第2章相交线与平行线 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以相交线与平行线核心概念为基础，通过分层题型系统整合性质应用、辅助线添加及分类讨论等解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|单选1/8|垂线段最短/平行公理|概念生成（相交线基本性质）| |性质应用|单选2/3/7|平行线性质与判定/辅助线（作平行线）|原理推导（平行线判定与性质互推）| |综合探究|解答17/20|实际问题建模/分类讨论|应用拓展（几何直观与推理能力综合）|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第2章相交线与平行线》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．如图，直线道路l沿线有A，B，C三个水站（每家水站饮用水价格相同），三个水站到小区M分别有三条公路，住在小区M的居民总是选择最近的路线去A水站购买桶装水，其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 2．如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，一条排水管两次转弯后，和原来的方向相同．若第一次的拐角，则第二次的拐角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 5．林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿（     ）方向修建，可以保持与的方向一致． A．北偏西 B．南偏东 C．北偏东 D．南偏西 6．如图，，，，表示四条街道，其中与均是东西方向，测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，则（   ）度 A．110 B．120 C．130 D．140 二、填空题 8．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 9．如图，，垂足为，直线经过点，，则__________． 10．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的倍多，则这两个角中较大的角的度数为________ 11．如图，，直线，若，则________． 12．如图1，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，如图2，其中，，，，，则的度数是___________． 13．如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 14．如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论是________． 三、解答题 15．如图，直线相交于点平分平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．根据提示完成说理． 如图，已知，垂足为点，，， 求证：， 证明：（已知）， ___________（垂直的意义）， （已知）， ___________（等量代换）， ______________________（___________）， （___________）， （已知）， ______________________（同位角相等，两直线平行）， ______________________（___________）， （等量代换）． 17．科技小组成员潜心研制出一款机械手臂．如图1，手臂分为大臂、中臂和小臂三部分，手臂可呈现出多种状态完成不同的工作．图2、图3为其简化示意图．      (1)如图2，若，，则________． (2)如图3，若，，，求的度数． 18．如图，是生活中常见的一种躺椅，躺椅的靠背侧面有滑槽，扶手可以沿着滑槽上下移动，调节位置，前、后支撑腿之间的夹角可以调节．某数学小组对其结构进行了简单探究，过程如下： 【作图】：据实物画出躺椅的侧面结构示意图，如图所示，为躺椅的扶手，为底座，为靠背，、为前、后支撑腿． 【测量】：扶手与底座平行，与靠背相交于点M，与前、后支撑腿、相交于点O．前、后支撑腿、与底座CD分别相交于点G、D． 【探究】： (1)如图1，若底座与靠背的夹角（即）为，前、后支撑腿的夹角（即）为，平分，通过计算说明：； (2)通过多次调节躺椅的前、后支撑腿之间的夹角和扶手的高度，同学们发现，当前支撑腿与靠背平行，前、后支撑腿互相垂直，且后支撑腿与底座的夹角（即）为时（如图2），人躺上去非常舒适，求此时的度数． 19．综合与探究 问题情境：如图，，和的延长线交于点，点在上，，点在的延长线上，连接． (1)独立思考：如图1，若，求的度数． (2)问题解决：如图2，若平分平分，点在上，平分． ①求证：； ②若，直接写出的度数． 20．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 参考答案 1．D 【详解】解：∵， ∴直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短可知住在小区M的居民选择路线去A水站购买桶装水最近． 2．B 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 3．D 【分析】根据排水管两次转弯后，和原来的方向相同，可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意知，， ． 4．C 【分析】根据定义，分类画图求解即可； 【详解】解：如图，根据题意，得， ， ， ； 如图，根据题意，得， ， ， ； 故的度数为或； 5．C 【分析】延长至点G，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义可得，最后根据方位角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点G， 由题意得：， ∴，， ∴， ∵要使与的方向一致，即， ∴， ∴， 即水渠从C村沿北偏东方向修建，可以保持与的方向一致． 6．B 【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出和的度数，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点作射线， 与均是东西方向， ， ， ，， ∵，， ∴，， ． 7．B 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ． 8． 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 9． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 10． 【分析】若两个角的两条边分别平行，则这两个角相等或互补，据此分两种情况设未知数列方程求解，即可得到较大角的度数． 【详解】解：两个角的两条边分别平行， 这两个角相等或互补， 设较小角的度数为，则另一个角的度数为 ， 若两角相等，则 解得，不符合角度的定义，舍去； 若两角互补，则 解得，则另一个角为， ∵， ∴较大角的度数为 ． 11．140 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ． ， ． ， ， ． 故答案为：140． 12． 【分析】过作， 可得到， 根据平行线的性质得到，， ， 再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ，， ， ． 13． 【分析】由角平分线的定义得，，设 ， ，作，根据平行线的判定与性质，求出 ，同理求出，即可得答案． 【详解】解：分别平分，， ，， 设 ， ， 如下图，过点M作，则， ， ， 如上图，过点N作，则， ， ， ，即． 14．①②③④ 【分析】根据平行线的性质可得；平行线的性质可得，求得，根据角平分线的定义求得；求得，，即可得到，推得平分；根据题意求得，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； ∵， ∴， ∴；故④正确． 故正确结论是①②③④． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的和差关系求出，即可得证； （2）根据角平分线的定义，求出 ，进而求出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ； （2）解：平分 ， ， ， 平分， ． 16．见解析 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理完成填空，即可求解． 【详解】证明：（已知）， （垂直的意义）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可； （2）过点作，则，先求出，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先由角平分线求出，然后由平行线求出，然后求出，即可证明； （2）首先求出，然后得到，然后结合平行线的性质求解． 【详解】（1）解：由题知，，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：由题意知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 19．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由平行线的性质，数形结合求角度即可； （2）①由平行线的判定与性质求证即可；②由平行线的性质，结合角平分线定义，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）①证明：， ， 平分平分， ， ， ； ②过点作，如图所示： 则， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， 平分， ． 20．(1) (2) (3)与之间存在的数量关系是或或 【分析】（1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ，      ， , ， 过点I作， ， ，，      ， ． （3），， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，，      ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ．      ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ．      ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 学科网（北京）股份有限公司 $