精品解析：北京市人大附中西山学校2025—2026学年八年级下学期阶段测试数学试题

八年级数学 （时间90分钟，分数100分） 一、选择题（每题3分，共24分，每题只有一个正确选项） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＜4 B. x≥4 C. x＞4 D. x≥0 2. 如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. a＝1，b＝2，c＝2 B. a＝2，b＝3，c＝4 C. a＝3，b＝4，c＝6 D. a＝1，b＝1，c＝ 5. 某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小：________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 6. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点 ，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，直线与轴、轴分别交于点， ，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共12分） 9. 如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 10. 二次函数的顶点坐标为________． 11. 某校七年级学生共180人参加了“强国有我”知识竞赛，老师从中随机抽取了15个学生进行了成绩统计，图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．据此可以推断，全年级学生中国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩的学生有________人． 12. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 13. 已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 14. 如图，在正方形中，是上一点， 是点 关于的对称点．若，，则的面积为________． 三、解答题（共64分） 15. 解方程： 16. 如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． （1）求证：； （2）请你添加一个条件：________________，使得平行四边形 成为矩形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接，直接写出的面积：________． （3）对于的所有的值，一次函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出m的取值范围． 18. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点P． 求作：，使得． 作法：如图， ①在直线上取一点A，作射线，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点B； ②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线，以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点Q； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：________，________， （ ________）（填推理的依据）． （3）在（2）的条件下，若，则________． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程恰有一个实根大于，求的取值范围． 20. 在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 21. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）结合图像，当时，直接写出的取值范围． （3）在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 22. 如图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）若，，求菱形BECF的面积． 23. 某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长： b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 24. 随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低． 下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息． 信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系． 汽车仪表盘显示的电量e（%） 0 20 30 50 60 70 80 90 100 累计充电时间t（） 0 5 8 17 22 29 38 50 94 信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系． （1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）： （2）张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶______； （3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为． ①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______； ②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）． 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点M、N，抛物线经过点M． （1）将点N向右平移5个单位长度，得到点P．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． （2）已知，和是抛物线上的三点．当时，都有，求a的取值范围． （3）过点．作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，记点E与点F间的距离为d，当E与F重合时，．若对于，都有，求a的取值范围． 26. 在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． （1）当时，如图1，若，，求线段的长； （2）当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段 及线段 上一点 （不与， 重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点 为线段的中点．则称将点 为线段 关于点 的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段 关于点 的“ 中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段 的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点 为线段 上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段 关于点 的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （时间90分钟，分数100分） 一、选择题（每题3分，共24分，每题只有一个正确选项） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＜4 B. x≥4 C. x＞4 D. x≥0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，进而得出答案． 【详解】解： 在实数范围内有意义，则 解得：x≥4． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确利用x-4是非负数是解题关键． 2. 如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质，掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在中， ， ， ， 故选B． 3. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A、是最简二次根式，此项符合题意； B、，不是最简二次根式，此项不符题意； C、，不是最简二次根式，此项不符题意； D、，不是最简二次根式，此项不符题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义，通过化简进行验证是解题关键． 4. 下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. a＝1，b＝2，c＝2 B. a＝2，b＝3，c＝4 C. a＝3，b＝4，c＝6 D. a＝1，b＝1，c＝ 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、12+22=5≠22，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、22+32=13≠42，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、32+42=25≠62，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、12+12=2=（）2，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5. 某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小：________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差越大数据波动程度越大，方差越小数据越稳定，波动程度越小即可判断． 【详解】由图像可以看出，安全知识出成绩最小值约60分，最大值约100分； 环保知识成绩，最小值约67分，而最大值约92分； 因此，可以得出安全知识成绩分布相较于环保知识成绩更分散，数据波动程度更大，所以方差较大； 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了根据散点图判断方差的大小，方差越大数据波动程度越大越分散． 6. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形即可． 【详解】解：甲：由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∴， 即， ∵， 四边形是平行四边形； 乙：由作图可知，平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； 综上，甲、乙都对． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， 对称轴为， 、异号，即． 故选：B． 8. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 二、填空题（每题2分，共12分） 9. 如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，再结合方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，求解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上可得，实数的取值范围是且． 10. 二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数符合顶点式的形式， ∴二次函数的顶点坐标为． 11. 某校七年级学生共180人参加了“强国有我”知识竞赛，老师从中随机抽取了15个学生进行了成绩统计，图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．据此可以推断，全年级学生中国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩的学生有________人． 【答案】120 【解析】 【分析】作第一象限角平分线，根据角平分线上的点到两坐标轴的距离相等，可知角平分线上及以下的点满足题意，即可得到满足题意的点的个数，再求出样本中满足条件的学生频率，最后用样本频率估计总体的方法计算即可． 【详解】解：观察散点图可知，横轴表示国家安全知识竞赛成绩，纵轴表示航天知识竞赛成绩，“国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩”即横坐标大于或等于纵坐标， 作第一象限角平分线，所以角平分线上及以下的点满足题意，这样的点图中共有10个，所以样本中满足条件的学生频率为， 则全年级学生中国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩的学生人数约为 （人）． 12. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线平移得出直线向右平移2个单位得到的函数解析式为，再求出直线与x轴的交点坐标为，最后得出关于x的不等式的解集是即可． 【详解】解：将直线向右平移2个单位得到的函数解析式为， ∵直线与x轴交于点， ∴将直线向右平移2个单位后与x轴的交点为， 即直线与x轴的交点坐标为， ∵当时，直线的图像在x轴的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 13. 已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 14. 如图，在正方形中，是上一点，是点 关于的对称点．若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，求得，点到的距离为，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， 作于， ∴点到的距离为， ∴的面积为． 三、解答题（共64分） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程整理为一般式，再利用公式法求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般式得 ， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． （1）求证：； （2）请你添加一个条件：________________，使得平行四边形 成为矩形． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵点E，F分别在边上，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵与对角线相交于点O， ∴； （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）根据有一个角是直角的平行四边形，添加，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接，直接写出的面积：________． （3）对于的所有的值，一次函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）且 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出点C的坐标，得到的长，根据三角形的面积公式计算即可； （3）由题意得，对于的所有的值，不等式恒成立，令，分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴这个一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则，解得， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵一次函数， ∴， ∵对于的所有的值，一次函数的值与函数的值之和都大于0， ∴对于的所有的值，不等式恒成立，即恒成立， 令， 当时，则，符合题意； 当时，对于的所有的值，都有， ∴， 解得； 综上所述，m的取值范围为且． 18. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点P． 求作：，使得． 作法：如图， ①在直线上取一点A，作射线，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点B； ②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线，以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点Q； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：________，________， （ ________）（填推理的依据）． （3）在（2）的条件下，若，则________． 【答案】（1）如图，直线即为所求； （2），，三角形的中位线定理 （3） 【解析】 【分析】（1）根据作法，补全图形即可； （2）根据作图，以及三角形的中位线定理，进行作答即可； （3）根据三角形的中位线定理可知. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程恰有一个实根大于，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及公式法解一元二次方程； （1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论； （2）利用公式法解一元二次方程可得出，，结合该方程恰有一个根大于1可得出①或②，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴， 解得：，， ∵该方程恰有一个根大于， ∴①或②， 解不等式组①得：； 解不等式组②得：， ∴的取值范围为或． 20. 在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 【答案】解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 【解析】 【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可． 【详解】略 21. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）结合图像，当时，直接写出的取值范围． （3）在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可； （2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可； （3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴，即， 联立：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：二次函数的表达式为， 当时，得：， 解得：或， 由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方， ∴当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：列表如下： 在直角坐标系中描点、连线即可． 22. 如图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）若，，求菱形BECF的面积． 【答案】（1） 证明： ，D是BC的中点， ， ， 四边形BECF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，再结合已知即可证明结论； （2）设 ，根据题意，求出，，再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设， ，，， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ， 菱形BECF的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长： b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】（1），， （2）乙，丁，丙，甲 【解析】 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 【小问1详解】 解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； 【小问2详解】 解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 24. 随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低． 下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息． 信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系． 汽车仪表盘显示的电量e（%） 0 20 30 50 60 70 80 90 100 累计充电时间t（） 0 5 8 17 22 29 38 50 94 信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系． （1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）： （2）张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶______； （3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为． ①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______； ②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）． 【答案】（1）见解析；（2）60；（3）①86；②49． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）根据表格描点连线即可； （2）根据信息2的图计算即可； （3）①先A服务区到目的地的路程用电，再求出在A服务区充电结束时电量，进而根据信息1的表格作答即可； ②由（1）可知显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为二次函数关系式，求出关系式，由（1）中图可知电量越少充电越快，则两次充电时间均使得到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量为，结合（1）中表格计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由信息2可知，满电量可行驶，且可行驶里程和显示的电量成正比例关系， ∴张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶． 故答案为：； （3）解：①∵A服务区到目的地的路程为， ∴A服务区到目的地的路程用电， ∵到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为， ∴在A服务区充电结束时电量为， ∵到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为， ∴在A服务区的充电时间为， 故答案为：； ②由（1）可知显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为二次函数关系式， 设显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为， 将，，代入得： 解得： 即显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为， ∵A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为， ∴A服务区到B服务区的路程为， ∴A服务区到B服务区的路程用电，B服务区到目的地的路程用电， ∵由（1）中图可知电量越少充电越快， ∴两次充电时间均使得到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量为， 则在B服务区充电结束时电量为， 当时，， ∵到达B服务区时电量为， ∴在B服务区的充电时间为， ∵A服务区到B服务区的路程用电，到达B服务区时电量为， ∴在A服务区充电结束时电量为， ∵到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为， ∴在A服务区的充电时间为， 即在A，B两个服务区的充电时间之和最少为． 故答案为：． 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点M、N，抛物线经过点M． （1）将点N向右平移5个单位长度，得到点P．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． （2）已知，和是抛物线上的三点．当时，都有，求a的取值范围． （3）过点．作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，记点E与点F间的距离为d，当E与F重合时，．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） 或 或 （2） 或 （3） 或 【解析】 【分析】（1）求出点M，N的坐标，再根据平移的性质可得点P的坐标，再把点M的坐标代入抛物线解析式可得，然后分三种情况：当时；当时；当抛物线的顶点在线段上时，结合函数图象解答即可； （2）由（1）得：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时；当时，结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意可得点，，从而得到，再结合二次函数的性质可得当时，取得最小值，最小值为，此时，从而得到，根据对于，都有，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：对于，当时，，当时，， ∴点，， ∵将点N向右平移5个单位长度，得到点P． ∴点，线段所在直线为， ∵抛物线经过点M． ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，，当时，， 如图，当时， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴，解得：， 此时a的取值范围为； 如图，当时， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴，解得：， 此时a的取值范围为； 当抛物线的顶点在线段上时， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∴； 综上所述，a的取值范围为 或 或 ； 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，此时当时，y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴点和在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧， ∵点关于直线的对称点为， ∵当时，都有， ∴，解得：； 当时，抛物线开口向下，此时当时，y随x的增大而增大，且离对称轴越远，函数值越小， ∴， ∴点在对称轴的左侧， ∵点关于直线的对称点为， ∵当时，都有， ∴，解得：； 综上所述，a的取值范围为 或 【小问3详解】 解：∵过点．作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F， ∴点，， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为，此时， ∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴， ∵对于，都有， ∴， 解得： 或 ， 即a的取值范围为 或 ． 26. 在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． （1）当时，如图1，若，，求线段的长； （2）当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理在中求得，过点D作，交的延长线于点E，证明，得到，，从而在中根据勾股定理即可求解； （2）根据题意即可补全图形．过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N，易证，得到．由是等腰直角三角形，得到，因此，根据线段的和差得到．连接，，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而证明，得到，因此点F在的垂直平分线上．连接，可证，因此点E在的垂直平分线上，从而有．取的中点G，连接，根据中位线定理有，，因此．根据勾股定理在中有，转化为相关线段即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 过点D作，交的延长线于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 解：根据题意作图如下： 线段，，之间的数量关系为，证明如下： 过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 连接，，， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 取的中点G，连接， ∵点G是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， ∴． 连接，， ∵，， ∴， ∵点G是的中点，点F是的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段 及线段 上一点（不与，重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段 关于点的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段 关于点的“ 中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段 的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点为线段 上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段 关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）满足条件的的取值范围是； （3）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）以 为边作等边三角形与等边三角形，以为边作等边三角形与等边三角形，根据等边三角形的判定和性质，以及菱形的判定和性质，可得点，，，的坐标，从而可得出线段 关于点的“ 中顶点”； （2）根据“中顶点”的定义，结合三角形的内角和定理可得，可证得四边形为平行四边形，从而确定线段 的“中顶点”的运动轨迹，分析运动过程，确定临界值，解三角形，即可得满足条件的的取值范围； （3）由“中顶点”的定义，结合的取值范围，以 为底边，作顶角为的等腰三角形和等腰三角形，作等边三角形和等边三角形，确定线段 关于点的某个“中顶点”的分布区域，随着的变化，“中顶点”的分布区域沿轴平移，解三角形，确定临界值，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， 以 为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， 以为边作等边三角形与等边三角形，连接，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ，， ∴的中点，的中点，的中点，的中点， 如图，点，，，为线段 关于点的“ 中顶点”： 【小问2详解】 解：的中点记为，的中点记为，的中点记为，的中点记为， 延长，交于点 ，的中点记为点，的中点记为点 ， 延长，交于点，的中点记为点，的中点记为点， 根据“中顶点”的定义可知，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴点在线段上运动，且不与点，点 重合， 同理可得，， 点在线段上运动，且不与点，点重合， 点在线段上运动，且不与点，点 重合， 点在线段上运动，且不与点，点重合， ∵，， ∴，， ∴， 在延长线上截取，则，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 线段 的垂直平分线交轴于点，连接，则， ∴， ∴， 当时，两条坐标轴上都存在线段 的“中顶点”，不符合题意， 当时，只有轴上存在线段 的“中顶点”，符合题意， 当时，两条坐标轴上都不存在线段 的“中顶点”，不符合题意， ∴满足条件的的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，线段 的中点为， 以 为底边，作顶角为的等腰三角形和等腰三角形，作等边三角形和等边三角形，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，阴影区域为线段 关于点的某个“中顶点”的运动轨迹， ∵矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段 关于点的某个“中顶点”， ∴矩形的四条边与阴影区域有交点， 随着的变化，阴影区域沿轴平移，，，，， 当点 在线段上时，， 当点 在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， ∴的取值范围是或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $