第01讲 三角形中的线段和角15大题型（暑假预习讲义）新八年级数学苏科版

第01讲 三角形中的线段和角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 三角形的识别与有关概念 题型2 三角形的个数问题 题型3 构成三角形的条件 题型4 三角形的三边关系 题型5 大边对大角定理 题型6 根据三角形中线求长度 题型7 根据三角形中线求面积 题型8 重心的概念 题型9 三角形的角平分线 题型10 画三角形的高 题型11 与三角形的高有关的计算问题 题型12 利用网格求三角形面积 题型13 利用三角形的中线性质求面积综合（压轴） 题型14 网格中三角形面积综合（压轴） 题型15 三角形高线问题综合（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形的定义 构成三角形的条件 三角形三边关系 三角形的中线、高线、角平分线 三角形的内角和与外角和 垂心 1. 理解并掌握三角形的基本定义，明晰三角形不同分类标准，能够准确辨别、区分不同类型的三角形。 2. 熟练掌握三角形三边之间的数量关系定理，能够灵活运用定理判断三条线段能否构成三角形。 3. 清晰认识三角形的高、中线、角平分线三种重要线段，理解其定义，掌握对应的几何性质与特点。 4. 牢记三角形内角和定理的内容，能够熟练运用定理进行各类三角形的角度计算与问题求解。 5. 理解三角形角平分线的定义与性质，掌握其作图方法，能运用知识进行角度计算和几何推理。 学习重点：掌握三角形的定义与分类，熟练运用三角形三边关系判定线段能否构三角形。熟知三角形高、中线、角平分线的定义与作用，牢记内角和定理及外角性质，能熟练完成基础角度计算与简单几何应用。 学习难点：准确辨析钝角、直角三角形高线的位置，区分三类特殊线段的性质。灵活结合内角、外角定理进行综合角度推导，掌握三边关系取值范围计算，突破几何动态问题与复合型角度推理题型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 即时即练 1．如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 3．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 知识点02 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 即时即练 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5．如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 6．如图所示，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三个内角的度数之和为求解即可； （2）由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∴． 知识点03 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 即时即练 7．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 8．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 9．若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】锐角 【分析】先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，再根据三角形的分类求解即可． 【详解】解：∵的三个内角的比为，且三角形内角和为， ∴中最大角的度数为： ， ∵中最大角为锐角， ∴为锐角三角形． 知识点04 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 即时即练 10．已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边求解范围，进一步可得答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：，即， 则可以取的值为（答案不唯一）． 11．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 12．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 知识点05 三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 即时即练 13．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 14．如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案； （2）根据角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴． 15．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 题型1 三角形的识别与有关概念 【例1】下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 【变式1-1】如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：A、在中，的对边是，正确，不符合题意； B、是的中线，正确，不符合题意； C、∵D，E分别是的边，的中点， ∴，正确，不符合题意； D、是的中线，选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 【变式1-3】如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 题型2 三角形的个数问题 【例2】如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【变式2-1】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 【变式2-2】仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 【变式2-3】如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查了三角形的定义； （1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再、、、中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【详解】（1）解：其中以为一边可以画出3个三角形为： 故答案为：． （2）其中以为顶点可以画出6个三角形为：， 故答案为：． 题型3 构成三角形的条件 【例3】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可得到结论. 【详解】解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形. 【变式3-1】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 【变式3-2】下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形； ②∵，∴，，不能摆成三角形； ③∵，∴，，不能摆成三角形； ④∵，∴，，能摆成三角形． 故答案为：①④． 【变式3-3】已知：a、b、c满足求： (1)a、b、c的值； (2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2) 能构成三角形，周长为24 【分析】本题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握基础知识点是解题关键； （1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案； （2）根据三角形三边关系可判断构成三角形，三边相加求周长． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴． （2）解：∵， ∴以a、b、c为边能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 题型4 三角形的三边关系 【例4】若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 【变式4-1】三条边长分别为、、，若这三条边首尾顺次相连围成一个三角形，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系确定的取值范围即可求解． 【详解】解：依题意有， 解得， 的取值可以是． 【变式4-2】若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 【变式4-3】已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1)4 (2)①；②13 【分析】本题考查了整式的加减运算，三角形的三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设，则，，，再代入进行计算，即可作答． （2）①结合三角形的三边关系，得，故，因为a是最短边长．则； ②因为x为整数，且求三角形周长的最大值，所以的最大值为6，根据周长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∵ ∴， 解得：， ； （2）解：①由（1）可知：，， ∵a，b，x为三角形的三边长， ， 即； ∵a是最短边长． ∴ ②∵要求出周长的最大值，且周长等于， ∴求出的最大值 由①得， x为整数， 的最大值为6， 三角形周长的最大值为： 题型5 大边对大角定理 【例5】在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 【变式5-1】如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， ， （在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等）， ， ， ， （在三角形中，大角对大边）． 【变式5-3】如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 题型6 根据三角形中线求长度 【例6】如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 【变式6-1】如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 【变式6-2】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长1，若． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)； (2)15 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． (1)根据三角形的中线的定义直接求解即可； (2)先根据的周长比的周长长1，得到，即可求解，继而可求解周长． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点E，F分别为的中点． ∵， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长1， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 题型7 根据三角形中线求面积 【例7】如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵，分别是的中线， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式7-2】已知在中，于，点是的中点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形中线的性质及直角三角形性质， （1）先求出三角形面积，再根据三角形中线性质求出结论； （2）借助三角形面积求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：， ， 点E是的中点， ； （2）解：， ， ， ． 【变式7-3】如图，已知在直角三角形中，．   (1)作出的高和中线； (2)求的面积； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据题意画出图形； （2）根据三角形面积公式即可解答； （3）利用面积法即可解答． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求 （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为； （3）解：， ， ． 题型8 重心的概念 【例8】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 【变式8-1】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 【变式8-2】如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 【变式8-3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故答案为：D． 题型9 三角形的角平分线 【例9】如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形高、角平分线、中线的定义；根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【详解】解：A、是的高，即,所以，故A不符合题意； B、是的角平分线，即平分,所以，故B不符合题意； C、是的中线,即是中点，所以，故C不符合题意； D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D符合题意． 故选：D． 【变式9-1】如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式9-2】如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【变式9-3】如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型10 画三角形的高 【例10】在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，则中边上的高是过C点作的垂线，据此判断即可． 【详解】解：A、不是边上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意． 【变式10-1】如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 【变式10-2】如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 【变式10-3】如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： (1)画出； (2)画出的高； (3)连接、，则与的关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，根据平移性质，与的关系是平行且相等． 题型11 与三角形的高有关的计算问题 【例11】如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则点C到的距离是． 【变式11-1】如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【答案】 6 【分析】根据点到直线的距离定义，找到点到的垂线段，直接利用已知的长度得到结果； 先通过直角三角形的两条直角边计算三角形面积，再以为底、为高，结合面积相等的关系列等式求解的长度． 【详解】解：∵，垂足为， ∴点到的垂线段为， 又∵， ∴点到的距离是． ∵在中，，，， ∴． ∵，垂足为， ∴点到的距离是的长度， 此时，已知， ∴，解得， ∴点到的距离是． 【变式11-2】如图，在中，，． (1)边上的高是线段______，边上的高是线段______； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形的高，解题的关键是熟练掌握高的概念，运用等面积法求解即可． （1）根据高的概念求解即可； （2）利用求解即可． 【详解】（1）解：，． 边上的高是线段，边上的高是线段， （2）解：， ， ． 【变式11-3】综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 题型12 利用网格求三角形面积 【例12】如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)8 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： （3）解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 【变式12-1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)将向右平移4个单位，再向下平移2个单位，请在网格中画出平移后的； (2)求出线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据平移的定义确定三点的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：连接，则线段扫过的图形为， ∴线段扫过的面积为． 【变式12-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)画出关于对称的（点的对应点是点）； (2)直接写出四边形的面积是 ． 【答案】(1)画图见解析 (2)24 【分析】（1）根据轴对称图形的性质得点，再依次连接，即可作答． （2）运用割补法进行求面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：四边形的面积为 ． 【变式12-3】完成以下问题 (1)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积______； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； (2)如图（2），在的正方形网格中，点、在格点网格线的交点上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有______个． 【答案】(1)①5；②见解析 (2)①见解析；②4 【详解】（1）解：① ； ②如图，即为所求； （2）解：①如图，、、、均为轴对称图形， ②符合条件的点有4个． 题型13 利用三角形的中线性质求面积综合（压轴） 【例13】如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 【变式13-1】如图，、是的中线，若的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】 2 【分析】根据三角形中线的定义得出分别为的中点，利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，设，通过建立等量关系求解． 【详解】解：是的中线， 为的中点，为的中点 为的中点， 设 为的中点， 是的中线， 是的中线， ， 解得 ． 【变式13-2】如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【答案】D 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式13-3】发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可； （3）设，，求出，得到，再由求解即可； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：是的中线，与等底等高， ； （2）解：，理由如下： ∵是的中线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （4）解：∵G是的重心， ∴由（3）可得， ∵，， ， ∵， ， 由（3）可得， ∵ ∴ ∴由（2）可得， ∴． 题型14 网格中三角形面积综合（压轴） 【例14】在下面网格中画图，要求所画图形的顶点与小正方形顶点重合． (1)在图1中画出一个与三角形面积相等，且以为边的三角形； (2)在图2中画出一个与三角形面积相等，且以为边的三角形； (3)在图3中画出一个与三角形面积相等，且以为边的平行四边形； (4)在图4中画出一个与三角形面积相等，且以为边的梯形； (5)在图5中画出一个与梯形面积相等，且以为边的三角形，在网格中的格点上，满足条件的三角形共能画______个． 【答案】(1)三角形为所求： （答案不唯一） (2)三角形为所求： （答案不唯一） (3)平行四边形即为所求： （答案不唯一） (4)梯形即为所求： （答案不唯一） (5)三角形，三角形，三角形，三角形即为所求： ，4 【分析】计算出图形面积，利用格点计算面积即可． 【详解】（1）解：， 则为边的三角形，高为2即可， 则三角形为所求； （2）解：， 则为边的三角形为所求； （3）解：， 则为边的平行四边形，高为2， 则平行四边形为所求； （4）解：， 则为边的梯形，上底为2，高为3， 则梯形为所求； （5）解：， 则为边的三角形，三角形，三角形，三角形为所求， 所以满足条件的三角形共能画4个． 【变式14-1】如图，在方格纸上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)如图1，三个顶点均在格点上，将通过一定的方式平移得到， ①请仅用无刻度的直尺画出（点A、B、C的对应点分别是、、）； ②直线经过点，请在直线上画出所有的格点Q，使得点、、、Q组成的四边形面积为10（提示：如有多个格点Q时，可以用、、……表示）． (2)如图2，M、N两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形． 【答案】(1)①图见解析；②图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查图形的平移，格点图形中的面积问题； （1）①把向右平移2格再向下平移3格即可得到； ②先求出，再在两边找一边与公共边且面积为的三角形即可得到点； （2）先作正方形，再取格点使，再把平移到，则直线与和的交点即为，，此时． 【详解】（1）解： ①如图所示； ②点、如图所示．    （2）解：在图2中面积为18的长方形如图所示．    【变式14-2】如图是的网格，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图∶已知两条线段，（其中点、、均在格点上）． (1)过点画的垂线（点在格点上）； (2)画的垂直平分线与（1）中的垂线交于点，垂足为点； (3)四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了垂直的定义、画垂直平分线、利用网格求面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键. （1）如图：取格点M，连接，直线即为所求； （2）如图：取的中点N，过N作的垂线交于点，直线即为所求； （3）将四边形的面积转化为梯形和三角形的面积并求和即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2）解：如图：直线即为所求． （3）解：四边形的面积为． 【变式14-3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图1中的边上画一点E，使； (4)在图2中，F为线段上一点，画线段的中点G． 【答案】(1)12 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了网格中的作图，利用网格求三角形的面积，作三角形的高线，构造角，构造线段中点等知识，围绕网格的垂直特征，网格线的平行或中位线及等腰直角三角形展开是解题的关键  ． （1）直接根据三角形面积公式求解即可； （2）取格点，连接并延长交于，线段即为所求； （3）构造等腰即可； （4）作的中线交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：， 故答案为：12； （2）如图所示，线段即为所求； （3）如图的示，点即为所求； （4）点即为所求． 题型15 三角形高线问题综合（压轴） 【例15】如图，的面积为2018，点D，E分别在，上，且，，与交于F，当的面积不大于100时，则自然数n的最小值为______． 【答案】11 【分析】根据等高的三角形的面积比等于底边之比，推导出，，则可得，解不等式即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， 同理可得， ， ， 当的面积不大于100时，， 根据题意可得， ， ， ， 解得， 则自然数n的最小值为． 【变式15-1】综合探究 (1)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，点M是的边上一点，试证明：． (2)【知识应用】如图2，的边上有一点M，N为上任意一点，利用上述结论，猜想与之间的关系，直接写出结论，不必证明． (3)【知识迁移】如图3，在中，D、F分别在边、上，且，．若△ABC的面积为1，求四边形的面积． (4)【知识延伸】如图4，在中，D、E、F分别在边、、上，且，，，连接、、，交点为P、Q、M，若的面积为1，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)7 【分析】（1）过点A作于H，根据三角形的面积公式得出，，代入求解即可得证； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）连接，设，，，由（1）知：，结合，得出，同法可求，，，即，，求出，，则可得出，∵，求出，即可求解； （4）连接，，设，，由（3）可求出，，则可得出，同法可求，根据（1）的结论可求出，，，则，进而得出，则，求出，，，结合又，得出，求出，则，最后再利用（1）中结论求解即可． 【详解】（1）证明：过点A作于H， 则，， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，设，，， 由（1）知：， ∵， ∴， 同法可求， ∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：连接，，设，， 由（3）可求出，， ∴， ∴， 同法可求， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式15-2】如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整式乘法的几何背景、图形的拆分前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆分前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大正方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）解：如图2，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以． （2）解：如图，在中， ∵，， ， ． （3）证明：如图，，，，， ． ， ． 【变式15-3】根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 (1)观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个等式：________． (2)如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c． 用两种方法计算大正方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式：________． (3)如图3，在中，（），点D，P分别在边上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】（1）根据大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，列出等式即可； （2）利用正方形的面积公式，以及分割法两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （3）连接，根据，进行求解即可. 【详解】（1）解：大长方形面积等于其长乘以其宽，即大长方形面积为， 大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，即大长方形面积为， ∴； （2）解：方法1：大正方形的面积为； 方法2：大正方形的面积为； ∴， 即： （3）解：如图，连接， ， ， ，，， ， 即， ， ． 1．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角，即，根据，等量代换，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 【答案】B 【分析】令与相交于点，由折叠的性质可得，且，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，令与相交于点， ， 由折叠的性质可得，且， ∵在中，已知，，，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据，得，，得点D是的中点，进而，故． 【详解】解：， ，，点D是的中点， ， ． 4．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 5．如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，由是的中点，，则有，从而得，然后通过，得，则，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用三角形的面积法求比的问题，记住在三角形的三种重要的线段中，中线起到了平分面积的作用． 根据三角形的中线将三角形的面积等分，再利用，得出与的长度之比为． 【详解】解： ，， ， 在中，是边上的中线， 与的面积相等． ． ， ． ． ． ． 故选：C． 7．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【答案】1 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 8．一个三角形的三边长分别是、、，它的周长不超过，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，得出，再根据周长列不等式，求出，即可得到x的取值范围． 【详解】解：一个三角形的三边长分别是、、， , 三角形任意两边之差小于第三边， ， ， 它的周长不超过， ， ， x的取值范围是． 9．如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键． 根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，即可解答． 【详解】解：∵为中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵点F为边的中点， ∴ ∴阴影部分的面积为． 故答案为：15． 10．在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 12．如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．先根据三角形面积求出边上的高，再根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴边上的高 连接，如图所示： 由图可得：， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：cm， 故答案为：4；4 13．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点G，连接交于点E，则点E即为所求； （2）取格点F，连接，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，． 14．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 15．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 【答案】(1)，； (2) (3)这个多边形“内点”的个数为 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律探究，解题的关键是通过特殊情形归纳出一般数量关系，再结合多边形边数与内点个数推导“网眼”数的公式． （1） 当时，观察内点个数与网眼数的对应关系：时，时，时，归纳得； （2） 当时，同理归纳得； （3） 由一般规律，结合，代入化简得． 【详解】（1）解：观察图形，网眼个数如下： 当时，，即； 当时，，即； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：，；． （2）解：如图，当时， 取，得； 取，得； 取，得； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：． （3）解：由多边形三角剖分的一般规律，得． 已知，代入得， 化简得， 解得． 答：这个多边形“内点”的个数为． 16．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 17．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 18．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角形中的线段和角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 三角形的识别与有关概念 题型2 三角形的个数问题 题型3 构成三角形的条件 题型4 三角形的三边关系 题型5 大边对大角定理 题型6 根据三角形中线求长度 题型7 根据三角形中线求面积 题型8 重心的概念 题型9 三角形的角平分线 题型10 画三角形的高 题型11 与三角形的高有关的计算问题 题型12 利用网格求三角形面积 题型13 利用三角形的中线性质求面积综合（压轴） 题型14 网格中三角形面积综合（压轴） 题型15 三角形高线问题综合（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形的定义 构成三角形的条件 三角形三边关系 三角形的中线、高线、角平分线 三角形的内角和与外角和 垂心 1. 理解并掌握三角形的基本定义，明晰三角形不同分类标准，能够准确辨别、区分不同类型的三角形。 2. 熟练掌握三角形三边之间的数量关系定理，能够灵活运用定理判断三条线段能否构成三角形。 3. 清晰认识三角形的高、中线、角平分线三种重要线段，理解其定义，掌握对应的几何性质与特点。 4. 牢记三角形内角和定理的内容，能够熟练运用定理进行各类三角形的角度计算与问题求解。 5. 理解三角形角平分线的定义与性质，掌握其作图方法，能运用知识进行角度计算和几何推理。 学习重点：掌握三角形的定义与分类，熟练运用三角形三边关系判定线段能否构三角形。熟知三角形高、中线、角平分线的定义与作用，牢记内角和定理及外角性质，能熟练完成基础角度计算与简单几何应用。 学习难点：准确辨析钝角、直角三角形高线的位置，区分三类特殊线段的性质。灵活结合内角、外角定理进行综合角度推导，掌握三边关系取值范围计算，突破几何动态问题与复合型角度推理题型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 即时即练 1．如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 3．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 知识点02 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 即时即练 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 6．如图所示，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数． (2)求的度数． 知识点03 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 即时即练 7．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 8．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 9．若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 知识点04 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 即时即练 10．已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 11．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 12．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 知识点05 三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 即时即练 13．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 14．如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 15．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 题型1 三角形的识别与有关概念 【例1】下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【变式1-1】如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 【变式1-2】如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 【变式1-3】如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 题型2 三角形的个数问题 【例2】如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式2-1】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-2】仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【变式2-3】如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 题型3 构成三角形的条件 【例3】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式3-2】下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 【变式3-3】已知：a、b、c满足求： (1)a、b、c的值； (2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 题型4 三角形的三边关系 【例4】若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】三条边长分别为、、，若这三条边首尾顺次相连围成一个三角形，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【变式4-3】已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 题型5 大边对大角定理 【例5】在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【变式5-3】如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 题型6 根据三角形中线求长度 【例6】如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【变式6-1】如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式6-2】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【变式6-3】如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长1，若． (1)求的长； (2)求的周长． 题型7 根据三角形中线求面积 【例7】如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-1】如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【变式7-2】已知在中，于，点是的中点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【变式7-3】如图，已知在直角三角形中，．   (1)作出的高和中线； (2)求的面积； (3)求的长． 题型8 重心的概念 【例8】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【变式8-1】下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【变式8-3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 题型9 三角形的角平分线 【例9】如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【变式9-3】如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 题型10 画三角形的高 【例10】在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【变式10-3】如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题： (1)画出； (2)画出的高； (3)连接、，则与的关系是______． 题型11 与三角形的高有关的计算问题 【例11】如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【变式11-1】如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【变式11-2】如图，在中，，． (1)边上的高是线段______，边上的高是线段______； (2)若，，，求的长． 【变式11-3】综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 题型12 利用网格求三角形面积 【例12】如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式12-1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)将向右平移4个单位，再向下平移2个单位，请在网格中画出平移后的； (2)求出线段扫过的面积． 【变式12-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)画出关于对称的（点的对应点是点）； (2)直接写出四边形的面积是 ． 【变式12-3】完成以下问题 (1)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积______； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； (2)如图（2），在的正方形网格中，点、在格点网格线的交点上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有______个． 题型13 利用三角形的中线性质求面积综合（压轴） 【例13】如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式13-1】如图，、是的中线，若的面积为1，则四边形的面积为______． 【变式13-2】如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【变式13-3】发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 题型14 网格中三角形面积综合（压轴） 【例14】在下面网格中画图，要求所画图形的顶点与小正方形顶点重合． (1)在图1中画出一个与三角形面积相等，且以为边的三角形； (2)在图2中画出一个与三角形面积相等，且以为边的三角形； (3)在图3中画出一个与三角形面积相等，且以为边的平行四边形； (4)在图4中画出一个与三角形面积相等，且以为边的梯形； (5)在图5中画出一个与梯形面积相等，且以为边的三角形，在网格中的格点上，满足条件的三角形共能画______个． 【变式14-1】如图，在方格纸上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)如图1，三个顶点均在格点上，将通过一定的方式平移得到， ①请仅用无刻度的直尺画出（点A、B、C的对应点分别是、、）； ②直线经过点，请在直线上画出所有的格点Q，使得点、、、Q组成的四边形面积为10（提示：如有多个格点Q时，可以用、、……表示）． (2)如图2，M、N两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形． 【变式14-2】如图是的网格，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图∶已知两条线段，（其中点、、均在格点上）． (1)过点画的垂线（点在格点上）； (2)画的垂直平分线与（1）中的垂线交于点，垂足为点； (3)四边形的面积为 ． 【变式14-3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图1中的边上画一点E，使； (4)在图2中，F为线段上一点，画线段的中点G． 题型15 三角形高线问题综合（压轴） 【例15】如图，的面积为2018，点D，E分别在，上，且，，与交于F，当的面积不大于100时，则自然数n的最小值为______． 【变式15-1】综合探究 (1)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，点M是的边上一点，试证明：． (2)【知识应用】如图2，的边上有一点M，N为上任意一点，利用上述结论，猜想与之间的关系，直接写出结论，不必证明． (3)【知识迁移】如图3，在中，D、F分别在边、上，且，．若△ABC的面积为1，求四边形的面积． (4)【知识延伸】如图4，在中，D、E、F分别在边、、上，且，，，连接、、，交点为P、Q、M，若的面积为1，则的面积为________． 【变式15-2】如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【变式15-3】根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 (1)观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个等式：________． (2)如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c． 用两种方法计算大正方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式：________． (3)如图3，在中，（），点D，P分别在边上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 1．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 3．如图，，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 8．一个三角形的三边长分别是、、，它的周长不超过，则x的取值范围是________． 9．如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 10．在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 11．如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 12．如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 13．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 14．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 15．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 16．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 17．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 18．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $