第05讲 等腰三角形18大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第05讲 等腰三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 等腰三角形的定义 题型2 等边对等角 题型3 三线合一 题型4 等腰三角形的判定 题型5 等腰三角形的性质 题型6 等边三角形的定义 题型7 等边三角形的判定 题型8 等边三角形的性质 题型9 格点图中画等腰三角形 题型10 尺规作等腰三角形 题型11 直角三角形的性质 题型12 斜边的中线定理 题型13 直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半 题型14 等腰三角形中存在性问题 题型15 等腰三角形中的最值问题 题型16 等腰三角形的动点问题 题型17 等腰三角形中的旋转问题 题型18 等腰三角形的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等腰三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 斜边的中线定理 直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半 1. 掌握等腰、等边三角形定义与性质，能准确区分两类三角形的边角特征。 2. 熟练运用等腰三角形三线合一性质，规范完成几何计算与推理证明。 3. 掌握等边三角形判定方法，可结合性质解决基础几何题型与变式题。 4. 理解直角三角形斜边中线定理，明确适用条件，能运用定理进行边长计算。 5. 掌握直角三角形30°角边角性质，精准辨析边角对应关系，规避应用误区。 6. 学会分类讨论解决动点、存在性问题，培养严谨的几何解题思维。 学习重点：掌握等腰、等边三角形的性质与判定及三线合一规律，熟练运用直角三角形斜边中线、30°角边角性质进行计算与推理。 学习难点：掌握等腰三角形分类讨论解题，突破图形综合边角转化难点，精准区分直角三角形两大定理适用条件与边角对应关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等腰三角形的定义与作法 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 即时即练 1．下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 2．已知等腰三角形一边长是5，一边长是11，它的周长是（   ） A．27或21 B．21或16 C．27 D．16 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，但只有腰为11、底为5时满足三边关系，从而计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长5，一边长11，   ∴若腰为5，底为11，则，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），故不成立；   若腰为11，底为5，则，，满足三边关系，   ∴周长为．   故选：C． 3．如图，小红用尺规作出一个等腰三角形，其判定依据是“等腰三角形的定义”，请你再用两种不同方法尺规作出等腰三角形，并分别写出判定依据（保留作图痕迹，无需写出作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，图1中，任作一条线段，作线段的垂直平分线，在线段的垂直平分线上任取一点C（不在线段上），连接，由线段垂直平分线的性质可得，则为等腰三角形；图2中，任作一个，过点B作交射线于C，则，则为等腰三角形． 【详解】解：如图所示，即为所求．依据：线段垂直平分线的性质， 依据：同一个三角形中，等角对等边， 知识点02 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 即时即练 4．如图，在中，，为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论． 【详解】解：∵，D为中点， ∴是的平分线， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，，若，，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质．等角对等边，根据全等三角形的性质得到，，根据等角对等边得出，进而可知． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵在等腰中，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 知识点03 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 即时即练 7．如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 8．如图，，，，相交于点，过点作 于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理，判断出是等腰三角形是解题关键． （1）直接证明，得到； （2）证明，根据等腰三角形三线合一，即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， （2）证明：， ， ， ． 9．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)证明过程见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 知识点04 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 即时即练 10．如图，在等边中，点，分别在边、上，过点作，过点作，交的延长线于点． (1)求证：为等边三角形； (2)若，则_____． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质求得，利用平行线的性质求出，最后利用等边三角形的判定求解； （2）根据， 易得，利用等边三角形的性质求出，利用含的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ． ， ， ， 是等边三角形． （2）解：， ， ， ． 是等边三角形，， ． 在中，， ． 故答案为：． 11．如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合为等边三角形，以及平行线的性质得，，即可证明为等边三角形，进行作答． （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得，再由等角对等边，得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：为等边三角形， 理由如下： 为等边三角形， ， ，， ，， 为等边三角形； （2）解：平分，， ，， ， ， 同理， 的周长． 12．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 知识点05 等腰三角形与等边三角形 ①等腰三角形和等边三角形对比 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 即时即练 13．如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 作，使得，连接，证明，即可得到，进而得出当，，三点共线时，的最小值等于的长，再根据△是等边三角形，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，作，使得，连接， ， 在△和△中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为8， 的长为8， ，， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 14．如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（    ）s时，是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点在点的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点在线段上时， 设秒后是等腰三角形， 有， 即， 解得，； （2）当点在的延长线上时， 当是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得，， 故选：D． 15．如图，点是边长为6的等边三角形边上一点，连接并绕点顺时针旋转60度得线段，连接，当是等腰三角形时，的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质，连接，由旋转的性质可得：，，从而得出是等边三角形，证明，得出，，从而得出，当是等腰三角形时，只存在，得出，从而得出，结合等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 由旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， ， 当是等腰三角形时，只存在， 为的中点， ， 故答案为：． 知识点06 直角三角形概念与性质 直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 即时即练 16．如图，，，于E，于D．，，______ 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 证明，根据全等三角形的对应边相等即可证得，，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 17．如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，则，先证明，可得，从而得到，再由含度角的直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过点作于点，则， 在中，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 18．已知：如图，，M、N分别是的中点． (1)求证： (2)当 时，． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答； （2）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，，然后利用三角形的外角性质可得，，从而可得，最后在中利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：，点M是的中点， ，， ，即是等腰三角形， 点N是的中点， ； （2）解：当时，， 理由：，点M是的中点， ，， ，， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 当时， ， 点N是的中点， ， 故答案为：． 题型1 等腰三角形的定义 1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论：当为腰或者当为底边长． 【详解】解：当是腰时，底边是，即另外两边是，，能构成三角形； 当底边是时，腰长是，即另外两边是，，能构成三角形． 故选：D． 3．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】 15 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为． 4．已知，，为的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则为_______三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、绝对值和平方的非负性，关键是熟练应用知识点解题；由绝对值和平方的非负性求出和的值，再根据三角形的三边关系确定的取值范围，结合为偶数得到的值，最后按边分类判断三角形的形状。 【详解】解：∵，满足，， ∴ 且 ， 解得： ， 在中，∵， ∴ ， ∵ 为偶数， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 5．已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 题型2 等边对等角 6．五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：如图， ∵五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，在三角尺中，，，将三角尺绕点A按顺时针方向旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质，得，， ∴． 8．如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【答案】/36度 【分析】利用等边对等角求出，再利用角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 9．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 【答案】/72度 【分析】首先求出，然后由全等得到，，然后利用等边对等角求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 10．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 题型3 三线合一 11．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 13．如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 14．如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【分析】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高，解题的关键在于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值． 本题连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可解题． 【详解】解：连接，如图所示：   是等腰三角形，点是边的中点， ， ， ， 解得， 是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为， 的长为的最小值， 的周长的最小值为． 故答案为：7． 15．如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2）解：， ，是边上的中线， ． 【易错警示】 三线合一仅适用于等腰三角形，特指顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合。不可随意套用在普通三角形，也不能把腰上的高、中线混用。证明时需先点明三角形等腰，再推导线段、角度相等，忽略等腰前提直接使用定理，会造成逻辑漏洞失分。 题型4 等腰三角形的判定 16．已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 【答案】 证明：在和中， ． ． ． 【分析】根据题意可证明，继而利用全等性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】略 17．已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，利用证明，得到，则可证明，据此可得结论 ． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴是等腰三角形. 18．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 19．如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，的角平分线，相交于点O． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：如图， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 20．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵在等腰中，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 题型5 等腰三角形的性质 21．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是转化的周长． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为，再由，求解与的长即可． 【详解】解：∵的中垂线交于点D， ∴， ∴的周长为①， ∵②， ∴①②可得，，解得， ∴， ∵在中，， ∴， 则的周长为． 故选：C ． 22．如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，进而得到，求出、的值，即可求解． 【详解】解：是的中垂线， ， 的周长为， ， ， ，， ， 的周长为， 故选：D． 23．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 【答案】4或12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解一元一次方程，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行讨论，根据题意表示出线段的长度，根据线段相等列出方程求解即可． 【详解】解：①当点在点左侧时，，是等腰三角形， 此时，， 解得； ②当点在点右侧时，，是等腰三角形， 此时，， 解得； ③当点在点右侧时，，是等腰三角形，且， ∴是等边三角形，即， 此时，， 解得； 综上，当或时，是等腰三角形， 故答案为：4或12． 24．如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，证得，根据等腰直角三角形的性质证得、和，进而证得和，根据全等三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 、 和都是直角三角形 、、 在和中 ， ， 在和中 故答案为：． 25．如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型6 等边三角形的定义 26．在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确； ② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误； ③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确； ④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确； 综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个． 故选：C． 27．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 28．在中，三个内角的度数分别为，，，且满足等式，这个三角形是（　　） A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，等边三角形的性质，正确理解绝对值、平方的基本性质是解题的关键．根据求出，，之间的等量关系，即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 故选：B． 29．已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵a，b，c为的三边长， ∴，即 ∵a是方程的解 ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 30．的三边长为，且满足等式，则的形状是______________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定，根据完全平方公式变形得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 整理为， ∴， ∴三角形为等边三角形． 故答案为：等边． 题型7 等边三角形的判定 31．如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 32．如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】证明：， 又， 是等边三角形． 33．如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 【答案】等边三角形，见解析 【分析】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．由折叠的性质可得出、，根据角的计算可得出，再根据中线的定义即可得出，由此即可证出是等边三角形． 【详解】证明：由折叠的性质可知：，， ∵是边的中线， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 34．如图，在中，是中线，使，若，．求证：是等边三角形．    【答案】证明见解析． 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，，可得，求出，根据线段垂直平分线的性质得到，从而求出，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 是中线， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质． 35．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 题型8 等边三角形的性质 36．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 37．如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． (1)在图中画出线段，； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的对应边相等得到是解答的关键． （1）根据题干描述，先根据旋转性质画线段，连接即可； （2）根据旋转的性质得，，再根据等边三角形性质得到，，则有，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求作： （2）证明：由旋转性质得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，又， ∴． 38．如图，是边长为1的等边三角形，是等腰三角形，，，点M、N分别在，上，连接，求周长．    【答案】周长是2 【分析】首先证明出，延长至F，使，连接，证明，得到，，证明，从而得出，进而得到的周长等于的长． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，    在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，为公共边， ∴， ∴， ∴的周长是：． 【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 39．为正三角形，点M是边上任意一点，点N是边上任意一点，且，与相交于Q点，等于多少度？    【答案】 【分析】求证 ()，得，进而得解. 【详解】解：∵为正三角形， ∴． 在和中， ∵ ∴ ()， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质；运用全等三角形求证角相等是解题的关键． 40．如图，点C在线段上，（点C不与A、B重合），分别以为边在同侧作等边和等边，连接交于点P． (1)猜想并证明：线段与的数量关系为___________． 证明： (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及角平分线的判定等知识． （1）由已知可得，然后根据证明≌，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可得； （3）过点作于点，于点，利用面积法可得可得，由角平分线的判定可得． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】（1）证明：，理由如下： 和为等边三角形， ，，． ，， ． 在和中， ， ， ∴； （2）解：∵≌，得到， 又，， ； （3）解：∵， ， 过点作于点，于点．    ∵， ，， ， ， 平分． ． 题型9 格点图中画等腰三角形 41．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 42．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 43．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 44．如图，在的方格纸中，点A，B，P均在格点上，请按下列要求作格点三角形（顶点在格点上）． (1)作一个等腰三角形，使得点P在的内部． (2)在（1）的基础上，作，使得它和关于点P成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画等腰三角形，画中心对称图形，熟知定义三角形的定义和中心对称图形的定义是解题的关键： （1）如图所示，取格点C，连接，则即为所求； （2）根据中心对称图形的定义可得点P分别是的中点，据此根据网格的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 45．如图，在边长为1的小正方形网格中，线段的端点均在格点上．    (1)在图1中画出一个面积为6的等腰三角形（点C在格点上）； (2)在图2中画出一个等腰直角三角形（点D在格点上），并直接写出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，； 【分析】（1）根据等腰三角形底边上三线合一直接画底边为6高为2的三角形即可得到答案； （2）以A为端点画另一个长2格宽3格线段，再根据割补法求解面积即可得到答案； 【详解】（1）解：∵画一个面积为6的等腰三角形， ∴只用画底边为6高为2的三角形即可，如图所示， （2）解：由题意可得，以A为端点画另一个长2格宽3格线段如图所示， 如图所示， ∵， ∴； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，割补法求面积，解题的关键是作出图形． 题型10 尺规作等腰三角形 46．如图，在中，，请根据要求完成以下任务： (1)利用直尺与圆规，在的下方作；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)利用直尺与圆规，作的垂直平分线，垂足为，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)若，求的长． 【答案】(1) 如图，即为所求的； (2)如图，线段的垂直平分线，即为所求； (3)6 【分析】（1）以B点为圆心，以任意长为半径作弧，分别和、相交，再以与的交点为原点，以与、相交的两个交点的距离为半径作弧，与第一次的弧相交于一点，连接B与交点即可，即为所求； （2）分别以点和为圆心，以大于线段二分之一长度为半圆画弧，得到线段上下侧的两个交点，连接这两个交点即可，直线即为所求； （3）利用等腰三角形和垂直平分线的性质找到等量关系，证明，从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 的垂直平分线过点， 垂直平分线段， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题查了尺规作图的基本方法和利用等腰三角形和垂直平分线的性质找到等量关系证明三角形全等的知识，正规作图及解决本题的关键． 47．如图，在中，，用直尺和圆规在斜边上作一点M，使得点M到点C的距离与点M到边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查尺规作图，等角对等边，平行线的定义．先作的角平分线，再过点D作的垂线交于M，则利用得到，于是可证明，所以． 【详解】解：如图，点M为所作． ． 48．如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 解：如图，即为所求作． 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 49．如图，，．    (1)用直尺和圆规作图：在射线上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查了作一个角的平分线，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）尺规作的平分线，与交于一点，该点即为所求； （2）根据，，得出为等边三角形，根据三线合一即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作的点．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ （2）解：；理由如下： ∵，， ∴为等边三角形， ∵平分， ∴， 即． 50．如图，已知．    (1)在图中用直尺和圆规作的角平分线，作，使得，射线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，证明见解析 【分析】（1）作的角平分线，作． （2）利用平行线的性质与判定证明，结合角平分线的定义可得两个内角相等，进而得是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图所示，为的角平分线，．    （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，用尺规作相等的角，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【易错警示】 作图时圆规半径需固定，避免两腰长度不等。若已知底边作等腰三角形，圆弧半径要大于底边一半；已知腰长作图，找准顶点刻度。作图完成后要连接完整三边，不能遗漏底边，同时规范书写结论。切勿混淆腰与底边，不固定半径会直接作出非等腰图形。 题型11 直角三角形的性质 51．如图，，，垂足分别为E，F．已知，，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论，熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 52．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角， 根据旋转可得，，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出答案． 【详解】解：根据旋转可得，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 53．如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为______度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 54．如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 【答案】、、的度数分别为，， 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； ． 55．已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义．根据直角三角形的性质求得，根据角平分线的定义求出，再利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型12 斜边的中线定理 56．如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 57．如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 58．如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　  　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练运用该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质可得到、的长，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别是边上的高，M为的中点， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴的周长=． 故选：A． 59．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：连接，由题意可得， ，点是的中点， ，即， 点是的中点，， ， 故答案为：． 60．在四边形中，，M、N分别是的中点．    (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)．证明见解析 (2)1 【分析】本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形． （1）在直角中，中线；在直角中，；在中，N是中点，所以，根据这些条件很容易推出； （2）在三角形中，一个内角的补角等于另外两个内角的和，根据三角形的这一性质，求得，所以． 【详解】（1）解：猜想． 证明：连接， ，M是的中点，    ∴， ，M是的中点 ∴， ， ， （2），M是的中点， ， , ， 同理， ， ， 是等腰直角三角形， ∵点N是的中点，， ∴． 【易错警示】 该定理只适用于直角三角形，普通三角形不可套用。定理仅针对斜边，直角边上中线无此性质。常出现不说明直角就直接用中线等于斜边一半，或是混淆斜边与直角边。证明、计算时必须先点明三角形为直角三角形，补齐条件，否则推理不成立，造成扣分。 题型13 直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半 61．如图，在中，，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 62．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，含的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质可得到，可求得，再根据直角三角形的性质可求得，可得答案． 【详解】解：∵为线段垂直平分线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 63．如图，，平分，于点M，点N是射线上的一个动点，若，则线段长的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点H，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点P作于点H，如图所示： ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：线段长的最小值即为的长， ∴线段长的最小值是2； 故答案为2． 64．如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解． 根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点G， ∵点在的平分线上， ，， ， ， ． 故答案为：6． 65．如图，在等边中，点，分别在边、上，过点作，过点作，交的延长线于点． (1)求证：为等边三角形； (2)若，则_____． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质求得，利用平行线的性质求出，最后利用等边三角形的判定求解； （2）根据， 易得，利用等边三角形的性质求出，利用含的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ． ， ， ， 是等边三角形． （2）解：， ， ， ． 是等边三角形，， ． 在中，， ． 故答案为：． 【易错警示】 本定理仅限直角三角形使用，必须分清边角对应关系：30° 锐角正对的直角边才是斜边一半。易出错点：混淆角的对边，误把 60° 对边当作短边；未说明直角三角形就直接套用。解题需先点明直角、30° 角，再推出边长关系，缺少前提会导致证明步骤扣分。 题型14 等腰三角形中存在性问题 66．如图，已知在中，，点D在上，且，点P 在边上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使与全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】，或， 【分析】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意求出，，分情况根据全等三角形的对应边相等列式计算即可； 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 设运动时间为t， 则， 当时，， ∴， ∴，． 当时，， ∴， ∴，． 综上，当，或，时，与全等． 67．在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、一元一次方程的应用、含角的直角三角形的性质等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）证明是等边三角形，即可得到； （2）证明是等边三角形，利用列方程，解方程即可； （3）分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ （2）解：由题意可得，则，    如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得； （3）解：存在， 由题意可得，，，， 如图，当时，， ∴，即， 解得， 如图，当时，， ∴，即， 解得，     ∵ ∴符合题意， 综上可知，或 68．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了列代数式、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，数形结合是解决问题的关键． （1 ）根据即可列代数式； （ 2）先求出，再由三角形面积公式求解； （3 ）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，，此时点在上，如图所示： ∴的面积； （3）解：存在， 理由如下： 当以为底时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，如图所示： 则， ∴， 综上所述：存在，的值为或． 69．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段长度：________，________； (2)当为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交于点D．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，； 故答案为：，； （2）解：，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ． ． 解得； 情况2：当时，， ． ， 解得． 因为点到点停止运动，所以的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； （3）解：假设存在点为线段中点的情况． 过点作交于点． 是等边三角形，， 是等边三角形． ， ． ， ，． 是中点， ． ， ，． ，， ， 解得． 当时，． ， ． 经检验，当时，在延长线上，与交于点，符合题意． 【点睛】本题主要考查了动点问题，等边三角形的性质，列代数式，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 70．（1）如图1，已知，以为边向外分别作等边和等边，连接．试探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，连接，当是等边三角形时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）,理由见解析（2）,理由见解析（3）存在，长的最大值为， 【分析】本题考查l等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，得到， 推出，即可得到； （2），理由如下，延长，取，连接，可得到是等边三角形，推出，得到，即可得到； （3）存在，以为边向外作等边，连接，证明，得到，推出，三点共线时，的值最大，最大值为，得到长的最大值为，此时． 【详解】解：（1），理由如下， 等边和等边， ， ，即， ， （2），理由如下， 如图，延长，取，连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， ； （3）存在，如图，以为边向外作等边，连接， 都是等边三角形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 三点共线时，的值最大，最大值为， 长的最大值为，此时． 【易错警示】 解题要分三类讨论：两腰分别为已知两边、底边为已知边，不可漏情况。易忽略点在直线上的左右、上下两种位置，出现丢解；未验证三边能否构成三角形，出现无效解。画图不全、分类标准混乱是常见失分点，每种情况都要单独计算并检验，保证答案完整准确。 题型15 等腰三角形中的最值问题 71．如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故点D是BC边的中点，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BP+PD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形， AD⊥BC ∴点D是BC边的中点 ∴BD=CD==3 ∵的面积为21 ∵EF是线段AB的垂直平分线 ∴点B关于直线EF的对称点为点A ∴AD的长为BP+PD的最小值 ∴△PBD的周长最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 72．如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点， AD⊥BC于点D， ∴S△ABC= =60， ∴AD=12， 设AD与EF的交点为P， ∵EF垂直平分AB， ∴点A，B关于直线EF对称， ∴PA=PB， 此时AD的长为PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为12， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 73．如图，中，，，，D为中点，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为_____________． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道的长度的最小值是解题的关键．连接，根据三角形的面积公式得到，由垂直平分，得到，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：如图所示：连接， ∵，D是中点， ∴于点D， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 74．如图，等腰中，是的中点，分别是和上的动点，能使的值最小，这个最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，过点C作于点G，根据题意得出所在直线是等腰的对称轴，根据两点之间线段最短和垂线段最短，得出的最小值为的长，根据三角形面积，求出结果即可． 【详解】解：连接，过点C作于点G， 是的中点， 所在直线是等腰的对称轴， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， 的最小值为的长， ， ∴． 故答案为：． 75．综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，掌握作对称点构造将军饮马模型是解题的关键． （1）作点关于、的对称点，，连接交相交于，则点B，C即为所求； （2）根据对称性可得，，即可得到为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解（1）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与相交于两点，即为所求． （2）连接 ． 由对称性可知是的垂直平分线， ∴，   ∴为等腰三角形，， 同理可证得：是的垂直平分线，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接，则， ∴， 由两点之间，线段最短可知，此时最小， ∴的周长最小值为． 题型16 等腰三角形的动点问题 76．如图，等边的边长为，点在边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解题的关键． 先利用轴对称性质，将转化为，根据两点之间线段最短，当、、共线且时，取得最小值．再结合等边三角形的角度与边长，通过解直角三角形求出的长度． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、，过点作于， ∵等边的边长为，， ∴． ∵点关于直线的对称点为，， ∴，在的延长线上，， ∴．， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． 当与重合时，取最小值，即最小， ∴取最小值时，． 故选：． 77．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（   ） A．4 B．6 C．4或12 D．6或12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．先求出，再分两种情况：①当点在上运动时，则要使钝角是等腰三角形，只能是，建立方程，解方程即可得；②当点在上运动时，此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形，只需，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴． 由题意得：，， ①当点在上运动时，，此时是钝角三角形， 则要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∴； ②当点在上运动时，， ∵， ∴此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形， ∴只需， ∴， ∴； 综上，的值为4或12， 故选：C． 78．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据  是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 P 在上，或点 P 在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，当点 P 在上，时，是等腰三角形，      ∵，，   ∴当时，，解得；   如图，当P在上，时，是等腰三角形，   ∵，，   ∴当时，，解得；   综上可得：当或5秒时，是等腰三角形， 故选：D．   79．如图，直线平分，过点作交于点．动点同时从点A出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点的运动时间为．    （1）的度数为_______． （2）当点沿射线运动时，若，则的值为_____． （3）当动点在直线上朝一个方向运动时，若与全等，则的值为_____． 【答案】 /45度 2.4或4 2或6 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质即可得； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式可得，再分两种情况：①点在上，②点在点的右侧，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①点在点A的上方，②点在点A的下方，根据全等三角形的判定求解即可得． 【详解】解：（1）， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，作于点，      则， ，，， ，即， 由题意得：，， ①当点在上时，， 则， 解得； ②当点在点的右侧时，， 则， 解得， 综上，的值为或4， 故答案为：或4； （3）①如图，当点在点A的上方时，      由（1）可知，， ， 则要使与全等，需满足，且点在上， ， 解得； ②如图，当点在点A的下方时，      由（1）可知，， ，， 则要使与全等，需满足，且点在点的右侧， ， 解得， 综上，的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形全等的判定、等腰三角形的判定等知识点，正确分情况讨论是解题关键． 80．我们规定对角互补的四边形称为对补四边形． （1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为________． （2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为________． 【答案】 4.8 【分析】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）利用同角的补角相等证明即可； （2）设运动时间为．由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，设运动时间为秒，则，， ， 当时，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为． 故答案为：4.8 【易错警示】 动点需按三类腰相等分类讨论，易遗漏动点两侧位置丢解。忽略动点运动范围，算出超出线段、直线区间的无效解。未结合图形判断边长正负，不检验三边能否构成三角形。画图不完整导致分类混乱，计算时混淆腰与底边，缺少分类依据直接列式，推理不完整造成大量失分。 题型17 等腰三角形中的旋转问题 81．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据旋转的性质，平行线的性质计算即可． 【详解】∵， ． 由旋转，得，， ． ． ． 故选C． 82．如图，在中，,，将点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质,三角形内角和定理,等边三角形的判定性质．根据题意可知,即,得到是等边三角形,据此即可求得本题答案． 【详解】解：∵,, ∴, ∵将绕点顺时针旋转至，即其中一个旋转角为, ∴, ∴是等边三角形, ∴, 故选： B． 83．如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形；②；③；④．其中正确的是_______ 如图，在中，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 首先根据等腰直角三角形的性质可以判定，，，根据同角的余角相等可证，，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得：，所以可知结论④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ， ，， ， ， ∴． ∵， ， 在和中， ， ，故③正确； ， 是等腰直角三角形， 故①正确； ， ， ，， ， 故②正确； ， ， 又， ， ，` 在中， ， 故④错误． 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 84．如图，点是等边内一点，，，将绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，当____________°时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】由旋转得到，，，推出是等边三角形，得到，则，，再分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， ， ，， 当时，， ； 当时，， ； 故答案为：或． 85．在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； (1)若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； (2)若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； (3)在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【答案】(1)150；30 (2)或 (3)的最大值 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①由，推出，，可得，求出即可； ②由，推出，，可得，求出即可； （2）利用（1）中方法可得结论； （3）结论：的最大值．如图4中，作点C关于直线的对称点，连接．利用全等三角形的性质证明可得结论． 【详解】（1）解：①如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150； ②如图3中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30； （2）解：当在内旋转时，． 当在外旋转时，． 故答案为：或． （3）解：结论：的最大值． 理由：如图4中，作点C关于直线的对称点，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 题型18 等腰三角形的新定义问题 86．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 87．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 88．定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰是“3倍长三角形”，底边的长为3，则等腰的周长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“3倍长三角形”是解本题的关键．由等腰是“3倍长三角形”，可知或，若，可得的长为9；若，因为，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；再根据周长的多余即可得答案． 【详解】解：等腰是“3倍长三角形”， 或， 若，则三边分别是9、9、3，符合题意， 等腰三角形的周长为； 若，则，三边分别是1、1、3， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在； 综上所述，等腰三角形的周长为 故答案为： 89．【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】（1）见解析；（2）2或4；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新概念是解题的关键． （1）由题意得点D是的中点，再证明，得，从而可证结论成立； （2）分两种情况：当点P在线段的延长线上时；当点P在线段的反向延长线上时；利用“友好三角形”的意义即可求解； （3）分是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解． 【详解】（1）证明：∵和是“友好三角形”， ∴D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的边上的中线， ∴和是“友好三角形”； （2）解：当点P在线段的延长线上时，如图2， 当时，和是“友好三角形”, ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段的反向延长线上时，如图3， 当和是“友好三角形”时,则， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为2或4； （3）解：当是顶角时，则底角为， ∴； 当是底角时，则顶角为， ∴； 综上，k的值为或； 故答案为：或． 90．阅读与思考． 请认真阅读并完成相应的问题： “友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． (1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________； (2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)和是“友爱三角形”，理由见解析． 【分析】（1）由“友爱三角形”的定义得到由直角三角形的性质得到即可求出； （2）由直角三角形的性质得到判定和是“友爱三角形”． 【详解】（1）解：如图是“友爱三角形与互为“友爱角 ； （2）解：如图和是“友爱三角形”，理由如下： 由知 和是“友爱三角形”． 1．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．本题需结合等腰三角形两腰相等的性质，分情况讨论第三边的长度，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不符合的情况． 【详解】解：等腰三角形两边长为、 分两种情况讨论 ①若第三边长为，则三边为、、 ，不满足三角形两边之和大于第三边的关系 此情况不成立 ②若第三边长为，则三边为、、 ，，满足三角形三边关系 此情况成立 第三边长为 故选：B． 2．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵，，点在边上，的周长为13， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误； 且题干中没有给出的大小，故D选项错误； 故选：C 3．如图，中，，，，D是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵D是的中点， ∴． 4．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 5．如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 6．如图，，P是内部的一点，点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，连接．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴的周长是． 7．如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质；过点作， 交于点，根据角平分线的性质可得和， 再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明， 求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解： 如图， 过点作， 交于点， 如图所示： 由条件可知， ， ∵， ， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴的面积是 故选：B． 8．如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点D作，根据角平分线的性质得出，再根据30度所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 10．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质与判定，如图：连接交于点O，证明垂直平分， ，，可得，再证明，进一步求解即可. 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 12．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据旋转的性质可得对应边相等，以及旋转角相等，进而判断和为顶角相等的等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理即可得出与相等的角． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，． 在中， ， 为等腰三角形． ． 在中， ， 为等腰三角形． ． ， ． ． ． 又，， ． 即与相等的角是：（答案不唯一）． 13．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________． 【答案】6 【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：6． 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论．等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，需要分类讨论．当三角形为锐角三角形时，顶角为；当三角形为钝角三角形时，顶角为． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， 当在外部时，如图2，   为高， ， ， ∴， 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 15．如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 16．如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等边三角形，折叠的性质，等边对等角的知识，掌握等边三角形的判定和性质是关键． 如图所示，连接，可得为等边三角形，根据折叠可得，结合角的和差计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴为等边三角形，，， ∵，即， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时的值最小，即点与点重合时的周长最小，根据等边对等角可知，再根据角之间的关系求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 则的周长为， 是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 当点、、三点共线时的值最小， 此时点与点重合， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 当的周长取最小值时，． 18．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，交于，根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是，即可求出答案． 【详解】解：连接，交于，如图所示： ∵沿折叠和重合， ， 垂直平分，即和关于对称， ， ∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是， 的周长的最小值是． 19．如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 【答案】7 【分析】在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，最后计算即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点D， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 21．如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 【答案】、、的度数分别为，， 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； ． 22．如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定及全等三角形的性质、直角三角形的性质，关键是利用证明三角形全等，再结合全等性质与直角三角形的角度关系求解． （1）先根据判定和为直角三角形，再结合已知和公共边，利用定理证明全等． （2）由全等三角形的性质得，在中求出的度数，再利用三角形外角性质或直角三角形两锐角互余的关系，建立关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 在中，，， ∴， 又∵，， ∴，即， 解得； 故答案为：． 23．（1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 【答案】（1）④等角对等边（2）见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：，推出即可求证； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 24．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用． (1)先根据，，，判定，得出，进而得到为等腰三角形； (2)根据，得出，再根据平角的定义，得到，最后判定等腰为等边三角形． 【详解】（1）解：在和中， ，    ． （2）解：在中， ， 又 ，， ，     ， 是等边三角形． 26．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． 【答案】(1)7 (2)15 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等腰三角形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义得，再根据“两直线平行内错角相等”得，进而得出，同理可得,然后根据得出答案； 对于（2），先根据题意求出，再根据的周长得出答案． 【详解】（1）解：是的平分线， ． ， ， 即， ； 同理是的平分线 ， ； ， ； 即， , ； （2）解：的周长为25，， ， 的周长． 27．【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】 (1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________． 【变式运用】 (2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长． 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证，则，．由，可得； （2）先证．则．由，可得的长度； （3）证明，．可得．则可求． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ． ，， ． ． ． 在和中 ． ，． ， ． （2）解：，， ． ． ， ． 在和中 ． ，． ， ； （3）解∶过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示∶ ． 是边上的高， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． 同理可证明∶． ． ． ． 28．如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质、正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据等边三角形的判定证明； （2）过点O作于F，根据含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，过点O作于F， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ． 29．如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一． （1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）根据三线合一可知点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：，， ， 是的中点， ， ∴； （2）解：，， 点是的中点， ， ， ， 的周长． 30．新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 (1)用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_____(填序号)； 【问题探究】 (2)如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，连结，求证：平分； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 【答案】(1)①②④ (2)证明：法：如图，过作于点，作，交于点， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在角平分线上， 平分； 法：如图，四边形是邻等对补四边形，延长至点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分； (3)或或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）过作于点，作，交于点，则，又四边形是邻等对补四边形，所以，又，则有，证明，所以，从而得点在角平分线上，即有平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有①②④； 故答案为：①②④； （2）略 （3）解：在中，，， ， 四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ， ， ， ， ； ②当，时，如图， ，， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ； ③当时，如图，同②； ④当，时，如图， ； 综上所述，的大小为或或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 等腰三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 等腰三角形的定义 题型2 等边对等角 题型3 三线合一 题型4 等腰三角形的判定 题型5 等腰三角形的性质 题型6 等边三角形的定义 题型7 等边三角形的判定 题型8 等边三角形的性质 题型9 格点图中画等腰三角形 题型10 尺规作等腰三角形 题型11 直角三角形的性质 题型12 斜边的中线定理 题型13 直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半 题型14 等腰三角形中存在性问题 题型15 等腰三角形中的最值问题 题型16 等腰三角形的动点问题 题型17 等腰三角形中的旋转问题 题型18 等腰三角形的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等腰三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 斜边的中线定理 直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半 1. 掌握等腰、等边三角形定义与性质，能准确区分两类三角形的边角特征。 2. 熟练运用等腰三角形三线合一性质，规范完成几何计算与推理证明。 3. 掌握等边三角形判定方法，可结合性质解决基础几何题型与变式题。 4. 理解直角三角形斜边中线定理，明确适用条件，能运用定理进行边长计算。 5. 掌握直角三角形30°角边角性质，精准辨析边角对应关系，规避应用误区。 6. 学会分类讨论解决动点、存在性问题，培养严谨的几何解题思维。 学习重点：掌握等腰、等边三角形的性质与判定及三线合一规律，熟练运用直角三角形斜边中线、30°角边角性质进行计算与推理。 学习难点：掌握等腰三角形分类讨论解题，突破图形综合边角转化难点，精准区分直角三角形两大定理适用条件与边角对应关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等腰三角形的定义与作法 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 即时即练 1．下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 2．已知等腰三角形一边长是5，一边长是11，它的周长是（   ） A．27或21 B．21或16 C．27 D．16 3．如图，小红用尺规作出一个等腰三角形，其判定依据是“等腰三角形的定义”，请你再用两种不同方法尺规作出等腰三角形，并分别写出判定依据（保留作图痕迹，无需写出作法）． 知识点02 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 即时即练 4．如图，在中，，为中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，若，，则________． 6．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求 知识点03 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 即时即练 7．如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 8．如图，，，，相交于点，过点作 于点． (1)求证：； (2)求证：． 9．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 知识点04 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 即时即练 10．如图，在等边中，点，分别在边、上，过点作，过点作，交的延长线于点． (1)求证：为等边三角形； (2)若，则_____． 11．如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 12．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点05 等腰三角形与等边三角形 ①等腰三角形和等边三角形对比 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 即时即练 13．如图，等腰三角形中，，平分，交于点，为上一点，为上一点，且，连接，．当的最小值为8时，的长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 14．如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（    ）s时，是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 15．如图，点是边长为6的等边三角形边上一点，连接并绕点顺时针旋转60度得线段，连接，当是等腰三角形时，的长为______． 知识点06 直角三角形概念与性质 直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 即时即练 16．如图，，，于E，于D．，，______ 17．如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 18．已知：如图，，M、N分别是的中点． (1)求证： (2)当 时，． 题型1 等腰三角形的定义 1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 2．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（    ） A． B． C． D．或 3．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 4．已知，，为的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则为_______三角形． 5．已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 题型2 等边对等角 6．五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在三角尺中，，，将三角尺绕点A按顺时针方向旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为 A． B． C． D． 8．如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 9．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 10．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 题型3 三线合一 11．如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 14．如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 15．如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【易错警示】 三线合一仅适用于等腰三角形，特指顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合。不可随意套用在普通三角形，也不能把腰上的高、中线混用。证明时需先点明三角形等腰，再推导线段、角度相等，忽略等腰前提直接使用定理，会造成逻辑漏洞失分。 题型4 等腰三角形的判定 16．已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 17．已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 18．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 19．如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 20．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求 题型5 等腰三角形的性质 21．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 22．如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 23．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 24．如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为______． 25．如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 题型6 等边三角形的定义 26．在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 28．在中，三个内角的度数分别为，，，且满足等式，这个三角形是（　　） A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 29．已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为_______三角形． 30．的三边长为，且满足等式，则的形状是______________三角形． 题型7 等边三角形的判定 31．如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 32．如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 33．如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点B落在点E的位置．判断的形状并加以证明． 34．如图，在中，是中线，使，若，．求证：是等边三角形．    35．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 题型8 等边三角形的性质 36．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 37．如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． (1)在图中画出线段，； (2)求证：． 38．如图，是边长为1的等边三角形，是等腰三角形，，，点M、N分别在，上，连接，求周长．    39．为正三角形，点M是边上任意一点，点N是边上任意一点，且，与相交于Q点，等于多少度？    40．如图，点C在线段上，（点C不与A、B重合），分别以为边在同侧作等边和等边，连接交于点P． (1)猜想并证明：线段与的数量关系为___________． 证明： (2)求证：； (3)求的度数． 题型9 格点图中画等腰三角形 41．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 42．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 43．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 44．如图，在的方格纸中，点A，B，P均在格点上，请按下列要求作格点三角形（顶点在格点上）． (1)作一个等腰三角形，使得点P在的内部． (2)在（1）的基础上，作，使得它和关于点P成中心对称． 45．如图，在边长为1的小正方形网格中，线段的端点均在格点上．    (1)在图1中画出一个面积为6的等腰三角形（点C在格点上）； (2)在图2中画出一个等腰直角三角形（点D在格点上），并直接写出的面积． 题型10 尺规作等腰三角形 46．如图，在中，，请根据要求完成以下任务： (1)利用直尺与圆规，在的下方作；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)利用直尺与圆规，作的垂直平分线，垂足为，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)若，求的长． 47．如图，在中，，用直尺和圆规在斜边上作一点M，使得点M到点C的距离与点M到边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 48．如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 49．如图，，．    (1)用直尺和圆规作图：在射线上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 50．如图，已知．    (1)在图中用直尺和圆规作的角平分线，作，使得，射线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断的形状，并证明你的结论． 【易错警示】 作图时圆规半径需固定，避免两腰长度不等。若已知底边作等腰三角形，圆弧半径要大于底边一半；已知腰长作图，找准顶点刻度。作图完成后要连接完整三边，不能遗漏底边，同时规范书写结论。切勿混淆腰与底边，不固定半径会直接作出非等腰图形。 题型11 直角三角形的性质 51．如图，，，垂足分别为E，F．已知，，则______． 52．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 53．如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为______度． 54．如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 55．已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 题型12 斜边的中线定理 56．如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 57．如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 58．如图，在中，分别是边上的高，M为的中点，，，则的周长是（　  　） A．10 B．12 C．14 D．16 59．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为____________． 60．在四边形中，，M、N分别是的中点．    (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 【易错警示】 该定理只适用于直角三角形，普通三角形不可套用。定理仅针对斜边，直角边上中线无此性质。常出现不说明直角就直接用中线等于斜边一半，或是混淆斜边与直角边。证明、计算时必须先点明三角形为直角三角形，补齐条件，否则推理不成立，造成扣分。 题型13 直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半 61．如图，在中，，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 62．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 63．如图，，平分，于点M，点N是射线上的一个动点，若，则线段长的最小值是______． 64．如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则___________． 65．如图，在等边中，点，分别在边、上，过点作，过点作，交的延长线于点． (1)求证：为等边三角形； (2)若，则_____． 【易错警示】 本定理仅限直角三角形使用，必须分清边角对应关系：30° 锐角正对的直角边才是斜边一半。易出错点：混淆角的对边，误把 60° 对边当作短边；未说明直角三角形就直接套用。解题需先点明直角、30° 角，再推出边长关系，缺少前提会导致证明步骤扣分。 题型14 等腰三角形中存在性问题 66．如图，已知在中，，点D在上，且，点P 在边上，以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，点Q在边上，以每秒a 个单位长度的速度由点C向点A运动．是否存在某一时刻，使与全等，若存在，求出a的值和相应的时刻；若不存在，请说明理由． 67．在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 68．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 69．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段长度：________，________； (2)当为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 70．（1）如图1，已知，以为边向外分别作等边和等边，连接．试探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，连接，当是等边三角形时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 【易错警示】 解题要分三类讨论：两腰分别为已知两边、底边为已知边，不可漏情况。易忽略点在直线上的左右、上下两种位置，出现丢解；未验证三边能否构成三角形，出现无效解。画图不全、分类标准混乱是常见失分点，每种情况都要单独计算并检验，保证答案完整准确。 题型15 等腰三角形中的最值问题 71．如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 72．如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 73．如图，中，，，，D为中点，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为_____________． 74．如图，等腰中，是的中点，分别是和上的动点，能使的值最小，这个最小值为________． 75．综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 题型16 等腰三角形的动点问题 76．如图，等边的边长为，点在边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 77．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（   ） A．4 B．6 C．4或12 D．6或12 78．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 79．如图，直线平分，过点作交于点．动点同时从点A出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点的运动时间为．    （1）的度数为_______． （2）当点沿射线运动时，若，则的值为_____． （3）当动点在直线上朝一个方向运动时，若与全等，则的值为_____． 80．我们规定对角互补的四边形称为对补四边形． （1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为________． （2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为________． 【易错警示】 动点需按三类腰相等分类讨论，易遗漏动点两侧位置丢解。忽略动点运动范围，算出超出线段、直线区间的无效解。未结合图形判断边长正负，不检验三边能否构成三角形。画图不完整导致分类混乱，计算时混淆腰与底边，缺少分类依据直接列式，推理不完整造成大量失分。 题型17 等腰三角形中的旋转问题 81．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 82．如图，在中，,，将点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 83．如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形；②；③；④．其中正确的是_______ 如图，在中，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直 84．如图，点是等边内一点，，，将绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，当____________°时，是直角三角形． 85．在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； (1)若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； (2)若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； (3)在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 题型18 等腰三角形的新定义问题 86．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 87．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 88．定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰是“3倍长三角形”，底边的长为3，则等腰的周长为______ ． 89．【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 90．阅读与思考． 请认真阅读并完成相应的问题： “友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． (1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________； (2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由． 1．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．4或12 2．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，D是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 4．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 5．如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．如图，，P是内部的一点，点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，连接．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2 11．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 12．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________． 13．如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________． 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为___________． 15．如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 16．如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ________． 17．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°． 18．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 19．如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 20．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 21．如图，在直角中，，是的高，，求与，的度数． 22．如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则_______°． 23．（1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 24．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 25．如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 26．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． 27．【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】 (1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________． 【变式运用】 (2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长． 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______． 28．如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 29．如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 30．新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 (1)用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_____(填序号)； 【问题探究】 (2)如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，连结，求证：平分； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $