3.专题三 与三角形有关的线段综合-【分层导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

阅盟学堂 专题突破 139 专题三 与三角形有关的线段综合 一、应用三角形的中线等分面积解决问题 3.(1)如图1，点D在△ABC的边BC上，点F在 1.如图，BD是△ABC的中线，E,F分别为BD AD上 CE的中点.若△ABC的面积为12，则△AEF的 ①若D是BC的中点，求证：S△4BF=S△ACF 面积是 ②若BD=2CD,则S AABF:SAACF= (2)如图2，点M在边BC上，点N在边AC上 且CN=2AN,AP:MP=2:1,求BM与CM 之间的数量关系 B 2.如图，△ABC的中线AD,BE相交于点F (1)图中与△ABE面积相等的三角形有 个（不含△ABE); (2)若△ABF的面积是4cm2,求四边形FDCE 图1 图2 的面积 140分层导学案数学七年级下册BS版 阅盟学堂 二、角平分线与高综合 5.如图1，△ABC的角平分线BD,CE相交于点 4.如图1，在△ABC中，∠B>∠C,AE平分 F,∠A=60° ∠BAC,AD⊥BC于点D.试探究∠EAD与∠B, (1)【发现】∠BFE的度数为 ∠C之间的数量关系 (2)①I猜想】线段EF与DF之间的数量关系 为 ②爱思考的小江对上述猜想进行了合理 的推理，淘气的弟弟把他的稿纸撕了， DE 仅剩如图2所示的部分过程，请把其余 图1 图2 过程补充完整； 【探究】小明尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD (3)【拓展】如图3，过点D作△DBC的高DM, 的度数，得到如表所示的几组对应值： 记为h,:过点E作△EBC的高EN,记为h2: 过点F作△FBC的高FH,记为h·请写出 ∠B(单位：度) 70 75 80 h,h2,之间的数量关系并说明理由 ∠C(单位：度) 30 45 20 ∠EAD(单位：度) 20 15 (1)表格中a= 猜想∠EAD与∠B, ∠C之间的数量关系为 (2)证明(1)中猜想得到的∠EAD与∠B,∠C 图1 图3 之间的数量关系； 在BC上取一，点G,使BG= (3)如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC,F是 D BE,连接FG, 线段AE上一点，FD⊥BC于点D.若 ,BD平分∠ABC, ∠BAC=90°，∠B=60°，则∠DFE的度数 ∴.∠EBF=∠GBF G 为 图2 在△BEF和△BGF中，当AB∥DE时， 设AB交EC于点J, 则∠BJC=∠E=60 .∠BJC+∠AJC=180°， ∠A+∠JCA+∠AJC=180°， ∴.∠BJC=∠A+∠JCA. ∠A=45°，.∠JCA=159 ∴∠ACD=∠DCE+∠JCA=105°. ④如图7， D 图7 当AB∥CD时， ∠ACD+∠A=180°， ∠A=45°， .∠ACD=135 ⑤如图8， D 图8 当AC∥DE时， ∠ACD+∠D=180°， :∠D=30° .∠ACD=150. 综上所述，满足条件的∠ACD的度 数为45°或60°或105°或135° 或150°. 3.解：(1)PQ∥MN, ∠CAQ=60° .∠ACM=∠CAQ=60° 又：CB平分∠ACM, .LMCB=LACM=30 故答案为30°。 (2).t<50 ∴，∠ACB可旋转的度数为 3°×50=150°<180° 即点B不会旋转到直线CN上 ①当B,C在AC的左侧时， t<30÷3=10,∠ACN=120°， ∴∠ACB,=(30-31)°， 阅盟学堂 ∠A,CN=(120-3t) AD和BE是△ABC的两条中线， 又2∠ACB,+∠A,CN=100°， SAARD=SAACDSABCE =SAMAE .2(30-3t)+120-3t=100, 即S1+S4=S2+S,① 解得1=智 S2+S,=S1+S3.② ①-②，得S1-S2=S2-S, ②当A,C和B,C在∠ACN之间时， .S1=S2. 10≤t≤40， S周边影FnE=SAAr=4cm2. .∠ACB1=(31-30)°， 3.(1)①证明：D是BC的中点， ∠A1CN=(120-3t). SAARD =SAACD- 又：2LACB,+∠A,CN=100°， ,点B,C到线段AD的距离相等 .2(31-30)+120-31=100, ∴.以AF为底，高相等的三角形面积 解得：=9 相等 ③当B,C在∠ACN之间，A1C在直 .SAAF=SAACF 线CN下方时， ②解：BD=2CD, 40<t<50, SAMD:SAACD =2:1. .∠ACB1=(3t-30)°， ∴点B和点C到线段AD的距离之 ∠ACN=(31-120)° 比是2：1. 又：2LACB,+∠A1CN=100°， 以AF为底，高之比为2：1 .2(31-30)+36-120=100, 的三角形面积之比是2：1. 解得：（会去）。 .SAm:SMcr =2:1. 故答案为2：1. 综上所述，旋转时间：的值为智 (2)解：如图2，连接CP, 架 (3)m<40, ÷当BC∥AQ时有三种情况： ①当0<m<18时， 图2 30+2m=10m, 设△BMP的面积为s, 解得m=3.75; △APN的面积为a, ②当18<m<36时， .CN=2AN, 30+2m=10m-180. .△CPN的面积为2a. 解得m=26.25; .△APC的面积为3a. ③当36<m<40时， AP:MP=2:1, 30+2m=10m-360. 3 解得m=48.75(不合题意，舍去). △CPM的面积为a,△APB的 综上所述，m的值为3.75或26.25. 面积为2s. 专题三与三角形有关的线段综合 SAAx =2s +a, 3 7 1.3 SAmcv=2a+2a+s=2a+s 2.解：(1)3 .CN=2AN, (2)如图，设△ABF,四边形FDCE, SARCN:SAAN=2:1. △AEF,△BDF的面积分别为S, S2,S3,S4 六(3+小2+o)=2 .a=2s. SAMw=25+S=35, 5=3a+20=20= D .S6 M:SAAMC=3s:95=1:3, 数学七下FCBS30参考答案 .BM:CM=1:3. ∴BM与CM之间的数量关系为 3BM CM. 4a30∠BD=7(∠B-LC (2)证明：AE平分∠BAC, 5∠BME=子∠BMC AD⊥BC,∠ADB=90. 六∠BAD=90°-∠B. :∠BAC=180°-∠B-∠C, ·∠EAD =∠BAE-∠BAD =子∠BMC-(90-∠B =7(180-∠B-∠c)-0 +∠B =90°-24B-24C-90°+∠B 1 =4B-4C -1(2B-zC). (3)15 5.解：(1)60 (2)①EF=DF BE=BG, ②∠EBF=∠GBF, BFBF, .△BEF≌△BGF(SAS). 六.EF=GF,∠BFE=∠BFG. 又由(1)得∠BFE=60°， ∠BFC=120°， ∠BFG=∠BFE=60°， ∠CFD=∠BFE=60. .∠CFG=∠BFC-∠BFG=6O° =∠CFD. :CE平分∠ACB, ∴.∠FCG=LFCD. 在△CFG和△CFD中， LCFG=LCFD, CF=CF, I∠FCG=∠FCD, △CFG≌△CFD(ASA). .GF =DF...EF=DF. (3)h1+h2=3h,理由如下： 由(2)②得△BEF≌△BGF, △CFG≌△CFD, .SAEr=S△Gr; SAcrG=SACKO- 阅盟学堂 ·SAr+SAcm=SAe+S△ce ED⊥DF =S AFBC' .∠EDF=∠GDF=90. SADNC =SACrD +SArWc, 又DE=DG,FD=FD, S△BC=S△Br+SAFBC, ·△FDE≌△FDG(SAS). ·.SADBC+SaEc=S△cD+Saac+ ∴.EF=GF SAEF +SAFRC =3SArRC. :D是BC的中点， aumh :BD =CD. Sx=c么， 在△BDE和△CDG中， ED GD. 5ax=C么， ∠BDE=∠CDG, BD CD, BG.h +Bc.h ∴.△BDE≌△CDG(SAS) ∴.BE=CG 3×2BC, 在△CFG中，CG+CF>GF. 即h,+h2=3h3 .BE +CF>EF 专题四全等三角形 2.解：(1)方法1：如图1，在BC上截 辅助线添法专训 取BM=BA,连接DM 1.(1)B(2)1<AD<7 B (3)证明：如图2，延长AD到点M, 使DM=AD,连接BM, 图1 :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD 在△ABD和△MBD中， 图2 BD=BD, :AD是△ABC的中线， ∠ABD=∠MBD, .BD=CD. BA BM, 在△ADC和△MDB中， .△ABD≌△MBD(SAS). CD=BD, .∠BAD=∠BMD,DM=DM ∠ADC=∠MDB, LAD =MD. ∠BMD+∠CMD=180°， ∠BAD+∠C=180°， .∴.△ADC≌△MDB(SAS). ∴.CA=BM,∠CAD=∠M. ∴.∠C=∠CMD .AE=FE .DC=DM.∴.DA=DC. ∴∠CAD=∠AFE. 方法2：如图1，延长BA到点N,使 :∠BFD=LAFE, BN=BC,连接DN, ·.∠BFD=∠CAD=∠M. 同方法1，可证得 ∴BF=BM=AC,即AC=BF △NBD≌△CBD, (4)解：BE+CF>EF.证明如下： ∴.∠BND=∠C,DN=DC. 如图3，延长ED到点G,使DG= .∠NAD+∠BAD=180°， ED,连接GF,GC, ∠C+∠BAD=180°， .∠BND=∠NAD. ∴.DN=DA.∴.DA=DC (2)AB,BC,BD之间的数量关系为 AB+BC=BD.理由如下： 如图2，延长CB到点P, 图3 使BP=BA,连接AP, 数学七下FCBS31参考答案