4.6 两条平行线间的距离 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件围绕“两条平行线间的距离”展开，涵盖公垂线、公垂线段的概念及“所有公垂线段都相等”的性质，通过“平行公路上汽车到另一条公路距离是否变化”的情境导入，衔接点到直线距离知识，搭建新旧联系的学习支架。 其亮点是注重数学思维与探究，通过画图比较公垂线段长度培养几何直观，例2去图后分情况讨论渗透推理意识，课堂小结明确概念区别助知识结构化。既提升学生转化思想与应用能力，又为教师提供情境、探究、例题、小结的完整教学方案。

第4章 平面内的两条直线 4.6两条平行线间的距离 （湘教版）七年级 下 1.知道公垂线、公垂线段和两条平行线间的距离的概念,会测量两条平行线间的距离. 2.知道两条平行线的所有公垂线段都相等.（重点） 3.通过将平行线间的距离转化为点到直线的距离,体验转化的数学思想.（难点） 学习目标 情境导入 想一想： 如果有两条笔直的、平行的公路，一辆汽车在其中一条公路上行驶，它到另一条公路的距离会变吗？如果变了，说明什么？如果不变，又是为什么？” 不变 这个“不变的距离” ，就是我们今天要学习的“两条平行线间的距离”。 思 考 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离.再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 如图，l1∥l2，在直线 l1 上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D. A C B D l1 l2 你能得出AB⊥l1，CD⊥l1吗？为什么？ 探究新知 1、如图，直线 AB 与 CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线. 2、线段 AB ， CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段. 知识总结 1.与两条平行直线________的直线，叫作这两条平行直线的________. 公垂线 ——公垂线和公垂线段的定义 2.连接两个______的线段，叫作这两条平行直线的____________. 公垂线段 垂足 都垂直 ——公垂线段的性质 两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离. 知识总结 两条平行线的所有公垂线段都_______. 相等 几何语言： ∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2 ∴AC=BD 新知探究 思考： 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离．再多取几个点，结果会发生变化吗?由此你会发现什么？ AB=CD=EF 新知探究 与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂 线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段． 图中的线段AB，CD,EF都是平行线a与b的公垂线段. 两条平行线的所有公垂线段都相等. 03 新知讲解 思考 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离 . 再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 如图1，l1// l2，在直线l上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D. 于是AB⊥l1，CD⊥l1. D C B A l1 l2 03 新知探究 公垂线： 与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段 . 图中的线段 AB，CD 都是平行线 l1 与l2的公垂线段. D C B A l1 l2 1、直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线M交AB于M，交CD于N，交EF于O，则直线AB和CD之间的公垂线段是(　　) A.线段MN   B.线段EF C.线段OE     D.线段OF B 小试牛刀 2.如图,a∥b,那么a,b之间的距离的是 ( ) A.AB的长 B.EF的长度 C.AE的长 D.BC的长度 B 思 考 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离.再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ A C C D l1 l2 通过比较，AB与CD相等吗？ 再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 探究新知 如图，l1∥l2，在直线 l1 上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D. 平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离. 如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段， 从而线段AB的长是直线l1与l2之间的距离. 又线段AB的长度是点A到直线l2的距离， 因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A 到直线l2的距离. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 证明： 探究新知 例题精讲 例1 如图，AB// DC，AB=DC， DE⊥AB， BF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗? 解：因为AB//DC，DE⊥AB， 所以DE⊥DC. 又AB//DC，BF⊥CD， 于是BF⊥AB. 因而DE//FB. 例题精讲 例1 如图，AB// DC，AB=DC， DE⊥AB， BF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗? 又DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB， 从而线段DF，EB都是平行线DE与FB的公垂线段. 故DF=EB. 又AB=DC，所以ABEB=DCDF， 即AE=CF. 03 新知探究 比较线段AB与CD的长度，可以发现AB = CD. D C B A l1 l2 再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 公垂线段性质： 两条平行线的所有公垂线段都相等. 数学上已经证明上述结论是真的. 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 03 新知讲解 平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离. 由上述结论可以进一步猜测： 证明：如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段， 从而线段AB的长是直线l1与l2之间的距离. 又线段AB的长度是点A到直线l2的距离， 因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A 到直线l2的距离. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 你能证明吗? D C B A l1 l2 由此可知： 例2 设 a，b，c 是三条互相平行的直线，如图所示.已知a 与b 的距离为 5 ，b 与c 的距离为 2 ，求a 与c 的距离． 解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥c，分别 与 b，c 相交于 B，C 两点． 因为a，b，c 是三条互相平行的直线， 所以∠1 =∠2 =∠3 = 90°， 即 AB⊥b，AC⊥a . 因此，线段 AB，BC，AC 分别是平行线 a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段. 又 AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 ， 因此 a 与 c 的距离是 7 . 例题精讲 议一议 若将例 2 中的“如图所示”去掉，a与c 的距离会变化吗？ a b c A C B AC=AB-BC=5-2=3 没有图形时，分两种情况讨论（如图） a b c A C B AC=AB+BC=5+2=7 探究新知 5 2 5 2 课堂小结 两条平行线的所有公垂线段都相等. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 公垂线、公垂线段与平行线间的距离的区别： 公垂线是一条直线，公垂线段是一条线段，它们都是指一个图形，而平行线间的距离是指两条平行直线的公垂线段的长度，这是一个数值. 03 新知讲解 议一议 若将例2中的“如图所示”去掉，a与c的距离会变化吗？将你的结果与同学交流. a与c的距离有两种情况： 当a与c在b的同一侧时，a与c的距离为3； 当a与c在b的两侧时，a与c的距离为7. 05 课堂小结 两条平行线间的距离 概念 性质 公垂线 公垂线段 平行线间的距离 两条平行线的公垂线段都相等 巩固作业 1.达标作业：P123 练习T1、2 2.提升作业：P123 学而时习之 T1、2 3.拓展作业：P124 温故而知新 T3、4 $