强基培优3　指、对同构问题课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“指、对同构问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了同构原理、六种等价变形及积型、商型、和差型三种基本模式，通过典例分析明确不等式恒成立、函数比较大小等高频题型考查要求，构建系统备考框架。 课件亮点在于“原理拆解+题型分类+真题演练”策略，如通过构造函数f(x)=e^x+x解决e^a+a>b+ln b问题，培养数学思维与模型观念。备选题覆盖选择、填空、解答全题型，详解同构变形技巧，助力学生掌握解题逻辑，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

强基培优 强基培优3　指、对同构问题 备考纵深·高阶思维突破攻略 1．指、对同构的原理 同构法是将不同的代数式(或不等式、方程式)通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．如y＝aea与y＝bln b(可化为ln b·eln b)可以同构为f (x)＝xex． 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 2 2．指、对变形的六种等价形式 (1)ln ex＝x＝eln x(核心公式)； (2)xex＝eln xex＝eln x+x； (3)＝eln x-x； (4)x＋ln x＝ln ex＋ln x＝ln(xex)； (5)x－ln x＝ln ex－ln x＝ln； (6)． 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 3 3．指、对同构的三种基本模式 (1)积型：aea≤bln b 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 4 (2)商型： 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 5 (3)和差型：ea±a>b±ln b 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 6 【典例展示】　(1)(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　) A．a>ln b　　　　　　　 B．a<ln b C．ea>b D．ea<b (2)若关于x的不等式ex-a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________． √ √ (－∞，1] 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 7 (1)AC　(2)(－∞，1]　[(1)法一：由ea＋a>b＋ln b， 可得ea＋a>eln b＋ln b， 令f (x)＝ex＋x，则f (a)>f (ln b)， 因为f (x)在R上单调递增， 所以a>ln b，即ea>b． 法二：由ea＋a>b＋ln b， 可得ea＋ln ea>b＋ln b， 令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)， 因为g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以ea>b，即a>ln b． 8 (2)∵ex-a≥ln x＋a，∴ex-a＋x－a≥x＋ln x， ∴ex-a＋x－a≥eln x＋ln x． 设f (t)＝et＋t，则f '(t)＝et＋1>0， ∴f (t)在R上单调递增， 故f (x－a)≥f (ln x)， 即x－a≥ln x，即x－ln x≥a． 设g(x)＝x－ln x，则g'(x)＝1－， 令g'(x)>0，则x>1；令g'(x)<0，则0<x<1， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)内单调递减， 故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1．] 9 名师点评：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再进行变形．常见的有： ①aeax>ln x⇒axeax>xln x； ②ex>aln(ax－a)－a⇒ex>ln[a(x－1)]－1⇒ex-ln a－ln a>ln(x－1)－1⇒ ex-ln a＋x－ln a>ln(x－1)＋x－1＝eln(x-1)＋ln(x－1)； ③ax>logax⇒exln a>⇒(xln a)exln a>xln x． 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 10 【纵深攻略】 1．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea √ B　[由已知aea<bln b，则ealn ea<bln b． 设f (x)＝xln x，则f (ea)<f (b)．∵a>0，则bln b>0，则b>1． 当x>1时，f '(x)＝ln x＋1>0， 则f (x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ea<b．故选B．] 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 11 2．已知函数f (x)＝对x∈(0，e]恒成立，则a的取值范围为_____________． 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 12 ．] 13 一、单项选择题 1．不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是 (　　) A．f (x)＝ln x＋x B．f (x)＝xln x C．f (x)＝xex D．f (x)＝ 题号 1 3 5 2 4 6 7 教用备选题·强基培优(三)　指、对同构问题 √ 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 14 A　[由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax， 所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ln eax＋eax>ln(bx)＋bx， 构造函数f (x)＝ln x＋x，f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 可得f (eax)>f (bx)．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 7 题号 2 1 3 4 5 6 7 2．若不等式xex－x－ln x－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为 (　　) A．(0，1] B．(0，e－1] C．(－∞，1] D．(－∞，e－1] √ 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 16 C　[因为xex－x－ln x－a≥0，所以eln x+x－(ln x＋x)－a≥0． 令t＝ln x＋x，则et－t－a≥0恒成立， 则a≤et－t恒成立，令φ(t)＝et－t，则φ'(t)＝et－1， 当t∈(－∞，0)时，φ'(t)<0；当t∈(0，＋∞)时，φ'(t)>0， 所以φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以φ(t)min＝φ(0)＝1，所以a≤1，故实数a的取值范围为(－∞，1]．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 7 17 3．已知x∈N，y∈N，x<y，则方程xy＝yx的解的组数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无穷多个 题号 2 1 3 4 5 6 7 √ 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 18 B　[ xy＝yx，两边取自然对数，得yln x＝xln y，即 ，所以满足x∈N， y∈N，x<y的方程xy＝yx的解的组数为1．] 题号 2 1 3 4 5 6 7 19 4．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是(　　) A．x>y B．x>ln y C．x<y D．x<ln y 题号 2 1 3 4 5 6 7 √ B　[不等式ex＋ln y>x＋y等价于ex－x>y－ln y，令f (x)＝ex－x，x>0， 则f (ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y， ∴不等式ex－x>y－ln y等价于f (x)>f (ln y)， ∵f '(x)＝ex－1， 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 20 ∴当x∈(0，＋∞)时，f '(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)， 由f (x)>f (ln y)有x>ln y， 若y∈(0，1]，则ln y≤0，由x>0，有x>ln y． 综上所述，x>ln y．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 7 21 二、填空题 5．已知当x≥e时，不等式xa＋≥aln x恒成立，则正实数a的最小值为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 7 ≤xa－aln x，即≤xa－ln xa， 设f (x)＝x－ln x，则当x≥e时，f ≤f (xa)恒成立， 因为f '(x)＝1－，所以函数f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为x≥e，a>0，所以>1，xa>1， 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 22 因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以≤xa， 两边取对数，得≤aln x，因为x≥e，所以a≥， 令h(x)＝xln x，x≥e，h'(x)＝ln x＋1>0， 所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(e)＝e， 所以0<，所以a≥， 所以正实数a的最小值为．] 题号 2 1 3 4 5 6 7 23 6．已知实数x1，x2满足＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 7 4　[由＝4，故x1>0， 由ln x2＝＝4， 可得·ln >0， 令f (x)＝xex，则f (x1)＝f (ln )， 4 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 24 f '(x)＝(x＋1)ex， 当x>0时，f '(x)>0， 所以函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 由f (x1)＝f (ln ， 所以， 因为x1＝4．] 题号 2 1 3 4 5 6 7 25 三、解答题 7．已知函数f (x)＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f (x)≤eax恒成立，求a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 7 [解]　由题知f (x)的定义域为(0，＋∞)． 由f (x)≤eax，可得x2＋2ln x≤eax＋ax， 即＋ln x2≤eax＋ax． 令g(x)＝ex＋x，易知g(x)为增函数． 教用备选题·强基培优 强基培优3　指、对同构问题 26 由＋ln x2≤eax＋ax，可得g(ln x2)≤g(ax)， 则ln x2≤ax，即． 设h(x)＝，当x>e时，h'(x)<0，h(x)单调递减， 当0<x<e时，h'(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)max＝h(e)＝， 所以． 题号 2 1 3 4 5 6 7 27 谢 谢 ！ $