第1章 三角形 巩固新课单元测试卷-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第1章 三角形 巩固新课单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能构成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，9 C．2，9，6 D．2，2，4 3．下列能表示的边上的高的是（   ） A．B．C．D． 4．如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 6．如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ． 10．如图，已知，要使，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是 （只需要填写一个）． 11．如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度． 12．如图，在的正方形网格中， ． 13．如图，在中，，平分交于D，若，，则点D到边的距离是 ． 14．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 15．一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 16．如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 18．如图，在边长是1的正方形网格中有一个三角形．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在直线上找一点，使的长最小，并说明理由； (2)找出格点（网格线的交点），使． (3)若，则四边形的面积是_____． 19．如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 20．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，作的平分线，交于点D； (2)如图②，作一条直线l，使得点A关于l的对称点为点P． 21．如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：． 22．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 23．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 24．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 25．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 巩固新课单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形，解题时注意：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．认真观察图形，找出大小或形状都一致的图形即可． 【详解】 解：由全等形的概念可知，是全等图形的是， 故选：D． 2．下列长度的三条线段能构成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，9 C．2，9，6 D．2，2，4 【答案】B 【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两较短长度之和与较长的长度之间的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：A．，不能构成三角形，不符合题意； B．，能构成三角形，符合题意； C．，不能构成三角形，不符合题意； D．，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 3．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键． 从所对的顶点A向或的延长线作垂线段即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是的边上的高，故符合题意； C．是的边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选B． 4．如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6．如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：分别是的中点，， ， ，， ， ， 故选：B． 8．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②． 【详解】解：，， ， 设能够使与全等的时间为， 则，，， 分两种情况考虑： ①时， ， 即， 解得， 此时， 时能够使与全等； ②， ， 即， 解得， 此时，， 即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为． 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 10．如图，已知，要使，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是 （只需要填写一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得有一角一边相等，结合全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加的条件是，证明如下： 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据三线合一可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，点是边的中点， ∴，则， ∵， ∴ 故答案为：． 12．如图，在的正方形网格中， ． 【答案】/90度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据网格特点，证明，得到，进而得到即可． 【详解】解：如图，由图可知： ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．如图，在中，，平分交于D，若，，则点D到边的距离是 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．首先得出，然后利用角平分线的性质可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴D到边的距离． 故答案为：6． 14．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 15．一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌握相关基础知识是关键． 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况： 当腰和腰的一半的和为6时，则， 解得， 此时三角形的三边为4，4，10，不能构成三角形，故舍去； 当腰和腰的一半的和为12时，则， 解得， 此时三角形的三边为8，8，2，能构成三角形； 所以三角形的底边长是2； 故答案为：2． 16．如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，连接，可证，得到，，可知当时，线段的值最小，进而解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当时，线段的值最小， 此时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 18．如图，在边长是1的正方形网格中有一个三角形．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在直线上找一点，使的长最小，并说明理由； (2)找出格点（网格线的交点），使． (3)若，则四边形的面积是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】（1）根据垂线段最短画图即可． （2）根据平行线的判定画图即可． （3）根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）如图点P即为所求． 理由：在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． （2）如图，点H即为所求． （3）四边形的面积是． 故答案为：9． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、垂线段最短、平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． 根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中 ， ； （2）解：， ， ． 20．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，作的平分线，交于点D； (2)如图②，作一条直线l，使得点A关于l的对称点为点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角的平分线，尺规作图——作线段的垂直平分线，轴对称图形，解题关键是正确作出图形． （1）利用尺规角平分线； （2）依据对称点的连线被对称轴垂直平分进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． （2）如图，直线l即为所求． 21．如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】证明：如图，连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ． 22．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 23．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 24．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 25．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； （3）在上截取，连接，同理得，，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$