第1章 三角形（暑假单元自测）新八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版新教材三角形单元自测卷，90分钟100分，26题覆盖全等、轴对称、旋转等核心知识点，通过几何直观与推理能力考查，适配暑假复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|三角形三边关系、轴对称性质|基础巩固，考查抽象能力| |填空|8/16|直角三角形中线、全等三角形|能力提升，体现空间观念| |解答|10/68|模型应用（一线三垂直）、动态几何|创新应用，分层设计，培养推理能力与创新意识|

第1章 三角形 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 【答案】A 【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意． ∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． 2．如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 3．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 4．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A．9 B．10 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 5．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，，，利用等腰三角形性质求出，进而求出和，最后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中， ， ，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交， 于点和点 ，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接并延长交于点 ．若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，由作图知平分，利用角的平分线性质，含角的直角三角形的性质及三角形面积性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程知：平分， ∴， ∵在中， ， ，的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质与判定，如图：连接交于点O，证明垂直平分， ，，可得，再证明，进一步求解即可. 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，在等腰三角形纸片中，，，D是斜边的中点，E是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点G．已知下列哪条线段的长度可以求出的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，于点，于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得，即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，， ，， ， 点是的中点， 平分， ，， 由折叠的性质可得：，，， ，， 平分， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ； 故只需要知道的长即可求出的周长； 故选B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．已知直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形斜边上的中线长为________． 【答案】5 【分析】直角三角形斜边中线定理：直角三角形的斜边中线等于斜边一半． 【详解】解：已知直角三角形的斜边长为10， 斜边上的中线长为． 10．如图，，，，则_______． 【答案】 /度 【分析】根据三角形的内角和，求出，根据两直线平行，内错角相等，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 11．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 12．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据旋转的性质可得对应边相等，以及旋转角相等，进而判断和为顶角相等的等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理即可得出与相等的角． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，． 在中， ， 为等腰三角形． ． 在中， ， 为等腰三角形． ． ， ． ． ． 又，， ． 即与相等的角是：（答案不唯一）． 13．已知是的高，，，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当高在内时，根据计算，当高在外时，根据计算． 【详解】解：当高在内时， ， ； 当高在外时， ， ． 14．如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【答案】10 【分析】如图，连接，根据题意得到，，然后根据三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，连接， 由平移得， 因为点M是的中点， 所以， 因为 所以当点A在上时，取得最大值，即的长度， 因为 所以的最大值为10． 15．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 16．如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． 延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共68分） 17．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 18．如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作出的平分线，然后利用三线合一即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，即为所求作． ∵ ∴ ∵是的平分线 ∴． 19．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 20．已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． (1)你选的条件是： ；（填写序号） (2)证明：． 【答案】(1)①③或②③ (2)选①③ 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 选②③ 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再选两个条件，根据证明，根据全等三角形的对应角相等得，根据同位角相等两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 22．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 23．作图题：    (1)如图，已知四边形．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： ①在线段上找一点M，使得，请在图1中作出点M； ②若与不平行，且，请在线段上找一点N，使得和的面积相等，请在图2中作出点N． (2)请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图．（不写画法，保留画图痕迹） ③在图3的方格纸中，在上找一点P，使得P到、的距离相等； ④在图4的四边形内找一点Q，使，． 【答案】(1)①图见解析；②图见解析 (2)③图见解析；④图见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图和轴对称的性质，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键． （1）①以点和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点，点即为所求，根据垂直平分线的性质即可得； ②延长相交于点，作的角平分线，交于点，点即为所求；过点作于点，于点，根据平分，，，可得，再根据，则和的面积相等； （2）③取格点T，连接交于点P，点P即为所求； ④连接，取点关于的对称点，作直线交于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：①如图①，点即为所求；    ②如图②，点即为所求，    （2）解：③如图③，点即为所求，    ④如图④，点Q即为所求，    24．【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】 (1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________． 【变式运用】 (2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长． 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证，则，．由，可得； （2）先证．则．由，可得的长度； （3）证明，．可得．则可求． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ． ，， ． ． ． 在和中 ． ，． ， ． （2）解：，， ． ． ， ． 在和中 ． ，． ， ； （3）解∶过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示∶ ． 是边上的高， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． 同理可证明∶． ． ． ． 25．如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)当运动时间为秒时直线平分四边形的面积 (4)或 【分析】本题考查了旋转、轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的定义等知识． （1）根据旋转、轴对称的性质求解即可； （2）已知，，要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，只需，列出方程求解即可； （3）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论，用含的方程表示出左侧梯形的面积，解方程即可； （4）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论：当点在上运动时，是以为底的等腰三角形；当点在边上运动时，只可能是以为底的等腰三角形，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵绕斜边的中点旋转得到， ∴， ∴，，． 又∵沿翻折得到， ∴，且共线， ∴． 当点在边上运动时， ∵，，∴. 当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒， ∴． 故答案为：，，； （2）解：当在边上运动时，，，. ∵，， ∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 只需，即，解得； （3）解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易得四边形的面积为， ∴当直线平分四边形的面积时， 四边形的面积为，即，解得=； 如图，当点在边上运动时，，，， ∴， 四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)． 综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积； （4）解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形； 当点在边上运动时，∵，， ∴△只可能是以为底的等腰三角形，． 如图，连接，过点作，则，， 在和中，， ∴， ∴，即，解得． 综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形． 故答案为：或． 26．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 2．如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 4．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A．9 B．10 C．7 D．8 5．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中， ， ，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交， 于点和点 ，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接并延长交于点 ．若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 8．如图，在等腰三角形纸片中，，，D是斜边的中点，E是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点G．已知下列哪条线段的长度可以求出的周长（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．已知直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形斜边上的中线长为________． 10．如图，，，，则_______． 11．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 12．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________． 13．已知是的高，，，则的度数为_______． 14．如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 15．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 16．如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 三、解答题（共68分） 17．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 18．如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 19．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 20．已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． (1)你选的条件是： ；（填写序号） (2)证明：． 21．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 22．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 23．作图题：    (1)如图，已知四边形．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： ①在线段上找一点M，使得，请在图1中作出点M； ②若与不平行，且，请在线段上找一点N，使得和的面积相等，请在图2中作出点N． (2)请仅用无刻度的直尺分别按下列要求在方格纸中画图．（不写画法，保留画图痕迹） ③在图3的方格纸中，在上找一点P，使得P到、的距离相等； ④在图4的四边形内找一点Q，使，． 24．【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】 (1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________． 【变式运用】 (2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长． 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______． 25．如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． (1)直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； (2)当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； (3)连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； (4)当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 26．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $