素能培优(5)　三角形的特殊线段问题专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角形特殊线段（中线、角平分线、高线）问题，依据高考评价体系梳理了解三角形与正弦余弦定理、面积公式、平面向量的交汇考查要求。通过2023全国甲卷、2025模拟题等真题分析，明确三类线段问题为高频考点，归纳一题多解题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养提升”策略，如例2（2023全国甲卷角平分线问题）运用角平分线定理、等面积法突破，培养数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（公式表达）。思维升华总结向量法、构造平行四边形等技巧，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准指导复习。

素能培优(五)　三角形的特殊线段问题 2027 三角形的中线、角平分线、高线这三种特殊线段在解三角形问题中出现频率较高,也是一个比较重要的知识交汇点,与正弦、余弦定理,面积公式,平面向量等都有联系,以下通过例题介绍这类问题的常见解法. 题型一　三角形中的中线问题 例1　(2025·黑龙江齐齐哈尔三模) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为a(csin C+bsin B -asin A).若a=2,且△ABC的周长为5,则BC边上的中线AD=　　　　.  题型一 题型二 题型三 解析 依题意,a(csin C+bsin B-asin A)=absin C, 所以csin C+bsin B-asin A=bsin C. 由正弦定理可得c2+b2-a2=bc. 由余弦定理得cos A=. 又A∈(0,π),所以A=.因为a=2,所以b+c=5-2=3. 又a2=c2+b2-bc=(b+c)2-3bc,解得bc=. (方法1)由于), 所以)2=,故AD=. 题型一 题型二 题型三 (方法2)在△ABD和△ACD中,由余弦定理得cos∠ADB=,cos∠ADC=. 由于∠ADB+∠ADC=π, 所以cos∠ADB+cos∠ADC=0, 整理得2AD2+BD2+CD2=b2+c2,即2AD2=b2+c2-2=(b+c)2-2bc-2 =32-2×-2=,解得AD=. 题型一 题型二 题型三 (方法3)延长中线AD到E,使得AD=DE,连接BE,CE,则四边形ABEC是平行四边形,所以在△ABE中,AB=c,BE=b,∠ABE=180°-60°=120°,所以由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos∠ABE=c2+b2+bc=(b+c)2-bc=32-, 于是AE=,故AD=AE=. 题型一 题型二 题型三 思维升华　解决三角形中线问题的基本方法 (1)运用余弦定理:若AD是△ABC的BC边上的中线,则在△ABD中,由余弦定理得cos B=,联立得关系式AB2+AC2=2(BD2+AD2). (2)运用平面向量:若AD是△ABC的BC边上的中线,则在△ABC中,由(b2+c2+2bccos A). (3)构造平行四边形:延长中线AD到E,使得AD=DE,构造平行四边形ABEC,然后在△ABE(或△ACE)中运用余弦定理求得AD. 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](2025·辽宁锦州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+1=tan Btan C. (1)求A; (2)若a=2,求BC边上的中线AD的最大值. 题型一 题型二 题型三 解 (1)∵+1=, ∴2(cos Bcos C-sin Bsin C)=2cos(B+C)=2cos(π-A)=-2cos A=-1, ∴cos A=.又A∈(0,π),∴A=. (2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c=2时,等号成立,∴b2+c2=4+bc,bc≤4.∵), ∴+2)=(b2+c2+2bccos A) =(b2+c2+bc)=(4+2bc)≤×(4+8)=3, ∴||≤,即AD的最大值为. 题型一 题型二 题型三 题型二　三角形中的角平分线问题 例2　(2023·全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  2 题型一 题型二 题型三 解析 (方法1)由题意,在△ABC中,AB=2,BC=,∠BAC=60°, 由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,解得AC=+1, 由正弦定理得,,解得C=45°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°. 如图,过点D作DE⊥AC于点E,设DE=t,由几何知识得,AD=2t,AE=t,CE=DE=t,∴AC=AE+CE=t+t=+1,解得t=1,∴AD=2t=2. 题型一 题型二 题型三 (方法2)由方法1知,AC=+1, ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴AB·ACsin 60°=AB·ADsin 30°+AC·ADsin 30°, ∴×(+1)=AD+AD,解得AD=2. (方法3)由方法1知,AC=+1. 由角平分线定理得-1. 又BC=,∴BD=,DC=, 于是+(1-, 则|=[+(1-2=|2+(1-)2||2+2××(1-×4+×(+1)2+2××(1-)×(+1)=4,故||=2,即中线AD=2. 题型一 题型二 题型三 (方法4)由方法1知,AC=+1. 由角平分线定理得-1. 又BC=,∴BD=,DC=. 设AD=x,在△ADB和△ADC中,由余弦定理可得cos∠ADB=,cos∠ADC=. 由于cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以=0,解得x=2,故AD=2. 题型一 题型二 题型三 教考链接 (人教B版必修第四册复习题A组第7题)已知AD是△ABC的角平分线,且AC=2,AB=3,A=60°,求AD的长. 解 由于S△ABC=S△ADB+S△ADC,所以AB·AC·sin∠BAC=AB·AD·sin∠BAD+AC·AD·sin∠CAD. 又因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=∠CAD=30°, 即3×2sin 60°=3×ADsin 30°+2×ADsin 30°, 解得AD=. 题型一 题型二 题型三 思维升华　求解三角形角平分线问题的常用方法 题型一 题型二 题型三 [对点训练2](2026·浙江湖州期末)在△ABC中,∠A=60°,a=2,∠A的平分线AD交边BC于点D,若△ABC的面积为2,则AD的长为(　　) A. B. C.3 D. B 解析 设AD=x,由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得bcsinc·x·sinb·x·sin =2,可得(b+c)x=8,bc=8.由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc =(2)2,即(b+c)2-24=12,解得b+c=6,代入(b+c)x=8中,可得x=.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型三　三角形中的高线问题 例3　(2025·河北石家庄模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=3,b=2,∠BAC的角平分线AD的长为,则BC边上的高线AH的长为(　　) A. B. C.2 D. B 题型一 题型二 题型三 解析 由题意知,设∠BAD=∠CAD=α,则∠BAC=2α.如图所示,由S△ABC=S△ABD+S△ACD,可得×3×2sin 2α=×3×sin α+×2×sin α,整理得3sin 2α=2sin α,即sin α(3cos α-)=0.又因为sin α≠0,所以cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=,所以sin 2α=.在△ABC中,由余弦定理,得a2=32+22-2×3×2cos 2α=13-4=9,所以a=3.因为 S△ABC=bcsin 2α=a·AH,则×3×2××3·AH,解得AH=.故选B. 题型一 题型二 题型三 思维升华　1.设h1,h2,h3分别为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3 =. 2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边的长度. 高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关. 题型一 题型二 题型三 [对点训练3](2023·新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 题型一 题型二 题型三 解 (1)(方法1)由题意知,A+B=3C, ∵A+B+C=π,∴C=,A+B=. 由2sin(A-C)=sin B,得2sin(A-)=sin(-A)=sin[π-(A+)]=sin(A+), ∴2(sin Acos-cos Asin)=sin Acos+cos Asin, ∴2(sin A-cos A)=sin A+cos A, ∴sin A=3cos A. 由sin2A+cos2A=1,得sin2A=. ∵A∈(0,π),∴sin A=. 题型一 题型二 题型三 (方法2)∵A+B=3C,A+B+C=π, ∴C=,B=3C-A. ∵2sin(A-C)=sin B,∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin(-A), ∴2sin Acos C-2cos Asin C=sincos A-cossin A. 代入数据,得sin A-cos A=cos A+sin A. 整理得sin A=cos A, ∴tan A=3. ∵0<A<π,∴sin A=. 题型一 题型二 题型三 (2)过点C作AB的垂线,垂足为点D,则CD为AB边上的高.AB=5, 由正弦定理,得, 故BC==3. ∵sin A=,由(1)知A∈(0,), ∴cos A=,∴sin B=sin(-A)=sincos A-cossin A =, ∴CD=BCsin B=3=6. 综上,AB边上的高为6. 题型一 题型二 题型三 $