第07讲 基本不等式 讲义-2026年初升高数学衔接

第07讲 基本不等式 基●础●知●识 一、基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：，（当且仅当时取""号）. 常见变形公式： 基本不等式：，（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式：. 【注意】 （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 （1）同号）； （2）异号）； （3）或 二、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. （1）一正：各项均为正数； （2）二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； （3）三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设为正实数，若（和为定值），则当时，积有最大值，且这个值为. （2）设为正实数，若（积为定值），则当时，和有最小值，且这个值为. 题●型●破●译 题型01 基本不等式内容及辨析 【典例01】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的内容及辨析、基本不等式的实际应用 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 【变式01】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【知识点】基本不等式的内容及辨析、基本不等式求和的最小值、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 【变式02】已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的内容及辨析、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 题型02 直接利用基本不等式求最值 【典例01】已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 【变式01】已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式02】若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为. 故选：B. 题型03 配凑法求最值 【典例01】已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当且仅当时，取得最小值. 【变式01】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【变式02】已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】变形应用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 题型04 “1”的妙用 【典例01】设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算求解. 【详解】， 当且仅当，时取等． 【变式01】已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 【变式02】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 题型05 一次比二次型 【典例01】若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 【变式01】函数的最小值及取得最小值时的值为（   ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】对于函数，可将其化简为，然后利用基本不等式（当且仅当时取等号）来求函数的最小值. 【详解】化简函数, 因为，根据基本不等式则. 所以. 当且仅当时取等号，解方程，得到，解得. 故函数的最小值为，取得最小值时的值为. 故选：D. 【变式02】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 题型06 和、积、平方转换型 【典例01】已知，且，则有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值1 D．最小值1 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】等式可化为，再利用基本不等式代入求解即可． 【详解】， 即， ，，当且仅当时取等， ， 解得，当且仅当时取等， 则有最大值，无最小值． 故选：A． 【变式01】已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，通过换元法转化为一元二次不等式求解的取值范围. 【详解】已知，得：， 设（），则，不等式变为：， 整理得： ， 因为，所以，不等式等价于，解得， 因为，所以. 故选：C. 【变式02】已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 题型07 因式分解型 【典例01】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据题意，化简题设条件为，又由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【变式01】若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】把原等式化为，再利用代换法，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是. 故选：D 【变式02】若正数满足，则的最小值是（   ） A．7 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意可得：，代入中化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 则， 当且仅当时，即时等号成立， 故选：A． 题型08 对勾函数应用 【典例01】已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D. 【变式01】函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对勾函数求最值 【分析】令，将原式整理成，利用对勾函数能得到在上单调递减，且没有最大值，即可得到答案 【详解】解：令，所以， 因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值， 所以 所以， 故选：D 【变式02】下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对勾函数求最值 【分析】应用特殊值及基本不等式判断各选项的最小值是否为即可. 【详解】A：当取负数，显然函数值小于，不符合； B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合； C：当时，，不符合； D：同A，当取负数，显然函数值小于，不符合； 故选：B. 题型9 基本不等式恒成立问题 【典例01】已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、条件等式求最值 【分析】先根据基本不等式求出的最小值，再结合条件求出参数的取值范围； 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 【变式01】若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 【变式02】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 题型10 基本不等式实际应用 【典例01】下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为7 B．当时，的最小值是4 C．设，，且，则的最小值是 D．当时，的最小值是3 【答案】BC 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】对于A，由，得 ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，，得， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，则， 当且仅当，即时取等号，D错误. 【变式01】下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】ACD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】对于A：因为，根据均值不等式：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然无解， 所以的最小值取不到2，故B错误； 对于C：因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为8，故D正确. 【变式02】设均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为9 B．若，则的最小值为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BC 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为均为正实数，则，解得：，即，当且仅当时等号成立，则的最小值为，故A不正确； 对于B,若，则，当时,取最小值为，故B正确； 对于C，令,则, 因为,当且仅当时等号成立， 则,当且仅当时取等号， 所以的最小值为,故C正确； 对于D，若，则, 所以 因为， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，故D不正确. 故选：BC 题型11 基本不等式综合运用 【典例01】中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 【变式01】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【变式02】某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【知识点】基本不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由，结合一元二次不等式求解即可； （2）由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 题●型●巩●固 1. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的内容及辨析、基本不等式的实际应用 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 2. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的内容及辨析、由基本不等式证明不等关系 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 3. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的内容及辨析、由基本不等式证明不等关系 【分析】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 5. 若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 6. 已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ， ， ，即，解得， 当时，取等号，故D正确． 故选：D． 7. 已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，则，充分性成立； 若，取，满足条件， 则，不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 34．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 8. 已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】通过变形将原式转化为含正数项的形式，再利用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 9. 若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】凑出和为定值后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 10. 已知是两个正数，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于是两个正数，故， 当且仅当，即时取到等号， 故选：A 11. 已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由题意可得且， 所以， 当且仅当，即时,即时等号成立. 故选：C 12. 若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为正数，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 13. 已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 14. 函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 15. 若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 16. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 17. （多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于B：因为且，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于D：由C可知错误 18. 已知，是两个不同的正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】将，变形为，构造的表达式并展开，结合基本不等式求解最小值. 【详解】由可得，，， 则， 当且仅当时取等号． 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 19. 已知，且，则的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式中“1”的妙用，求的最小值即可． 【详解】已知，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9． 故选：C． 20. 下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 21. 已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】对勾函数求最值 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 22. 函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】对勾函数求最值 【分析】先判断在上单调递增，再由单调性求最值即可 【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 故选：C 23. 设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求积的最大值 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 24. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 25. 已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 26. （多选题）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题意得且，对于选项A，结合基本不等式，即可推导的最值；对于选项B，可将变形为，再利用基本不等式求解最小值；对于选项C，可利用代入转化为二次函数求解最小值；对于选项D，结合将原分式转化为单变量函数，再用换元法结合基本不等式求解最小值 【详解】由题意得且， 对A，由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，最大值为，A错误 对B，，， 所以，当且仅当即等号成立，最小值为，B正确 对C，代入得开口向上，对称轴，代入得最小值为，C错误 对D，代入得， 令，则 其中，当且仅当即时取等号， 所以 即的最小值为，D正确 27. （多选题）下列说法中错误的有（   ） A．若集合中只有一个元素，则 B．命题p：，都有，则命题p的否定：，使得 C．已知，则最小值为 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AB 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、基本不等式求和的最小值、全称命题的否定及其真假判断、探求命题为真的充要条件 【分析】需要根据方程根的情况、命题的否定、基本不等式、以及充分必要条件的判断，逐个分析每个选项，来判断其正误. 【详解】对于选项A：集合中只有一个元素，分两种情况： 当时，方程为，方程有唯一解； 当时，判别式，得，此时方程有两个相等的实根. 即或，故A错误； 对于选项B：全称命题的否定应为，故B错误； 对于选项C：时，，令，则，代入得 ， 当且仅当即时取等号，所以最小值是，故C正确； 对于选项D：方程有一正一负根的充要条件是两根之积， 当时，判别式恒成立， 故“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AB 28. （多选题）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、利用不等式求值或取值范围 【分析】对于A，将代入后即可验证得解；对于B，利用换元法，最终将表示为，再利用对勾函数的性质求值域即可；对于C，直接应用基本不等式即可；对于D，利用消元法及基本不等式，即可得解. 【详解】对于A：因为，故， 因此，故A正确； 对于B：因为，，故，. 令，则，且， 则， 由对勾函数的性质，易知在上单调递减，在上单调递增， 又因为，故在上的值域为， 故当时，，即，即的值域为，故B错误； 对于C：由A可知，，， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D：由A可知，，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 29. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 30. 某商场预计全年分批购入每台价值为4000元的电视机共3600台.每批都购入x台，且每批均需付运费400元.贮存购入的所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元. (1)求k的值； (2)现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 【答案】(1) (2)安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 【知识点】基本不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意列出关于“每批购入400台时的全年所需运输和保管总费用”的关系式，从而求得k的值； （2）根据题意列出关于“每批购入台时的全年所需运输和保管总费用”的关系式，再根据基本不等式求出最小值，与24000元比较后进行判断. 【详解】（1）由题可知：，解得：. （2）安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 由题可知：若每批都购入台，则全年所需运输和保管总费用为：. 因为， 当且仅当时，等号成立. 所以安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. $ 第07讲 基本不等式 基●础●知●识 一、基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：，（当且仅当时取""号）. 常见变形公式： 基本不等式：，（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式：. 【注意】 （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 （1）同号）； （2）异号）； （3）或 二、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. （1）一正：各项均为正数； （2）二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； （3）三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设为正实数，若（和为定值），则当时，积有最大值，且这个值为. （2）设为正实数，若（积为定值），则当时，和有最小值，且这个值为. 题●型●破●译 题型01 基本不等式内容及辨析 【典例01】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【变式01】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【变式02】已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 题型02 直接利用基本不等式求最值 【典例01】已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式01】已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【变式02】若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型03 配凑法求最值 【典例01】已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式01】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型04 “1”的妙用 【典例01】设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式01】已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【变式02】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 题型05 一次比二次型 【典例01】若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【变式01】函数的最小值及取得最小值时的值为（   ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【变式02】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型06 和、积、平方转换型 【典例01】已知，且，则有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值1 D．最小值1 【变式01】已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 题型07 因式分解型 【典例01】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式01】若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式02】若正数满足，则的最小值是（   ） A．7 B．12 C．15 D．16 题型08 对勾函数应用 【典例01】已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式01】函数的值域（    ） A． B． C． D． 【变式02】下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 题型9 基本不等式恒成立问题 【典例01】已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式01】若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 题型10 基本不等式实际应用 【典例01】下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为7 B．当时，的最小值是4 C．设，，且，则的最小值是 D．当时，的最小值是3 【变式01】下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【变式02】设均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为9 B．若，则的最小值为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为 题型11 基本不等式综合运用 【典例01】中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【变式01】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【变式02】某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 题●型●巩●固 1. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 2. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 5. 若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7. 已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8. 已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 9. 已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10. 若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11. 已知是两个正数，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．4 D． 12. 已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 13. 若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 14. 已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 15. 函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 16. 若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 17. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 18. （多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 19. 已知，是两个不同的正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 20. 已知，且，则的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 21. 下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 22. 已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 23. 函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 24. 设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 25. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26. 已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27. （多选题）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 28. （多选题）下列说法中错误的有（   ） A．若集合中只有一个元素，则 B．命题p：，都有，则命题p的否定：，使得 C．已知，则最小值为 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 29. （多选题）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 30. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 31. 某商场预计全年分批购入每台价值为4000元的电视机共3600台.每批都购入x台，且每批均需付运费400元.贮存购入的所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元. (1)求k的值； (2)现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $