北京市人大附中西山学校2025—2026学年八年级下学期阶段测试数学试题

八年级数学 （时间90分钟，分数100分） 一、选择题（每题3分，共24分，每题只有一个正确选项） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＜4 B. x≥4 C. x＞4 D. x≥0 2. 如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. a＝1，b＝2，c＝2 B. a＝2，b＝3，c＝4 C. a＝3，b＝4，c＝6 D. a＝1，b＝1，c＝ 5. 某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小：________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 6. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共12分） 9. 如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 10. 二次函数的顶点坐标为________． 11. 某校七年级学生共180人参加了“强国有我”知识竞赛，老师从中随机抽取了15个学生进行了成绩统计，图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．据此可以推断，全年级学生中国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩的学生有________人． 12. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 13. 已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 14. 如图，在正方形中，是上一点，是点关于的对称点．若，，则的面积为__________________． 三、解答题（共64分） 15. 解方程： 16. 如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． （1）求证：； （2）请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接，直接写出的面积：________． （3）对于的所有的值，一次函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出m的取值范围． 18. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点P． 求作：，使得． 作法：如图， ①在直线上取一点A，作射线，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点B； ②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线，以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点Q； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：________，________， （ ________）（填推理的依据）． （3）在（2）的条件下，若，则________． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程恰有一个实根大于，求的取值范围． 20. 在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 21. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）结合图像，当时，直接写出的取值范围． （3）在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 22. 如图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）若，，求菱形BECF的面积． 23. 某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长： b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 （1）表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； （2）根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 24. 随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低． 下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息． 信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系． 汽车仪表盘显示的电量e（%） 0 20 30 50 60 70 80 90 100 累计充电时间t（） 0 5 8 17 22 29 38 50 94 信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系． （1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）： （2）张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶______； （3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为． ①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______； ②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）． 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点M、N，抛物线经过点M． （1）将点N向右平移5个单位长度，得到点P．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． （2）已知，和是抛物线上的三点．当时，都有，求a的取值范围． （3）过点．作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，记点E与点F间的距离为d，当E与F重合时，．若对于，都有，求a的取值范围． 26. 在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． （1）当时，如图1，若，，求线段的长； （2）当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于线段及线段上一点（不与，重合）给出如下定义：分别以，为底边作顶角均为的等腰三角形和等腰三角形，点为线段的中点．则称将点为线段关于点的“中顶点”． （1）如图1，点，，．在图中画出线段关于点的“中顶点”； （2）已知点，，若有且只有一条坐标轴上存在线段的“中顶点”，直接写出满足条件的的取值范围； （3）已知点，，点为线段上一动点，矩形的顶点坐标分别为，，，．若矩形的四条边（包含端点）上，都存在线段关于点的某个“中顶点”，直接写出的取值范围． 八年级数学 （时间90分钟，分数100分） 一、选择题（每题3分，共24分，每题只有一个正确选项） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（每题2分，共12分） 【9题答案】 【答案】且 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】120 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 三、解答题（共64分） 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵点E，F分别在边上，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵与对角线相交于点O， ∴； （2）（答案不唯一） 【17题答案】 【答案】（1） （2）6 （3）且 【18题答案】 【答案】（1）如图，直线即为所求； （2），，三角形的中位线定理 （3） 【19题答案】 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，该方程总有两个实数根； （2）或 【20题答案】 【答案】解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 【21题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【22题答案】 【答案】（1） 证明： ，D是BC的中点， ， ， 四边形BECF是菱形； （2） 【23题答案】 【答案】（1），， （2）乙，丁，丙，甲 【24题答案】 【答案】（1）解：如图：； （2）60；（3）①86；②49． 【25题答案】 【答案】（1） 或 或 （2） 或 （3） 或 【26题答案】 【答案】（1） （2） 根据题意作图如下： 线段，，之间的数量关系为，证明如下： 过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 连接，，， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 取的中点G，连接， ∵点G是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， ∴． 连接，， ∵，， ∴， ∵点G是的中点，点F是的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即． 【27题答案】 【答案】（1） 点，，，为线段关于点的“中顶点”： （2）满足条件的的取值范围是； （3）的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $