专题7.1 复数的概念和几何意义讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦复数的概念与几何意义高考核心考点，按代数定义（分类、相等、模、共轭）到几何表示（复平面、点与向量对应）的逻辑架构梳理知识，通过考点精讲、方法归纳、真题示例及分层练习，帮助学生构建复数知识网络，突破纯虚数判断、模的计算等难点。 资料突出数形结合教学策略，如结合复平面讲解共轭复数的对称关系，培养学生数学眼光与逻辑推理能力。设置基础辨析（如复数分类判断题）、能力提升（轨迹问题）等分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题7.1复数的概念和几何意义 7.1.1 复数的概念 1.复数的定义：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.其中叫作复数z的实部，叫做复数z的虚部(其中). 2.复数分类：复数. 3.数集之间的关系： 4.复数相等的充要条件：. 特别的：. 5.复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即. 6.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示. 注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于轴对称. 例1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 例2.设，其中为虚数单位，则复数的虚部为 . 例3.已知，且，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 1.若复数为纯虚数，则实数的取值为 . 2.若复数是实数，则实数为 . 3.已知复数的实部为，其中为虚数单位，则实数的值是 . 4.已知复数，其中为虚数单位，则的模是 . 5.已知，是虚数单位，若，则的值为 . 6.给出下列4个命题，判断正确命题个数： ①若，则为虚数；②若复数为纯虚数，则实部为0； ③两个共轭复数的模相等；④若，则. A.   B.   C.   D. 7.已知，，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 8.若复数(为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 9.为虚数单位，的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 10.若为实数且，则（ ） A. B. C. D. 7.1.2 复数的几何意义 1.复平面：如图，点Z的横坐标是,纵坐标是，复数可用点A（，）表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数与向量的对应： 如图所示： 复数平面向量, 这时复数的另一种几何意义. 3.复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即. 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示. 注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于轴对称. 例1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例2.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例3.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例4.已知复数满足，求的取值范围. 1.若复数对应点在虚轴上，则实数的值为 . 2.已知复数满足，在复平面内，复数对应的点的轨迹是 . 3.若复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为 . 4.设复数，满足，则点的轨迹为 . 5.设复数满足，则 .     6.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则  .    7.设，则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 10.复平面内表示复数的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.给出4个命题，判断正确的个数（ ） ①复平面内实轴上的点全部表示实数； ②虚轴上所有点都代表纯虚数； ③共轭复数对应点关于轴对称； ④复数与向量一一对应. A.1 B.2 C.3 D.4 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1复数的概念和几何意义 7.1.1 复数的概念 1.复数的定义：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.其中叫作复数z的实部，叫做复数z的虚部(其中). 2.复数分类：复数. 3.数集之间的关系： 4.复数相等的充要条件：. 特别的：. 5.复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即. 6.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示. 注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于轴对称. 例1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 解：在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D. 例2.设，其中为虚数单位，则复数的虚部为 . 解：，复数的虚部为.故答案为：-3. 例3.已知，且，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 解：，， 由，结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得， 即，故选：A. 1.若复数为纯虚数，则实数的取值为 . 解：纯虚数充要条件：，实部：，虚部：， 联立约束，舍去，得.故答案为：-2. 2.若复数是实数，则实数为 . 解：复数为实数的条件：虚部，实部无限制. 令虚部；代入实部验证：，符合实数定义. 故答案为：-3. 3.已知复数的实部为，其中为虚数单位，则实数的值是 . 解：∵，令得. 故答案为：2. 4.已知复数，其中为虚数单位，则的模是 . 解：复数，∴. 故答案为：. 5.已知，是虚数单位，若，则的值为 . 解：由，可得，所以，. 故答案为：2. 6.给出下列4个命题，判断正确命题个数： ①若，则为虚数；②若复数为纯虚数，则实部为0； ③两个共轭复数的模相等；④若，则. A.   B.   C.   D. 解：逐个辨析： ①错误：当时，是实数，不是虚数； ②正确：纯虚数定义，实部必然为0； ③正确：，； ④正确：，即； 综上②③④正确，共3个.故选：C. 7.已知，，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 解：，利用复数相等的充分必要条件可得：，∴.故选：C. 8.若复数(为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以其共轭复数.故选：A. 9.为虚数单位，的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以它的共轭复数为.故选：A 10.若为实数且，则（ ） A. B. C. D. 解：由已知得，所以，解得.故选B. 7.1.2 复数的几何意义 1.复平面：如图，点Z的横坐标是,纵坐标是，复数可用点A（，）表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数与向量的对应： 如图所示： 复数平面向量, 这时复数的另一种几何意义. 3.复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即. 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示. 注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于轴对称. 例1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：由于，故该复数对应的点为，在第一象限.故选A. 例2.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：要使复数对应的点在第四象限，应满足：.解得.故选：A. 例3.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选A. 例4.已知复数满足，求的取值范围. 解：几何翻译：，点轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示圆上动点到原点的距离；定点到圆心距离：； 圆上点到定点距离最值公式：，代入得：. 故的取值范围为：. 1.若复数对应点在虚轴上，则实数的值为 . 解：虚轴上点满足：实部，虚部； 实部： 虚部： 联立约束，舍去，得.故答案为：-3. 2.已知复数满足，在复平面内，复数对应的点的轨迹是 . 解：以坐标原点为圆心，半径的圆.设，代入模长公式： ，两边平方得；该方程为平面圆标准方程，圆心原点，半径2. 故答案为：圆. 3.若复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为 . 解：第二象限点坐标特征：横坐标，纵坐标； 实部：，虚部：，列不等式组：，解得：.故答案为：[0，2]. 4.设复数，满足，则点的轨迹为 . 解：，模长定义：， 两边平方得；故答案为：以点为圆心，半径的圆. 5.设复数满足，则 .     解：设，， ，，又， 所以，， ，， 所以.故答案为：. 6.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则  .    解：由题意得.故答案为：-1. 7.设，则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：由，得，则对应点位于第三象限.故选C. 8.设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限.故选B. 9.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 解：，，则，故选C. 10.复平面内表示复数的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：因为复数，它在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选A. 11.给出4个命题，判断正确的个数（ ） ①复平面内实轴上的点全部表示实数； ②虚轴上所有点都代表纯虚数； ③共轭复数对应点关于轴对称； ④复数与向量一一对应. A.1 B.2 C.3 D.4 解：逐个辨析： ①正确：实轴点纵坐标，，为实数； ②错误：虚轴原点对应，是实数，不属于纯虚数； ③正确：、，两点关于轴对称； ④正确：全体复数与原点出发的平面向量一一对应； 综上①③④正确，共3个.故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $