第三章第18课时导数的概念及运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元函数的导数及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了导数概念、运算、几何意义等核心考点，通过四年考情分析明确单调性、极值、切线问题等高频考点权重，归纳出切线方程、极值点求参数等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+概念深化+思维提升”策略，以2022新高考Ⅰ卷三次函数题为例，解析极值、零点综合应用，培养数学思维与符号表达能力。含易错点分析（如极值点验证）和解题模板（公切线问题三步法），助力学生掌握技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第三章 一元函数的导数及其应用 第三章 一元函数的导数及其应用 第18课时　导数的概念及运算 2 第三章 一元函数的导数及其应用 1．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f (x)有两个极值点 B．f (x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f (x)的切线 难度：0.65 命题点：求三次函数的极值、零点、对称中心、求在曲线上一点处的切线方程． √ √ 第18课时　导数的概念及运算 3 AC　[由题意知，f '(x)＝3x2－1，令f '(x)>0得x>或x<－， 令f '(x)<0得－， 所以f (x)在内单调递减， 在上单调递增， 所以x＝±是极值点，故A正确； 4 因为f >0，f >0，f (－2)＝－5<0， 所以，函数f (x)在上有一个零点， 当x≥－时，f (x)≥f >0，即函数f (x)在上无零点， 综上所述，函数f (x)有一个零点，故B错误； 5 令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)， 则h(x)是奇函数，点(0，0)是曲线h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f (x)的图象， 所以点(0，1)是曲线y＝f (x)的对称中心，故C正确； 令f '(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1， 又f (1)＝f (－1)＝1， 当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC．] 6 第三章 一元函数的导数及其应用 2．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f (x)＝(x－1)·(x－2)(x－a)的极值点，则f (0)＝________． 难度：0.85 命题点：极值点的概念、根据极值点求参数、导数的运算法则． －4　[f '(x)＝(x－2)'[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'，因为x＝2是函数f (x)的极值点，所以f '(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f (x)＝(x－1)(x－2)2，所以f (0)＝－4．] －4 7 第三章 一元函数的导数及其应用 3．(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________． 难度：0.65 命题点：公切线问题、已知切线(斜率)求参数． ln 2 第18课时　导数的概念及运算 8 ln 2　[由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，则y'|x=0＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1． 由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝， 设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点坐标为(x0，ln(x0＋1)＋a)， 由两曲线有公切线得y'＝＝2， 解得x0＝－， 所以切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2． 根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．] 9 第三章 一元函数的导数及其应用 4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f (x)>2ln a＋． 难度：0.65 命题点：利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数(含参)的单调区间． 第18课时　导数的概念及运算 10 [解]　(1)f '(x)＝aex－1， 当a≤0时，f '(x)<0， 所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f '(x)>0，得x>－ln a，令f '(x)<0，得x<－ln a， 所以函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 11 (2)证明：由(1)得当a>0时，函数f (x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f (－ln a)＝a(e-ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a， 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)， 所以g'(a)＝2a－， 令g'(a)>0，得a>； 令g'(a)<0，得0<a<． 12 所以函数g(a)在内单调递减， 在上单调递增， 所以函数g(a)的最小值为g＝ln >0， 所以当a>0时，f (x)>2ln a＋成立． 13 第三章 一元函数的导数及其应用 1．重视基本运算 教材经典1．求下列函数的导数： (1)y＝． [解]　(1)y'＝．(2)y'＝． (3)y'＝． 锚点：导数的四则运算． 第18课时　导数的概念及运算 14 第三章 一元函数的导数及其应用 教材经典2．(1)求曲线y＝ex在x＝0处的切线方程； (2)过原点作曲线y＝ex的切线，求切点坐标． [解]　(1)当x＝0时，y＝e0＝1，即切点坐标为(0，1)， ∵y'＝ex，切线斜率k＝e0＝1，故所求切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1． (2)设切点坐标为(t，et)，又y'＝ex，故切线斜率为et， 所以切线方程为y－et＝et(x－t)，将原点坐标代入切线方程可得－et＝ －tet，解得t＝1，故切点坐标为(1，e)． 锚点：导数的几何意义． 第18课时　导数的概念及运算 15 第三章 一元函数的导数及其应用 2．落实核心概念 教材经典3．导函数y＝f '(x)的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 (1)导函数y＝f '(x)有极大值？ (2)导函数y＝f '(x)有极小值？ (3)函数f (x)有极大值？ (4)函数f (x)有极小值？ 第18课时　导数的概念及运算 16 [解]　(1)由图知，极大值点左右两侧函数是先增后减的，即x2为极大值点． (2)由图知，极小值点左右两侧函数是先减后增的，即x1，x4为极小值点． (3)由图知，当x∈(－∞，x3)时，f '(x)>0，函数f (x)单调递增；当x∈(x3，x5)时，f '(x)<0，函数f (x)单调递减；当x∈(x5，＋∞)时， f '(x)>0，函数f (x)单调递增； 则函数f (x)在x3处取极大值． (4)由(3)知，函数f (x)在x5处取极小值． 锚点：极值点的概念． 17 第三章 一元函数的导数及其应用 教材经典4．已知函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值． [解]　∵f '(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2，且函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值， ∴f '(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或c＝2． 经检验当c＝2时，函数f (x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．当c＝6时，符合题意．故c＝6． 锚点：极值的判断． 第18课时　导数的概念及运算 18 第三章 一元函数的导数及其应用 3．培养思维品质 教材经典5．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： (1)ex>1＋x，x≠0； (2)ln x<x<ex，x>0． 第18课时　导数的概念及运算 19 [证明]　(1)由题意，ex>1＋x，x≠0等价于ex－x－1>0，x≠0，令f (x)＝ex－x－1， ∴f '(x)＝ex－1，而f '(0)＝e0－1＝0， ∴当x<0时，f '(x)<0，f (x)单调递减； 当x>0时，f '(x)>0，f (x)单调递增； 故f (x)>f (0)＝0在x≠0上恒成立， 即ex－x－1>0，x≠0，∴ex>1＋x，x≠0得证． 20 (2)由题设，ln x<x等价于x－ln x>0，x<ex等价于ex－x>0， 令f (x)＝x－ln x，则f '(x)＝1－，而f '(1)＝1－＝0， ∴当0<x<1时，f '(x)<0，f (x)单调递减；当x>1时，f '(x)>0，f (x)单调递增； 故f (x)≥f (1)＝1在x>0上恒成立， 即x－ln x≥1>0， ∴ln x<x在x>0上恒成立， 21 令g(x)＝ex－x， 则g'(x)＝ex－1， 而g'(0)＝e0－1＝0， ∴当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 故g(x)>g(0)＝1在x>0上恒成立，即ex－x>0， ∴x<ex在x>0上恒成立， 综上，ln x<x<ex在x>0上恒成立． 22 锚点：几类重要的切线放缩． (1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1．由图1可知 ln(x＋1)≤x(x>－1)，ln x≤x－1(x>0)． (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2．由图2可知ex≥x＋1，ex≥ex． 23 (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3．由图3可知当x∈时，sin x<x<tan x．   (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4．由图4可知xln x≥x－1(x>0)． 24 第三章 一元函数的导数及其应用 教材经典6．给定函数f (x)＝(x＋1)ex． (1)判断函数f (x)的单调性，并求出f (x)的极值； (2)画出函数f (x)的大致图象； (3)求出方程f (x)＝a(a∈R)的解的个数． [解]　(1)由f (x)＝(x＋1)ex，定义域为R， 得f '(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex， 令f '(x)>0，即x>－2，令f '(x)＝0，即x＝－2，令f '(x)<0，即x<－2， 第18课时　导数的概念及运算 25 所以函数f (x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减．x＝－2为极小值点， 所以函数的极小值为f (－2)＝－，无极大值． 26 (2)函数f (x)的大致图象如图所示． (3)方程解的个数等价于函数y＝f (x)与直线y＝a的交点个数． 由(2)可知当a<－时，方程f (x)＝a(a∈R)的解为0个； 当a＝－或a≥0时，方程f (x)＝a(a∈R)的解为1个； 当－<a<0时，方程f (x)＝a(a∈R)的解为2个． 锚点：六大函数y＝xex，y＝，y＝，y＝xln x，y＝，y＝的图象及性质． 27 第三章 一元函数的导数及其应用 第18课时 导数的概念及运算 第18课时　导数的概念及运算 28 [考试要求] 1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数． 2．通过函数图象，理解导数的几何意义． 3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 第18课时　导数的概念及运算 29 以题引理·激活思维 1．(苏教版选择性必修第一册P200习题5.1T14改编)设f (x)在x0处可导，下列式子与f '(x0)相等的是(　　) A． B． C． D． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 30 B　[对于A，＝－＝－f '(x0)，A错误；对于B，＝f '(x0)，B正确；对于C，＝2＝2f '(x0)，C错误； 对于D，＝－＝－f '(x0)，D错误．故选B．] 31 2．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，f '(x)是函数f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f '(3)<f (5)－f (3)<2f '(5) B．2f '(3)<2f '(5)<f (5)－f (3) C．f (5)－f (3)<2f '(3)<2f '(5) D．2f '(5)<2f '(3)<f (5)－f (3) √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 32 A　[由题图知f '(3)<<f '(5)， 即2f '(3)<f (5)－f (3)<2f '(5)． 故选A．] 33 3．(多选)(人教B版选择性必修第三册P87例3改编)下列导数运算中正确的是(　　) A．(e5x-1)'＝5e5x-1 B．(ln(2x＋1))'＝ C．( D． √ ABC　[选项D中，．] √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 34 4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T6改编)已知函数f (x)满足 f (x)＝f '＝__________． 1－ 1－　[f '(x)＝－f 'sin x－cos x， 令x＝，得f '， 解得f '．] 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 35 5．(北师大版选择性必修第二册P61习题2－2A组T5改编)函数f (x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为_________________． y＝(e－1)x＋2　[∵f '(x)＝ex－，∴f '(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1， ∴切点坐标为(1，e＋1)，切线斜率k＝f '(1)＝e－1， 切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2．] y＝(e－1)x＋2 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 36 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作_____或y'． (2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数) f '(x)＝y'＝． f '(x0) 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 37 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0， f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为____________________． 提醒：在点P处有切线，P一定是切点，过点P有切线，点P不一定是切点． 斜率 y－f (x0)＝f '(x0)(x－x0) 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 38 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f '(x)＝__ f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f '(x)＝__________ f (x)＝sin x f '(x)＝__________ f (x)＝cos x f '(x)＝____________ f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f '(x)＝____________ 0 αxα-1 cos x －sin x axln a 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 39 [二级结论]　奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 基本初等函数 导函数 f (x)＝ex f '(x)＝____ f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f '(x)＝____ f (x)＝ln x f '(x)＝____ ex 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 40 4．导数的运算法则 若f '(x)，g'(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]'＝_____________； (2)[f (x)g(x)]'＝_____________________； (3)(g(x)≠0)； (4)[cf (x)]'＝_________． f '(x)±g'(x) f '(x)g(x)＋f (x)g'(x) cf '(x) 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 41 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y'u·u'x 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 42 1．导数的概念体现了从平均变化率(割线斜率)到瞬时变化率(切线斜率)的变化过程，体现了数学上的极限逼近思想． 2．处理与切线有关的问题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 43 【教用·考点】　变化率问题 [典例1]　(1)(2026·广东广州模拟)一质点A沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)＝t2＋2，则质点A在t＝3 s时的瞬时速度为(　　) A．11 m/s B．8 m/s C．6 m/s D．m/s 精研考点·提升素养 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 44 (2)(多选)环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 则下列结论正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中， 在[0，t1]的污水治理能力最强 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 45 (3)已知f '(2)＝3，则＝________． (1)C　(2)ABC　(3)4　[(1)因为y(t)＝t2＋2⇒y'(t)＝2t，所以t＝3时，y'(3)＝6，即质点A在t＝3 s时的瞬时速度为6 m/s．故选C． (2)－表示W＝f (t)在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大，治理能力越强． 4 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 46 对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确； 对于D，甲企业在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误． 故选ABC． 47 (3)由 ＝ ＝f '(2)， 且f '(2)＝3， 所以 ＝f '(2)＝4．] 48 名师点评：函数y＝f (x)的导数f '(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f '(x)|的大小反映了变化的快慢，|f '(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 49 [巩固迁移] 1．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　) A．5 cm/s　　 B．6 cm/s C．8 cm/s D．10 cm/s √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 50 C　[由h＝t3＋t2，求导得h'＝t2＋2t．当t＝t0时，h'＝＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8(cm/s)．] 51 2．(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的关系为r(V)，r'为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1<V2≤3，则下列结论正确的是(　　) A． B．r' C．r D．存在V0∈ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 52 BD　[对于A，设tan α＝，tan θ＝， 由题图得θ<α<，所以tan α>tan θ， 所以，所以该选项错误； 对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小， 根据导数的几何意义，得r'，所以该选项正确； 对于C，设V1＝0，V2＝3，所以r，因为r－r(0)>r(3)－r，所以r，所以该选项错误； 53 对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点所在直线的斜率，r'表示曲线在点C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈(V1，V2)，所以可以平移直线AB，使其与曲线r(V)相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD．] 54 考点一　导数的运算 [典例1]　(1)(多选)下列求导正确的是(　　) A．若f (x)＝ln 3，则f '(x)＝ B．若f (x)＝ C．若f (x)＝4x3－ D．若f (x)＝excos 2x，则f '(x)＝－2exsin 2x＋excos 2x (2)已知函数f (x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f '(2)＝(　　) A．0 B．－12 C．－120 D．120 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 55 (1)CD　(2)B　[(1)对于A，若f (x)＝ln 3，则f '(x)＝0，故A错误； 对于B，若f (x)＝， 则f '(x)＝，故B错误； 对于C，若f (x)＝4x3－， 则f '(x)＝12x2＋，故C正确； 对于D，若f (x)＝excos 2x，则f '(x)＝excos 2x＋ex(cos 2x)'＝－2exsin 2x＋excos 2x，故D正确．故选CD． 56 (2)令g(x)＝x(x－1)(x－3)(x－4)(x－5)， 则f (x)＝(x－2)g(x)， 两边求导得f '(x)＝g(x)＋(x－2)g'(x)， 令x＝2，得f '(2)＝g(2)＝－12．故选B．] 57 名师点评：导数的运算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 58 [巩固迁移] 1．已知函数f (x)＝ln(2x－3)＋axe-x，若f '(2)＝1，则a＝________． e2　[因为f (x)＝ln(2x－3)＋axe-x， 所以f '(x)＝＋ae-x－axe-x，所以f '(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-2＝1，则a＝e2．] e2 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 59 考点二　导数的几何意义 考向1　求切线方程 [典例2]　(1)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f (x)＝ex＋ln(1－x)，则曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为________． (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程分别为________，_____________． (1)y＝1　(2)y＝　[(1)f (0)＝e0＋ln 1＝1，且f '(x)＝ex－，则f '(0)＝e0－＝0，则切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1． y＝1 y＝ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 60 (2)当x>0时，曲线在点(x1，ln x1)(x1>0)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝． 当x<0时，曲线在点(x2，ln(－x2))(x2<0)处的切线方程为y－ln(－x2)＝(x－x2)．若该切线经过原点，则ln(－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－．] 61 考向2　求参数的值(范围) [典例3]　(1)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________． 4 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 62 (1)4　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　[(1)设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4． 63 (2)∵y＝(x＋a)ex，∴y'＝(x＋1＋a)ex， 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)，切线斜率k＝(x0＋1＋a)， ∴切线方程为y－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)·(x－x0)， ∵切线过原点， ∴－(x0＋a)＝(x0＋1＋a)(－x0)， 整理得＋ax0－a＝0， ∵切线有两条， ∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0， ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．] 64 考向3　切线的应用 [典例4]　若P是曲线y＝x2－2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为________． 　[设平行于直线y＝x－3且与曲线y＝x2－2ln x相切的切线对应切点为P(x，y)，由y＝x2－2ln x，得y'＝3x－，令y'＝3x－＝1，得x＝1或x＝－(舍去)， ∴P，∴点P到直线y＝x－3的距离的最小值为．] 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 65 名师点评：函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)的根的个数问题． 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 66 [巩固迁移] 2．(2025·河南许昌三模)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)相切，则b－a的值为(　　) A．1 B． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 67 A　[设直线y＝x＋a与曲线y＝ln(x＋b)相切于点(x0，y0)，由导数的几何意义知， y'，因为直线y＝x＋a的斜率为1，所以＝1，即x0＝1－b． 又切点(x0，y0)既在直线上又在曲线上， ∴y0＝x0＋a且y0＝ln(x0＋b)， 即ln(x0＋b)＝x0＋a． 将x0＝1－b代入ln(x0＋b)＝x0＋a， 得ln(1－b＋b)＝1－b＋a，即b－a＝1．故选A．] 68 3．(2026·河南郑州模拟)已知∀a<0，过点(a，b)可作曲线f (x)＝xe-x的3条不同的切线，则实数b的取值范围为____________． 　[设切点坐标为(x0，y0)，则＝f '(x0)， 即＝(1－x0)， 整理得(－ax0＋a)－b＝0， 令h(x)＝(x2－ax＋a)e-x－b， 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 69 依题意，函数h(x)有3个不同的零点， 因为h'(x)＝－e-x[x2－(a＋2)x＋2a]＝－e-x(x－2)(x－a)， 当x∈(－∞，a)时，h'(x)<0，h(x)在(－∞，a)上单调递减，值域为(h(a)，＋∞)； 当x∈(a，2)时，h'(x)>0，h(x)在(a，2)内单调递增，值域为(h(a)，h(2))； 当x∈(2，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)在(2，＋∞)上单调递减，值域为(－b，h(2))， 70 由函数h(x)有3个零点，得 即解得0<b<． 又a<0，则0<b≤，所以b的取值范围为．] 71 4．若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间的距离|AB|的最小值为________． 　[点A(a，a)在直线y＝x上，点B(b，eb)在曲线y＝ex上， 即求|AB|的最小值等价于求直线y＝x上的点到曲线y＝ex上的点的距离的最小值， 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 72 过y＝ex上的点(m，em)作y＝ex的切线，可得y－em＝em(x－m)， 令em＝1，可得m＝0，故该切线方程为y＝x＋1， 则直线y＝x＋1与y＝x的距离即为|AB|的最小值，此时|AB|＝，即|AB|min＝．] 73 【教用·备选题】 1．若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则(　　) A．a<ln b　　 B．b<ln a C．ln b<a D．ln a<b √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 74 D　[设切点坐标为(x0，ln x0)， 由于y'＝，因此切线方程为y－ln x0＝(x－x0)． 又切线过点(a，b)，则b－ln x0＝， 即b＋1＝ln x0＋，则b＋1＝ln x0＋有两个不等实根， 设f (x)＝ln x＋，x>0，即直线y＝b＋1与曲线f (x)＝ln x＋在(0， ＋∞)上有两个不同的交点． f '(x)＝，当a≤0时，f '(x)>0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 75 当a>0时，若0<x<a，则f '(x)<0，f (x)单调递减， 若x>a，则f '(x)>0，f (x)单调递增． 所以f (x)min＝f (a)＝ln a＋1， 由题意知b＋1>ln a＋1，即b>ln a． 故选D．] 76 2．若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝______． 　[因为y＝aln x＋x2(a>0)，所以y'＝， 所以斜率k≥，所以a＝．] 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 77 3．若函数f (x)＝x－＋aln x的图象上存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是______________． (－∞，－2]　[f '(x)＝1＋(x>0)， 依题意得f '(x)＝1＋＝0有解， 即－a＝x＋有解，∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号， ∴－a≥2，即a≤－2．] (－∞，－2] 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 78 考点三　两曲线的公切线问题 [典例5]　(2025·黑龙江哈尔滨二模)已知曲线y＝ln x在x＝1处的切线与曲线y＝ex＋a相切，则a＝________． －2　[由y＝ln x，则y'＝，则y'|x=1＝1， 又当x＝1时y＝ln 1＝0， 所以曲线y＝ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1； 对于y＝ex＋a，可得y'＝ex，设切点坐标为(x0，y0)， 则] －2 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 79 名师点评：曲线公切线的求解策略 设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f '(x1)(x－x1)，即y＝f '(x1)x＋ f (x1)－f '(x1)x1，同理y＝g'(x2)x＋g(x2)－g'(x2)x2． 所以解出x1，x2，从而可得公切线方程． 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 80 [巩固迁移] 5．若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　) A．(0，2e] B． C． D．[2e，＋∞) √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 81 B　[设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点坐标分别为(x1，ln x1－1)，(x2，a)，其中x1>0， 对于y＝ln x－1有y'＝，则曲线y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)， 即y＝x＋ln x1－2， 对于y＝ax2有y'＝2ax，则曲线y＝ax2的切线方程为y－a＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－a， 82 所以则－＝ln x1－2， 即ln x1(x1>0)，令g(x)＝2x2－x2ln x(x>0)， 则g'(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)，令g'(x)＝0，得x＝， 当x∈(0，)时，g'(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(，＋∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，且当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以g(x)max＝g()＝e3，故0<e3， 即a≥e-3．故选B．] 83 【教用·备选题】 1．已知f (x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则曲线f (x)与g(x)的公切线有 (　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 84 C　[根据题意，设直线l与曲线f (x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与曲线g(x)相切于点(n，ln n＋1)，n>0， 对于f (x)＝ex－1，有f '(x)＝ex， 则直线l的斜率k＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋(1－m)em－1， 对于g(x)＝ln x＋1，有g'(x)＝， 则直线l的斜率k＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 85 即y＝x＋ln n，则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故曲线f (x)与g(x)的公切线有2条．] 86 2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若两函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则m的值为(　　) A．2 B．5 C．1 D．0 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 87 C　[根据题意，设两曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0， 由f (x)＝－2x2＋m，可得f '(x)＝－4x， 则切线的斜率k＝f '(a)＝－4a， 由g(x)＝－3ln x－x，可得g'(x)＝－－1， 则切线的斜率k＝g'(a)＝－－1， 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)， 又由g(1)＝－1，得公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x)＝－2x2＋m，可得m＝1．故选C．] 88 3．若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为 (　　) A． C．(－∞，0)∪ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 89 A　[设曲线y＝tex的切点为M(m，tem)，y＝x2的切点为N(n，n2)， 则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝temx＋tem－mtem， 同理，y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2， 根据y＝tex与y＝x2有两条公切线， 则所以tem－mtem＝－， 化简可得t＝， 90 转化为方程t＝有两个解，构造函数f (x)＝，则f '(x)＝， 当x<2时，f '(x)>0，f (x)单调递增；当x>2时，f '(x)<0，f (x)单调递减， 故f (x)在x＝2时有极大值即为最大值，f (2)＝， 当x→－∞时，f (x)→－∞，当x→＋∞时，f (x)→0， 故t的取值范围为．故选A．] 91 一、单项选择题 1．若f (x)＝2x，则＝(　　) A．ln 2 C　[因为f (x)＝2x，所以f '(x)＝2xln 2， 所以f '(1)＝2ln 2，则＝f '(1)＝2ln 2．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(十八)　导数的概念及运算 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 92 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．下列求导运算正确的是(　　) A．(sin a)'＝cos a(a为常数) B．(sin 2x)'＝2cos 2x C．(3x)'＝3xlog3e D．( √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 93 B　[对于A，因为a为常数，所以(sin a)'＝0，故A错误； 对于B，(sin 2x)'＝cos 2x·(2x)'＝2cos 2x，故B正确； 对于C，(3x)'＝3xln 3，故C错误； 对于D，()'＝[(x＋1]'＝(x＋1·(x＋1)'＝，故D错误．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 94 3．(2026·山东青岛开学考试)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是(　　) A． C．1 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 95 A　[因为f (x)＝，则f '(x)＝，所以曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的切线斜率为f '(0)＝2， 故所求切线方程为y＝2x－1，该直线交x轴于点，交y轴于点(0，－1)， 因此，切线与两坐标轴围成的三角形面积为． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 96 4．(2026·江西南昌模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)是偶函数，当x<0时，f (x)＝ln(1－2x)，则曲线y＝f (x)在点(2，f (2))处的切线斜率为(　　) A． C．2 D．－2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 97 A　[函数f (x)的定义域为R，f (x)是偶函数，则f (x)＝f (－x)， 两边同时求导可得，f '(x)＝－f '(－x)， 当x<0时，f (x)＝ln(1－2x)， 所以f '(x)＝，则有f '(－2)＝－， 又由f '(x)＝－f '(－x)， 令x＝2可得f '(2)＝－f '(－2)＝， 则曲线y＝f (x)在点(2，f (2))处的切线斜率为． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 98 5．直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex+1均相切，则直线l的斜率为(　　) A． B．1 C．2 D．e 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 99 B　[由y＝ex＋1，可得y'＝ex； 由y＝ex+1，可得y'＝ex+1， 设两个切点的坐标分别为(x1，＋1)和(x2，)，直线l的斜率k＝， 故x1＝x2＋1，即x1≠x2， 所以k＝＝1，即直线l的斜率为1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 100 6．(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r．若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为(　　) A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 101 B　[f '(x)＝2x，而x0＝2，则f '(x0)＝4，又f (x0)＝2，所以函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)， 令y＝0，得x1＝，则f '(x1)＝3，f (x1)＝， 因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 102 二、多项选择题 7．(2026·河北邢台期末)若过点P(a，0)恰好可作曲线y＝的两条切线，则a的值可以为(　　) A．e B．e2 C．－e D．－e2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 103 BCD　[令f (x)＝，则f '(x)＝， 设切点为，所以切线方程为y－(x－x0)，切线过点P(a，0)， 代入得0－(a－x0)，即方程－ax0＋a＝0有两个不等实根，则Δ＝a2－4a>0，解得a<0或a>4．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 104 8．(2026·山东济南模拟)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f (x)在(a，b)上的导函数为f '(x)，f '(x)在(a，b)上的导函数为f ″(x)，若在(a，b)上f ″(x)<0恒成立，则称函数f (x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f (x)＝sin x＋cos x B．f (x)＝ln x－2x C．f (x)＝－x3＋2x－1 D．f (x)＝－xe-x 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 105 ABC　[对于A，由f (x)＝sin x＋cos x，得f '(x)＝cos x－sin x， 则f ″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)， 因为x∈，所以sin x>0，cos x>0，f ″(x)＝－(sin x＋cos x)<0，所以此函数是凸函数，故A正确； 对于B，由f (x)＝ln x－2x，得f '(x)＝－2，则f ″(x)＝－， 因为x∈，所以f ″(x)＝－<0，所以此函数是凸函数，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 106 对于C，由f (x)＝－x3＋2x－1，得f '(x)＝－3x2＋2，则f ″(x)＝－6x， 因为x∈，所以f ″(x)＝－6x<0，所以此函数是凸函数，故C正确； 对于D，由f (x)＝－xe-x，得f '(x)＝－e-x＋xe-x，则f ″(x)＝e-x＋e-x－xe-x＝(2－x)e-x， 因为x∈，所以f ″(x)＝(2－x)e-x>0，所以此函数不是凸函数．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 107 三、填空题 9．(2025·山西晋中三模)若函数f (x)＝xln x＋2xf '(1)，则曲线y＝ f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为__________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y＝－x－1　[因为f (x)＝xln x＋2xf '(1)，所以f '(x)＝ln x＋1＋2f '(1)， 令x＝1，得f '(1)＝1＋2f '(1)，解得f '(1)＝－1， 所以f (x)＝xln x－2x，则f (1)＝－2， 所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y－(－2)＝－1×(x－1)，即y＝－x－1．] y＝－x－1 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 108 10．(2025·福建厦门三模)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝x2－2x－a也相切，则a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －3　[因为y＝x＋ln x，所以y'＝1＋，即曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线斜率k＝1＋1＝2，切线方程为y＝2x－1， 又由y＝x2－2x－a，得y'＝2x－2，令2x－2＝2，解得x＝2，将x＝2代入y＝2x－1，可得y＝3，将点(2，3)代入y＝x2－2x－a，可得3＝4－4－a，解得a＝－3．] －3 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 109 四、解答题 11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线y＝ln(bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 110 [解]　(1)由y＝x3＋ax，得y'＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y'＝2x＋b， 又两曲线都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线， ∴解得a＝1，b＝2，c＝－1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 111 (2)由y＝x2＋2x－1，得y'＝2x＋2， 则y'|x=1＝4， ∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0． 则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2． ∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 112 (3)由y＝ln(bx－1)＝ln(2x－1)，得y'＝＝2，得x＝1． ∴y＝ln(2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 113 12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　f '(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1． 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 114 (2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－． 所以a的取值范围为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 115 13．(多选)已知定义在R上的函数f (x)，g(x)，其导函数分别为f '(x)，g'(x)，f (1－x)＝6－g'(1－x)，f (1－x)－g'(1＋x)＝6，且g(x)＋g(－x)＝4，则(　　) A．g'(x)的图象关于点(0，1)中心对称 B．g'(x＋4)＝g'(x) C．f '(6)＝f '(2) D．f (1)＋f (3)＝12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 116 BCD　[由题意可得 两式相减可得g'(1＋x)＝－g'(1－x)，① 所以g'(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A错误； 由g(x)＋g(－x)＝4，② ②式两边对x求导可得g'(x)＝g'(－x)，可知g'(x)是偶函数， 以1＋x替换①中的x可得g'(2＋x)＝－g'(－x)＝－g'(x)， 可得g'(4＋x)＝－g'(2＋x)＝g'(x)， 所以g'(x)是周期为4的周期函数，B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 117 因为f (x)＝6－g'(x)，可知f (x)也是周期为4的周期函数， 即f (x＋4)＝f (x)， 两边求导可得f '(x＋4)＝f '(x)，所以f '(6)＝f '(2)，C正确； 因为g'(1＋x)＝－g'(1－x)，令x＝0，则g'(1)＝－g'(1)，即g'(1)＝0， 又因为g'(x)是偶函数，所以g'(－1)＝g'(1)＝0， 又因为g'(x)是周期为4的周期函数，则g'(3)＝g'(－1)＝0， 由f (x)＝6－g'(x)可得 所以f (1)＋f (3)＝12，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 118 14．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续，在开区间(a，b)内的导数为f '(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f (b)－f (a)＝ f '(c)(b－a)成立，其中c叫做f (x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f (x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 119 2　[∵＝2，f '(x)＝3x2－2， 令3x2－2＝2，解得x＝－∈[－2，2]或x＝∈[－2，2]， ∴f (x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 120 15．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f '(x)为y＝f (x)的导函数，y＝g'(x)为y＝f '(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝．曲线f (x)＝ln x－cos(x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0 以题引理 精研考点 课后作业 第18课时　导数的概念及运算 121 0　[因为f (x)＝ln x－cos(x－1)， 所以f '(x)＝＋sin(x－1)，g'(x)＝－＋cos(x－1)， 则f '(1)＝＋sin 0＝1，g'(1)＝－＋cos 0＝0， 所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 122 谢 谢 ！ $