素能培优(4)　三角函数解析式中“ω”“φ”的范围问题专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数解析式中“ω”“φ”范围问题，依据高考评价体系梳理周期、单调性、奇偶性、最值、零点五大核心考点，通过近五年真题分析明确高频考查方向，归纳五种常考题型并配套例题解析与对点训练，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+素养提升”策略，如以2023新高考Ⅰ卷零点问题为实例，运用整体换元法构建“t=ωx+φ”分析框架，培养数学思维与数学语言表达素养。特设“思维升华”模块总结解题通法，助力学生掌握答题技巧，教师可依托此课件实现系统复习与高效教学。

素能培优(四)　三角函数解析式中“ω”“φ”的范围问题 2027 在三角函数的图象与性质问题中,求ω,φ的值或取值范围是高考命题的一个热点,与其相关的问题灵活多样,涉及的知识点多,历来是学习的难点,以下举例说明在不同条件下ω,φ的值与范围问题的不同求法. 题型一　根据函数的周期求ω 例1　(2026·浙江绍兴模拟)若函数f(x)=sin ωxsin(ωx+)(ω>0)图象上,相邻两个对称中心之间的距离等于,则ω的值等于(　　) A. B.3 C.4 D.6 B 解析 由于f(x)=sin ωxsin(ωx+)=sin ωxcos ωx=sin 2ωx,所以函数f(x)的最小正周期为T=.又因为相邻两个对称中心之间的距离等于,所以最小正周期为,因此,所以ω=3.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 思维升华　在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期与ω的值密切相关,所以根据函数的周期,可以由公式T=来确定ω的值或取值范围. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练1]若函数y=2cos(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,]上是单调函数,则实数ω的取值范围是(　　) A.(0,2] B.[2,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) C 解析 由于余弦函数的单调区间的最大长度为最小正周期的一半, 因此-0,即,所以0<ω≤4.故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二　根据函数的单调区间求ω,φ 例2　(1)(2026·广东湛江模拟)已知函数f(x)=2 025sin(ωx+)(ω>0)在区间 (-)上单调递增,则ω的最大值为(　　) A. B. C.1 D. C 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 因为x∈(-),且ω>0,则ωx+∈(-ω+ω+).由于函数f(x) =2 025sin(ωx+) (ω>0)在区间(-)上单调递增,且0∈(-ω+ω+),则解得0<ω≤1,所以ω的最大值为1.故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(2025·山西太原模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为,将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象在区间[]上单调递增,则φ的取值范围为(　　) A.[] B.[] C.[] D.[] B 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 设函数的最小正周期为T,由题意知,所以T=π=,得ω=2,所以f(x)=cos(2x+φ),于是g(x)=cos[2(x-)+φ)=cos(2x+φ-).由2kπ-π≤2x+φ- ≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即g(x)的单调递增区间为 [kπ-,kπ+](k∈Z),所以有[]⊆[kπ-,kπ+](k∈Z), 因此(k∈Z),所以2kπ-≤φ≤2kπ-(k∈Z).因为0<φ<π,所以≤φ≤.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 思维升华　根据函数的单调性确定ω,φ的方法 (1)通过单调区间的长度与周期的大小关系建立不等式(组)确定ω,φ的取值范围; (2)通过整体换元根据所给单调区间与正弦函数单调区间端点的包含关系建立不等式(组)确定ω,φ的取值范围. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练2](2025·重庆模拟)若函数f(x)=sin(2x-φ)(0≤φ<π)在区间(0,)上单调递增,则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. B 解析 令2kπ-≤2x-φ≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).由于f(x)在区间(0,)上单调递增,所以kπ-≤0<x<≤kπ+(k∈Z),即-kπ+≤-kπ+(k∈Z).因为0≤φ<π,所以当k=0时,φ的最小值为.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型三　根据函数的奇偶性与对称性求ω,φ 例3　(1)(2025·河南南阳期中)将函数f(x)=cos2x-sin2x的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)为偶函数,则实数φ的值为(　　) A. B. C. D. B 解析 由题可得,f(x)=cos 2x,则g(x)=f(x+φ)=cos 2(x+φ)=cos(2x+2φ).因为函数g(x)为偶函数,所以2φ=kπ(k∈Z),而0<φ<π,则k=1,φ=,所以实数φ的值为.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(2026·湖南岳阳期末)若函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的图象关于直线x=-对称,则ω的最小值等于　　　　.  解析 因为函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的图象关于直线x=-对称,所以-ω- =kπ+(k∈Z),解得ω=-6k-(k∈Z).由于ω>0,所以当k=-1时,ω取最小值,此时ω=. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 思维升华　根据函数的奇偶性与对称性求ω,φ (1)已知函数的奇偶性时,可根据函数为奇、偶函数的充要条件得到关于ω,φ的条件等式,进而求出ω,φ的值或取值范围. (2)已知函数的对称轴(对称中心)时,可整体换元,然后根据函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴方程(对称中心坐标)得到关于ω,φ的条件等式,进而求出ω,φ的值或取值范围. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练3](1)(2026·四川成都期末)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在区间[]上恰好存在两条对称轴,则ω的取值范围为(　　) A.(0,4] B.[4,+∞) C.[4,12] D.[4,12) D 解析 函数的最小正周期为T=,因为函数在区间[]上恰好存在两条对称轴,且区间[]的长度为,所以T,即,解得4≤ω<12.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(2025·湖北武汉模拟)将函数f(x)=2tan(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则ω的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. B 解析 函数f(x)=2tan(ωx+) (ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)=f(x+)=2tan[ω(x+)+]=2tan(ωx+)的图象.由g(x)为奇函数,则,则ω=-(k∈Z).因为ω>0,所以ω的最小值是1.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四　根据函数的值域与最值求ω,φ 例4　(2025·河南郑州期中)已知函数f(x)=2sin(ωx-)(ω>0)在区间[0,]上的值域为[-1,2],则ω的取值范围为(　　) A.[,2] B.[] C.[] D.[] B 解析 由x∈[0,]及ω>0可得ωx-∈[-ω-].因为函数f(x)的值域为[-1,2],且2sin(-)=-1,则由正弦函数图象性质可得ω-≤π+,即,解得≤ω≤.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 思维升华　若已知三角函数的最值,则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系,列出关于参数的不等式(组),进而求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练4](2025·安徽安庆期末)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的图象关于点(,0)对称,且f(x)在区间(0,)上没有最小值,则ω的值为(　　) A. B. C. D. B 解析 由题可得,f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1=cos 2ωx+sin 2ωx=sin(2ωx+).因为f(x)的图象关于点(,0)对称,所以f()=sin()=0,故=kπ (k∈Z),即ω=2k-(k∈Z).当2ωx+=-+2kπ,即x=-(k∈Z)时,函数f(x)取得最小值.因为f(x)在区间(0,)上没有最小值,所以,即ω≤.由ω=2k-,解得k≤,故k=1,得ω=.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五　根据函数的零点求ω,φ 例5　(1)(2025·江苏苏州三模)设函数f(x)=2sin(x+φ)-1,若f(x)在区间[0,5π]上恰有3个零点,则φ的取值不可以为(　　) A.0 B. C. D. C 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 当x∈[0,5π]时,x+φ∈[φ,φ+],因为f(x)在区间[0,5π]上恰有3个零点,f(x)=2sin(x+φ)-1=0,即存在3个不同的解使得sin(x+φ)=.当φ=0时,x∈[0,],所以满足sin(x)=的值有;当φ=时,x+∈[],所以满足sin(x+)=的值有0,,4π;当φ=时,x+∈[],所以满足sin(x+)=的值有,不符合题意;当φ=时,x+∈[],所以满足sin(x+)=的值有π,,5π.故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(2023·新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　　.  [2,3) 解析 由题意可知,要使函数f(x)=cos ωx-1在[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cos ωx的图象在[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cos ωx的最小正周期为T,如图(草图), 要满足题意,需要2T≤2π<3T,即<T=≤π,解得2≤ω<3. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 思维升华　研究函数零点时,一般都是采用整体换元t=ωx+φ的思想方法,而ωx+φ的取值情况与函数的零点情况紧密相关,所以可根据函数零点的情况来确定ωx+φ的值或取值范围,从而求得ω,φ的值或取值范围. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练5](2022·全国甲,理11)设函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是(　　) A.[) B.[) C.(] D.(] C 解析 设ωx+=t,由x∈(0,π),得t∈(,πω+).因为有两个零点,可得2π<πω+≤3π,即<ω≤.又因为有三个极值点,(sin t)'=cos t,即y=cos t在(,πω+)上有三个零点,所以<πω+,解得<ω≤.综上可得<ω≤.故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 $