第02讲 反比例函数的图象与性质15大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第02讲 反比例函数的图象与性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 画反比例函数图象 题型2 已知反比例函数图象判断其解析式 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型5 判断反比例函数增减性及所在象限 题型6 已知反比例函数的增减性求参数 题型7 比较反比例函数值或自变量的大小 题型8 已知比例系数求特殊图形的面积 题型9 根据图形面积求比例系数 题型10 求反比例函数解析式 题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题 题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题 题型13反比例函数与一次函数综合 题型14 反比例函数与几何综合 题型15 反比例函数的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反比例函数的图象与性质 反比例函数的k值意义 反比例函数解析式 1.认识反比例函数双曲线图象，掌握图象基本特征与分布规律。 2.熟记k的正负对应图象象限，掌握函数增减性特点。 3.能根据解析式画出函数图象，结合图象分析函数性质。 4.理解k的几何意义，会利用性质解决基础计算题型。 5.树立数形结合思想，提升函数图象分析与推理能力。 学习重点：掌握反比例函数图象特征，依据k值判断图象象限、增减性，熟练运用k的几何意义解题。 学习难点：准确辨析跨象限函数值大小，灵活运用k的几何意义求解复杂图形面积问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反比例函数的图象 反比例函数的图象 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 即时即练 1．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 1 2 4 2 1 ，见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】解： 1 2 4 2 1 2．表示关系式①，②，③，④的图象依次是_____，_____，_____，_____． A． B． C． D． 【答案】 C B D A 【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∴，故的图象为C； ②∵，即， ∴， ∴的图象为B； ③∵，即， ∴，即， ∴的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键 3．已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】(1) (2) 函数图象如图所示： 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，图象略． 知识点02 反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 反比例函数的图象与性质易错点： 1、描述增减性遗漏 “在每个象限内”，直接说全体定义域内 y 随 x 增大增减，表述错误。 2、跨象限两点比较函数值，误用增减性判断，忽略一、三象限 y 为正，二、四象限 y 为负。 3、误以为双曲线会与 x 轴、y 轴相交，忽略 x、y 均不能取 0，图象无限趋近坐标轴。 4、运用 k 的几何意义计算面积时，漏掉绝对值，算出负数面积。 5、混淆 k 正负对应的象限，k>0 对应一、三象限，k<0 对应二、四象限易记反。 6、忽略|k|大小影响双曲线远近，错认为 k 正负决定曲线离轴距离。 7、正比例与反比例交点忘记关于原点对称，求解坐标时不利用相反数简化计算。 8、含参题型只考虑指数，忘记反比例系数不能为 0，导致参数多解出错。 9、平移反比例函数，遵循平移口诀：上加下减在末尾，左加右减在中间（x后面）。 10、分不清反比例关系与反比例函数，两个变量乘积定值不代表就是反比例函数。 即时即练 4．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 5．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：由条件可知反比例函数图象在第二，四象限， ， 解得：． 6．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在该反比例函数的图象上， ∴ ∴； （2）解：反比例函数（为常数），当时，的值随值的增大而减小， ． ． 知识点03 反比例函数的解析式 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 即时即练 7．如果反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点的坐标代入解析式解答即可求解． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 8．若反比例函数的图像过点，则其函数表达式为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出比例系数，即可得到函数表达式. 【详解】解：设反比例函数的表达式为：， 反比例函数的图像过点， 将，代入， 得， 反比例函数的表达式为， 故答案为：. 9．已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 知识点04 反比例函数的k值意义 反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 即时即练 10．如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（    ） A． B．-2 C．6 D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定和性质得到，，，根据k的几何意义作答即可． 【详解】解：∵过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C． ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴矩形的面积为， ∵反比例函数经过第二象限， ∴． 11．反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴与的面积相等， 即． 又∵， ∴ 解得：， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 12．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 题型1 画反比例函数图象 1．下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为，由解析式可知，，图象与x轴、y轴都无交点，图象为双曲线． 【详解】解：由反比例函数解析式，可知，， ∴图象与x轴、y轴都无交点， C、B、D的图象都与坐标轴有交点． 故选：A． 2．反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 3．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____（用“＜”连接）． 【答案】k1＜k2＜k3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系． 【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0； y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3； 故答案为k1＜k2＜k3． 【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 4．已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)y随x的增大而增大 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键． （1）根据分母不为零即可得解； （2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可； （3）根据画出的图象回答即可． 【详解】（1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是； （2）解：列表格如下： x … 1 2 3 4 … y … 1.5 2 3 6 … 描点并连线如下： （3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大． 5．画出反比例函数与的图象． 【答案】见解析 【分析】先列表、描点，再画图象． 【详解】解  列表表示几组x与y的对应值（填空）： x … 1 2 3 4 6 12 … … 6 2 … … 12 4 3 1 … 描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数与的图象． 【点睛】此题考查画反比例函数的图象，掌握画函数图象的步骤：列表、描点、连线是解题的关键． 题型2 已知反比例函数图象判断其解析式 6．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 8．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点B的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 9．在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当，反比例函数图象经过第一、三象限，当，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可． 【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10．如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式． 【答案】反比例函数的解析式为y＝－. 【分析】根据平移及AB的长度求出点B坐标即可得答案. 【详解】∵将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A， ∴OA=2， ∵AB//y轴，AB=， ∴B点坐标为：（-2，）， 把B（-2，），代入y＝中，得到k＝－3， ∴反比例函数的解析式为y＝－. 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据平移及AB的长度求出B点坐标是解题关键. 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 11．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 12．如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 13．已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 14．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解答即可． 【详解】解：正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为 ． 故答案为：． 15．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称即可求得的坐标． 【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围 16．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，求出的取值范围后，即可选出符合要求的选项． 【详解】反比例函数的图象位于第二、四象限， ，解得，选项中只有，符合的要求， 故k的取值可以是A项． 17．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数中，当系数时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得． 18．已知反比例函数的图象经过点，，且，那么这个反比例函数的表达式可以是______（写出一个符合条件的表达式）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，易得反比例函数的图象位于第二，四象限，进而得到，即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，，且， ∴反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， ∴这个反比例函数的表达式可以是. 19．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且k为大于的整数，则满足条件的k的值是_________． 【答案】 【分析】图象在第二、四象限可得，再由且为整数，即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 且为整数， 且为整数， ． 20．已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． （1）根据函数图象在第二、四象限，可得，求出k的取值范围即可； （2）根据图象经过点，求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ； （2）解：图象经过点， ， ， ， 当时，， 而当时随的增大而增大， 的取值范围是：． 【易错警示】 由双曲线所在象限求参数时，仅依据象限判断 k 正负，易忽略反比例函数系数不能为 0 的隐藏条件。含参解析式需同时满足两项：x 的指数为 - 1、比例系数与 k 同号，常漏写系数不为 0 的不等式，直接解得参数范围，造成答案多解或错解，做题务必联立双重条件检验。 题型5 判断反比例函数增减性及所在象限 21．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 22．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】反比例函数中，根据点在函数图象上的判定，反比例函数的象限分布和增减性，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵反比例函数， ∴当时，，故A错误； B、∵， ∴反比例函数图象位于第一、第三象限，故B错误； C、∴在每一象限内，随的增大而减小， ∵，两点都在第三象限， ∴，故C正确； D、若，，满足， 此时，， ∴，不符合，故D错误． 23．设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数的比例系数判断图象所在的象限及每个象限内的增减性，再结合已知条件分析点A、B的位置关系，进而确定点B所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且， ∴反比例函数的图象分布在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 当点A和点B都在第二象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A和点B都在第四象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A在第二象限，点B在第四象限时，满足，且满足； 综上所述，点B在第四象限， 故答案为：四． 24．若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 由反比例函数的性质，结合点A和点B的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，确定比例系数的正负，从而求解 【详解】解：∵点和点在反比例函数图像上，且，， ∴该反比例函数在时，y随x的增大而减小， 根据反比例函数的性质，比例系数， 解得， 故答案为 25．已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限． 【答案】(1)； (2)第一、三象限． 【分析】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质； （1）根据图象经过点的意义，代入计算即可； （2）根据反比例函数的符号进行判断即可． 【详解】（1）解：图象经过点， ， 解得：． （2）解：当时， ， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限． 【易错警示】 判断增减性必须带上 “在每个象限内”，不可笼统概括。跨象限比较函数值不能用增减性，应依据 y 的正负区分。容易记混 k 正负对应的象限，同时忽略双曲线永不与坐标轴相交。答题规范表述，先看 k 符号定象限，再分象限分析增减，避免表述不严谨丢分。 题型6 已知反比例函数的增减性求参数 26．已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 27．已知点，在反比例函数的图象上，若，请写出一个符合条件的的值是___． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据已知点的横坐标和纵坐标的大小关系，判断的取值范围，即可得到符合条件的值． 【详解】解：∵，， ∴在同一象限内随的增大而减小， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴（答案不唯一）． 28．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．如果，那么的值可以为______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，任意正数均可） 【分析】根据两点的横坐标均为正，可知两点位于同一象限，再根据反比例函数的性质判断出的取值范围，写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵点，的横坐标都大于， 两点在同一象限， ∵， ∴在该象限内，随的增大而减小， ∴由反比例函数的性质可得， 的值可以为， 故答案为：．（答案不唯一） 29．已知反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性得到出，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的值增大而减小， ∴， 解得． 30．已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求解； （2）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把代入解析式， 得，， 解得，； （2）解：函数图象的每一支，y随x的增大而减小， ， 解得，． 【易错警示】 根据增减性求参数，先由增减性判定 k 正负列出不等式，极易忽略反比例函数系数不能为 0 的前提。含参题型需联立指数为 - 1、系数符号、系数不为 0 三重条件，不少学生只看符号，遗漏限制条件，求出错误参数，算出结果后务必回代检验。 题型7 比较反比例函数值或自变量的大小 31．已知点，，在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点分别代入反比例函数中，求解出a、b、c的值判断大小即可． 【详解】解：∵反比例函数，且点，，， ∴，，， ∴． 32．已知点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知三个点都在给定的反比例函数图象上，只需将各点横坐标代入函数解析式，求出对应的y值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式得 ，， ∵ ∴． 33．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据可判断反比例函数的图象所在象限及每个象限内随的变化规律，结合两点横坐标的大小即可比较和的大小． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大． ， 点，都在第四象限， ． 34．已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答． （2）①直接把代入，进行计算，得，故， ②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得； （2）解：①依题意，把代入， 得， 解得， ∴； ②由①得， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵中的， ∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小， ∴当时，则． 35．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或者 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数上点的特征，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①将点代入函数解析式，求得，再比较大小即可；②利用，求得或，然后再代入求出横坐标即可． 【详解】（1）解：为双曲线上一点， ， ； （2）解：①点和在双曲线上， ， ， ； ②不妨设， 点的坐标为， ， ， ， 或， 当代入，得到； 当代入，得到； 或者． 题型8 已知比例系数求特殊图形的面积 36．如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【答案】A 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 37．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴． 38．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求出四边形的面积． 【详解】解：因为点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、， 所以矩形的面积． 39．如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k值的几何意义可得： ， ∴． 40．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 题型9 根据图形面积求比例系数 41．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为4，则的值为（    ） A．4 B．8 C．－4 D．－8 【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再由反比例函数的图象经过第一、三象限，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 又∵的面积为4， ∴，即， ∴ 42．如图，在平面直角坐标系中，是轴上任意一点，轴，分别交反比例函数、的图像于，两点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数中的面积问题，掌握的值和面积的关系是解题的关键． 连接、，反比例函数上的点与坐标轴垂足以及原点组成的三角形面积为，根据面积与的关系得出对应方程，解出的值． 【详解】解：连接、，如下图： 可知，且， 解得， 故选B． 43．如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是设出点A的坐标代入三角形面积公式． 设点A的坐标为，由此可得点B的坐标为，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵已知是反比例函数上一点， ∴设点A的坐标为， ∵轴于点， ∴点B的坐标为， ∴，的高为， ∴， 即，即， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴． 故选：D ． 44．如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 【详解】解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 45．已知等边，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．    (1)求B点坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求得B的坐标； （2）求出M的坐标，代入即可求得k的值； （3）作轴于C，轴于D，得到，求出的解析式，再联立方程组求出点N的坐标，再根据即可求解． 【详解】（1）∵等边三角形，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限， 作轴， ∵ ∴， ∴， ∴B；    （2）∵M是的中点，， ∴M， 代入得到 ∴反比例函数的解析式为； （3）作轴于C，轴于D，得到， ∵B， ∴设直线为，代入解得， ∴直线为y=x， ∴， 解得或（舍去）， ∴N， ∴．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得M、 N的坐标是解题的关键． 【易错警示】 利用图形面积求 k 时，常忘记面积等于 | k|，直接把面积当作 k，忽略绝对值造成符号出错。部分学生分不清矩形、三角形对应面积公式，计算三角形时漏乘 2。求出 k 后需结合双曲线所在象限判断正负，两步结合才能得到正确比例系数。 题型10 求反比例函数解析式 46．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 47．若点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则k的值为（     ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点的坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将点代入解析式，得，解得 即的值为． 48．已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 49．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴，即 解得 50．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于、两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何的综合． (1)利用待定系数法求出函数的解析式； (2)根据一次函数的解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据求出的面积． 【详解】（1）解：将代入， 可得：，     反比例函数解析式为，     将代入反比例函数解析式， 可得：， 点的坐标为，     将、两点的坐标代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为．     （2）解：， 当时，， 点的坐标是， ， 当，， 解得：， 点的坐标是， ， ，，     ． 题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题 51．函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数及反比例函数结合问题，一次函数和反比例函数图象及性质等．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、由函数的图象得：，由函数的图象得：，符合，故本选项符合题意； B、由函数的图象得：，由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； D、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A 52．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 根据题意得，当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选项； 当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 53．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 54．如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断和间的大小关系为 _____________．    【答案】 【分析】根据正比例函数图象的性质：时，图象经过一、三象限；时，图象经过二、四象限，可判断．根据反比例函数图象的性质：时，图象位于一、三象限；时，图象位于二、四象限，k的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知正比例函数经过第二、四象限， ∴， 又∵反比例函数和图象在第一象限，且更远离坐标轴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出k的取值范围是解题的关键． 55．如图，已知直线与反比例函数的图象相交于点，并且与x轴相交于点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数关系式以及求三角形的面积，关键是求出A点坐标，利用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用待定系数法把代入函数关系式中即可求出a的值；把A点坐标代入反比例函数关系式，即可得到答案； （2）根据题意画出图象，过点作轴于D，根据A的坐标求出的长，再根据点坐标求出的长，根据三角形面积公式即可算出的面积； （3）观察图象，一次函数在反比例函数图象上方的部分对应x的取值即为所求． 【详解】（1）∵点在的图象上， ∴， 将代入， 得，所以反比例函数的解析式为； （2）如图：过A点作轴于D， ∵， ∴， 在直线中，令，得， ∴， ∴， ∴的面积． 即：的面积为； （3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为C， 把代入，整理得， 解得或， 当时，， 所以C点坐标， 由图象知，要使一次函数的值大于反比例函数的值，x的取值范围是：或． 题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题 56．若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解，先根据交点在正比例函数上求出交点的完整坐标，再代入反比例函数求出参数，即可得到解析式． 【详解】解：∵ 点在正比例函数上 ∴ 将代入，得， 解得， 即交点坐标为 又∵ 点在反比例函数上， ∴ ， ∴ 反比例函数的解析式为． 57．若双曲线与直线交于，两点，则不等式的解集是（　　） A．无法确定 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，本题需先根据交点坐标确定双曲线与直线的图象所在象限，再结合函数图象的位置关系，找出双曲线在直线下方时x的取值范围即可． 【详解】解：∵双曲线与直线交于，两点， ∴可画大致图象为： ∴不等式的解集或 故选：D． 58．如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴直线与双曲线的另外一个交点坐标为， 观察图象得：不等式的解集为或． 59．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或， 60．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴ 把代入中得，解得； ∴， 把A、代入到中得：，解得：， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集为：和． 【易错警示】 联立两函数求交点易忽略交点个数，忘记两交点关于原点对称简化计算。比较函数值大小时，漏分区间讨论 x 取值范围，混淆图象上下位置。求解面积时分割图形出错，未结合象限判断坐标正负，最终导致解集、面积计算出现失误。 题型13反比例函数与一次函数综合 61．如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 62．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，利用函数图像求不等式的解集及三角形的面积，解题的关键是理解待定系数法求函数解析式及利用图像比较函数值的大小． （1）利用待定系数求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图像求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； （2）， ， 根据图像，得或； （3）把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 63．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 64．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，两点之间的距离公式． （1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可； （2）先求出点C的坐标，，再求出一次函数与x轴的交点B的坐标，利用两点之间的距离就出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为∶， 反比例函数的解析式为：． （2）∵，， ∴， ∴， 另，解得：， ∴， ∴， ∴． 65．如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法． （1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可； （2）设，构建方程求解． 【详解】（1）解∵一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴P点的坐标为或． 题型14 反比例函数与几何综合 66．如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意可得点P为线段的中点，从而得到点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点P为线段的中点， ∵线段端点的坐标为，， ∴点， 把点代入得： ， 解得：． 67．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 【答案】9 【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值． 【详解】解：设点坐标为， ∴，， 又∵轴于点，轴于点， ∴ 则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，， 则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意得， 解得． 68．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 69．如图，在平面直角坐标系中，正方形边框的边在x轴正半轴上，顶点A，D在第一象限内，反比例函数的图象与交于点E，已知点E的坐标为． (1)求k的值． (2)若边不动，将正方形边框向左下方推动，使点落在y轴的点处．点D落在点处．若点在反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）可得四边形是矩形，，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得． （2）解：， 正方形的边长， 由题意得，，轴， 如解图，过点作于点F， ∵ ∴四边形是矩形， ． 把代入， 解得 ． 点的坐标为． 70．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点A． (1)求k的值． (2)点P为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P坐标为或 【分析】（1）根据已知条件，先求出点A坐标，再根据反比例函数的图象过点A，将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为：，设点，由四边形是正方形，可得，分点P在第一象限和第三象限两种情况，进行讨论，建立关于a的方程，解方程即可求出对应点P坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴点，点，点， ∵反比例函数的图象过点A， ∴将点代入反比例函数解析式中， 可得：； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为：， 设点， ∵四边形是正方形， ∴， 当点P在第一象限时， ∴， ∴，（舍去）， ∴点； 当点P在第三象限， ∴， ∴（舍去），， ∴点； 综上所述：点P坐标为或． 题型15 反比例函数的新定义问题 71．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 72．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 【答案】或 【分析】把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线的图象上， 联立， 解得，， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴函数图象如图： 由图可得，当时，x的取值范围是或． 73．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键． 【详解】解：联立， 解得， ∴点的坐标为， 过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段上有个整点，点，，都是整点， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 74．定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线与双曲线交于点A、B两点．那么双曲线关于直线的割距是______________ 【答案】 【分析】本题主要考查了双曲线与直线的交点问题，勾股定理，解方程组等知识点，根据新定义得出方程组，进而可得，，再勾造直角三角形，利用勾股定理求出的值即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】由题意得： ， 解方程组并检验得： 或， ∴，， 如图，作轴，轴，两线交于点D， ∴在中，， 故答案为：． 75．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （）根据“纵横差”的定义求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为； （2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴函数的“纵横极差”为； （3）解：∵， ∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为， 根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时， 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，符合条件； 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去， 综上所述，的值为． 1．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案 【详解】解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足 ∴ m的值可能为0 2．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【答案】D 【分析】先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 3．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判断大小关系即可． 【详解】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数， 当时，，当时，，当时，， ， ． 4．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 5．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 6．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，利用函数图象解不等式，利用反比例函数和正比例函数图象的性质得到A、B关于原点对称，则点A的横坐标为1，然后写出反比例函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称， ∴两函数的交点A，B关于原点对称， ∵点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 当时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即第一象限内点B的左侧和第三象限内点A的左侧， ∴当时，x的取值范围为或， 故选：C． 7．已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由，故该反比例函数图象位于第二、四象限，当时，函数的最大值为，可得出，再分析函数在上的极值即可得出答案． 【详解】解：∵，故该反比例函数图象位于第二、四象限． 当时，函数在第四象限，且，故随增大而递增． 因此，当时，取得最大值，即：， ∴， 当时，函数在第二象限，随增大而递增， ∴当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最大值，最大值为：， 故选：A． 8．如图，点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，线段、与反比例函数（）的图像相交于点、，连接．则的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数系数与几何图形面积的关系是关键． 根据题意设，则，，由此得到，再利用三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、， ∴设， ∵线段、与反比例函数（）的图像相交于点、， ∴点的横坐标为，则纵坐标为，即， 点的纵坐标为，则横坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设点坐标为，点坐标为，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系． 【详解】设， 点在反比例函数图象上 点在反比例函数图象的上方 ，即 点在一次函数图象上 ，即 ∵矩形 ∴， 点在一次函数图象的下方 ，即 ∵矩形 ∴， ∴ 综上所述，，． 10．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，， ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 11．反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】解：∵反比例函数，， ∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 故当时，y随x的增大而增大. 12．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】先将交点的横坐标代入已知一次函数，求出交点的纵坐标，得到交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数求出的值，即可得到反比例函数的表达式． 【详解】解：把代入中得，则交点坐标为， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数表达式为． 13．在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】先根据确定k的值，得出函数图像的增减性，即可求解． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 在每一象限内，随的增大而增大， ， ． 14．已知点，，都在反比例函数的图象上，则用“”将，，按从大到小的顺序排列为____________． 【答案】 【分析】根据题意得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故． 15．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，图象位于第一、三象限，据此得到，再解不等式即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， 则比例系数， 解得， 故答案为：． 16．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键．依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积可得，从而可得，即可判断得解． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线，轴． 设点，则， ， ． ， 直线：． ， 直线：． ，． 的面积． ． ． ． 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 19．如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移个单位长度后与轴相交于点，为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角三角形若点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则__________． 【答案】 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点．易证得，得到，；设，则点的坐标为，点的纵坐标为．求得平移后的函数解析式为，代入A的坐标得到，令，，即可得到，，根据反比例函数系数得到，解得，进而即可求得． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点． 点与点关于点对称， ． 是以线段为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ． ， ， ，； 设，则点的坐标为，点的纵坐标为． ∵将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与y轴相交于点A， 点在函数的图象上， 把A的坐标代入得， 令， 解得， 点的横坐标为， ，，点的纵坐标为， ，． 点和点都在反比例函数图象在第三象限的分支上， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的规律，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 20．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 21．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象经过一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，当时，图象经过二、四象限，并在每个象限内y随x的增大而增大． （1）将点代入，求出，将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）直接根据反比例函数的图象性质计算即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴点坐标为， 将点代入， ∴， ∴反比例函数为； （2）解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，反比例函数图象在第三象限， ∴时，最大，当时， 最小， ∴当时，的取值范围是． 