在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量之间的关系式为       ． 15.如图，在中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 _______ ． 三、解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.计算： (1)； (2) ； (3)． 17.如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图： （1）在图中画出关于直线l的轴对称图形； （2）平移，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应； （3）在直线l上找一点M使的值最小． 18.周末不仅是暂停学习的“缓冲带”，更是学生全面发展的重要窗口．理想的周末应平衡休息、社交、兴趣与自主学习，帮助学生在快节奏教育环境中保持身心健康，成长为更具适应力的个体．某校对七年级同学们喜爱的周末活动方式情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了种选项：．电子游戏；．户外运动；．阅读学习；．影视追剧．现收集、整理、分析数据后，绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）参与此次调查的学生总人数为_______人，请补全条形统计图． （2）在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得，求选中周末活动方式为的学生的概率为________． （3）若该校七年级学生共有人，根据本次调查估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有多少人？ 19.如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分． （1）若，，求的度数； （2）若平分，求的度数． 20.如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 21.小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过分钟到达山腰休息平台，休息了分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________________，因变量是_______________； （2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是______________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是_____________米／分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 离山脚的相对高度（米） （4）他们出发后多少分钟，离山脚的相对高度是米．   22.如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 23.如图，在中，，平分，，.求： （1）的度数；     （2）的度数； （3）探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 24.【操作发现】 （1）如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2），那么图2中的阴影部分的面积为：         （用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出之间的等量关系是         ． 【灵活应用】 （2）运用你所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】 （3）将两块全等的特制直角三角板按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接．若，求阴影部分的面积．  25.如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． （1）如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作，且，连接，求证：； （2）如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形．且．延长交于F，证明：F为线段的中点； （3）如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $