专题03 矩形与构造（举一反三专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以7大构造模型为核心，通过“知模型-构模型-用模型”逻辑链系统整合矩形与全等知识，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知旋转得全等|1例3变式|旋转性质证全等|矩形旋转不变性→全等判定| |构旋转得全等|1例3变式|辅助线构造旋转|主动构造旋转→转化线段关系| |知一线三垂直得全等|1例3变式|垂直条件证全等|矩形直角→一线三垂直模型应用| |构一线三垂直得全等|1例3变式|作垂线构模型|构造垂直→补全一线三垂直| |拼接全等|1例3变式|腾挪/对称拼接|矩形图形分割→全等图形重组| |梯形构矩形|1例3变式|作高转化梯形|梯形→矩形转化求边长| |“爪形”构矩形|1例3变式|内外点作垂线|矩形内外点→构造矩形转化线段|

专题03 矩形与构造（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 模型归纳 【模型1 知旋转得全等】 1 【模型2 构旋转得全等】 2 【模型3 知一线三垂直得全等】 4 【模型4 构一线三垂直得全等】 5 【模型5 拼接全等】 6 【模型6 梯形构矩形】 8 【模型7 “爪形”构矩形】 9 【模型1 知旋转得全等】 【例1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．    (1)求证：． (2)若，求长． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西阳泉·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点旋转后的对应点分别为．若点落在边上，延长交于点，连接，则的长为___________． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在矩形中，，，以点B为中心将矩形旋转任意角度，得到矩形，点A、D、C的对应点分别为E、F、G．当点E落在线段上时，与交于点H，则线段的长为______．    【变式1-3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【模型2 构旋转得全等】 【例2】（2025·安徽马鞍山·一模）如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，分别交于点D，E，且，则点E坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD． （1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数． （2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由； （3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系． 【变式2-3】（25-26八年级下·山西朔州·期中）综合与实践： 【问题情境】： 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】 （2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【模型3 知一线三垂直得全等】 【例3】（2025·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，矩形中，平分，交于点E，连接，过点E作交于点F，若，，则的长为________． 【变式3-2】（2025·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，，平分交于点，连接，交于点，若，则的长度为________． 【变式3-3】（2025·广东汕尾·三模）如图，在矩形中，，点M是的中点，点E是线段上一动点，连接并延长交线段的延长线于点F． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，过点M作交线段于点G，连接，求证是等腰直角三角形．（提示：过点G作于点H） 【模型4 构一线三垂直得全等】 【例4】（2025·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，且，交于点，连接，作点关于的对称点（点在边的下方），连接．若，则的面积为________． 【变式4-1】（2025·甘肃·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 _____________________． 【变式4-2】（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长为______，的长为______ 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2．将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，BF交AD于点M．若∠MEB＝45°，则BC＝_________ 【模型5 拼接全等】 类型 腾挪拼接构全等 对称拼接构全等 条件 矩形ABCD， 矩形ABCD， 图示 方法 延长BC至点，使 在BC上取点，使 结论 【例5】（2025·广东深圳·三模）如图，点M是矩形内一个动点，，，点N为线段上一点，且，连接和，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____． 【变式5-2】（25-26八年级下·广东·期中）如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【变式5-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接． (1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； (2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 【模型6 梯形构矩形】 类型 梯形构矩形 条件 ∥， ∥ 图示 方法 作，作 作， 结论 四边形ABED（或ABCF）为矩形 【例6】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在四边形中，，，，，，则的长为______．      【变式6-1】（25-26八年级下·广东深圳·单元测试）如图所示，在中，，，，将沿着翻折得到，如图，将绕着点旋转到，连接，当时，四边形的面积为______． 【变式6-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求： （1）∠DAB的度数． （2）连接BD，求BD的长． 【变式6-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在矩形纸片中，，点E是边上一动点，连接．将沿折叠得到，连接．当的面积为时，线段的长为________．    【模型7 “爪形”构矩形】 类型 “爪形”构矩形 条件 P为矩形ABCD内一点 P为矩形ABCD外一点 图示 方法 过点P作AD的垂线，分别交AD，BC于点E，F 过点P作AB的垂线，分别交AB，CD于点E，F 结论 ①四边形ABFE，四边形EFCD均为矩形；② 【例7】（2025·江西南昌·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 【变式7-1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，P是矩形内一点，若，，，则的长为________． 【变式7-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是（　　） A． B．是直角三角形 C． D． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）矩形是最基本的几何图形之一，其性质为构建几何知识体系提供支撑，通过研究矩形，同学们能理解角、边、对角线的关系，掌握几何图形的研究方法，培养空间观念和几何逻辑推理能力． 【知识感知】善于动脑的小红发现，如果在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，请在图1和图2中任意选择一个证明． 【性质应用】如图3，在矩形中，为对角线交点，已知，，且，求的长度； 【拓展延伸】如图4，在中，，，是外一点，且，，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 矩形与构造（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 模型归纳 【模型1 知旋转得全等】 1 【模型2 构旋转得全等】 7 【模型3 知一线三垂直得全等】 16 【模型4 构一线三垂直得全等】 21 【模型5 拼接全等】 27 【模型6 梯形构矩形】 33 【模型7 “爪形”构矩形】 40 【模型1 知旋转得全等】 【例1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．    (1)求证：． (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据旋转可得，进而可得，根据三角形内角和定理可得，则，进而得出； （2）由“”可证，可得，，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明： 四边形是矩形， ， ， 将矩形绕点顺时针旋转至矩形点正好落在上的点处， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于，过点作于，    四边形是矩形， ， 将矩形绕点顺时针旋转， ，，， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西阳泉·期中）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点旋转后的对应点分别为．若点落在边上，延长交于点，连接，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质可得，设，则，，在，求出的长，在，求出的值，在中，再次利用勾股定理求得的值即可． 【详解】解：∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴， 设， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，即， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在矩形中，，，以点B为中心将矩形旋转任意角度，得到矩形，点A、D、C的对应点分别为E、F、G．当点E落在线段上时，与交于点H，则线段的长为______．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、旋转变换等知识，利用旋转的性质可得：，，由“”可证，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可得，由勾股定理可求的值． 【详解】解：如图，连接，    由旋转知：，， ， ， 又， ∴， ， 在矩形中，， ， ， ， 设，则， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得，即． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 【模型2 构旋转得全等】 【例2】（2025·安徽马鞍山·一模）如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将绕点顺时针旋转，连接，由半角模型，可证得，设，则，由勾股定理得 ，可得出，再用、、表示，以此判断各选项即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，连接， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 设， 则， ∵， ∴， 化简可得， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴，故选项A错误； ∵， ， 仅时，，故选项B错误； ∵，， 故与不一定满足，故选项C错误； ∵，， ∴，故选项D正确． 【变式2-1】（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，分别交于点D，E，且，则点E坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质，结合勾股定理建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设，则点的坐标为， 四边形是矩形，，，， ，，， 将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，， 点在轴正半轴上， 点在轴正半轴上，坐标为， ， 轴，且点在第四象限， 点的坐标为， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由勾股定理得：， 整理得：， 解得， 点的坐标为 ． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD． （1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数． （2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由； （3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3）. 【分析】（1）①由，推出，，推出四边形是平行四边形，再证明即可． ②先证明，推出，延长即可解决问题． （2）．只要证明是等边三角形即可． （3）结论：．如图3中，将绕点逆时针旋转得到，先证明，再证明是直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）①证明：如图1中， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形． ②平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）结论：． 理由：如图2中，延长到，使得，连接． 四边形是菱形，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， 在中，，， ， ． （3）结论：． 理由：如图3中，将绕点逆时针旋转得到， ， 四点共圆， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式2-3】（25-26八年级下·山西朔州·期中）综合与实践： 【问题情境】： 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】 （2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1）成立，见详解；（2），见详解 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 【详解】解：（1）成立． 证明：如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ； （2）结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， 在和中，， ． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【模型3 知一线三垂直得全等】 【例3】（2025·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，证明，得出相等的线段，然后利用线段中点的性质以及线段的数量关系进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，矩形中，平分，交于点E，连接，过点E作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】先由矩形的性质得出，，再由角平分线的定义得出，接着用等量代换可证得，得，设，则，，即可求出的长． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ，．， 平分， ， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ． ， ． 设， 则，． ， ， 解得， ． 故答案为 ：4． 【点睛】本题考查了全等三角形，熟练掌握矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，是解决本题的关键． 【变式3-2】（2025·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，，平分交于点，连接，交于点，若，则的长度为________． 【答案】3 【分析】本题考查求线段长，涉及矩形性质、角平分线性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，先由矩形性质得到线段长度及直角，再由角平分线性质及等腰直角三角形的判定确定是等腰直角三角形，从而得到，在中，由勾股定理得的长即可得到答案，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：设，则，． ∵在矩形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为3． 【变式3-3】（2025·广东汕尾·三模）如图，在矩形中，，点M是的中点，点E是线段上一动点，连接并延长交线段的延长线于点F． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，过点M作交线段于点G，连接，求证是等腰直角三角形．（提示：过点G作于点H） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，通过条件可以证明，得出，进而得出，再由（1）的结论可以得出，从而得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作于，如图②， 四边形是矩形． ， 是的中点， ， ． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． ． 由（1）得， ． ， ． ． 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定．在解答时添加辅助线构建全等形是关键． 【模型4 构一线三垂直得全等】 【例4】（2025·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，且，交于点，连接，作点关于的对称点（点在边的下方），连接．若，则的面积为________． 【答案】12 【分析】过点作，，过点作，连接交于点，如图所示，由等腰直角三角形性质求出相关角度与边长，再由正方形的判定得到四边形是正方形，则，再由对称性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质求出，进而求出，再由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，，过点作，连接交于点，如图所示： 在中，，且，则， 由等腰直角三角形三线合一性质可知，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 作点关于的对称点， ，，， ， ，则， ， ， ， ，， ， ，，则是等腰直角三角形， ， 在中，，则， ， 在中，，则， ，则， 在中，，则， ， 在和中， ， ，， ， ，则， ，即是等腰直角三角形， ， ，则， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质、轴对称性质、三角形全等的判定与性质等知识．灵活运用相关几何性质与判定是解决问题的关键． 【变式4-1】（2025·甘肃·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 _____________________． 【答案】 【分析】连接，根据将沿折叠后，点恰好落到上的点处，可证明，得，设，则，在中，有，可解得，从而在中，．本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程． 【详解】解：连接，如图： 为中点， ， 将沿折叠后，点恰好落到上的点处， ，，， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 在中， ， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长为______，的长为______ 【答案】 / 【分析】根据矩形性质在中，利用勾股定理即可求出的长；取的中点，连接，并延长交于点，延长，取，连接，得出为的中位线，证明四边形为正方形，再证明，得到，，，进一步证明，在中，利用勾股定理即可求出的长，从而得出结果． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， 在中， ； 如图，取的中点，连接，并延长交于点，延长，取，连接， 为的中位线， 且， 四边形为矩形，，， 四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， 设， 在与中， ， ， ， ，， 在中，，即， 解得：， ， 故答案为：1；． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，中位线性质，准确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2．将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，BF交AD于点M．若∠MEB＝45°，则BC＝_________ 【答案】15． 【分析】过E点作EN⊥ME，交BE于点N，根据折叠的性质，结合矩形的性质，通过证明△MBE≌△NBE，△DME≌△CEN，可表示BM=BN=BC-2，AM=BC-3，再根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：过E点作EN⊥ME，交BE于点N，连接MN， 由折叠可知：∠MBE=∠NBE， ∵∠MEB=45°， ∴∠NEB=45°， ∴∠MEB=∠NEB， ∵BE=BE， ∴△MBE≌△NBE（ASA）， ∴ME=NE，BM=BN， 在矩形ABCD中，∠D=∠C=90°，DC=AB=5，AD=BC， ∴∠DME+∠DEM=90°， ∵∠DEM+∠CEN=90°， ∴∠DME=∠CEN， ∴△DME≌△CEN（AAS）， ∴DE=CN，DM=CE， ∵DE=2， ∴CN=2，DM=CE=5-2=3， ∴BM=BN=BC-2，AM=BC-3， 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2， 即52+（BC-3）2=（BC-2）2， 解得BC=15， 故答案是：15． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，翻折变换，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用，能利用勾股定理列方程是解题的关键． 【模型5 拼接全等】 类型 腾挪拼接构全等 对称拼接构全等 条件 矩形ABCD， 矩形ABCD， 图示 方法 延长BC至点，使 在BC上取点，使 结论 【例5】（2025·广东深圳·三模）如图，点M是矩形内一个动点，，，点N为线段上一点，且，连接和，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在上截取，连接，，先求出，的长，进而求出，的长，再证得，将转化为，根据两点之间，线段最短可知当C、M、E在一条直线上时，的值最小，然后根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当C、M、E在一条直线上时，的最小值为的长， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即的最小值为， 故选：A． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____． 【答案】10 【分析】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交BC于点P，连接AP，此时GF + EF的值最小，根据已知条件可得AP = 2GF，进而可得GF+ EF= A'E，在Rt△AA' E中，由勾股定理可求A' E的长，即可得出答案． 【详解】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交，BC于点P，连接AP， ∵ AD= 20，DE= 4， ∴ AE= 16， ∵GE=8， ∴G是AE的中点， ∵F是EP的中点， ∴ AP= 2GF， ∴GF+ EF= AP+EP =， 此时，GF+EF取得最小值， ∵AB=6， ∴AA`=12， 在Rt∆AA`E中， ， ∴GF+EF的最小值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离、三角形的中位线定理、勾股定理，熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质是解题的关键． 【变式5-2】（25-26八年级下·广东·期中）如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，延长交于G，由矩形的性质推出，，得到，由判定，得到，求出，得到，求出，而，得到，可得． 【详解】解：延长交于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接． (1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； (2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题主要考查正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形，矩形的性质证明三角形全等，合理作出辅助线是关键． （1）①如图，延长至点，使，连接，根据正方形的性质可证，得到，再证，则有，即可求解； ②设，由题意和①得，，，，，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可； （2）如图，延长交于点,可证，得到，则，，设，则由勾股定理得到，列式求解即可． 【详解】（1）解：①如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． ②设， 由题意和①得，，，，， 在中，， ， 解得， ∴． （2）解：如图，延长交于点, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴， 解得， ． 【模型6 梯形构矩形】 类型 梯形构矩形 条件 ∥， ∥ 图示 方法 作，作 作， 结论 四边形ABED（或ABCF）为矩形 【例6】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在四边形中，，，，，，则的长为______．      【答案】 【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，可证得四边形为矩形，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理，可求得，的长度． 【详解】如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点，则．    ∵， ∴． ∴． ∴四边形为矩形． ∴，． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查矩形的判定及性质、勾股定理，牢记矩形的判定方法和性质是解题的关键． 【变式6-1】（25-26八年级下·广东深圳·单元测试）如图所示，在中，，，，将沿着翻折得到，如图，将绕着点旋转到，连接，当时，四边形的面积为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于，构造直角三角形，利用勾股定理即可． 【详解】解：如图（2），过点作交的延长线于，由翻折得 ∵． ， ． ． ． ． 是矩形， ，， ． ． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，翻折、旋转的性质，梯形面积等，解题关键对翻折、旋转几何变换的性质要熟练掌握和运用． 【变式6-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求： （1）∠DAB的度数． （2）连接BD，求BD的长． 【答案】（1）135°；（2）． 【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△DAC的形状，从而可以求得∠DAB的度数； （2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，然后根据勾股定理即可得到DE和AE的长，再根据勾股定理，即可得到BD的长． 【详解】解：（1）连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴ ∵AD＝，CD＝， ∴AD2+AC2＝（）2+（2）2＝2+8＝10＝（）2＝CD2， ∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°， 即∠DAB的度数是135°； （2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E， ∵∠DAB＝135°， ∴∠DAE＝45°， ∵DE⊥AE，AD＝， ∴DE=AE， ∴ ∴DE＝AE＝1， ∵AB＝2， ∴BE＝3， ∴ 即BD的长是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式6-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在矩形纸片中，，点E是边上一动点，连接．将沿折叠得到，连接．当的面积为时，线段的长为________．    【答案】或 【分析】分当点F在矩形内部时，当点F在矩形外部时，两种情况过点F作，分别交于，证明边形是矩形，得到，，，由折叠的性质可得，利用三角形面积公式求出，进而求出，，，表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，当点F在矩形内部时， 过点F作，分别交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴；    如图所示，当点F在矩形外部时， 过点F作，分别交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质等等，正确利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【模型7 “爪形”构矩形】 类型 “爪形”构矩形 条件 P为矩形ABCD内一点 P为矩形ABCD外一点 图示 方法 过点P作AD的垂线，分别交AD，BC于点E，F 过点P作AB的垂线，分别交AB，CD于点E，F 结论 ①四边形ABFE，四边形EFCD均为矩形；② 【例7】（2025·江西南昌·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 【答案】（1）①；②；（2）成立，见解析；（3） 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． （1）①由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得，，，，于是得到问题的答案； ②由，，得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以②中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）①如图1，四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：5，，，． ②，， ， 故答案为：． （2）成立， 理由：如图2，四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． （3）如图3，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，P是矩形内一点，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，根据题意，设，则由勾股定理，分别求得，根据已知数据以及，进而即可求得的长． 【详解】解：过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， ， ，，， ， ∴（舍负）． 【变式7-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是（　　） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理及全等三角形的性质，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．先运用全等得出，，从而，得出是等边三角形，，，再运用勾股定理逆定理得出，由此判断即可． 【详解】解：是等边三角形， 则， 又， 则，，故A正确， 是正三角形， 又， 设，则：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，故B正确， 又是正三角形， ， ，故C正确， ∵， ∴，故D错误． 故选：D． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）矩形是最基本的几何图形之一，其性质为构建几何知识体系提供支撑，通过研究矩形，同学们能理解角、边、对角线的关系，掌握几何图形的研究方法，培养空间观念和几何逻辑推理能力． 【知识感知】善于动脑的小红发现，如果在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，请在图1和图2中任意选择一个证明． 【性质应用】如图3，在矩形中，为对角线交点，已知，，且，求的长度； 【拓展延伸】如图4，在中，，，是外一点，且，，求的取值范围． 【答案】[知识感知]见详解 [性质应用] [拓展延伸] 【分析】[知识感知]如图1，当点P在矩形内部时，过P作于G，交于N，四边形、四边形是矩形，得，再由勾股定理即可得出结论；如图2，当点P在矩形外部时，同理可得出结论； [性质应用]运用矩形的性质以及勾股定理得，结合点在矩形内，则，因为，代入数值得，解得，（舍去），即可作答． [拓展延伸]充分理解题意，过点A作，过点B作，与交于点E，连接，证明四边形为矩形，结合在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，同理得，代入数值解得，在中，由三角形的三边关系可得：，当C、D、E三点共线时，，或，则的取值范围为，即可作答． 【详解】解：[知识感知] 如图1，当点P在矩形内部时，过P作于G，交于H， ∴ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴； 如图2，当点P在矩形外部时，过P作于G，交于H， 同理证明四边形、四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴； [性质应用] 在矩形中，为对角线交点，已知，， ∴，， ∴设则， ∵点在矩形内， ∴， 连接 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）， ∴； [拓展延伸] 过点A作，过点B作，与交于点E，连接，如图， ∵，， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有 ∴同理得， ∵，， 即， 解得：（负值已舍去）， 在中，由三角形的三边关系可得：， ∴ ∴当C、D、E三点共线时，，此时取最小值为， 即的最小值为． ∴当C、D、E三点共线时，，此时取最大值为， 即的最大值为． ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，运用平方根解方程，熟练运用数形结合以及分类讨论思想是解题的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $