第15讲 导数的概念及意义、导数的运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及意义、导数的运算”专题，依据新课标要求梳理了导数定义、几何意义、基本公式、四则运算及复合函数求导等核心考点，通过分析近五年高考真题明确“切线方程”“参数求解”“公切线问题”等高频题型，构建了系统的知识网络和解题框架。 课件亮点在于“真题情境+分层突破+素养提升”的备考设计，如以2025年全国一卷切线方程题为例，详解“求导-求斜率-列方程”三步法，培养学生的数学思维和运算能力。特设“易错警示”和“题型变式”，帮助学生掌握导数几何意义的答题技巧，教师可依托此课件精准定位学生薄弱点，实现高效复习冲刺。

第3章 一元函数的导数及其应用 第15讲 导数的概念及意义、导数的运算 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解导数概念的实际背景，体会极限思想. 2.理解导数的意义及几何意义. 3.能根据导数定义求函数y=C(C为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.平均变化率及瞬时变化率及导数的概念 (1)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率用  　表示，且=.  (2)函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0)或y'，即f'(x0)==. (3)函数f(x)的导函数: 称函数f'(x)= 　 为f(x)的导函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 (4)导数的几何意义和物理意义 几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)上　 　的斜率k，即k=　 ;切线方程为　 　.  物理意义:若物体位移随时间变化的关系为s=f(t)，则f'(t0)是物体运动在t=t0时刻的　 　.  点(x0，f(x0))处切线 f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 瞬时速度 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 ________ ______ _______ _______ ____ ，且 _ ____ _ _ 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=　 　;  (2)[f(x)g(x)]'=　 　;  (3)'=  　.  4.复合函数的导数 (1)对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y=f(u)和u=g(x))的复合函数为y=f(g(x)). (2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为　 　，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.  f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (g(x)≠0) y'x=y'u·u'x 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【基础检测】 概念辨析 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) (3)函数f(x)=-4.9x2在区间[1，2]上的平均变化率等于-14.7.(　　) (4)若f(x)=-sin x，则f'(x)=cos(-x).(　　) (5)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).(　　) × × √ √ × 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 教材改编 2.某物体按照s(t)=3t2+2t+4(s的单位:m)的规律做直线运动，则自运动开始到 4 s时物体运动的平均速度为　　　　　;在4 s时刻的瞬时速度为　　　　.  15 m/s 26 m/s [解析] 自运动开始到t s时，物体运动的平均速度为(t)= =3t+2+， 故前4 s物体的平均速度为(4)=3×4+2+1=15(m/s). 由于Δs=3(t+Δt)2+2(t+Δt)+4-(3t2+2t+4)=(2+6t)Δt+3(Δt)2， =2+6t+3·Δt，=2+6t， 当t=4时，=2+6×4=26，所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.[选择性必修2p75T1]若函数f(x)=sin 2x，则f'(x)=(　　) A.2cos 2x B.-2cos 2x C.cos 2x D.-cos 2x A [解析] 因为函数f(x)=sin 2x，所以f'(x)=2cos 2x. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.[选择性必修2p81T6]已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x，则f'=　　　　.  1- [解析] f'(x)= -f'sin x-cos x， 令x=，得f'= -f'-， 解得f'=1-. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.[选择性必修2p81T5]函数f(x)=ex+在x=1处的切线方程为　　　　　　　.  y=(e-1)x+2 [解析] f'(x)=ex- ，∴f'(1)=e-1，又f(1)=e+1， ∴切点为(1，e+1)，切线斜率k=f'(1)=e-1， 即切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1)， 即y=(e-1)x+2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 导数的运算 例1　求下列函数的导数: (1)y=ln(2x+1); (2)y=; (3)f(x)=x2cos x. [解析] 函数y=ln(2x+1)可以看作函数y=ln u和u=2x+1的复合函数， ∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(2x+1)'= = . [解析]y'='= = . [解析]f'(x)=(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 [小结]1.应用基本初等函数的导数公式进行导数计算时应注意:①公式(xn)'=nxn-1中,n为非零有理数;②公式(ax)'=axln a(a>0),(logax)'= (a>0且a≠1)与(ex)'=ex,(ln x)'= ,清楚地区分和熟记. 2.求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 1.(多选)下列求导运算正确的是(　 　) A.若f(x)=sin(2x+3)，则f'(x)=2cos(2x+3) B.若f(x)=e-2x，则f'(x)=e-2x+1 C.若f(x)= ，则f'(x)= D.若f(x)=ln x，则f'(x)= ACD [解析] f(x)=sin(2x+3)，f'(x)=cos(2x+3)·(2x+3)'=2cos(2x+3)，故A正确; f(x)=e-2x，则f'(x)=-2e-2x，故B错误; f(x)=，f'(x)= = ，故C正确; f(x)=ln x，f'(x)=(ln x)'= ，故D正确. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 2.(多选)下列函数求导运算正确的是(　　 ) A.'=1- B.(x2+ln x)'=2x+ln x C.'= D.(tan x)'= ACD [解析] 对于A，'=x'+'=1-，故A正确; 对于B，(x2+ln x)'=(x2)'+(ln x)'=2x+，故B错误; 对于C，'= -'= ，故C正确; 对于D，(tan x)'='= = ，故D正确.故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 3.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，f(x)=xln x+3xf'(1)，则f'(e)=　　　　　.  [解析] 因为f(x)=xln x+3xf'(1)，所以f'(x)=1+ln x+3f'(1)， 则f'(1)=1+ln 1+3f'(1)，解得f'(1)= -， 故f'(x)=1+ln x+3×=ln x-， 则f'(e)=ln e- = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 考点2 导数的几何意义 角度1.求切线方程 例2　(1)(2025·湖北武汉·模拟预测)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为　　　　　　.  y=2x+1 [解析] 求导得:f'(x)=，则f'(0)=2， 又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y-1=2x， 即y=2x+1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 (2)过原点与函数f(x)=图象相切的一条切线的方程为　　　 　.  y=2x或y=-2x或y=x(写出其中一条即可) [解析] 设曲线y=x2+1，x<2表示抛物线的一部分， 设其切线方程为y=kx，代入y=x2+1，得x2-kx+1=0.由Δ=k2-4=0，得k=±2. 当k=2时，x=1，当k= -2时，x= -1，均符合题意，所以切线方程为y=±2x. 设f(x)=ln x，x≥2的切线的切点为P(x0，y0). 由f'(x)= ，得f'(x0)= ，y0=ln x0，x0≥2，得切线方程为y= x. 将P(x0，y0)的坐标代入切线方程，得y0=1，所以x0=e，所以切线方程为y= x. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [小结]曲线切线方程的求法 (1)以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤 ①求出函数f(x)的导数f'(x); ②求切线的斜率f'(x0); ③写出切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),并化简. (2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 角度2.求切点坐标和参数 例3　函数f(x)=3x+ln x的图象在点P(x0，y0)处的切线斜率为4，则x0+y0=　　　　.  4 [解析] 易知f'(x)=3+ ，由切线斜率为4， 得3+ =4，所以x0=1，故y0=3x0+ln x0=3，所以x0+y0=4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 [小结]1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 2.处理与切线有关的参数问题,通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数: (1)切点处的导数是切线的斜率; (2)切点在切线上,故满足切线方程; (3)切点在曲线上,故满足曲线方程. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 角度3.由切线条数求参数 例4　已知函数f(x)=.若过点P(-1，m)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. C [解析] 设切点坐标为，由题意得f'(x)= = ， 所以函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为f'(x0)= ， 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 所以切线方程为y- = (x-x0)， 因为切线过点P(-1，m)，所以m- = (-1-x0)， 则m= ，由题意可知，这个方程有三个不等实根. 设g(x)= ，则g'(x)= = ， 由g'(x)>0得-1<x<1，由g'(x)<0得x<-1或x>1. 所以函数g(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)上单调递增， 又当x趋近于正无穷时，g(x)趋近于0; 当x趋近于负无穷时，g(x)趋近于正无穷，且g(-1)=0，g(1)= ， 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 所以g(x)的大致图象如图， 所以要使直线y=m与函数g(x)的图象有三个交点，则0<m<.故选C. [小结]切线的条数可以转化为方程的解的个数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 角度4.公切线问题 例5　已知函数f(x)=2ln x，g(x)=ax2-x-(a>0)，若直线y=2x-b与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均相切，则ab的值为　　　　.  6 [解析] 设直线y=2x-b与函数f(x)=2ln x的图象切点为， 由f'(x)= ，所以f'(x0)= =2，解得x0=1，所以切点为(1，0)， 所以0=2×1-b，解得b=2，即切线方程为y=2x-2. 设直线y=2x-2与函数g(x)=ax2-x-(a>0)的图象切点为(x1，y1)，g'(x)=ax-1， 则解得所以ab=6. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [小结]解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解. (2)设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)), 则f'(x1)=g'(x2)= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 4.已知函数f(x)=xln(-x)-1，则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(　　) A.y=-x B.y=-x+2 C.y=x D.y=x-2 C [解析] f(x)=xln(-x)-1， 得f'(x)=ln(-x)+1，所以切线的斜率为k=1，切点为(-1，-1)， 故切线方程为:y-(-1)=1×[x-(-1)]，整理得:y=x，故选C. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 5.(2025·河南许昌·三模)若直线y=x+a与曲线y=ln(x+2)相切，则a的值为(　　) A.1 B. C.2 D. A [解析] 设直线y=x+a与曲线y=ln(x+2)的切点为(x0，y0)， 对y=ln(x+2)求导，得y'= ，直线y=x+a的斜率为1， 由导数的几何意义知，在切点处 =1，即x0=-1. 又切点(x0，y0)既在直线上又在曲线上， ∴y0= -1+a且y0=ln(x0+2)=0， 故a=y0+1=1.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 6.(2025·甘肃·模拟预测)已知A，B分别为曲线y=ex+2x+1和直线y=3x-1上的点， 则|AB|的最小值为　　　　.  [解析] 由题意得|AB|的最小值为曲线上点A到直线y=3x-1距离的最小值， 此时点A就是曲线与直线y=3x+m相切的切点，对y=ex+2x+1求导有y'=ex+2，由y'=3可得x=0，即A(0，2)， 故|AB|min= = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 7.(2025·山东潍坊·三模)过点P(1，m)(m∈R)有3条直线与函数f(x)=xex的图象相切，则m的取值范围为(　　) A.-<m<e B.-<m<0 C.-<m<0 D.m<e B [解析] 由f(x)=xex，得f'(x)=(x+1)ex， 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 设切点坐标为(x0，y0)，则切线斜率k=(x0+1)·， 所以切线方程为y-x0=(x0+1)·(x-x0)， 将P(1，m)代入得m=(-+x0+1)·，所以m=(-x2+x+1)·ex的根的个数为3， 设g(x)=(-x2+x+1)·ex，则g'(x)= -(x-1)(x+2)·ex， 易得在(-2，1)上，g'(x)>0，g(x)单调递增; 在(-∞，-2)和(1，+∞)上，g'(x)<0，g(x)单调递减， 画出图象可得当g(-2)<m<0， 即-<m<0时，y=m与y=g(x)有3个交点.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 8.(2025·四川内江·模拟预测)若过点(m，n)(m>0)可以作两条直线与曲线 y= ln x相切，则下列选项正确的是(　　) A.2n<ln m B.2n>ln m C.2m>ln n>0 D.2m<ln n<0 B [解析] 设切点P，因为y=ln x，所以y'=， 所以点P处的切线方程为y-ln x0= (x-x0)，又因为切线经过点(m，n)， 所以n-ln x0= (m-x0)，即2n+1=ln x0+ ，令f(x)=ln x+ (x>0)， 则y=2n+1与f(x)=ln x+(x>0，m>0)有两个不同的交点，f'(x)= - = ， 当0<x<m时，f'(x)<0，当x>m时，f'(x)>0， 所以f(x)min=f(m)=ln m+1，则2n+1>ln m+1，即2n>ln m. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 考点3 原函数与导数的图象问题 例6　(1)函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.f'(1)>f'(2)>0>f'(3) B.f'(1)<f'(2)<f'(3)<0 C.0<f'(1)<f'(2)<f'(3) D.f'(1)>f'(2)>f'(3)>0 D [解析] 如图，作出函数在x=1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，且都大于零，由导数的几何意义可知，f'(1)>f'(2)>f'(3)>0，故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 (2)已知f(x)=x2+cos x，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)的图象是(　　) A [解析] ∵f(x)=x2+cos x，∴f'(x)=x-sin x， 它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D. 又f″(x)=-cos x，当-<x<时，cos x>，∴f″(x)<0， 故函数y=f'(x)在区间上单调递减，故排除C，选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 [小结]函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 9.已知函数f(x)=ln|kx|(k>0)，动直线y=t与f(x)的图象交于A，B两点，曲线y=f(x)在点A和点B的两条切线相交于点C，当△ABC为直角三角形时，它的面积为　　　　.  1 [解析] f(x)=ln|kx|(k>0)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 又f(-x)=ln|k(-x)|=ln|kx|=f(x)，所以函数f(x)是偶函数. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 如图，由对称性可得直线y=t与f(x)图象的交点A，B关于y轴对称， 曲线y=f(x)在点A和点B的两条切线的交点C在y轴上. 设A(x0，y0)，不妨设点A在y轴右侧，则y0=t，即ln kx0=t，得x0= ， 又y=ln kx时y'= ，所以曲线在点A处切线的斜率为kAC= ， 由对称性得kBC= -，∴×= -1，解得x0=1，即A(1，0)，B(-1，0). 所以切线AC的方程为y=x-1， ∴C(0，-1)，∴S△ABC= ×2×|(-1)|=1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 走进高考 1.(2025·全国一卷·高考真题)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=　　　　 .  4 [解析] 法一:对于y=ex+x+a，其导数为y'=ex+1， 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0， 将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a上， 所以5=e0+0+a，解得a=4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 法二:对于y=ex+x+a，其导数为y'=ex+1， 假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为(x0，y0)， 则解得a=4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 $