4.5 垂线（第2课时）课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦垂线的概念、画法、基本事实及垂线段最短性质，通过“过直线外一点画相交线与垂线数量”的问题链导入，结合“落移画”三步法动手操作，衔接相交线知识，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察羊喝水等现实情境抽象垂线段最短，“数学思维”通过反证法推理垂线唯一性及面积法求距离，“数学语言”用符号和定义精确表述。采用动手操作与问题驱动，小结结构化，助学生提升几何操作与推理能力，为教师提供清晰教学流程与实例。

第4章 平面内的两条直线 4.5垂线（第2课时） （湘教版）七年级 下 学 习 目 标 1 2 3 理解垂线、垂线段及点到直线距离的概念，掌握垂线的基本事实。 能过一点画已知直线的垂线，会度量点到直线的距离，提升几何操作能力。 会用“垂线段最短”解决实际问题，能用面积法求点到直线的距离。 情景引入 过直线外一点与已知直线的相交线可以画几条呢？ 无数条 过直线外一点作已知直线的垂线可以作几条呢？ 1条 ？ 新知探究 做一做：任意画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线. 垂线的画法 1.落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 . 2.移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 . 3.画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 . 新知探究 若直线l经过点P，则直线l的垂线a的画法如左图; 若直线l不经过点P，则直线l的垂线b的画法如右图. 新知探究 动脑筋： 你能过点P画出除直线a以外与直线l垂直的直线吗？ 点P在直线l上还是在直线l外，过点P都只能画直线l的一条垂线. 理由如下: 假如过点P还有一条直线c，能使c⊥l， 则c//a(或c//b). 又直线c与直线a(或直线b)有公共点P，因此这是不可能的. 过直线外一点作已知直线的垂线可以作几条呢？ 新课讲授 1条 ？ ！ 过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条 这不全面 过一点作已知直线的垂线可以作几条呢？ 新课讲授 点在直线上 点在直线外 过这一点任意画一条直线都与已知直线相交 一条！ 03 新知讲解 做一做 任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线. l P 1.落 2.移 3.画 若直线l经过点P，则直线l的垂线a的画法如图所示. 03 新知讲解 做一做 任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线. 若直线l不经过点P，则直线l的垂线b的画法如图所示. l P 1.落 2.移 3.画 新知探究 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直. 如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作点P到直线l的垂线段． 经过点P的其他直线分别交直线l于点A，B，C，D，…，线段PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段. 新知探究 说一说：比较图中PA，PB，PO，PC，PD五条线段的长度，哪条线段最短？(精确到0.1cm) 垂线的性质3：直线外一点与 直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 通常简单说成：垂线段最短. 注意 垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段，长度可度量. 知识要点 由此我们得到， 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 1.如图，分别画出点A到BC的垂线，并量出点A到BC的距离. 例题讲解 03 新知探究 归纳总结 用三角板画垂线： 落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合. 移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 画：沿已知点所在的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线. 1 2 3 03 新知讲解 做一做 任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线. l P 点 P 在直线 l 上 l P 点 P 在直线 l 外 用量角器画垂线 根据以上操作，你能得出什么结论？ 新知探究 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线 的距离. 例如，在右图中，垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离. 新知探究 做一做： （1）量出图中点P到直线AB的距离(教材P117). O 1cm 过点P作直线AB的垂线，垂足是O，量出垂线段PO的长度，即为点P到直线AB的距离. 新知探究 做一做： （2）某单位要在河岸上l上建一个水泵房引水到C处，如图所示，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ (教材P117) D 过点C作l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短. 点到直线的距离 如图，有一只羊在P点，现在它很渴想去河边喝水. 1.图中有五条路，这只羊会选择图中哪条路呢？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ l P A C O D B 新课讲授 解：1.很明显这只羊会选择线段PO，因为这条路最短. 2.从直线外一点到已知直线，沿着垂线走最短. 由此我们得到， 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 知识要点 特别规定： 线段PO的长度叫做点P到直线l的距离. l P O 即：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离. 03 新知探究 由此可知，无论点P在直线l上还是在直线l外，过点P都只能画直线l的一条垂线. 理由如下: 假如过点P还有一条直线c，能使c⊥l， 则c∥a(或c∥b). 又直线c与直线a(或直线b)有公共点P，因此这是不可能的. 于是，可得关于垂线的基本事实: 03 新知探究 垂线的基本事实: 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直 这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外 “有”指存在，“只有”指唯一性 新知探究 做一做： （3）由（1）（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？ 求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离. 归纳 例题精讲 例3 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB=5，BC=12，AC=13. 求：(1)点A到直线BC的距离； (2)点B到直线AC的距离． 解：（1）因为∠ABC=90°， 所以AB⊥BC，B为垂足. 所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段. 因为AB=5， 所以点A到直线BC的距离为5． 例题精讲 （2）因为BD⊥AC，垂足为点D， 所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离． 因为S△ABC=·BC·AB= ·AC·BD， 所以BD===. 所以点B到直线AC的距离为. “等面积法” 例题讲解 3.如图，在三角形ABC中，∠ABC = 90°， AB = 5， BC = 12， AC = 13. 求：（1）点A到直线BC的距离； （2）点B到直线AC的距离. （1）点A到直线BC的距离； 解：∵∠ABC = 90°， ∴AB⊥BC，B为垂足. ∴线段AB即为点A到直线BC的垂线段. ∵AB = 5， ∴点A到直线BC的距离为5. （2）点B到直线AC的距离. 解：∵BD⊥AC，垂足为D， ∴线段BD的长度即为点B到直线AC的距离. ∵三角形面积＝ ∴ ∴点B到直线AC的距离为 过点B作AC的垂线，如图所示 03 新知探究 垂线段最短： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 通常简单说成：垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离. 课堂小结 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质3：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 通常简单说成：垂线段最短. 课堂小结 这节课你的收获是什么？ $