专题12.1 加法原理和乘法原理 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦计数原理专题，系统梳理分类加法计数原理和分步乘法计数原理核心考点，按“原理定义-典型例题-分层练习”逻辑架构知识，通过考点梳理明确概念内涵，方法指导解析解题思路，真题训练强化应用能力，助力学生构建知识网络突破难点。 资料以真实情境问题驱动教学，如例1“课后服务选择”引导学生用数学眼光观察生活计数问题，通过例题分步解析培养数学思维的逻辑性。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，提升解题效率，为教师提供精准复习节奏把控方案，保障复习效果最大化。

专题12计数原理 专题12.1 加法原理和乘法原理 12.1.1 分类加法计数原理 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的办法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种不同的方法． 例1.某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加. 学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次. 学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程 3 项，则不同的选择方案共有种. (用数值表示) 例2.现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 7 种 B. 9 种 C. 14 种 D. 70 种 例3.从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ） A. 26 B.24 C.20 D.19 1.从甲地到乙地，高铁有3趟，普通火车有5趟，汽车有4班，任选一种交通工具出行，共有 种走法。 2.已知第一象限整点，时有4个点，时有5个点，时有2个点，任选一个整点，共 种选法。 3.篮球队甲组8人，乙组6人，丙组4人，挑选1人当队长，总共有 种挑选方法。 4.数字卡片：1位数卡片共9张，2位数卡片共6张，从中抽1张卡片， 种抽取结果。 5.正整数484有个不同的正约数 . 6.已知直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为正整数，且满足的点一共有 个。 7.某校开展志愿者活动，需要选派1名同学参与服务，高一有男生5人、女生4人；高二有男生6人、女生3人；高三有男生4人、女生5人。任选1名志愿者，一共有 种选派方法。 8.从1到10这10个整数中，选取一个数，要求这个数是质数或是完全平方数，一共有 种选法。 9.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 7 10.已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ） A. 18     B. 16    C. 14    D. 10 11.用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种？（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 12.1.2 分步乘法计数原理 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·…·mn种不同的方法. 例1.为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 216种 例2.从这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有 个，不同的二次函数共有 个.(用数字作答) 例3.某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（    ） A．16 B．24 C．12 D．36 1.从甲地到乙地有3趟高铁，从乙地到丙地有4班汽车，先坐高铁到乙地，再转汽车去丙地，共有 种出行路线。 2.用十个数字组成两位数字密码（十位、个位均可取0），一共能设置 种密码。 3.男生4人，女生3人，选出1男1女组成双人小组，有 种组队方式。 4.用1,2,3,4组成无重复数字的两位数，一共能组成 个。 5.用0,1,2,3组成无重复数字的三位数，共有 个。 6.三个并排相邻区域，用红、黄、蓝3色涂色，相邻区域颜色不同，则涂色方案总数为 种。 7.用1,2,3,4,5组成无重复数字的三位数，且个位为偶数，一共有 个。 8.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10 种    B. 20 种    C. 25 种    D. 32 种 9.某大学食堂备有6种素菜、5种荤菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 30 B. 14 C. 33 D. 90 10.将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（     ） A．46种 B．64种 C．4种 D．24种 11.核糖核酸是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体. 参与形成的碱基有4种，分别用，，，表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一分子由100个碱基组成，则不同的分子的种数为（ ） A. B. C. D. 12.在平面直角坐标系上，平行直线与平行直线组 成的图形中，矩形共有（ ） A. 25个    B. 36个    C. 100个    D. 225个 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12计数原理 专题12.1 加法原理和乘法原理 12.1.1 分类加法计数原理 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的办法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种不同的方法． 例1.某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加. 学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次. 学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程 3 项，则不同的选择方案共有种. (用数值表示) 解：由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四. ①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为2种，阅读在剩下的两天中选为2种，共有 种方案. ②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为3种，阅读在剩下的两天中选为2种，共有种方案. ③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为2种，阅读在剩下的两天中选为2种，共有 种方案.综上，共有种方案.故答案为：14. 例2.现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 7 种 B. 9 种 C. 14 种 D. 70 种 解：分为三类： 从国画中选，有2种不同的选法；从油画中选，有5种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有(种)不同的选法；故选：C. 例3.从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 解：其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形： ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411 共3个； ②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321 共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222． 共有 个，故选：C． 例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ） A. 26 B.24 C.20 D.19 解：由题图可知，从到有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为，由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为 .故选：D. 1.从甲地到乙地，高铁有3趟，普通火车有5趟，汽车有4班，任选一种交通工具出行，共有 种走法。 解：分3类：高铁、普速火车、汽车，三类互不重叠，用分类加法。高铁3种，火车5种，汽车4种，相加得总走法。故答案为：种。 2.已知第一象限整点，时有4个点，时有5个点，时有2个点，任选一个整点，共 种选法。 解：按横坐标分为3类，每个点唯一归属一类，直接相加。 故答案为：种。 3.篮球队甲组8人，乙组6人，丙组4人，挑选1人当队长，总共有 种挑选方法。 解：按组别分为三类，每组选人互不冲突，总方法数相加。故答案为：种。 4.数字卡片：1位数卡片共9张，2位数卡片共6张，从中抽1张卡片， 种抽取结果。 解：分1位数卡片、2位数卡片两类，两类卡片无重复，分类相加。 故答案为：种。 5.正整数484有个不同的正约数 . 解：， 设为484的正约数，则，()， 例如：时，是484的约数， 时，是484的约数， 时，是484的约数， 因此，484的正约数个数，即的不同取值个数，第一步确定的值，有3种可能，第二步确定的值，有3种可能，因此的取值共有种.故答案为：9. 6.已知直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为正整数，且满足的点一共有 个。 解：需要按横坐标进行隐藏分类：①时，可取1,2,3,4（4个）；②时，可取1,2,3（3个）；③时，可取1,2（2个）；④时，可取1（1个）。四类情况无重叠，使用分类加法求和。故答案为：个。 7.某校开展志愿者活动，需要选派1名同学参与服务，高一有男生5人、女生4人；高二有男生6人、女生3人；高三有男生4人、女生5人。任选1名志愿者，一共有 种选派方法。 解：双层分类题型，高考高频拔高考法。第一层按年级分为高一、高二、高三三类；第二层每个年级内部再分男女统计人数。先算出每个年级总人数，再利用分类加法将三个年级人数相加。故答案为：种。 8.从1到10这10个整数中，选取一个数，要求这个数是质数或是完全平方数，一共有 种选法。 解：第一步分类：中质数为2,3,5,7（4个）；完全平方数为1,4,9（3个）。第二步排查重叠：两类数字无公共元素。种。故答案为：种。 9.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 7 解：与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： ①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有（个）； ②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有（个）； ③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个． 综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有（个）．故选：B. 10.已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ） A. 18     B. 16    C. 14    D. 10 解：分两类情况讨论： 第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有 (个)； 第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有 (个)，由分类加法计数原理，所以所求个数为.故选：C. 11.用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种？（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 解：①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有1克，5克，10克；②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有克，克，克；③当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有克；④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以成量重物的克数有克，克，克；⑤当天平的一端放1个砝码，另一端也放 2个砝码时，可以成量重物的克数有克，克，克；去掉重复的克数后，可称重物的克数有10种，故选：A. 12.1.2 分步乘法计数原理 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·…·mn种不同的方法. 例1.为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 216种 解：依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有 种.故选：C. 例2.从这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有 个，不同的二次函数共有 个.(用数字作答) 解：因为只有当且时，函数才是一次函数，所以可组成不同的一次函数共有；因为只有当时，函数才是二次函数，所以可组成不同的二次函数共有，故答案为： ;. 例3.某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（    ） A．16 B．24 C．12 D．36 解：甲先从4门课程选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为4×3×2=24种.故选：B. 1.从甲地到乙地有3趟高铁，从乙地到丙地有4班汽车，先坐高铁到乙地，再转汽车去丙地，共有 种出行路线。 解：完成全程分为两步，第一步甲→乙有3种选择，第二步乙→丙有4种选择，两步缺一不可，使用分步乘法计数原理。故答案为：种。 2.用十个数字组成两位数字密码（十位、个位均可取0），一共能设置 种密码。 解：设置密码分两步，第一步确定十位数字有10种选择，第二步确定个位数字同样有10种选择，两步独立，分步相乘。故答案为：种。 3.男生4人，女生3人，选出1男1女组成双人小组，有 种组队方式。 解：组队需要两步，先挑选男生，再挑选女生，两步缺一不可，用分步乘法计算组合数量。 故答案为：种。 4.用1,2,3,4组成无重复数字的两位数，一共能组成 个。 解：分步带约束条件，第一步选十位，4个数字任选，共4种；第二步选个位，不能与十位数字重复，仅剩3种选择，两步相乘。故答案为：个。 5.用0,1,2,3组成无重复数字的三位数，共有 个。 解：优先处理有限制的百位：①第一步百位：不能取0，只能选1,2,3，共3种； ②第二步十位：剩余3个数字（包含0），共3种； ③第三步个位：剩余2个数字，共2种； 三步相乘得到总数。故答案为：个。 6.三个并排相邻区域，用红、黄、蓝3色涂色，相邻区域颜色不同，则涂色方案总数为 种。 解：三步分步约束：①第一个区域：3种颜色任选； ②第二个区域：不和第一块同色，2种； ③第三个区域：不和第二块同色，可与第一块同色，仍有2种； 三步相乘得12种。故答案为：种。 7.用1,2,3,4,5组成无重复数字的三位数，且个位为偶数，一共有 个。 解：优先处理有特殊要求的个位：①第一步个位：偶数只有2、4，共2种； ②第二步百位：剩余4个数字，4种； ③第三步十位：剩余3个数字，3种； 分步相乘得到总数。故答案为：个。 8.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10 种    B. 20 种    C. 25 种    D. 32 种 解：由题意，每个同学有种选择，故不同报名方式为. 故选：D. 9.某大学食堂备有6种素菜、5种荤菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 30 B. 14 C. 33 D. 90 解：因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有 种，故选：D. 10.将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（     ） A．46种 B．64种 C．4种 D．24种 解：将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，根据乘法原理共有4×4×4×4×4×4=46种.故选：A. 11.核糖核酸是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体. 参与形成的碱基有4种，分别用，，，表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一分子由100个碱基组成，则不同的分子的种数为（ ） A. B. C. D. 解：每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的分子的种数为. 故A，C，D错误.故选：B. 12.在平面直角坐标系上，平行直线与平行直线组 成的图形中，矩形共有（ ） A. 25个    B. 36个    C. 100个    D. 225个 解：要构成矩形，从中选两条直线作为两边，共有种选法；同理从 中选两条直线作为两边也有种选法. 共有种选法，即矩形共有个. 故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $