专项4矩形、菱形、正方形压轴题型 期末复习专项 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形压轴题型，以矩形、菱形、正方形为核心，通过性质应用、折叠变换、动态问题等11类题型构建从基础到综合的知识体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质与判定|5题|含性质应用、坐标系结合、折叠问题|从矩形定义出发，结合轴对称、直角坐标系，构建性质应用与判定的逻辑链| |菱形性质与判定|5题|涉及角度计算、判定证明、动态探究|以菱形四边相等、对角线垂直为核心，延伸至性质应用与判定综合| |正方形性质与判定|5题|包含折叠、对称、旋转综合|基于正方形特殊性，融合全等、旋转思想，解决折叠与动态问题| |中点四边形/动点问题|5题|中点连线性质、动点分类讨论|连接四边形中点性质与特殊平行四边形判定，结合动点运动构建动态几何模型|

专项4 矩形、菱形、正方形压轴题型 目录 题型1 利用矩形的性质求解和证明 1 题型2 矩形和平面直角坐标系 11 题型3 矩形与折叠问题 24 题型4 根据矩形的性质和判定求解 34 题型5 利用菱形的性质求角解和证明 47 题型6 根据菱形的性质与判定求解和证明 57 题型7 根据正方形的性质求解和证明 67 题型8 正方形折叠问题 76 题型9 根据正方形的性质与判定求解和证明 92 题型10 中点四边形 104 题型11 特殊平行四边形的动点问题 117 题型1 利用矩形的性质求解和证明 1．如图，在矩形中，为边上一点，，，是的中点，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解， 再利用勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 为中点，， ， 在中，， ， ∴由勾股定理得， ∵在矩形中，，， ， ， 由勾股定理得． 2．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（或） (2)且；理由见解析 (3)存在；画图见解析；最小值为3 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，根据平行线的性质得出；根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据，得出； （3）作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，根据轴对称可知，，，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，再求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴； ∵在中，点F为中点， ∴， ∴； ∴与相等的角为或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的定义及等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据等边对等角得出，，再由三角形外角的定义确定，，结合题意求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 4．如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【答案】(1)13 (2)解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得结果； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）当点在上时，当，重合时符合题意， 由建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，； （2）略 （3）解：当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 5．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，连接． 四边形为矩形， ∴， ，，， ∴， ， ∴， 即． ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． (3)解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ， ． ， ． 由（2）同理可得，， ． ， ， ． 四边形为矩形， ， ， ． ， ． 【分析】（1）由平行线的性质得到．由得到，从而证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）连接．证明，得到，因此，从而，进而证明，即可得出． （3）延长至点，使得，连接，．由等边对等角得到，由得到，根据线段的和差得出，根据矩形的性质有，因此，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ． ， ， ． ，，， ， ． （2）略 （3）略 题型2 矩形和平面直角坐标系 6．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)点D（____，_____），______； (2)当点F在第四象限时（如图1），求证：． (3)设翻折后点F落在直线的下方，当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】(1)，， (2)证明：由折叠可知，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质结合点，点的坐标即可得到点的坐标，再利用勾股定理结合点为对角线中点，即可求解； （2）根据折叠的性质得到，，由中点的性质得到得到，再利用三角形外角的关系得到，推出，即可证明； （3）根据矩形的对称轴为过中点的直线和过中点的直线，则分点在过中点的直线上或过中点的直线上，两种情况并结合点F落在直线的下方讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点为对角线中点， ∴，； （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴矩形的对称轴为过中点的直线和过中点的直线， ∴矩形的对称轴为直线或直线， 设的中点分别为， 当点在直线上时，如图， ∵点为对角线中点， ∴点在直线上，即在直线上， 由对称的性质得，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 由折叠的性质得， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即； 当点在直线上时，如图， 则， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 7．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 8．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点D的坐标为 (2) (3)当时，，；当时，， 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，则，，设，根据勾股定理得出，求出，则，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）分点P在上，点P在上讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分点P在上，点P在上讨论，根据等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质、平移的性质等知识求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点D的坐标为； （2）解：当点P在上时，，如图，此时， ∴； 当点P在上时，，如图，此时， ∵，， ∴， ∴； 综上，； （3）解：取中点E，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，， 解得， ∴， 当M在上方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向右平移1个单位，再向上平移个单位得到， ∴； 当M在下方时， 同理可求； 当时，， 解得， ∴， 当M在x轴上方时，过作于H， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴A向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴C向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， 当M在x轴下方时， 同理可求， 综上，当时，，；当时，，． 9．矩形位于平面直角坐标系中．如图，若轴，点的坐标，点的坐标为， (1)直接写出点、的坐标； (2)连接对角线、交于点，求的长及点的坐标； (3)如图，在边上有动点，过点作直线交边于点，并使得，在直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，求满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)点坐标为或 【分析】（1）根据矩形的性质及点、的坐标，即可得出点、的坐标； （2）根据各点坐标得出，，利用勾股定理可求出，根据矩形的性质得出点为中点，利用中点坐标公式即可求出点坐标； （3）分和两种情况，利用全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标，点的坐标为， ∴，． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵对角线、交于点， ∴点为的中点， ∴，，即． （3）如图，若，则，过点作于点， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴， ∵， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 点坐标； 如图，若，， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， ∴， ∵， ， ∴， 点坐标， 综上所述：点的坐标为或． 10．如下图，对于矩形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第三象限． (1)直接写出点的坐标： __________． (2)点从原点出发，沿着的路线每秒移动2个单位长度． ①当点移动了时，直接写出此时点的坐标：__________； ②当点到轴的距离为4个单位长度时，求出点移动的时间． (3)若过点的直线与矩形的边交于点，且将矩形的面积分为1∶4的两部分，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①  ②或 (3)或． 【分析】（1）根据长方形的性质即可得出点B的坐标； （2）①根据题意，的运动速度与移动的时间，可得运动了个单位，进而结合矩形的长与宽可得答案；②点到轴的距离为4个单位长度，结合图形分两种情况：当在上时，当在上时，分别得出坐标即可； （3）分两种情况：当点在上时；当点在上时，根据直线将矩形的面积分为两部分，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：． ∵矩形，，， ∴，，， ∵点在第三象限， ∴． （2）解：①． 点从原点出发，沿着的路线每秒移动个单位长度． 当点移动了时，移动的距离是个单位长度， ∵， ∴此时点在线段上，坐标为； ②点到轴的距离为4个单位长度， 点在或上． 当点在上时，，此时； 当点在上时，． 综上所述，点移动的时间为或． （3）解：当点在上时，设（）． ， ， 即，解得， ； 当点在上时，设（）． ， ， 即，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、三角形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质，采用数形结合的思想以及分类讨论的思想解题是解题的关键． 题型3 矩形与折叠问题 11．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】； 【分析】本题主要考查勾股定理相关的翻折问题．先根据翻折，得到．在中，运用勾股定理，求出，从而求得，设，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵和关于对称， ∴． ∴，． ∵矩形，，， ∴，． 在中， 由勾股定理，得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 12．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．如图，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． (1)证明：是等腰三角形． 将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴_____________． ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴_____________（____________________________） ∴__________________________ ∴（____________________________） ∴是等腰三角形． (2)若，求的面积． 【答案】(1)；；两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； (2) 【分析】（1）根据折叠的性质推出，结合矩形性质与平行线性质推出，再利用等量代换，以及等腰三角形判定方法分析证明即可； （2）设，则，利用勾股定理建立方程求出，再根据三角形面积公式求解，即可解题． 熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴． ∵四边形是矩形， ∴（矩形的对边平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴（等角对等边） ∴是等腰三角形． （2）解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 解得， 的面积为． 13．在一次数学课上，老师开展折纸探究活动：如图，已知长方形纸片，将边沿折叠，边沿折叠，使点A，点C分别落在对角线上的点G处和点H处．下面是两位同学的对话： (1)请选择一位同学的说法，并证明； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：小兰说法： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得， ∴， ∴； 小杰说法： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得，即可得，再根据折叠的性质得，进而得出；再根据“角边角”证明，可得，则此题可证； （2）先根据矩形的性质得，再根据勾股定理求出，然后说明四边形是平行四边形，接下来根据折叠的性质得，即可得，并设，则，根据勾股定理求出，可得，，最后根据勾股定理求出另一边，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴四边形是平行四边形． 根据折叠的性质得， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴，， 在中，， 即， ∴四边形的周长为． 14．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 15．如图，在中，为线段上一点，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，为线段上一点，． 求证：是中点； 如图，将矩形的一角沿翻折，点的对应点落在处，若，当恰好为直角三角形时，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； (2)证明：如图，延长与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即是中点； ． 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，从而可得，再通过矩形的判定方法即可求证； （）延长与交于点，由四边形是矩形，得，，又，所以，证明，然后通过全等三角形的性质即可求证； 当恰好为直角三角形时，只存在，由折叠性质可知，，证明是等边三角形，所以，设，则，由勾股定理得，再通过直角三角形性质得，再代入即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； 解：当恰好为直角三角形时，只存在， 由折叠性质可知，， ∵是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ∵是中点， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型4 根据矩形的性质和判定求解 16．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 17．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 18．如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)填空：①__________；（用含 的代数式表示） ②__________； (2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1)①；②13 (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【分析】（1）①由题意得；②过点B作于H，证明四边形是矩形，结合勾股定理即可求得； （2）只有Q点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得； ②如图，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，； （2）解： Q在 上运动时间为， ∵， ∴Q运动时间最长为， 当点Q在 上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，Q在 边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， ∴只需， 由题意得，，，， ∴， 解得； ②四边形是平行四边形，如图所示： ∵， ∴只需，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得． 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【答案】(1) (2) (3)不变，它的值为 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）过点作，交轴于，可证，再由等腰直角三角形的性质解答即可求解； （）过点作，交的延长线于点，可证，得到，即得，再由矩形的性质得，即得，即可判断求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，交轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：不变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的值不变，它的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20．在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①结论：四边形是矩形，理由见解析；②四边形的面积不变，四边形的面积，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可； （2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论； ②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】（1）解： ，． 理由：四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ； （2）①结论：四边形是矩形． 理由：取的中点，连接． ， ， 是等边三角形， ， ， 同法可得， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； ②四边形的面积不变． 理由：如图过点D作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， ， 矩形的面积， 由平移变换的性质可知， ， 的面积的面积， ∴四边形的面积矩形的面积． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 题型5 利用菱形的性质求角解和证明 21．如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ，，， ． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质、对顶角的性质等找到条件证明即可； （2）利用菱形的性质得到，设，则，在中，由勾股定理得，列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即：， 解得， ． 22．如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 23．阅读材料 对于直角三角形我们有如下结论：直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在中，，若，则． 请根据以上材料，解决下列问题： 如图2，在菱形中，，是线段上的动点（点不与点重合），在的右上方作菱形，且，连接，． (1)当点与点重合时，________（度）． (2)当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由． (3)交于点，当点是的中点时，求证：点是的中点． 【答案】(1)； (2)解：不变，理由如下： 在上截取，则． ， ． ． 又，， ． 在菱形中，， ， ． 在菱形中，，， ， ． (3)证明：由（2）可得，，，，，， 延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为． ． 是的中点， 设． 在中，， ， 由勾股定理可得：． ， ． ， ． ， 在中， 由勾股定理可得：， ，即是的中点． 取的中点，连接， 则， ，且在上， 点与点重合， 点是的中点． 【分析】（1）根据菱形的性质，求出的度数，利用角的和差关系即可得出结果； （2）在上截取，证明，得到，再利用角的和差关系进行求解即可； （3）延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，根据菱形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，推出为的中点，取的中点，连接，中位线定理得到，又，得到重合，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 24．如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为，求线段 的长． 【答案】(1)证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ 是直角三角形，， 是 中点， ∴ ， ∴四边形 是菱形． (2)4 【分析】（1）先根据两组对边分别平行的条件，判定四边形 是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线定理，得到与 的数量关系，结合菱形的判定定理完成证明． （2）设点 到 的距离为 ，先表示出菱形 的面积，用两种方法表示出 的面积，再结合已知中长度，求解 的长． 【详解】（1）略 （2）解：设点 到 的距离为 ，因为 ， ∴菱形 的面积为 ， ∵ 是 的中点， ∴ ， 则 的面积：, 又∵ 中 ，面积也可表示为 ， ∵ ， ∴ 化简得 ， ∴ ． 25．综合与实践 如图，在菱形中，，对角线的交点为O，P是对角线上一动点，点E在的延长线上，且． 特例研究 (1)如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“”“”或“”） 类比探究 (2)如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 (3)如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 在上截取，连接，如图2， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)15或9． 【分析】（1）利用菱形性质得，，，，推出是等边三角形；结合P与O重合、，得到等腰，算出底角，利用等角对等边可证； （2）先由菱形和条件，判定为等边三角形；用截长补短法在上截取，构造等边；利用等量代换证出两组边相等、两角都是，用SAS证三角形全等，推出； （3）先由菱形边长8、，得等边，求出；截取线段构造等边，造出等角和相等线段；然后分N在延长线上、N在线段上两种情况；利用角的和差找相等角，证全等，求出，再算出结果． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ，点与点重合， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ； （2）略； （3）解：四边形是菱形，边长为，， 是等边三角形， ， 是中点， ， 在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ①如图，点在线段的延长线上，如图， ，点在延长线上， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 如图，点在线段上，如图， 菱形边长为，是等边三角形， ， ，点在线段上， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 综上可知，线段的长为15或9． 题型6 根据菱形的性质与判定求解和证明 26．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 27．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平分，可得，利用四边形是平行四边形，求证即可; （2）连接、，根据平分，四边形是矩形，可得和都是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，可得，，，证明，即可得是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长、交于点，连接，求证四边形是菱形，证明可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，． ，． 平分， ． ． ， ． ． （2）如图，连接、， ∵四边形是矩形， ，． ． 平分， ． ． ，，． ． 又是的中点， ，，． ． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． （3）如图，延长、交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ∴四边形为平行四边形． ，平分， ，． ． ． ， ． ∴平行四边形为菱形． ，． 、为等边三角形． ． ， ， ∴四边形为平行四边形． ，． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． 28．如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． (1) ， （用t表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，当秒时，四边形为菱形，理由见详解 (3)当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）；理由见详解 【分析】（1）根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，易得，，，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可获得答案； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得t的值 （3）分，，三种情况，建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且根据题意，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动， ∴，，， ∵，， ∴在中，； （2）解：∵，，即， ∴， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 此时，解得：秒， 即当时，四边形是菱形； （3）解：当秒时，是直角三角形（）； 当秒时，是直角三角形（）． 理由如下： 当时，如下图， 则， ∴， ∴，即， 解得秒， ∴当秒时，是直角三角形； 当时，如下图， 由（2）可知四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得秒； 当时，点和点都和点重合，不能构成三角形， ∴此种情况不存在． 综上所述，当秒时，是直角三角形（）；当秒时，是直角三角形（）． 29．在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 平分， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行线性质和角平分线定义得到，再由等角对等边及已知条件判定，进而由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得证； （2）由菱形性质求出相关边及角度，在中，由勾股定理求出，再由平行四边形的判定与性质得出，最后在中，由勾股定理求出长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，且是等边三角形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得． 30．矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据菱形的判定方法可得结论； （2）先求出菱形的两条对角线的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：小颖同学的作法： ∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是菱形； 小亮同学的作法： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 题型7 根据正方形的性质求解和证明 31．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点P，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)．证明见解析 【分析】 （1）根据题意补全图形即可； （2）由题意易得，，，，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）过点C作交延长线于点H．则有，由题意易得，然后可得，则有，进而根据勾股定理及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵点B，F是关于直线对称， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． （3）解：，证明如下： 过点C作交延长线于点H． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． 32．如图，为正方形外部一点，且，连接，，作于点，交于点，连接 (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3) 证明：如图，连接，作，交延长线于点，则， 由（2）可知：，，， 垂直平分， ，， ∵在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， 即， ∵在和中 ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 【分析】（1）依题意画图即可；（2）先设，由正方形性质和等腰三角形性质表示出，最后根据消去参数，得；（3）先根据（2）求，从而求得，再由（2）求，根据正方形性质求出，故，再根据正方形四个角都是直角以及边的关系证明出，故，根据等腰直角三角形性质得出． 【详解】（1）略 （2）解：在正方形中， ， ， ，，， 设，则，， ， ． （3）略 33．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长； (3)若点E为中点，连接，直接写出和的位置关系． 【答案】(1)证明：过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴矩形是正方形； (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，于点，然后证明，得到，即可证明； （2）证明，得到，求出，然后利用勾股定理求解； （3）证明点，重合，由四边形是正方形，得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形和是正方形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴（负值舍去）； （3）解：，理由如下： 如图， ∵在正方形中，， 又∵点为的中点， ∴，即， ∵， ∴点在射线上， ∵， ∴此时重合， ∵四边形是正方形， ∴． 34．解决下列问题： 【问题发现】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______________，大正方形的边长为______________． 【知识迁移】 (2)爱钻研的小郭同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的面积为______________；大正方形的面积为______________，边长为______________． 【拓展延伸】 (3)小郭想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明是否可行． 【答案】(1)； (2)；； (3)不可行， 设长方形纸片长为，宽为， 由长方形面积为，列方程： ， ， ， （舍去负根）， 长方形的长， 原正方形纸片面积，则原正方形边长， ，， ，即长方形的长大于原正方形纸片的边长， 无法裁出满足要求的长方形纸片． 【分析】（1）两个边长为 1 的小正方形总面积就是拼成的大正方形面积，再根据正方形面积反求边长； （2）长方形长3、宽2，剪开的直角三角形直角边为3和2；中间小正方形边长长宽，由此求小正方形面积；大正方形面积 4个直角三角形面积小正方形面积，再开方得大正方形边长； （3）设长方形纸片长为、宽为，根据长方形面积列方程求出，算出长方形的长；再求原大正方形的边长，比较两者长度即可判断是否可行． 【详解】（1）解：每个小正方形面积，两个小正方形总面积：，因此大正方形面积为； 设大正方形边长为，则，得（边长为正，舍去负根），大正方形边长为． （2）解：直角三角形两条直角边为3、2， 小正方形的边长， 小正方形面积， 单个直角三角形面积，4个总面积， 大正方形面积, 设大正方形边长为，，得（舍去负根），大正方形边长为． （3）略 35．如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 【答案】(1)64 (2)解：，理由如下： 由题意得，， ∴； (3)52 【分析】（1）结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）结合正方形面积公式以及结合图形特征进行列式计算，即可作答． （3）由，得，因为，即，再解得，，结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴； （2）解：，理由略； （3）解：由，得， 故， 化为， 又∵， ∴， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴， ∴这两个正方形的面积之和为． 题型8 正方形折叠问题 36．在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到． (1)如图1，当时，的延长线交于点G． ①求证：； ②若平分，，则点F到的距离为______； (2)如图2，当时，连接，，，若，求的长； (3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明：当时，四边形为正方形， ， 将沿翻折得到， ， ， ∵， ， ， ； ②； (2) (3)， 理由如下：在矩形中，当时，设，则， 根据折叠可得，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， 如图，连接， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ． 【分析】（1）①根据折叠可得，再通过角度转换得到，证明即可解答； ②计算出，利用含角的直角三角形边长关系即可解答； （2）延长交于点，证明，设，利用勾股定理解方程即可； （3）设，则，利用勾股定理求得，求得，再计算，设，则，根据，求得，即可解答． 【详解】（1）①略； ②解：如图，过点作于点， 平分， ， 根据折叠可得，， ， ， ， ，即点F到的距离为； （2）解：如图，延长交于点， ， 在矩形中，当时，， 根据折叠可得，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， （3）略 37．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，E，F分别在边、上，且，垂足为M，那么与相等吗？ (2)【问题探究】 如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】 如图3，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，求线段的长． 【答案】(1) (2)，证明如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，交于点，交于点，证明，由此可得； （3）过点F作于P，连接交于点N，交于点M，利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）略 （3）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， 过点F作于P，连接交于点N，交于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 38．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点， ∴， ∴． ， ， ， 平分； (2) (3)6 【分析】（1）根据折叠的性质得到，进而可知，根据平行线的性质得到，可知，即可得到平分； （2）证明，进而证明，可知； （3）设正方形的边长为，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点向作垂线，垂足为点． 在和中， ， ，． 在和中， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为． 则，，． 在中， ， ， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为6． 39．综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接、、，观察图中、、，试猜想这三个角的大小关系是； (2)【拓展提升】兴趣小组成员继续探究五等分线段的方法：如图，将边长为正方形纸片对折，得到折痕，再将翻折到的位置，得到折痕，连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：是线段的一个五等分点． (3)【延伸探究】如图，兴趣小组成员又在一个边长为的正方形的边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，连接，小组成员探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请求出该最小值及此时线段的长． 【答案】(1) (2)证明：连接, ∵四边形是边长为的正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的一个五等分点． (3)的最小值为， 【分析】（1）由折叠的性质可推出，可证明是等边三角形，得到，由折叠得到，从而根据“三线合一”得到，再由矩形的性质和角的和差关系可得，则； （2）连接，由折叠可得，，，从而，，，即可证明，得到，设，则，，在中根据勾股定理构造方程，求解得到，即可得证； （3）连接，交于点K，过点F作于点H，证明得到，则的最小值，就是的最小值．延长至点，使，连接，．根据是的垂直平分线，得到，根据勾股定理求出，从而，得到的最小值为，即的最小值为．当取得最小值时，点A，，三点共线，证明，得到，设，则，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得是的垂直平分线， ∴， 又由折叠有， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又由折叠有，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接，交于点K，过点F作于点H． ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可得点B与关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值，就是的最小值． 延长至点，使，连接，． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 当取得最小值时，点A，，三点共线，如图， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， 即，解得， ∴． 40．综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． (1)【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． (2)【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 【答案】(1)， (2)的面积为定值，的面积为 (3) 【分析】（1）如图：过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明可得、，再利用角的和差以及垂直的定义即可解答； （2）如图：作于N，证明得出，利用折叠的性质可得，即，最后利用三角形的面积公式求解即可； 即可得出结论； （3）如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，利用证明得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图：过F作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵ 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：的面积为定值，的面积为． 如图：作于N， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，则垂直平分， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长， 当时，，， ∴，即的最小值为． 题型9 根据正方形的性质与判定求解和证明 41．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 42．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 43．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 44．综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)作图见解析，分割线长为 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明四边形是正方形，则，而，再进行等量代换求解即可； （3）将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，分割线即为所求； 将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可， 连接，过点作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 45．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：_________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，若，则求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】把转化为，再利用立方和公式推导即可求解； 利用分组分解法先分组，再利用立方差公式因式分解，然后提取公因式即可； 由题意可证四边形和四边形都是正方形，进而可得，，，得到，即得，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由题意得，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是菱形， ∵，， ∴四边形和四边形都是正方形， 由勾股定理得，， ∴，， ∵，是正方形， ∴， ∵， ∴， 整理得，， ∴，即． 题型10 中点四边形 46．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)①菱；②矩 (3)菱 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理推导出，，然后利用平行四边形的判定可得结论； （2）①连接，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （3）分别延长、相交于点M，连接、，证明，得到，根据（2）①证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：①连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）解：四边形的中点四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点M，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①知，四边形的中点四边形是菱形． 47．性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形         B．矩形        C．菱形        D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)解：四边形中点四边形是正方形， 理由：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形， ∴四边形中点四边形是正方形． (3)①， 证明：如图，记、的中点分别为E、F，连接， ∵四边形中，，， ∴四边形中点四边形是正方形，即四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）①如图，记、的中点分别为E、F，连接，易得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；②设交于点O，连接、、，当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长，再结合①的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形的中点四边形一定是正方形， 理由：∵正方形的对角线相等且互相垂直， ∴正方形的中点四边形是正方形； （2）略 （3）①略； ②如图，设交于点O，连接、、， 当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵，即， ∴都是直角三角形， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴的最小值， 由①知； 又∵， ∴，即， ∴的最小值为． 48．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)12平方米 (3)见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理分别得出且，且，可得且，即可证明； （2）设分别与交于点，与交于点，首先根据题意证得平行四边形为矩形，然后，由中位线定理得且，接着，证得，，根据矩形的面积公式代入计算即可； （3）如图3，按照作图步骤作图即可． 【详解】（1）证明：形状：平行四边形．理由如下： 如图1，连接， 在中，、分别是、的中点， 且． 在中，、分别是、的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：如图2，设分别与交于点，与交于点， ， ． 由（1）同理可得，， 四边形是平行四边形． ． 由（1）得四边形是平行四边形， 平行四边形为矩形． 在中，、分别是、的中点， 且． ∵，，由（1）得， ，， 矩形面积． 答：四边形的面积为． （3）解：如图3，首先，作水平射线，接着，在射线上以为圆心线段的长度为半径画弧交射线于，然后，在线段下方任取一点，以为圆心，任意长为半径画弧，交线段于两点，再分别以这两点为圆心大于这两点间的距离画弧交线段上方于一点，连接与这一点并延长，在此射线上以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，顺次连接即可． 如图3所示，四边形即为所求． 49．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （）先证明可得，，可得四边形是平行四边形，由此即可得出结论. （）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证； 【详解】（1）证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴. （2）证明：连接， ∵点分别为边的中点，    ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 50．阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 【答案】(1)过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)互相平分且相等；50 【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，再由勾股定理即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得，，用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得结论； （3）根据已知条件证明四边形是矩形，即可得解； 【详解】（1）解：取的中点，连接，， 点、分别是，的中点， ，，，，（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，， ， ， 在中，由勾股定理得； （2）证明：连接，取的中点，连接，， 点，分别是，的中点， ，，，， ，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， ； （3）解：如图，四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形， ，是矩形的对角线， 与互相平分且相等， ，， ，， 中，， ， ， ． 题型11 特殊平行四边形的动点问题 51．如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 【分析】分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形， 综上所述，当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 52．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 53．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）分别过点A、B作，，在中，根据锐角三角函数解直角三角形和菱形性质，确定点的坐标，再根据矩形的性质确定点的坐标； （2）根据直线与菱形的边的交点位置不同分类讨论，利用三角形面积公式，求出对应的三角形面积和的取值范围； （3）根据（2）中的三种不同位置分类讨论，利用垂直平分线性质得到，再根据矩形性质得到，列方程求出的值． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点E，过点B作，交延长线于点F， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，，， ∴， ， ∴点坐标为， ∵，， ∴点坐标为； （2）解：当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动， ∴，此时，， 在中，，， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，，， 此时，； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（1）知，， ∴， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）解：存在时刻，使得点在的垂直平分线上． 当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时，，不可能相等； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 由（2）知，， ∴， 过点B作，交延长线于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ，满足； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（2）知，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ， ∵， ∴ ， 解得， 当时，M、N、B三点共线，线段不存在，舍去； 综上所述，存在时刻，使得点在的垂直平分线上，此时． 【点睛】本题考查了了菱形的性质、矩形的性质和判定、垂直平分线的性质、三角形面积公式、特殊角的锐角三角函数解直角三角形、平面直角坐标系中点的坐标与线段长关系、解一元一次方程、速度和路程和时间的关系，解题关键是根据动点的位置进行分类讨论． 54．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 55．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，，然后根据矩形的性质求解； （2）设，表示出，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求出，过点G作于点I，然后利用等面积法求出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）首先表示出，，得到，由折叠得，，，然后利用勾股定理得到，整理得到，然后分别当点D和点C重合和点E和点A重合两种情况讨论，分别求出的长度，然后求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴，； （2）解：设 ∴ 由折叠得，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴，， ∴， 如图，过点G作于点I， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； （3）解：∵，设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得，； 如图，当点D和点C重合时， 由折叠得， ∴ ∴的最大值为，即x的最大值为； 如图，当点E和点A重合时，点D，H，T重合， 由折叠得， ∴ ∴的最小值为4，即x的最小值为4， ∴ 综上所述，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项4 矩形、菱形、正方形压轴题型 目录 题型1 利用矩形的性质求解和证明 1 题型2 矩形和平面直角坐标系 3 题型3 矩形与折叠问题 5 题型4 根据矩形的性质和判定求解 8 题型5 利用菱形的性质求角解和证明 10 题型6 根据菱形的性质与判定求解和证明 12 题型7 根据正方形的性质求解和证明 13 题型8 正方形折叠问题 15 题型9 根据正方形的性质与判定求解和证明 18 题型10 中点四边形 21 题型11 特殊平行四边形的动点问题 24 题型1 利用矩形的性质求解和证明 1．如图，在矩形中，为边上一点，，，是的中点，，求的长度． 2．如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 3．如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为_______； (2)如图2，当点P在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 5．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 题型2 矩形和平面直角坐标系 6．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)点D（____，_____），______； (2)当点F在第四象限时（如图1），求证：． (3)设翻折后点F落在直线的下方，当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 7．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴的正半轴上，线段，满足，且． (1)请直接写出点D的坐标； (2)动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点B运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S和t之间的关系式，要求写出t的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，过点P作直线l⊥x轴，点M在直线l上，在平面内是否存在点N，使点A，C，M，N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 9．矩形位于平面直角坐标系中．如图，若轴，点的坐标，点的坐标为， (1)直接写出点、的坐标； (2)连接对角线、交于点，求的长及点的坐标； (3)如图，在边上有动点，过点作直线交边于点，并使得，在直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，求满足条件的点坐标． 10．如下图，对于矩形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第三象限． (1)直接写出点的坐标： __________． (2)点从原点出发，沿着的路线每秒移动2个单位长度． ①当点移动了时，直接写出此时点的坐标：__________； ②当点到轴的距离为4个单位长度时，求出点移动的时间． (3)若过点的直线与矩形的边交于点，且将矩形的面积分为1∶4的两部分，求点的坐标． 题型3 矩形与折叠问题 11．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 12．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．如图，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． (1)证明：是等腰三角形． 将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴_____________． ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴_____________（____________________________） ∴__________________________ ∴（____________________________） ∴是等腰三角形． (2)若，求的面积． 13．在一次数学课上，老师开展折纸探究活动：如图，已知长方形纸片，将边沿折叠，边沿折叠，使点A，点C分别落在对角线上的点G处和点H处．下面是两位同学的对话： (1)请选择一位同学的说法，并证明； (2)若，，求四边形的周长． 14．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 15．如图，在中，为线段上一点，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，为线段上一点，． 求证：是中点； 如图，将矩形的一角沿翻折，点的对应点落在处，若，当恰好为直角三角形时，则的值为______（直接写出结果）． 题型4 根据矩形的性质和判定求解 16．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 17．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 18．如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)填空：①__________；（用含 的代数式表示） ②__________； (2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？ 19．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 20．在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 题型5 利用菱形的性质求角解和证明 21．如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 23．阅读材料 对于直角三角形我们有如下结论：直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在中，，若，则． 请根据以上材料，解决下列问题： 如图2，在菱形中，，是线段上的动点（点不与点重合），在的右上方作菱形，且，连接，． (1)当点与点重合时，________（度）． (2)当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由． (3)交于点，当点是的中点时，求证：点是的中点． 24．如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为，求线段 的长． 25．综合与实践 如图，在菱形中，，对角线的交点为O，P是对角线上一动点，点E在的延长线上，且． 特例研究 (1)如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“”“”或“”） 类比探究 (2)如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 (3)如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长． 题型6 根据菱形的性质与判定求解和证明 26．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 27．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 28．如图，在中，，，点D从点C出发沿方向以秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接． (1) ， （用t表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 29．在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 30．矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型7 根据正方形的性质求解和证明 31．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点P，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 32．如图，为正方形外部一点，且，连接，，作于点，交于点，连接 (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示，的数量关系，并证明． 33．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长； (3)若点E为中点，连接，直接写出和的位置关系． 34．解决下列问题： 【问题发现】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______________，大正方形的边长为______________． 【知识迁移】 (2)爱钻研的小郭同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的面积为______________；大正方形的面积为______________，边长为______________． 【拓展延伸】 (3)小郭想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明是否可行． 35．如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 题型8 正方形折叠问题 36．在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到． (1)如图1，当时，的延长线交于点G． ①求证：； ②若平分，，则点F到的距离为______； (2)如图2，当时，连接，，，若，求的长； (3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 37．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，E，F分别在边、上，且，垂足为M，那么与相等吗？ (2)【问题探究】 如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】 如图3，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，求线段的长． 38．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 39．综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接、、，观察图中、、，试猜想这三个角的大小关系是； (2)【拓展提升】兴趣小组成员继续探究五等分线段的方法：如图，将边长为正方形纸片对折，得到折痕，再将翻折到的位置，得到折痕，连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：是线段的一个五等分点． (3)【延伸探究】如图，兴趣小组成员又在一个边长为的正方形的边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，连接，小组成员探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请求出该最小值及此时线段的长． 40．综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． (1)【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． (2)【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 题型9 根据正方形的性质与判定求解和证明 41．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 42．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 43．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 44．综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 45．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：_________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，若，则求． 题型10 中点四边形 46．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 47．性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形         B．矩形        C．菱形        D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 48．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 49．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 50．阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 题型11 特殊平行四边形的动点问题 51．如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 52．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 53．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 54．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 55．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $