专题08 二次函数与一元二次方程、不等式（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题08 二次函数与一元二次方程、不等式 1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义 2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性 3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 对点集训一：一元二次不等式（不含参）的求解 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】依据题意利用十字相乘法求解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 则不等式的解集为或，故B正确. 故选：B 例题2．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 精练 1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以或， 故不等式的解集为或. 故选：B. 3．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】按照求一元二次不等式解集的方法求解即可. 【详解】解不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 对点集训二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：二次项系数不含参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·期中）当时，不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】依题意，，且函数的开口向下，两个零点为和， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例题2．（23-24高二上·河南周口）求不等式的解集． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可. 【详解】不等式，可化为， 即， 令，解得，， 当时，，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 精练 1．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集. 【详解】当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 角度2：二次项系数含参 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 例题2．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 精练 1．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 2．（24-25高一上·浙江丽水·期中）已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程根之间的关系，可得，即可由因式分解求解不等式的解， （2）利用因式分解即可求解. 【详解】（1）∵不等式的解集为， ∴，且，是方程的两根， 则，解得， 则有，所以，解得或 故不等式的解集为或 （2）由（1）可知：， 故不等式， 即，又，∴不等式， 方程的两根为，， 又，得， ∴不等式解集为． 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知． (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法计算即可； （2）带着参数分类讨论解不等式即可； 【详解】（1）当时，， 则； （2）易知， 若，则， 若，则或， 若，则，此时， 若，此时， 若，则，此时， 综上所述：时，解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为； 对点集训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据给定的解集，用表示，代入并解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 则，且是方程的两根， 则，即， 不等式可化为，即， 解得或， 故不等式的解集是或. 故选：D. 例题2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系求得，再代入不等式，化简求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个根，且， 由韦达定理得，所以， 所以不等式，又， 则，即， 解得，所以不等式的解集是. 故选：B. 精练 1．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】∵， ∴，又， 所以不等式的解为或． 故选：C． 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 对点集训四：分式不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解. 【详解】原不等式即为即，故， 故， 故选：D. 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式化为整式不等式求解即可. 【详解】由，则， 不等式等价于且，得， 所以不等式解集为. 故答案为：. 精练 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于不等式，解得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于，解得或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】利用分式不等式解法即可求得结果. 【详解】等价于，即， 得到,解得：， 故不等式的解集为. 故答案为： 对点集训五：不等式恒成立问题 角度1：判别法 典型例题 例题1．（2025高一上·河北保定·专题练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和，当，利用条件得到，即可求解. 【详解】当时，得到，不合题意， 当时，由题知，解得， 故选：A. 例题2．（24-25高一上·福建厦门·期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据即可求解. 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为:. 精练 1．（24-25高一上·山东德州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，对于方程，， 解得，则实数的取值范围为， 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】易知当时符合题意，当时，根据一元二次不等式恒成立建立关于的不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，不等式对恒成立， 当时，不等式变形为，恒成立； 当时，对于方程， 有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】讨论和两种情况讨论不等式恒成立问题，即可列式求解. 【详解】当时，，不对任意的恒成立，不符合； 当时，由题可知，且，解得，故实数的最大值是. 故答案为： 角度2：分离变量法 典型例题 例题1．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·山西·期中）（1）解关于的不等式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由，，讨论即可；（2）转化成，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式可化为， ①时，解不等式得， ②时，，解不等式得， ③时，解不等式得. 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为； （2）由题意，不等式即恒成立， 所以， 又（当且仅当，即时取“”）， 所以实数的取值范围为. 精练 1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】利用分离常数法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【详解】当时，恒成立；当时，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 故选：B 2．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 对点集训六：一元二次不等式的实际问题 典型例题 例题1．（2024高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    【答案】 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可； 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则 ， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为： 精练 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】过点作垂线，易得两组相似三角形，得到等式，结合分式等式的性质，得出，从而得出内接矩形的长与宽的关系式，再根据题意建立不等式，解不等式得解. 【详解】 如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点 设矩形的另一边长为， 易知,          由三角形相似知，，所以 即，所以， 由题意，所以，即，解得, 故选：C 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【答案】C 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株， 由题意可得，即， 解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用、分式不等式 【分析】由题目条件，按照稀释药液顺序，逐渐分析.可得，然后解不等式可得答案. 【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】求解一元二次方程的解，可得不等式的解. 【详解】根据题意，方程整理得，此方程的解为， 所以不等式的解集是. 故选：A 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【详解】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 3．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由. 故选：B 4．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式等价转化成一元二次不等式求解即得. 【详解】因， 解得：. 故选：C. 5．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 6．（24-25高一下·云南德宏·开学考试）一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】结合二次函数的性质，开口向上，判别式小于零解不等式组即可； 【详解】由题意可得， 即， 故选：A. 7．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2， 由根与系数的关系可得，解得，所以， 故选：B 8．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知命题为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】根据全称命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】求出给定命题的否定，再利用一元二次型不等式恒成立求出的范围. 【详解】由命题为假命题，则为真命题， 当时，恒成立，满足要求； 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以有，因此选项A不正确，选项B正确； ，因此选项C正确； ，选项D正确， 故选：BCD. 10．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知为常数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据实数和的大小关系进行分类讨论，再解不等式，即可判断. 【详解】当时，的解集为，故B正确； 当时，的解集为，故C正确； 当时，的解集为，故A正确； 故选：ABC. 三、填空题 11．（2025高三下·全国·专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，当时，只需结合二次函数的性质解决问题即可. 【详解】当时，，不等式恒成立； 当时，，解得． 综上，． 故答案为：. 12．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由给定的解集求出，再利用已知条件列式求出的范围. 【详解】由一元二次不等式的解集是， 得，年是方程的二根，即，因此， 不等式，即的解集为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）设为实数， (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）利用一元二次方程判别式列出不等式求解即得. （2）利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】（1）依题意，一元二次方程有实根，， 即，解得或， 所以的取值范围是或. （2）不等式的解集为，即的解集为， 则，解得， 所以的取值范围是. 14．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）原不等式即为，即，解得或， 故原不等式的解集为； （2）将不等式移项并通分，得到，解得， 因此原不等式的解集为. 15．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得不等式对于均成立，分与两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，； （2）由（1）知，不等式对于均成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，应满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 16．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求，的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得不等式对于均成立，分与两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，； （2）由（1）知，不等式对于均成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，应满足，解得 综上，实数的取值范围是． 17．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知二次函数． (1)当时，求y的最小值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据二次函数性质求最小值； （2）问题化为，恒成立，结合二次函数性质列不等式组求参数范围. 【详解】（1）当时，函数， 当时y取到最小值，为． （2）由恒成立，即，恒成立， 当,不恒成立， 只需满足，即，解得， 所以实数a的取值范围为． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式 1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义 2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性 3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 对点集训一：一元二次不等式（不含参）的求解 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 例题2．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 精练 1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 3．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 对点集训二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：二次项系数不含参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·期中）当时，不等式的解集为 . 例题2．（23-24高二上·河南周口）求不等式的解集． 精练 1．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：． 角度2：二次项系数含参 典型例题 例题1．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 精练 1．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 2．（24-25高一上·浙江丽水·期中）已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知． (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； 对点集训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 例题2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 精练 1．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 对点集训四：分式不等式的解法 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 精练 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是 . 对点集训五：不等式恒成立问题 角度1：判别法 典型例题 例题1．（2025高一上·河北保定·专题练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 例题2．（24-25高一上·福建厦门·期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 精练 1．（24-25高一上·山东德州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 2．（24-25高一上·上海·期中）已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 角度2：分离变量法 典型例题 例题1．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 例题2．（24-25高一上·山西·期中）（1）解关于的不等式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 精练 1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 2．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 对点集训六：一元二次不等式的实际问题 典型例题 例题1．（2024高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 例题2．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    精练 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 一、单选题 1．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南德宏·开学考试）一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知命题为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 二、多选题 9．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 10．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知为常数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2025高三下·全国·专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）设为实数， (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 14．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式． 15．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围. 16．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求，的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 17．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知二次函数． (1)当时，求y的最小值； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$