22．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点．已知， (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得，， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解；设一次函数与x轴交于C，则， ∴， ∴． 23．已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 24．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式： (2)直接写出：不等式的解集是______； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或． (3)4 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解决本题的关键． （1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出点坐标，再将，点坐标代入一次函数求解即可； （2）根据图象即可得出不等式的解集； （3）先求出点坐标，再分别求出和的面积即可求出的面积． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象过， ， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数图象上， ， ， 点的坐标为， 将点，坐标代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数的解析式为：． （2）解：根据图象可知，不等式的解集是：或． 故答案为：或． （3）解：一次函数与轴相交于点， 点坐标为， ， 点坐标为， ， 点坐标为， ， ． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求出经过点的反比例函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及菱形的判定及性质． （1）由，结合平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得出，从而得出四边形是菱形； （2）连接，交于点，根据菱形的性质结合线段、的长度，由此即可得出点的坐标，由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形． 又四边形是矩形， 与相等且互相平分， ． 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点，如图所示． 四边形是菱形， 与互相垂直平分． 又，， ，， 点的坐标为． 设反比例函数解析式为， 则， 经过点的反比例函数解析式为． 26．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 27．如图，矩形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为，点，分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点，，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，将沿翻折，点的对应点落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由矩形与点坐标得到长度，结合算出长，确定点坐标，代入反比例函数求，得到解析式． （2）先由反比例解析式求点坐标，得长度；根据折叠性质得，设，利用勾股定理列方程求解，得到坐标． 【详解】（1）解：，四边形是矩形， ，， ，， ， ． 在上， ， ． （2）解：在上，横坐标为，在上， ， ， 由折叠得：， 设， ， ． 在中，， ∴ ∴， 在左侧，， ， ， ． 28．【阅读理解】对于任意正实数a、b， ∵， ∴， ∴， 只有当时，等号成立． 【数学认识】在（a、b均为正实数）中，若为定值k，则，只有当时，有最小值． 【解决问题】 (1)若，有最小值为 ，此时 ． (2)如图，已知直线与x轴交于点A，过点A的另一直线与双曲线相交于B，若点C为双曲线上任意一点，作轴交直线于点D，试求当线段最短时，求面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可得，则，当且仅当时，等号成立，据此可得答案； （2）设，则，，仿照题意可得，当且仅当时，等号成立，求出等号成立时m的值和的长，再求出点A的坐标，进而根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立，即当时，等号成立，此时或（舍去）， ∴当时，有最小值，最小值为； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立，即当时，等号成立，此时或（舍去）， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∴当时，最短，最短为 ， 在中，当时，， ∴， ∴此时． 29．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)若反比例函数图像经过P点、Q点，求a的值； (2)若是以为底的等腰直角三角形，求a的值； (3)若垂直平分，求a的值； (4)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了反比例函数，坐标与图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用． （1）先用t表示出P，Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论； （2）证明，推出，，，即可解答； （3）先根据垂直平分得出，求出t的值，再由即可得出a的值； （4）分与两种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动， ∴， ∵反比例函数图象经过P点、Q点， ∴， 解得； （2）解：如图，是等腰直角三角形，且，， 根据题意得，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得； （4）解：存在，的值为， 如图， ∵Q为的中点， ∴， 当时，， 即， 整理得，， ∵， ∴此方程无解，即此种情况不存在； 当时，，即， 整理得，，解得， ∵， ∴，即，解得； 综上，存在a使为直角三角形，的值为． 30．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式，一次函数的表达式 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定与性质，利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入求得n的值，再利用待定系数法求解即可； （2）过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点，根据等腰直角三角形的性质证明，设点，，则，从而得到，再列方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ， 解得， ∴； （2）解：过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点， ， ， ， ， ， 设点，， ， ， ， ，即， 两式相加得：，即， 将代入得：，即， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 点是反比例函数图象上点右侧一点， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 反比例函数的图象与性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 画反比例函数图象 题型2 已知反比例函数图象判断其解析式 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型5 判断反比例函数增减性及所在象限 题型6 已知反比例函数的增减性求参数 题型7 比较反比例函数值或自变量的大小 题型8 已知比例系数求特殊图形的面积 题型9 根据图形面积求比例系数 题型10 求反比例函数解析式 题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题 题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题 题型13反比例函数与一次函数综合 题型14 反比例函数与几何综合 题型15 反比例函数的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反比例函数的图象与性质 反比例函数的k值意义 反比例函数解析式 1.认识反比例函数双曲线图象，掌握图象基本特征与分布规律。 2.熟记k的正负对应图象象限，掌握函数增减性特点。 3.能根据解析式画出函数图象，结合图象分析函数性质。 4.理解k的几何意义，会利用性质解决基础计算题型。 5.树立数形结合思想，提升函数图象分析与推理能力。 学习重点：掌握反比例函数图象特征，依据k值判断图象象限、增减性，熟练运用k的几何意义解题。 学习难点：准确辨析跨象限函数值大小，灵活运用k的几何意义求解复杂图形面积问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反比例函数的图象 反比例函数的图象 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 即时即练 1．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 2．表示关系式①，②，③，④的图象依次是_____，_____，_____，_____． A． B． C． D． 3．已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 知识点02 反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 反比例函数的图象与性质易错点： 1、描述增减性遗漏 “在每个象限内”，直接说全体定义域内 y 随 x 增大增减，表述错误。 2、跨象限两点比较函数值，误用增减性判断，忽略一、三象限 y 为正，二、四象限 y 为负。 3、误以为双曲线会与 x 轴、y 轴相交，忽略 x、y 均不能取 0，图象无限趋近坐标轴。 4、运用 k 的几何意义计算面积时，漏掉绝对值，算出负数面积。 5、混淆 k 正负对应的象限，k>0 对应一、三象限，k<0 对应二、四象限易记反。 6、忽略|k|大小影响双曲线远近，错认为 k 正负决定曲线离轴距离。 7、正比例与反比例交点忘记关于原点对称，求解坐标时不利用相反数简化计算。 8、含参题型只考虑指数，忘记反比例系数不能为 0，导致参数多解出错。 9、平移反比例函数，遵循平移口诀：上加下减在末尾，左加右减在中间（x后面）。 10、分不清反比例关系与反比例函数，两个变量乘积定值不代表就是反比例函数。 即时即练 4．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 5．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 知识点03 反比例函数的解析式 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 即时即练 7．如果反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．若反比例函数的图像过点，则其函数表达式为______． 9．已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 知识点04 反比例函数的k值意义 反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 即时即练 10．如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（    ） A． B．-2 C．6 D． 11．反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 12．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 题型1 画反比例函数图象 1．下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____（用“＜”连接）． 4．已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 5．画出反比例函数与的图象． 题型2 已知反比例函数图象判断其解析式 6．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 8．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 9．在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______（写出一个即可）． 10．如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式． 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 11．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 12．如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 14．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 15．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围 16．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 17．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知反比例函数的图象经过点，，且，那么这个反比例函数的表达式可以是______（写出一个符合条件的表达式）． 19．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且k为大于的整数，则满足条件的k的值是_________． 20．已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 【易错警示】 由双曲线所在象限求参数时，仅依据象限判断 k 正负，易忽略反比例函数系数不能为 0 的隐藏条件。含参解析式需同时满足两项：x 的指数为 - 1、比例系数与 k 同号，常漏写系数不为 0 的不等式，直接解得参数范围，造成答案多解或错解，做题务必联立双重条件检验。 题型5 判断反比例函数增减性及所在象限 21．已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 22．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 23．设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 24．若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是______． 25．已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限． 【易错警示】 判断增减性必须带上 “在每个象限内”，不可笼统概括。跨象限比较函数值不能用增减性，应依据 y 的正负区分。容易记混 k 正负对应的象限，同时忽略双曲线永不与坐标轴相交。答题规范表述，先看 k 符号定象限，再分象限分析增减，避免表述不严谨丢分。 题型6 已知反比例函数的增减性求参数 26．已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 27．已知点，在反比例函数的图象上，若，请写出一个符合条件的的值是___． 28．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．如果，那么的值可以为______（写出一个即可）． 29．已知反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小，则的取值范围是______． 30．已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【易错警示】 根据增减性求参数，先由增减性判定 k 正负列出不等式，极易忽略反比例函数系数不能为 0 的前提。含参题型需联立指数为 - 1、系数符号、系数不为 0 三重条件，不少学生只看符号，遗漏限制条件，求出错误参数，算出结果后务必回代检验。 题型7 比较反比例函数值或自变量的大小 31．已知点，，在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 32．已知点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 33．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 34．已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 35．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 题型8 已知比例系数求特殊图形的面积 36．如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 37．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 38．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 39．如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 40．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 题型9 根据图形面积求比例系数 41．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为4，则的值为（    ） A．4 B．8 C．－4 D．－8 42．如图，在平面直角坐标系中，是轴上任意一点，轴，分别交反比例函数、的图像于，两点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 43．如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 44．如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 45．已知等边，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．    (1)求B点坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求的面积． 【易错警示】 利用图形面积求 k 时，常忘记面积等于 | k|，直接把面积当作 k，忽略绝对值造成符号出错。部分学生分不清矩形、三角形对应面积公式，计算三角形时漏乘 2。求出 k 后需结合双曲线所在象限判断正负，两步结合才能得到正确比例系数。 题型10 求反比例函数解析式 46．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 47．若点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则k的值为（     ） A．8 B． C．2 D． 48．已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 49．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 50．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于、两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)连接、，求的面积． 题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题 51．函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 52．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 53．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 54．如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断和间的大小关系为 _____________．    55．如图，已知直线与反比例函数的图象相交于点，并且与x轴相交于点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题 56．若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 57．若双曲线与直线交于，两点，则不等式的解集是（　　） A．无法确定 B．或 C． D．或 58．如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则不等式的解集为______． 59．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 60．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【易错警示】 联立两函数求交点易忽略交点个数，忘记两交点关于原点对称简化计算。比较函数值大小时，漏分区间讨论 x 取值范围，混淆图象上下位置。求解面积时分割图形出错，未结合象限判断坐标正负，最终导致解集、面积计算出现失误。 题型13反比例函数与一次函数综合 61．如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 62．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 63．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 64．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 65．如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标． 题型14 反比例函数与几何综合 66．如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 67．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 68．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 69．如图，在平面直角坐标系中，正方形边框的边在x轴正半轴上，顶点A，D在第一象限内，反比例函数的图象与交于点E，已知点E的坐标为． (1)求k的值． (2)若边不动，将正方形边框向左下方推动，使点落在y轴的点处．点D落在点处．若点在反比例函数的图象上，求点的坐标． 70．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点A． (1)求k的值． (2)点P为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点P的坐标． 题型15 反比例函数的新定义问题 71．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 72．定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 73．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 74．定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线与双曲线交于点A、B两点．那么双曲线关于直线的割距是______________ 75．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 1．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 2．关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 3．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 6．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 7．已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 8．如图，点在反比例函数（）的图像上，过点分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，线段、与反比例函数（）的图像相交于点、，连接．则的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 9．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 12．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为________． 13．在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）． 14．已知点，，都在反比例函数的图象上，则用“”将，，按从大到小的顺序排列为____________． 15．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是____________ 16．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_________． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为______． 18．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 19．如图，将反比例函数图象在第一象限的分支向左平移个单位长度后与轴相交于点，为轴上一点，作点关于点的对称点，再以线段为斜边向下作等腰直角三角形若点和点恰好都落在反比例函数图象在第三象限的分支上，则__________． 20．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则__________． 21．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求反比例函数的的取值范围． 22．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点．已知， (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； 23．已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 24．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式： (2)直接写出：不等式的解集是______； (3)求的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求出经过点的反比例函数解析式． 26．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 27．如图，矩形的顶点与坐标原点重合，点的坐标为，点，分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点，，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，将沿翻折，点的对应点落在轴上，求点的坐标． 28．【阅读理解】对于任意正实数a、b， ∵， ∴， ∴， 只有当时，等号成立． 【数学认识】在（a、b均为正实数）中，若为定值k，则，只有当时，有最小值． 【解决问题】 (1)若，有最小值为 ，此时 ． (2)如图，已知直线与x轴交于点A，过点A的另一直线与双曲线相交于B，若点C为双曲线上任意一点，作轴交直线于点D，试求当线段最短时，求面积． 29．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)若反比例函数图像经过P点、Q点，求a的值； (2)若是以为底的等腰直角三角形，求a的值； (3)若垂直平分，求a的值； (4)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； 30．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $