第4章三角形 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以三角形全等判定与性质为核心，整合辅助线构造、分类讨论等方法，形成从基础概念到综合应用的逻辑体系，突出数学思维与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3题|三角形稳定性、角平分线性质|实际应用→概念辨析| |全等应用|单选4-7题、解答17-18题|SSS/SAS/ASA/AAS判定|性质推导→全等证明| |辅助线构造|填空11-13题、解答19题|截长补短、延长法|条件转化→模型构建| |综合迁移|解答20题|从特殊到一般、实际建模|问题情境→数学语言表达|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 2．如图，中，，在角平分线上，设，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．、大小不确定 3．如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，则下列结论错误的是（    ） A．≌ B．≌ C． D． 5．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 6．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．一个等腰三角形，有两边长分别为和，则其周长为______． 9．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明的依据是全等三角形的________相等．判定三角形全等的方法是____________． 10．如图，且，且，，，，已知点F，A，G，C，H在同一直线上，则图中阴影部分的面积是___________． 11．如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 12．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________ s时，． 13．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则______． 14．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 三、解答题 15．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 16．如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 17．已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 18．如图，在中，为、的中点，直线交于点． (1)求证：，． (2)若，，求的长． 19．为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知：在四边形ABCD中，BD平分，，求AD与DC的数量关系． 【特例分析】（1）如图①，当时，AD与DC的数量关系是________________． 【问题解决】（2）如图②，当时，AD与CD存在怎样的数量关系？请说明理由． 20．解答下列问题： (1)【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系． 他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由． (3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 2．A 【分析】在上截取，连接，证明，可得，根据三角形三边的关系即可证明结论． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，， 而， ∴， ∵， ∴即， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的应用，作出辅助线后灵活运用全等三角形的判定和性质和三角形三边关系求证是解题关键． 3．D 【分析】先由得出，结合已知，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即． ∵， 对于A，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于B，添加，可得，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于C，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于D，添加，此时为“边边角”，不能判定，故该选项符合题意． 4．D 【分析】利用全等三角形的判定和性质逐一选项判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴≌（），故选项A正确，不合题意；     连接， ∵≌（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项C正确，不合题意； ∵，证不出， ∴选项D错误，符合题意； 在和中， ∴≌（），故选项B正确，不合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． 5．A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. 6．A 【分析】利用证明 ，得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 在和中 ， ． 7．C 【分析】由余角的性质可得，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，故②正确；由角的数量关系可得，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵， 故①正确； 如图，过点作于，    又 点F是的中点，故②正确； 故③正确； 故④错误； 故正确的有①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8． 【分析】本题未明确等腰三角形的腰长与底边长，需要分情况讨论，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长，为底边长时，三边长分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 当为腰长，为底边长时，因为，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故舍去． 综上所述：这个等腰三角形的周长为． 9． 对应角 【分析】从作图可知，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：从作图可知， ∵在和中 ， ， ∴（全等三角形的对应角相等）． 10．72 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据同角的余角相等推出，由此证得，得到，，同理得，，进而根据求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， ∴ ． 故答案为：72． 11．8 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 12．6或2/2或6 【分析】根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，． 13． 【分析】本题考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点H，使，连接、，则，因为，，得，，再证明得，，再推导出，进而证明，得，则． 【详解】解：延长到点H，使，连接、， 则， ∵，，， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．或10个单位长度 【分析】点Q到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，根据点P求出运动时间，利用路程除以时间得出Q的运动速度． 【详解】解：点P以每秒2个单位长度向点C运动，点Q返回过程中存在与全等， ， ，或， 或， 点Q的运动路程为或， 点Q的速度为：或． 15．(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 16．(1)见解析 (2)4.5 (3)4 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，从点向边作垂线得到，根据中线定义找到的中点，连接得到中线； （2）利用中线的性质，，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到与的差； （3）先计算的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，线段、线段即为所求． （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 17．(1)见详解 (2)16 【分析】（1）先结合角的和差关系得出，再证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， 则与的周长的和 ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， （1）利用“”即可证明，则，即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，根据线段的和与差即可求解． 熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；全等三角形的判定：，，，，． 【详解】（1）证明：∵O为、的中点， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． 19．（1）；（2）．理由见解析 【分析】（1）根据、可得，根据平分得到，再根据证明，即可得到结论； （2）过点分别作于点E，交BA的延长线于点，先通过证明，根据全等三角形的性质得到，再通过等角的补角相等证明，通过证明，即可求解． 【详解】解：（1） 【提示】、， ． 平分， ． 在和中， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点分别作于点E，交BA的延长线于点， ． 平分， ． 在和中， ， ． ，， ． 在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 20．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到结论即可； （2）延长，作延长线于点，于点，连接，证明和，得到，得出当与重合时，最大为长为，计算即可； （3）延长到点，使得，连接，证明和，得到，得出总路线长度计算即可； 【详解】（1）解：，理由如下： 延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （2）解：延长，作延长线于点，于点，连接， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 当与重合时，最大为长为， 此时； （3）解：由题意得： ， ， ， 延长到点，使得，连接， 由方位角可知：，, ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 总路线长为， 长度为 ， 总长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $