第三章 第19课时 导数与函数的单调性课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性”专题，依据考试要求梳理了导数与单调性关系理解、单调区间求解、单调性应用三大核心考点，通过教材典题改编及2021全国乙卷、2023新高考Ⅱ卷等真题分析，明确判断单调性、求参数范围等常考题型分布，构建系统备考框架。 课件亮点在于“题理结合+分层突破+素养导向”策略，如典例2含参数函数单调性讨论，通过分类导函数零点与定义域关系培养数学思维，典例3构造函数比较大小强化数学语言表达。设“易错警示”和“解题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第19课时　导数与函数的单调性 第三章 一元函数的导数及其应用 [考试要求] 1．能结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 第19课时　导数与函数的单调性 2 以题引理·激活思维 1．(湘教版选择性必修第二册P32练习T1改编)设函数f (x)在定义域内可导，f (x)的图象如图所示，则其导函数f '(x)的图象可能是(　　) A　　　　 　B　　　 　C　　　　　D √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 3 A　[由f (x)的图象可知，当x∈(－∞，0)时，函数f (x)单调递增， 则f '(x)≥0，故排除C，D； 当x∈(0，＋∞)时，函数f (x)先单调递减，再单调递增，最后单调递减，则导函数值f '(x)应先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B，选A．] 4 2．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)已知函数f (x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．1 √ A　[由题设，f '(x)＝x2＋2mx＋n，由f (x)的单调递减区间是(－3，1)，得f '(x)<0的解集为(－3，1)，则－3，1是f '(x)＝0的解，所以 －2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2．] 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 5 3．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT4改编)函数f (x)＝x－ln x的单调递减区间为________． (0，1) (0，1)　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， 由f '(x)＝1－<0，得0<x<1， 所以函数f (x)的单调递减区间为(0，1)．] 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 6 4．(苏教版选择性必修第一册P213例2改编)若函数f (x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________． [－3，0] [－3，0]　[由题意得f '(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0．] 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 7 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导 f '(x)>0 f (x)在区间(a，b)内________ f '(x)<0 f (x)在区间(a，b)内________ f '(x)＝0 f (x)在区间(a，b)内是________ 提醒：f '(x)>0在(a，b)内恒成立是f (x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f '(0)＝0． 单调递增 单调递减 常数函数 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 8 1．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f '(x)的零点； 第3步，用f '(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f '(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 9 2．若函数f (x)在(a，b)内单调递增，则当x∈(a，b)时，f '(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)内单调递减，则当x∈(a，b)时，f '(x)≤0恒成立． 3．若函数f (x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时， f '(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f '(x)<0有解． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 10 考点一　利用导数研究函数的图象 [典例1]　函数f (x)＝的图象大致为(　　) 精研考点·提升素养 √ A　　　　 　B　　　 　C　　　　 　D 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 11 A　[易知x∈R，因为f '(x)＝， 令f '(x)＝0，得x＝0或x＝2， 则当x<0或x>2时，f '(x)<0；当0<x<2时，f '(x)>0， 所以f (x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)内单调递增，所以选项A符合题意．故选A．] 12 名师点评：六大函数的图象 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 13 考点二　利用导数判断函数的单调性 [典例2]　(1)(2026·安徽黄山模拟)已知定义在区间(0，π)上的函数 f (x)＝x－2sin x，则f (x)的单调递减区间为(　　) A． C． (2)已知函数f (x)＝ax2－(1＋a)x＋ln x(a∈R)，试讨论f (x)的单调性． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 14 (1)A　[f '(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)， 令f '(x)＝1－2cos x<0得cos x>，解得x∈， 则f (x)的单调递减区间为． 故选A．] 15 (2)[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f '(x)＝ax－(1＋a)＋． ①当a≤0时，由f '(x)>0，得0<x<1； 由f '(x)<0，得x>1， 所以函数f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ②当0<a<1时，由f '(x)>0，得0<x<1或x>； 由f '(x)<0，得1<x<，所以函数f (x)在(0，1)，内单调递减； 16 ③当a＝1时，f '(x)≥0恒成立，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增； ④当a>1时，由f '(x)>0，得0<x<或x>1； 由f '(x)<0，得<x<1， 所以函数f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在内单调递减． 综上，当a≤0时，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，f (x)在(0，1)，内单调递减；当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在内单调递减． 17 名师点评：研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．主要讨论点： (1)最高次项系数是否为0； (2)导函数是否有零点； (3)导函数零点的大小关系； (4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等． 提醒：所有求解和讨论都必须在函数的定义域内． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 18 [巩固迁移] 1．已知a>0，函数f (x)＝ex－(a－1)x－ln a，讨论f (x)的单调性． [解]　f (x)的定义域为R，f '(x)＝ex－(a－1)．当0<a≤1时，f '(x)>0，则f (x)在R上单调递增；当a>1时，令f '(x)>0，解得x>ln(a－1)， 令f '(x)<0，解得x<ln(a－1)， 所以f (x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减． 综上所述，当0<a≤1时，f (x)在R上单调递增；当a>1时，f (x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 19 2．(2021·全国乙卷节选)已知函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f (x)的单调性． [解]　由题意知f (x)的定义域为R，f '(x)＝3x2－2x＋a，对于f '(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)． ①当a≥时，Δ≤0，f '(x)≥0，f (x)在R上单调递增； 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 20 ②当a<时，Δ>0，令f '(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝， 令f '(x)>0，则x<x1或x>x2；令f '(x)<0，则x1<x<x2． 所以f (x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增；当a<时，f (x)在上单调递增． 21 【教用·备选题】 1．函数f (x)＝2x－－aln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性． [解]　由题意可得f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝2＋， 设g(x)＝2x2－ax＋2，令2x2－ax＋2＝0，Δ＝a2－16， ①当－4≤a≤4时，Δ≤0，此时f '(x)≥0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 22 ②当a<－4时，Δ>0，设方程g(x)＝0的两根为x1，x2， 由x1＋x2＝<0，x1x2＝1>0可知g(x)＝0的两根都小于0，所以f '(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>4时，Δ>0，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝， 由x1＋x2＝>0，x1x2＝1>0可知g(x)＝0的两根都大于0， 所以当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，g(x)>0，f '(x)>0，f (x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增， 23 当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f '(x)<0，f (x)在(x1，x2)内单调递减． 综上所述，当a≤4时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>4时，f (x)在 内单调递减． 24 2．已知函数f (x)＝－aln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性． [解]　函数f (x)＝－aln x的定义域为(0，＋∞)，且f '(x)＝， 若a≤0，令f '(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0，1)时，f '(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0， 所以函数f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 若a>0，令f '(x)＝0，解得x＝1或x＝ln a． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 25 ①若ln a≤0，即0<a≤1，当x∈(0，1)时，f '(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0， 所以函数f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②若0<ln a<1，即1<a<e，当x∈(0，ln a)时，f '(x)>0，当x∈(ln a，1)时，f '(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0， 所以函数f (x)在(ln a，1)内单调递减，在(0，ln a)和(1，＋∞)上单调递增． ③若ln a＝1，即a＝e，可得f '(x)≥0且等号不恒成立， 所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 26 ④若ln a>1，即a>e，当x∈(0，1)时，f '(x)>0，当x∈(1，ln a)时， f '(x)<0，当x∈(ln a，＋∞)时，f '(x)>0， 所以函数f (x)在(1，ln a)内单调递减，在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤1时，f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当1<a<e时，f (x)在(ln a，1)内单调递减，在(0，ln a)和(1，＋∞)上单调递增； 当a＝e时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>e时，f (x)在(1，ln a)内单调递减，在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增． 27 3．已知函数f (x)＝8x－，讨论f (x)的单调性． [解]　f '(x)＝8－＝8－． 令cos2x＝t，则t∈(0，1)，令y＝f '(x)， 则y＝， 当t∈，即x∈时，f '(x)<0； 当t∈，即x∈时，f '(x)>0． 所以f (x)在内单调递减． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 28 考点三　函数单调性的应用 考向1　比较大小或解不等式 [典例3]　(1)(多选)下列不等式成立的是(　　) A．2ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π (2)(2026·广东深圳模拟)已知函数f (x)＝x－sin x，则不等式f (x2＋4x)＋f (3)<0的解集为____________． √ √ (－3，－1) 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 29 (1)AD　(2) (－3，－1)　[(1)设f (x)＝(x>0)，则f '(x)＝，所以当0<x<e时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增；当x>e时，f '(x)<0，函数 f (x)单调递减．因为<2<e， 所以f <f (2)，即2ln ln 2，故选项A正确； 因为<e，所以f ()<f ()， 即ln ln ，故选项B不正确； 因为e<4<5，所以f (4)>f (5)，即5ln 4>4ln 5，故选项C不正确； 因为e<π，所以f (e)>f (π)，即π>eln π，故选项D正确．故选AD． 30 (2)由f (－x)＝－x－sin(－x)＝－f (x)，得f (x)＝x－sin x为奇函数，所以f (x2＋4x)<－f (3)＝f (－3)， 又f '(x)＝1－cos x≥0，故函数f (x)＝x－sin x在R上单调递增，故x2＋4x<－3，故原不等式的解集为(－3，－1)．] 31 【教用·备选题】 1．已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 32 D　[由题意得0<a<5，0<b<4，0<c<3． 令f (x)＝(x>0)，则f '(x)＝， 当0<x<1时，f '(x)<0，当x>1时，f '(x)>0， 故f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为ae5＝5ea，所以， 即f (5)＝f (a)，而0<a<5， 故0<a<1．同理0<b<1，0<c<1，f (4)＝f (b)，f (3)＝f (c)． 因为f (5)>f (4)>f (3)，所以f (a)>f (b)>f (c)， 所以0<a<b<c<1．故选D．] 33 2．(多选)下列命题中正确的有(　　) A．ln 5< C． √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 34 BC　[构造函数f (x)＝(x>0)，则f '(x)＝， 当x∈(0，e)时，f '(x)>0，f (x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f '(x)<0，f (x)单调递减． 对于A，因为2<<e，所以f ()>f (2)，所以， 所以2lnln 2，故ln 5>ln 2，故A错误； 对于B，ln π> <e，故B正确； 35 对于C，ln 2<ln 11＝2ln， 又4>>e，故C正确； 对于D，3eln 2>4⇔2eln >e，显然D错误． 故选BC．] 36 考向2　求参数的取值范围 [典例4]　已知函数g(x)＝2x＋ln x－． (1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围． [解]　(1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0)， g'(x)＝2＋(x>0)． ∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，∴g'(x)≥0在[1，2]上恒成立， 即2＋≥0在[1，2]上恒成立，∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立， ∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]． 在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，∴a≥－3． ∴实数a的取值范围是[－3，＋∞)． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 37 (2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间， 则g'(x)>0在[1，2]上有解， 即a>－2x2－x在[1，2]上有解， ∴a>(－2x2－x)min， 又(－2x2－x)min＝－10， ∴a>－10． ∴实数a的取值范围为(－10，＋∞)． 38 【拓展变式】　(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围． [解]　∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调， ∴g'(x)＝0在区间(1，2)内有解， 则a＝－2x2－x＝－2在(1，2)内有解，易知y＝－2x2－x在(1，2)内单调递减， ∴y＝－2x2－x在(1，2)上的值域为(－10，－3)， ∴实数a的取值范围为(－10，－3)． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 39 名师点评：已知函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)内单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有 f '(x)≥0(f '(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f '(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 40 [巩固迁移] 3．(2025·湖南长沙二模)已知函数f (x)＝sin x＋cos x＋ax(a∈R)在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[ ] C．[－ ] √ D　[由题意得f '(x)＝cos x－sin x＋a≤0在R上恒成立，则a≤sin x－cos x．因为sin x－cos x＝∈[－]， 要使得不等式恒成立，则a≤－．故选D．] 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 41 4．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f '(x)，若f '(x)≤1恒成立，且f (0)＝0，则f (x)≤x的解集为____________． [0，＋∞)　[设g(x)＝f (x)－x，因为f '(x)≤1， 所以g'(x)＝f '(x)－1≤0，所以g(x)在R上单调递减， 又g(0)＝f (0)－0＝0，所以g(x)≤0的解集为[0，＋∞)， 即f (x)≤x的解集为[0，＋∞)．] [0，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 42 【教用·备选题】 1．(2026·河北石家庄开学考试)若a＝，则 (　　) A．c<b<a B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 43 C　[因为a＝，b＝，c＝，所以构造函数f (x)＝(x>0且x≠1)，则f '(x)＝， 当x∈(0，1)时，f '(x)<0，所以f (x)在(0，1)内单调递减， 当x∈(1，e)时，f '(x)<0，所以f (x)在(1，e)内单调递减； 当x∈(e，＋∞)时，f '(x)>0，所以f (x)在(e，＋∞)上单调递增； 综上可知，f (x)＝在(0，1)和(1，e)内单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．所以b＝＝f (4)>f (3)＝＝c． 又因为e<2<3，所以c＝＝f (3)>f (2)＝＝a，可得a<c<b．故选C．] 44 2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 45 C　[因为f (x)＝aex－ln x，所以f '(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，所以f '(x)≥0在(1，2)内恒成立，即aex－≥0在(1，2)内恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)内恒成立．设g(x)＝xex，则g'(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)内，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝ e-1．故选C．] 46 3．已知函数f (x)＝2x－msin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是_______________________． (－∞，－2)∪(2，＋∞)　[因为f (x)＝2x－msin x， 所以f '(x)＝2－mcos x， 又f (x)不是单调函数，所以函数f (x)有极值点， 即f '(x)在R上有变号零点， 则2－mcos x＝0成立， 当cos x＝0时，2－mcos x＝0可化为2＝0，显然不成立； (－∞，－2)∪(2，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 47 当cos x≠0时，m＝， 因为x∈R，－1≤cos x≤1， 所以≤－2或≥2， 所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)(因为要有变号零点，故不能取等号)， 经检验，m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)满足要求．] 48 一、单项选择题 1．若函数f (x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　　) A．(－3，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－3，0)∪(0，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 课后作业(十九)　导数与函数的单调性 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 49 D　[依题意知f '(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点， 故 解得a>－3且a≠0． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．(2026·广东珠海模拟)已知函数f (x)＝sin 2x－x，则在下列区间内，f (x)单调递增的是(　　) A． C． √ B　[因为f (x)＝sin 2x－x， 所以f '(x)＝2cos 2x－1， 令f '(x)＝2cos 2x－1>0，则cos 2x>， 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 51 根据四个选项，可知x∈， 则－<2x<π，又cos 2x>， 所以－，所以－， 所以f (x)在内单调递增， 因为，所以f (x)在内单调递增．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 52 3．(2025·北京通州一模)已知函数f (x)＝x2＋cos x，则f (－2)， f (3)，f (π)的大小关系是(　　) A．f (－2)<f (3)<f (π) B．f (π)<f (3)<f (－2) C．f (3)<f (－2)<f (π) D．f (－2)<f (π)<f (3) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 53 A　[因为f (－x)＝x2＋cos x＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数， f '(x)＝x－sin x，令g(x)＝x－sin x，x∈(0，＋∞)， 则g'(x)＝1－cos x≥0，x∈(0，＋∞)， 所以函数g(x)>g(0)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，f '(x)>0， 所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (－2)＝f (2)<f (3)<f (π)． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 54 4．(2025·山东菏泽一模)已知函数f (x)＝ax2－ln x(a>0)在区间(1，2)内单调，则a的取值范围是(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 B　[由已知得f '(x)＝2ax－，当a>0时，令f '(x)＝0，得x＝， 令f '(x)>0，解得x>；令f '(x)<0，解得0<x<； 故f (x)在区间上单调递增，所以若f (x)在区间(1，2)内单调，则需满足≤1或≥2，即0<a≤或a≥， 所以a的取值范围是． 故选B．] 56 5．(2026·湖南长沙模拟)如图是函数f (x)及其导函数f '(x)在同一坐标系中的图象，则图象正确的为(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 A　　　　 　 B　　　 　C　　　 　 　D √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 57 C　[对于A，若递减的曲线为函数f (x)的图象，则其导函数f '(x)的图象应恒为负值，且从左往右应呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意；若递减的曲线为导函数f '(x)的图象，则函数f (x)的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数f (x)的图象，则其导函数f '(x)的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意；若先增后减的曲线为导函数f '(x)的图象，则函数f (x)的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 58 对于C，当过原点的曲线为导函数f '(x)的图象时，另一条曲线符合 f (x)的图象，即C正确； 对于D，若先减后增的曲线为导函数f '(x)的图象，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然f (x)的图象不符合；若先减后增的图象为原函数f (x)的图象，则另一条曲线应呈现先为负后为正的变化规律，显然f '(x)的图象不符合，即D错误．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 59 6．设函数f (x)，g(x)在R上的导函数存在，且f '(x)<g'(x)，则当x∈(a，b)时(　　) A．f (x)<g(x) B．f (x)>g(x) C．f (x)＋g(a)<g(x)＋f (a) D．f (x)＋g(b)<g(x)＋f (b) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 60 C　[对于A，B，不妨设f (x)＝－2x，g(x)＝1，则f '(x)＝－2，g'(x)＝0，满足f '(x)<g'(x)，若x＝－1∈(a，b)，则f (－1)＝2>1＝g(－1)，故A不正确；若x＝0∈(a，b)，则f (0)＝0<1＝g(0)，故B不正确；对于C，D，令h(x)＝f (x)－g(x)，则h'(x)＝f '(x)－g'(x)<0，所以h(x)在R上单调递减．因为x∈(a，b)，即a<x<b，所以h(b)<h(x)<h(a)．由h(x)<h(a)得f (x)－g(x)<f (a)－g(a)，则f (x)＋g(a)<g(x)＋f (a)，故C正确；由h(b)<h(x)得f (b)－g(b)<f (x)－g(x)，则f (x)＋g(b)>g(x)＋f (b)，故D不正确．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 61 二、多项选择题 7．下列函数在定义域上为增函数的是(　　) A．f (x)＝xln x B．f (x)＝ln x＋x C．f (x)＝x－cos x D．f (x)＝x2ex 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 62 BC　[对于A，f (x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)， f '(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1， 令f '(x)＝0得x＝， 所以在内f '(x)<0，f (x)单调递减， 在上f '(x)>0，f (x)单调递增，故A错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 63 对于B，f (x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝>0， f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确； 对于C，f (x)＝x－cos x的定义域为R，f '(x)＝1－(－sin x)＝1＋sin x， 因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，所以1＋sin x∈[0，2]， 所以当x∈R时，f '(x)≥0，f (x)单调递增，故C正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 64 对于D，f (x)＝x2ex的定义域为R，f '(x)＝x2ex＋2xex＝(x＋2)xex， 令f '(x)＝0得x＝－2或x＝0， 所以在(－∞，－2)上f '(x)>0，f (x)单调递增， 在(－2，0)内f '(x)<0，f (x)单调递减， 在(0，＋∞)上f '(x)>0，f (x)单调递增，故D错误． 故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 65 8．下列不等式中恒成立的有(　　) A．ln(x＋1)≥x－x2 B．ln x>，x∈(0，1) C．ex≤1＋x＋x2 D．cos x≥1－x2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 66 BD　[A选项，令f (x)＝ln(x＋1)－x＋x2，x>－1，则f '(x)＝，x>－1， 当0<x<3时，f '(x)<0，所以f (x)在(0，3)内单调递减， 又f (0)＝0，∴f (3)<f (0)＝0，故A错误； B选项，令f (x)＝ln x－，x∈(0，1)， 则f '(x)＝＝－<0显然恒成立， 所以f (x)＝ln x－在(0，1)内单调递减， 又f (1)＝0，所以当x∈(0，1)时，f (x)>f (1)＝0，即ln x>，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 67 C选项，当x＝3时，e3>1＋3＋32，故C错误； D选项，令f (x)＝cos x－1＋x2，则f '(x)＝－sin x＋x， 令h(x)＝f '(x)＝－sin x＋x，则h'(x)＝－cos x＋1≥0恒成立， 即函数f '(x)＝－sin x＋x在R上单调递增， 又f '(0)＝0，所以当x>0时，f '(x)>0， 即f (x)＝cos x－1＋x2单调递增； 当x<0时，f '(x)<0，即f (x)＝cos x－1＋x2单调递减，所以f (x)min＝f (0)＝0， 因此cos x≥1－x2恒成立，故D正确．故选BD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 68 三、填空题 9．写出一个同时具备下列性质的函数f (x)＝__________________． ①f (x＋1)＝f (x)f (1)；②f '(x)<0 ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 e-x(答案不唯一)　[因为f (x＋1)＝f (x)f (1) 是加变乘，所以考虑指数函数类型，又f '(x)<0， 所以f (x)＝e-x 满足要求．] e-x(答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 69 10．已知定义在区间(0，π)上的函数f (x)＝x＋2cos x，则f (x)的单调递增区间为_______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　[f '(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f '(x)＝0，得x＝或x＝，当0<x<<x<π时，f '(x)>0，当时， f '(x)<0，所以f (x)在内单调递减．] 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 70 四、解答题 11．(2026·河南洛阳模拟)已知函数f (x)＝x＋asin x＋a＋1，曲线y＝f (x)在点(π，b)处的切线斜率为2． (1)求a，b的值； (2)求不等式f (x2－1)＋f (7－5x)<0的解集． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 [解]　(1)f (x)＝x＋asin x＋a＋1，所以f '(x)＝1＋acos x， 由题意可得f '(π)＝1－a＝2，所以a＝－1， 所以f (x)＝x－sin x，所以f (π)＝π＝b．所以a＝－1，b＝π． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 71 (2)由(1)知f (x)＝x－sin x，所以f '(x)＝1－cos x≥0， 所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增， f (－x)＝－x＋sin x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数， f (x2－1)＋f (7－5x)<0， 即f (x2－1)<－f (7－5x)， 即f (x2－1)<f (5x－7)， 所以x2－1<5x－7，即x2－5x＋6<0， 即(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3， 所以不等式f (x2－1)＋f (7－5x)<0的解集为(2，3)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 12．已知函数f (x)＝x2＋aln x，a∈R． (1)若函数g(x)＝f (x)－x在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)讨论函数h(x)＝f (x)－(a＋2)x的单调性． [解]　(1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， 则g'(x)＝2x＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥(－2x2＋x)max． 设y＝－2x2＋x＝－2，则ymax＝， 所以a≥，即实数a的取值范围是． 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 73 (2)h(x)＝x2＋aln x－(a＋2)x，且定义域为(0，＋∞)， h'(x)＝2x＋－(a＋2)＝＝， 令h'(x)＝0，解得x1＝，x2＝1， 若a≤0，则≤0， 当x∈(0，1)时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 74 若0<a<2，则0<<1， 当x∈时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增， 当x∈时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增． 若a＝2，则h'(x)≥0在定义域内恒成立， 函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 若a>2，则>1，当x∈(0，1)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增； 当x∈时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0<a<2时，函数h(x)在内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 76 当a＝2时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>2时，函数h(x)在(0，1)内单调递增，在 上单调递增． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 77 13．(2026·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝ln，其中a>1． (1)当a＝2时，求曲线y＝f (x)的对称中心； (2)若函数g(x)＝f (x)＋x在区间(a，a2＋a－1)内单调递减，求实数a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 第19课时　导数与函数的单调性 78 [解]　(1)当a＝2时，f (x)＝ln∪(2，＋∞)，其定义域关于x＝对称， 则f (x)＋f ＝ln ＝ln＋ln ＝2ln 2， 所以函数f (x)图象的对称中心是点． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 79 (2)由g(x)＝f (x)＋x， 因为a>1，所以a>， 所以g(x)的定义域为∪(a，＋∞)， 则g'(x)＝＝＝， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 80 由题可得g'(x)≤0在区间(a，a2＋a－1)内恒成立， 则(ax－1)(x－a)＋9－9a2≤0在区间(a，a2＋a－1)内恒成立， 则 解得1<a≤2， 故实数a的取值范围为(1，2]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 81 谢 谢 ！ $