专题03 一次函数与反比例函数9大考点（广东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数专题，涵盖9大考点，汇编广东各地二模真题，注重函数与几何综合及实际应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约35题|平面直角坐标系（考点01）、一次函数图像平移（考点04）、反比例函数与菱形综合（考点06）|结合无人机巡查（考点07）、扫地机器人路径（考点07）等真实情境，基础题与动态几何综合题（考点09）梯度分明| |解答题|约20题|一次函数实际应用（考点05）、函数与几何图形综合（考点09）|设计跨学科问题（如物理电路实验，考点07），融合传统文化（漏刻计时，考点05），贴合中考命题趋势|

专题03 一次函数与反比例函数 9大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02坐标方法的简单应用 考点03函数的基础知识 考点04一次函数的图像与性质 考点05 一次函数的实际应用 考点06 反比例函数的图像与性质 考点07 反比例函数的实际应用 考点08 一次函数与反比例函数的综合 考点09 一次函数、反比例函数与几何图形的综合 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·广东大湾区·二模联考）在平面直角坐标系中，点(1，2)所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(﹣，+)；第三象限(﹣，﹣)；第四象限(+，﹣)． 【详解】解：点(1，2)横坐标为正，纵坐标为正， 故点(1，2)在第一象限． 故选：A． 2．（2026·广东东莞·二模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 3．（2026·广东实验中学·二模）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得． 【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴为， ∴在第二象限， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 4．（2026·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则m的值为______． 【答案】2 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 5.（2026·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，是平面内一点，且点到轴、轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到轴、轴的距离即可判断出点的可能性，从而写出符合条件的坐标，解题的关键在于熟练掌握点到轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离即点的横坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴、轴的距离分别为2，5， ，． 所在的象限不确定， （答案不唯一）． 6.（2026·广东江门·二模）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 7.（2026·广东广州·二模）若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标规律得到对称点坐标，再结合第四象限点的坐标特征列不等式求解m的取值范围． 【详解】解：∵关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点坐标为， ∵第四象限内点的纵坐标小于，该对称点在第四象限， ∴， ∴． 8．（2026·广东清远·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是（  ） A．（3，4） B．（-3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3） 【答案】B 【分析】根据直角坐标系和轴对称的性质分析，即可得到答案． 【详解】点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是：（-3，-4） 故选：B． 【点睛】本题考查了直角坐标系、轴对称的性质；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解． 9.（2026·广东广州·二模）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，先求解，，可得菱形的边长为，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴菱形的边长为， ∴边向左平移1个单位或个单位， 故选：C． 10.（2026·广东清远·二模）如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】解题的关键在于利用旋转前后的图形全等，结合点所在的象限（第一象限）确定其横纵坐标的符号及数值． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴在中，，， 又∵旋转得到， ∴， ∴，， 又∵在第一象限， ∴坐标为． 11.（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点 ∴， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为 ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选：B． 12．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点的坐标为______． 【答案】（2024，1） 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号． 观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点， ∴点的运动规律是每运动四次向右平移4个单位， 则， ∴动点第2025次运动时向右个单位， ∵第一次是从开始运动， ， ∴点此时坐标为， 故答案为： ． 坐标方法的简单应用 考点02 1．（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构建直角三角形，利用相似三角形的判定和性质求出，，结合点在坐标系中的位置，即可求解． 【详解】解：过点作轴，交于点，如图： 根据题意可得，， 在中，， ∵， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， 则， ∵点在第二象限， 故点的坐标是． 2.（2026·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点是直线在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为，的面积为，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据点、的坐标求出、的长度，再设出点的坐标，然后分别表示出和的面积，最后求出它们面积的比值． 【详解】解：∵，， ∴，， 因为点是直线在第一象限内的图象上一个动点， 所以可设， ∵的面积为，的面积为， ∴，， ∴． 3．（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，平分交轴于点，则______． 【答案】 【分析】根据题意，利用面积法进行求解即可． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∴． ∵平分交y轴于点M， ∴点M到和的距离相等， ∴， 则， ∴． 4．（2026·广东东莞·二模）如图，中，，点A坐标为，B为x轴上的点，则______． 【答案】 【分析】过点A作于点D，根据，得，利用特殊角的余弦函数求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 点A坐标为， 故， ， ， ， ， ， 解得． 5.（2026·广东汕头·二模）重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与几何，中点坐标公式的相关知识点，根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为， 故选：C． 函数的基础知识 考点03 1．（2026·广东·二模）在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0即可得到答案． 【详解】解：中， ， 解得． 即自变量的取值范围是． 故答案为： 【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．（2026·广东·二模）函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题． 3．（2026·广东·二模）函数中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得；接下来由分式有意义的条件可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查的是求函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件． 4．（2026·广东广州·二模）下列函数中，自变量的取值范围是的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量所在位置的限制规则求解：分母不为，二次根式的被开方数非负，整式的自变量可取全体实数，依次计算各选项的自变量取值范围即可得到结果． 【详解】解：选项：， ∵分母不能为， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：， ∵分母不为且二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：是整式， ∵整式的自变量可取全体实数， ∴的取值范围是全体实数，故选项不符合题意； 选项：， ∵二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项符合题意． 5.（2026·广东·二模）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 6.（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 【答案】B 【分析】数形结合可得答案． 【详解】解：由题可知：甲从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，起飞时甲、乙高度不相同，故A不正确； 速度路程时间，由两图像交点知，相同时间内，甲上升的距离大于乙上升的距离，甲无人机的上升速度更快，故B正确，C不正确，D不正确． 7.（2026·广东·二模）随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．小橙的行驶时间为 B．小橙的速度为 C．小橙比小绿先出发 D．小橙比小绿晚到达居民位置 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，正确地从图象上获取信息是关键． 根据一次函数的性质，结合函数图象对选项依次进行判断即可． 【详解】解：从图象上可知，小橙比小绿先出发，故C正确； 总路程为，小绿的行驶速度为， ∴小绿的行驶时间为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴小橙的行驶速度为，故B错误； 小橙行驶时间为，故A错误； 小橙比小绿晚到达，故D错误． 故选：C． 8.（2026·广东·二模）同一条公路连接、、三地，地在、两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．、两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【答案】A 【分析】根据函数图象可知，乙车的速度大于甲车的速度，乙车小时开始休息，甲、乙两车出发小时后同时到达地，据此逐项分析即可． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为， 第一段线段上升，表示乙车的速度大于甲车的速度， 第二段线段下降，表示乙车从时开始休息， 第三段线段上升，表示甲车追上乙车后，甲车继续行驶，乙车继续休息， 表示甲、乙两车之间的距离为，此时甲车到达某地，乙车停止休息，开始行驶， 表示甲、乙两车出发小时后同时到达地， ∵小时，乙车休息，甲车行驶了， ∴乙车中途休息小时，甲车的速度是，C、D选项错误； 小时， ∴、两地相距为，B选项错误； 甲、乙两车中途相遇的时间为，A选项正确． 9.（2026·广东深圳·二模）图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点的压强（单位：）与其离水面的深度（单位：）的函数解析式为，为常数且，其图象如图2所示．根据图中信息分析数据，下列选项错误的是（    ） A．水库水面大气压强为 B．与的函数解析式为 C．水库水深处的压强为 D．函数中自变量的取值范围是 【答案】B 【分析】将代入求出，即可判断A；利用待定系数法求出即可判断B；将代入求出，即可判断C；根据水库最深处即可判断D． 【详解】解：A．∵ ∴当时， ∴水库水面大气压强为，故A正确； B．将点代入得， 解得 与的函数解析式为，故B错误； C．当时，， ∴水库水深处的压强为，故C正确； D．∵水库最深处， ∴函数中自变量的取值范围是，故D正确． 10.（2026·广东珠海·二模）如图1，在中，，，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作于点．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】观察图象可知，当点与点重合时，点与点重合，进而得到当时，，当点与点重合时，此时，，进而得到，进而得到，设，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意和图象可知，当点与点重合时，点与点重合，为定值， 当，即时，，即， 此时， 当点与点重合时，此时，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得. 11.（2026·广东深圳·二模）如图1，在矩形中，点为的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向终点匀速运动．设点的运动时间为秒，的长为，随的变化图象如图2所示，则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先从图象信息中提取关键条件：时，时运动到，得；设，在中用勾股定理得，再结合，通过完全平方公式求出；最后利用是中点的条件，得出矩形面积： 【详解】解：分析图象信息，列关系式当时，点在点处，此时，即； 当时，点运动到终点，点速度为单位/秒， ∴总路程， 设，， 在中，由勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴，即， ∵是中点， ∴， ∴矩形面积． 12.（2026·广东广州·二模）如图，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块（绳子体积忽略不计）．现往容器内匀速注水，注满为止．水面高度与注水时间的关系如图．则注水时间时的水面高度为________． 【答案】 【分析】先由图象可知铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即段水面上涨的速度，再求出水面上涨的高度a；根据待定系数法求出直线的关系式，再将代入直线的关系式求出答案． 【详解】解：根据题意，得铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即段水面上涨的速度为：， 根据题意，得， ∴， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，； 13.（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 14.（2026·广东河源·二模）如图，点E为矩形的边的中点，点P从点C出发，沿路径C→D→A运动，已知，，则的面积y关于点P所走路径长x的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别当点P在上时和当点P在上时，利用矩形的性质得出y关于点P所走路径长x的函数关系式即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 当点P在上时， 当点P在上时，如图，连接 ， ∵点E是的中点， ∴． ∵点P所走路径长为x， ∴ 综上：当点P在上时，，当点P在上时，，只有A选项符合题意． 15.（2026·广东·二模）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 一次函数的图像与性质 考点04 1．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 2．（2026·广东珠海·二模）下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、函数中，，随增大而增大，不符合题意． B、函数中，，随增大而减小，符合题意． C、函数是反比例函数，在每个象限内随增大而减小，不符合题意． D、函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，时随增大而增大，不符合题意． 3.（2026·广东·二模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位，平移后的直线过点，则的值为（        ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移2个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移2个单位，得到直线， 把点代入，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 4.（2026·广东广州·二模）将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象的不经过第三象限，得到，，进行求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移m个单位长度，得到， 由题意知一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴， 故m的值可以为4，选项D符合条件． 5.（2026·广东深圳·二模）将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”法则，得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件，得到的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位长度，根据平移法则得平移后解析式为： ∵直线，， ∴直线恒过第一、第三象限，若要经过第二象限，需直线与y轴交点的纵坐标大于， 即： 解得 则的值可以是． 6.（2026·广东河源·二模）在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移2 个单位长度，则平移后的直线的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：将直线沿轴向左平移2个单位长度后，所得直线的解析式为 ，即． 7．（2026·广东·二模）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大， 当时，，即一次函数的图象与y轴交于点， 当时，，∴当时，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 5．（2026·广东广州·二模）一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象经过第一、第二、第三象限， 对于一次函数，当图象经过第一、二、三象限时，满足且， ， 不等式恒成立， 解不等式， 得． 6．（2026·广东·二模）请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【分析】根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出的取值范围，写出符合范围的任意一个的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 7．（2026·广东·二模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出及的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可，根据题意判断出的符号是解答此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴符合该条件的一次函数的表达式为， 故答案为：． 8．（2026·广东惠州·二模）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 9．（2026·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合一元二次方程根的判别式、二次根式的性质，考查一次函数图象的性质，先求出k的取值范围，再根据一次函数系数的符号判断图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴ 化简得， 解得． ∵ ∴， 解得． ∴k的取值范围为． 对于一次函数 ∵ ∴， 即一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴图象一定不经过第三象限． 10.（2026·广东广州·二模）两条直线与，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质，先确定一条直线所在图象中的位置，判断a、b的正负，进而判断另一条直线的位置，若一致，则正确；若不一致，则错误，逐个判断即可． 【详解】解：A、若直线过第一、三、四象限，则，，这时直线过第一、三、四象限，故选项A中图象不符合题意； B、若直线过第一、二、三象限，则，，这时直线过第二、三、四象限，故选项B中图象符合题意； C、若直线过第一、二、三象限，则，，这时直线过第二、三、四象限，故选项C中图象不符合题意； D、若直线过第一、二、四象限，则，，这时直线过第一、二、四象限，故选项D中图象不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握它的性质并灵活解题是解答的关键． 11.（2026·广东肇庆·二模）如图，在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象分别记为直线和直线，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确的是（     ） A． ， B．， C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象经过的象限，确定k、b的正负，根据直线和直线的交点，以及观察图象可得，当时，，从而判断出当时，． 【详解】∵一次函数的图象过第一、二、四象限，，，∵一次函数的图象过第一、三、四象限，，，，，故A，B选项均不正确；由题图可知，当时，，当时，，∴当时，，故C选项正确，D选项不正确． 12.（2026·广东广州·二模）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（     ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的象限性质，以及二次函数与一次函数的交点问题，联立方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到a与k同号，再分情况讨论直线经过的象限，即可得到结论． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 联立得， 整理得， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∵，∴，即与同号， 当时，，直线经过第一、二、三象限； 当时，，直线经过第二、三、四象限； 综上，直线一定经过第二、三象限． 13.（2026·广东广州·二模）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴交点、的坐标，得出、的长，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，解得， ，即． 令，则， ，即． 在中，由勾股定理得：． ． 14.（2026·广东中山·二模）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 15.（2026·广东肇庆·二模）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；根据函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象知，不等式的解集为， 故选：A． 16.（2026·广东茂名·二模）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，直线与x轴交于，根据图象即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 17.（2026·广东清远·二模）如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 18.（2026·广东·二模）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 19.（2025·广东珠海·二模）如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的图象上的点的坐标特征，全等三角形的判断与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作轴于E，过点B作于F，依题意设点，则，证与全等，可得，，进而得，，则，，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于E，过点B作于F，设点，如图 ∴， ∵点A是直线在第一象限图象上一动点， ∴，， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴，， ∴． 故选C． 20.（2026·广东佛山·二模）如图，直线是一次函数的图象，求出函数的表达式． 【答案】． 【分析】根据函数的图象可得直线经过点，，再利用待定系数法即可得． 【详解】解：由图象可知，直线经过点，， 把点，代入得：， 解得， 所以一次函数的解析式为． 一次函数的实际应用 考点05 1．（2026·广东广州·二模）成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 【答案】D 【分析】A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 【详解】解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 2．（2026·广东惠州·二模）2025年12月19日，惠阳区半岛体育公园上演1000架无人机表演，为2025粤港澳大湾区无人机竞速大赛开幕式助兴．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机．如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换过程中飞行高度，（米）与飞行时间（秒）的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第（     ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：，当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 联立，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度． 3．（2026·广东清远·二模）控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度（/天）是该营养素用量（）的一次函数（），部分数据如下表所示： 营养素用量（） 0.2 0.4 0.6 幼苗的生长速度（/天） 1.2 1.6 2.0 若营养素用量为，则幼苗的生长速度为________/天． 【答案】3.6 【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入解析式进行计算，即可求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 把，代入得，， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 4．（2026·广东肇庆·二模）“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（     ） A．甲容器的初始水面高度为 B．甲容器的水面高度为 C．甲容器的水面高度为 D．甲容器的水流光 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式，根据解析式分别求出、、、时，对应的的值，根据计算结果逐项判断即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 把点和的坐标代入函数关系式， 可得：， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 时甲容器的水面高度为， 当时，可得：， 甲容器的初始水面高度为， 故A选项正确； 故B选项错误； 当时，， 时甲容器的水面高度为， 故C选项正确； 当时，， 时甲容器的水流光， 故D选项正确． 5．（2026·广东广州·二模）如图，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块（绳子体积忽略不计）．现往容器内匀速注水，注满为止．水面高度与注水时间的关系如图．则注水时间时的水面高度为________． 【答案】 【分析】先由图象可知铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即段水面上涨的速度，再求出水面上涨的高度a；根据待定系数法求出直线的关系式，再将代入直线的关系式求出答案． 【详解】解：根据题意，得铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即段水面上涨的速度为：， 根据题意，得， ∴， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，； 6．（2026·广东江门·二模）古秤是中国传统计量工具，核心是“杠杆原理”，最常见是杆秤．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤钩所挂物重为斤，秤砣到秤纽的水平距离为，则与满足一次函数的关系．下表为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （） (1)应用你学的函数知识，用函数解析式表示与的关系； (2)在不超重的情况下，当时，求对应的水平距离的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设，然后利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据表中数据看出每增加1，增加， ∴与成一次函数关系， 设， 把时，，时，代入 得， 解得， ∴； （2）把代入 得． 7．（2026·广东广州·二模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打折出售； B超市：盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折． 该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，与之间的函数关系式； (2)若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？ 【答案】(1)（，且为整数）； (2)当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算 【分析】（1）按照题中礼盒售价，结合A、B两家超市促销方案，分情况求解即可； （2）由（1）中所得函数关系式，讨论与两种情况下的费用，对于时，再细分为三种情况比较求解即可． 【详解】（1）解：礼盒在A超市售价为元/盒，打折出售， （，且为整数）； 礼盒在B超市售价为元/盒，盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折， 当时，； 当时，； ； （2）解：由（1）中（，且为整数）；， 当时，恒成立； 当时， ．当时，解得； ． ，解得； ．，解得； 综上所述，当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算． 8．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 9．（2026·广东清远·二模）研究表明，地表以下岩层的温度与所处深度成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度与所处深度的部分数据如下表： 岩层的深度 … 1 2 3 4 … 岩层的温度 … 55 90 125 160 … (1)求与之间的函数关系式． (2)当该地点地表以下某处岩层的温度为时，求此处岩层的深度． 【答案】(1) (2)此处岩层的深度为 【分析】（1）设一次函数解析式为，代入表格中的两组数据求出解析式； （2）将给定的温度的值代入解析式，即可求出对应的岩层深度． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由表格得，将代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时， 解得， 答：此处岩层的深度为． 10.（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 11.（2026·广东茂名·二模）综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．    【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度(观察值) 36 34.8 33.5 32.3 31.0 … 【建立模型】 小组讨论发现：可用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； (3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． (4)在（1）的函数模型下，计算时的模型预测值与表格中实际观察值的绝对误差与相对误差（结果保留三位小数，参考：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)绝对误差，相对误差． 【分析】（1）设水面高度与流水时间的函数关系式为，将和代入求解即可； （2）将代入计算即可； （3）将代入求出实验用时，进而可知实验结束时的时间； （4）分别求出绝对误差和实际观察值，即可求出相对误差． 【详解】（1）解：设水面高度与流水时间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得​， 因此函数关系式为：； （2）解：将代入函数解析式得：， 因此水面高度为； （3）解：水全部流完时，代入函数得：， 解得， 实验从开始，， 因此实验结束时间为； （4）解：当，模型预测值：， 由表格得实际观察值：， 绝对误差， 相对误差． 12．（2026·广东惠州·二模）综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”． 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益． 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x（元/千克） 60 65 70 75 80 85 每日销售量（千克） 120 110 100 90 80 70 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元． 【问题解决】 (1)根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量（千克）是销售单价（元/千克）的_____函数（选填“一次”“二次”“反比例”），并求出关于的函数解析式； (2)若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润． 【答案】(1) 一次， (2) 定价为80元/千克时每日销售利润最大，最大日销售利润为3200元 【分析】（1）根据表格中x与y的变化规律判断函数类型，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于每千克利润乘以日销售量，得到利润关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最大利润和对应定价即可. 【详解】（1）解：由表格数据可知，销售单价x每增加5元，日销售量y减少10千克，因此y是x的一次函数； 设，将和代入得：，解得； ∴； （2）解：设每日销售利润为元，由题意得，， 整理得， ∴， ， 当时，取得最大值，最大值为； 答：该茶厂应将定价设为80元/千克，此时最大日销售利润为3200元. 13.（2026·广东深圳·二模）【综合实践】 【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况． 【材料一】图（a）是某公共汽车线路的收支差额y（票总价收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，该路线的票价为2元/人． 【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会． 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏． 公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏． 根据两种意见，可以把图（a）分别改画成图（b）和图（c）． 【问题解决】 (1)根据图中信息填空： ①写出图（a）的函数解析式：__________； ②由图（a）可知，乘客量达到______万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是______万元； ③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图______． (2)若同时采用乘客代表（成本降低m万元，）和公交公司（票价提高n元，）的方案．设收支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为（万人），则m，n，满足的数量关系为__________． (3)若与n满足函数关系，且当时，；当时，， ①求a，b的值； ②在（2）的方案下，当时，则m的取值范围是__________． 【答案】(1)①；②0.5，1；③c (2) (3)①；② 【分析】（1）①运用待定系数法可求出图（a）的函数解析式； ②根据不亏损得，列不等式求出，知当时不亏损，令求出的值可得公交公司的运营成本； ③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征； （2）根据成本降低m万元，票价提高n元得新函数，由收支平衡得，即，整理得； （3）①分别代入的值可求出a，b的值； ②由和可得，可得出，由得求解即可． 【详解】（1）解：①图（a）是一次函数，故设一次函数解析式为， 由图可知：直线过和， 把和代入得： ， 解得：， 所以，一次函数解析式为：； ②由不亏损得， ∴， 解得， ∴当时不亏损； 令，则，即乘客量为0时，运营成本是1万元； 所以，乘客量达到0.5万人时不亏损；运营成本是1万元； ③乘客代表通常希望降低成本、不提高票价，对应图象应是票价不变、成本降低，符合图(c)的特征；公交公司希望提高票价、不降低成本，对应票价提高、运营成本不变，符合图(b);图(a)是原方案．所以反映乘客代表意见的是图(c)． （2）解：根据题意得，成本降低m万元，票价提高n元，则新函数解析式为， 由收支平衡得，即， 整理得：； （3）解：①把，和，分别代入，得： ， 解得； ②∵， ∴， 又， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解：， ∵， ∴， ∴， 解得； ∴； 解， ∴， ∴， 综上，的取值范围为． 反比例函数的图像与性质 考点06 1．（2026·广东清远·二模）下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，分别得到表达式即可求解． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符的是： ． 2.（2026·广东·二模）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3.（2026·广东佛山·二模）若和在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是_____ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据得出反比例函数图象在一、三象限，在各象限随的增大而减小，根据即可得答案．熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象在一、三象限，在各象限随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为： 4.（2026·广东广州·二模）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 5．（2026·广东阳江·二模）已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系． 先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大， 又 ∵， ， 故选：D． 6．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是矩形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】先设出点的坐标，利用矩形面积与反比例函数的几何意义建立联系，再根据阴影部分面积与矩形面积的关系，推导出的值． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数上， ∴， 由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半， ∴， ∴， ∴． 7.（2026·广东深圳·二模）如图，已知的顶点A在函数（x＞0）的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交BC于点E．若，，则k的值为（   ） A．4 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质， 结合三角形及平行四边形面积公式可得， 则设， 得到方程， 解得， 再根据反比例函数的几何意义得到， 即可求解． 【详解】解: ， ，， ， 设， ， ， ， ， ． 8．（2026·广东中山·二模）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 9．（2026·广东·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 10．（2026·广东·二模）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 11.（2026·广东惠州·二模）如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行轴，直线交轴于，连接，，双曲线经过点，若的面积为1，则k的值为_____． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据平行四边形的性质可得，进而得出，根据轴，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵轴 ∴ ∵双曲线经过点， ∴； ∵双曲线在第一象限，则， ∴. 12．（2026·广东广州·二模）若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解，先根据交点在正比例函数上求出交点的完整坐标，再代入反比例函数求出参数，即可得到解析式． 【详解】解：∵ 点在正比例函数上 ∴ 将代入，得， 解得， 即交点坐标为 又∵ 点在反比例函数上， ∴ ， ∴ 反比例函数的解析式为． 13．（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 14..（2026·广东梅州·二模）如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵点的纵坐标为，代入， 得， 解得：， ∴， ∵， ∴不等式 即为， 解集为：或． 15.（2026·广东广州·二模）已知曲线：过点． (1)求的值； (2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意列树状图，得出共有9种等可能的结果，进而得出在的结果数，结合概率公式，即可求解． 【详解】（1）解：过点， ． ∴． （2）根据题意列树状图如下： ： 共有种等可能的结果， 其中满足点在曲线：上的情况有种， 分别为和． 点在曲线上的概率为． 16.（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求k的值． (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）由（1）可知，根据点D坐标及的长可得菱形的面积，设点M的坐标为，根据的面积与菱形面积相等列方程求出a值即可得答案． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）知，点A的坐标为， ∴ ∴． 设点M的坐标为，且， ∴， ∵的面积与菱形的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为． 反比例函数的实际应用 考点07 1．（2026·广东东莞·二模）在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当时，p的值可以是（     ） A．18 B．28 C．38 D．48 【答案】A 【分析】先理解题意，把代入，求出，然后根据，求出，再结合四个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，设， 把代入，得， 解得， ∴， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∴当时，则， 观察四个选项，得p的值可以是． 2．（2026·广东河源·二模）/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 【答案】B 【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为， 由图可知，该函数图像经过点，即， 解得， ∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意； 当振动弦长为时，振动频率，B选项正确，符合题意； ∵， ∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小， 当振动弦长时，振动频率， 故选项C错误，不符合题意； 该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交， 故D选项错误，不符合题意． 3.（2026·广东茂名·二模）如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出矫正治疗后近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设， 将代入，得， 解得， ∴， 将代入，得， （度） ∴近视眼镜减少的度数为300度． 4.（2026·广东·二模）已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（   ） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B．当时，甲醛检测仪会报警 C．当时，的阻值为 D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 5.（2026·广东广州·二模）某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k； (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将分别代入和求解即可； （2）过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则为等腰直角三角形，，设，则，解方程即可． 【详解】（1）解：将分别代入和， 得，， 解得，； （2）解：如图，过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则， ∵一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 6.（2026·广东揭阳·二模）【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下表格的数据： … … … … (1)填写：______，______； 【探究观察】 (2)根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息， ①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象； ②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) ①如图， ②的值随着的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】根据关系式解答即可求解； ①根据表格数值列表、描点、连线即可；②根据函数图象解答即可； 画出一次函数的图象，求出交点横坐标，再根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得， 经检验符合题意， ∴； （2）解：①略； ②由图象可知，的值随着的增大而减小； （3）解：画一次函数函数的图象如下： 解得，, 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为． 7.（2026·广东东莞·二模）【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）． 【问题解决】 (1)若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； (3)若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标． 【答案】(1)； (2)扫地机器人不会触碰到障碍物； (3)或． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线为，再联立求得从而求出判定即可； （3）分别过、作轴，轴于，设，根据面积公式得，进而分当点在点的右侧时，，和点在点的左侧时，，两种情况讨论求解即可。 【详解】（1）解：设， ∵过 ∴， ∴； （2）解：设直线为， ∵在上， ∴， ∴， ∴直线为， 联立， 解得或（舍去）， ∴ ∴ ∴扫地机器人不会触碰到障碍物； （3）解：分别过、作轴，轴于，设， ∵， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 当点在点的左侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 综上，机器人的圆心的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质，解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质是解题的关键． 一次函数与反比例函数的综合 考点08 1．（2026·广东清远·二模）若，则函数与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质及反比例函数的性质，根据图象所在象限，正确判断、的符号是解题关键．根据得出、同号，根据一次函数和反比例函数所在象限，分别判断、的符号，根据、同号判断即可得答案． 【详解】解：∵， ∴、同号， A．一次函数图象在一、三、四象限，则，，故该选项不符合题意， B．一次函数图象经过原点，则，故该选项不符合题意， C．一次函数图象在一、二、三象限，则，，反比例函数图像在一、三象限，则，故该选项符合题意， D．一次函数图象在一、二、四象限，则，，故该选项不符合题意． 故选：C． 2.（2026·广东·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B的纵坐标为，则（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据点A既在正比例又在反比例上及其横坐标为－2可知－2k1；同理可知k1k2＝1；化简即可得解 【详解】解：∵正比例函数y＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为－2，另一交点B的纵坐标为－1， ∴， 化简，得， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是明确函数交点的特征，即交点坐标要同时满足两个函数解析式． 3.（2026·广东东莞·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A．把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接、，则的面积是_________． 【答案】6 【分析】过点作轴，过点作轴，先求出点、的坐标，再根据得出，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点C，过点作轴于点D， 正比例函数与反比例函数的图象交于点A， 联立， 解得：，（舍）， ， ，， 将直线向上平移3个单位长度，得到新函数为， 直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B， 联立， 解得：，（舍）， ， ，， ， ． 4．（2021·四川成都·一模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为12，则的值为________． 【答案】． 【分析】先设出A点和B点的坐标，利用反比例函数的性质，得到，再由阴影面积也是12，得出；分别表示出点E、D的坐标后，将和表示出来，建立关于和的方程，联立与得到关于x的一元二次方程后，利用求根公式法得到和的含b的表达式，代入方程求解即可． 【详解】解：如下图所示，设，，直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D； ∴，OD=，BD=； ∴，； ∴； 又因为阴影部分面积为12， ∴ ∴ ∴ 因为直线解析式为， 令y=0，则x=， ∴， ∴； ∴； 设直线OB的解析式为： 代入B点坐标后得：， ∴， ∴OC=，CE=， ∴； ∴=2 ∴ ∴ ∴ 由可得：， 其中， ∵， ∴；； ∴， 化简得：, 平方后得： 将代入可得： ∴ 由，解得：； ∴b的值为． 故答案为． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、三角形面积公式、用坐标表示距离、解一元二次方程等知识；要求学生熟记相关概念、性质以及公式，能在不同的三角形之间进行面积的转换，找出其中包含的关系，并通过建立方程求解，对学生的综合能力由一定的要求，蕴含了数形结合的思想方法等． 5．（2026·广东广州·二模）如图，已知反比例函数与直线交于点，． (1)求，的值及反比例函数解析式； (2)根据函数图象，直接写出的解集． 【答案】(1)，，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求出、的值，得出点、点的坐标，再根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）根据图象，结合点、点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，在直线的图象上， 故将代入，得， 将代入，得， 解得； 故点的坐标为，点的坐标为； ∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：点的坐标为，点的坐标为，结合图象可得的解集为或． 6．（2026·广东广州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，求的面积 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方对应的x的取值范围； （3）求出C点的坐标，从而求出的面积． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ， 将点，代入直线中得， ， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，不等式的解集是或； （3）解：设与x轴交于点C， 令，得， 解得， ， ， ． 7.（2026·广东珠海·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用． （1）根据点B在一次函数的图象上，B点坐标为，将B点坐标代入中，可求出a的值，即求得一次函数的解析式； （2）先求出反比例函数的解析式，再设，根据点C为中点，轴，点H在y轴上，求得，最后根据点C在反比例函数图象上，求出x的值，最后求得点C坐标． 【详解】（1）解：∵B点在一次函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵B点在反比例函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， ∴反比例函数的解析式为．     ∵点P为线段上的一点， ∴设， ∵轴，与反比例函数的图象交于点C， ∴， ∵点C为中点，轴，点H在y轴上， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 即， 解得：，， ∴点C的坐标为或． 8．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 9．（2026·广东·二模）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论． 小龙：如图1，直线与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到． 【轻松探究】 直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，试证明：． 小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可． 请完整的写出上述推理过程． 【深入探究】 直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由． 【模型应用】 如图3，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点．连接．若的面积为，求的值． 【答案】轻松探究： 联立得， ， 在中，令，则， 又∵， ， ∴线段的中点与线段的中点重合 ， ； 深入探究：成立，理由如下： 联立 ， ， 在中，令，则， 又∵ ， ∴线段的中点与线段的中点重合 ， ； 模型应用：15． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： 轻松探究：联立两函数解析式得到，则，再求出，，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系证明即可； 深入探究：仿照轻松探究证明即可； 模型应用：先求出，，则，可证明是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，由反比例函数比例系数的几何应用可得． 【详解】解：轻松探究：略 深入探究：略 模型应用：在中，令，则；令，则， ∴， 是等腰直角三角形， ∴ 过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形， 由前面可知， ， ∴， ， ， ， ． 一次函数、反比例函数与几何图形的综合 考点09 1.（2026·广东汕头·二模）如图，点A在直线上，点M的坐标为，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】此题考查三角函数的灵活运用以及轴对称的应用，通过作点关于的对称点，把转化成，当，，三点共线且垂直于轴时值最小． 【详解】如图，在直线上找一点，连接，作点关于的对称点，连接，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为， 由性质可得，，， 由点，是关于的对称点可得，， 显然由图可知，当，，三点共线且垂直于轴时最短， 此时 2.（2026·广东梅州·二模）如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．先求出一次函数与坐标轴的交点，，再根据三角形面积公式表示出与的函数关系式即可． 【详解】解：一次函数与坐标轴交于两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 点是轴上一点，横坐标为， ， ， ． 3.（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，动点在直线上，动点在半径为的上（为坐标原点），过点作的一条切线，为切点， （1）原点到该直线的距离为________； （2）当的值为最小时，的值为________． 【答案】 【分析】（1）设直线与x轴，y轴分别交于点A，B，过点O作于点K，求出点A，B的坐标可得，再由等腰三角形的性质解答即可； （2）连接，则，根据切线的性质可得，当最小时，均取得最小值，此时的值最小，且当时，的值最小，即可求解． 【详解】解：（1）如图，设直线与x轴，y轴分别交于点A，B，过点O作于点K， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴，即原点到该直线的距离为2； （2）如图，连接，则， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， ∴当时，的值最小， 由（1）得：此时的最小值为2， 此时 ， ∴此时． 4.（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G，先解直角三角形求得AE=DE．设DE=m，则D（1+m，m），代入反比例函数解析式，求得点Ｄ坐标为D(，)，再证△CBG≌△DAE（AAS）得CG=DE=，BG=AE=-1=，所以xC=xB+，yC=yB+，代入反比例函数解析式得，，再解直角三角形求得yB=(1-xB)=-xB，代入得，即可求解． 【详解】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G，    ∵∠BAO=60°，∠BAD=90°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=DE． 设DE=m，则D（1+m，m）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴，即， 解得；m=或m=-(不符合题意，舍去)， ∴D(，)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，AD=BC， ∴∠CBG=∠DAF， ∵∠CGB＝∠DFA， ∴△CBG≌△DAF（AAS）， ∴FG=DF=，BG=AF=-1=， ∴xC=xB+，yC=yB+， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∵∠BAO=60°， ∴yB=(1-xB)=-xB， ∴， 解得：xB=-1或xB=1(不符合题意，舍去)， ∴yB=2， ∴B(-1，2)， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，用点B的坐标表示出点C坐标是解题的关键． 5.（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y＝﹣上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（    ）    A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】作辅助线，构建全等三角形：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，证明△AHD≌△DMC≌△BGA，设A(x，﹣)，结合点B 的坐标表示：BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，由HQ＝CM，列方程，可得x的值，进而根据三角形面积公式可得结论． 【详解】过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M， 设A(x，﹣)， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠BAG=∠ADH=∠DCM， ∴△AHD≌△DMC≌△BGA（AAS）， ∴BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x， ∴AG＝CM＝DH＝1﹣， ∵AH+AQ＝CM， ∴1﹣＝﹣﹣1﹣x， 解得：x＝﹣2， ∴A(﹣2，2)，CM＝AG＝DH＝1﹣＝3， ∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1， ∴点E的纵坐标为3， 把y＝3代入y＝﹣得：x＝﹣， ∴E(﹣，3)， ∴EH＝2﹣＝， ∴DE＝DH﹣HE＝3﹣＝， ∴S△CDE＝DE•CM＝××3＝． 故选：B．    【点睛】本题主要考查反比例函数图象和性质与几何图形的综合，掌握“一线三垂直”模型是解题的关键． 6.（2026·广东佛山·二模）已知在平面直角坐标系中，，点是直线上的动点，以为边作正方形，点，，，按顺时针方向排序． (1)如图，若点在轴上，求点的坐标； (2)当点不与原点重合时， ①连接，猜想与的数量关系，直接写出结论； ②过点作轴，垂足为，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②为定值， 【分析】（1）先根据点D在x轴上的条件，轴，确定点B的坐标，再利用正方形的边长相等、对边平行的性质，直接推导出点C的横纵坐标，再根据求出点C的坐标； （2）①需分两种情况讨论：当点在第一象限时，由正方形性质得，由（1）知是等腰直角三角形得，结合∠推出；当点在第三象限时，先由三角形内角和求出，再由（1）得，两式相减得；②同样分两种情况：过作于，过作轴于，过作交于，先证四边形是矩形得，再证得，由在上知是等腰直角三角形得，从而，最后用勾股定理得，故为定值；第一象限时同理可证． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 点在轴上， 轴， 点， ， 点在上， 当时，， ， ， 点坐标为， 轴， 点的坐标为； （2）解：①猜想：或． 当点在第一象限时， 证明：四边形是正方形， ， ， 由（1）知， 在中，， ， ， ； 当点在第三象限时，， 如图，在中，， ， 中，由（1）知，即， ， ，即 ②是定值，．理由如下： 过点B作于点，过点作轴于点，过点A作交于点G， 当点B在第三象限时， ， 四边形是矩形， ，， 在正方形中，，， ，即， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，在直线上， ，， ， ， ； 当点B在第一象限时，如图 ， 四边形是矩形， ， 同理可证，四边形是矩形， ，, 点在直线上， , ， ，即， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， 综上，为定值，． 7.（2026·广东·二模）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 8.（2025·山东济南·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段的中点，将线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E，且D、E均在反比例函数的图象上． (1)求m的值和反比例函数的关系式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是直线下方反比例函数图象上的点，点Q在x轴上，连接，是否存在点P、Q使？若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）先根据直线与坐标轴的交点和中点坐标公式，求出，，，再根据平移的坐标变换规律求得点，，然后用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于F，先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得点，利用求解即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，， ， ，当时，则，代入得求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则， 令，则， ∴，， ∵点C为线段的中点 ∴， ∵线段直线向右平移m个单位，点B、C的对应点分别为D、E， ∴，， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴m的值为1， 反比例函数的关系式为． （2）解：设直线交x轴于F， 由（1）知：，，， ∴，， 设直线解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：由(1)知∶ ，， ∴， ∴ 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 由(2)知∶ ， ∴， ， ， 当时，则 ∴ 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数图象平移，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形面积，此题综合性较强，属中考压轴题目． 9.（2026·广东清远·二模）如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线和交于点，点的纵坐标为6．过点作交轴于点．点是线段上的动点，连接交反比例函数的图象于点． (1)点的坐标为__________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．若为“反直角三角形”，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由： ∵四边形是矩形， ∴，由是的交点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； (3)的解析式为或 【分析】（１）根据中点坐标公式求出点D的纵坐标，代入反比例解析式求出横坐标，可得点D的横坐标即可； （2）证明可得，从而得是等腰三角形； （3）根据“反直角三角形”分，，和四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：矩形中，对角线的中点为点D，点B的纵坐标为6， 所以D的纵坐标为， 因为D在反比例函数上， 当时，， 解得：， 所以； （2）略 （3）解：∵； ， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 若为“反直角三角形”， ①当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， 所以，直线的解析式为； ②当时，如图，在EO上截取，过点P作于Q， 则，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴，即点P在的延长线上，不符合题意； ③当时，过点F作交于点M， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为； ④当时， ∵当点P与点B重合时，最小，此时， 同理可证，此种情况不存在； 综上可知，的解析式为或． 10.（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于两点，（在的左边，），与轴交于点，设的外接圆圆心为，与轴相切，圆心在反比例函数图象上． (1)求点的纵坐标； (2)求的值； (3)当时，设直线与函数图象的另一交点为，若该抛物线对称轴上一点满足，证明点在上，并直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)1 (2)； (3)见解析，或 【分析】（1）根据切线的性质求得，即可得到点的纵坐标为1； （2）作轴于点，连接，求得，，，在中，由勾股定理列式计算得到，将点代入即可求得； （3）证明四边形是平行四边形，得到，得出且，求得，，利用待定系数法求得直线的解析式，反比例函数的解析式，联立求得，即可证明点在上，是等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵点，与轴相切， ∴， ∴点的纵坐标为1； （2）解：作轴于点，连接，如图， ∴四边形是矩形，解方程，得，， ∴，， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 将点代入得， ∴； （3）解：∵，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴且， 解得，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， ∴反比例函数的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点在上，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，又， ∴， 解得或． 11.（2026·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中． (1)如图1，点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______； (2)如图2，点，在直线l上，若直线l绕点B顺时针旋转得到直线，直线与x轴交于点C，求点C的坐标； (3)如图3，直线l分别与函数，的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转，与函数的图象交于点F，连接，若轴，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质，证明，得到，，即可得解； （2）过点C作于点D．利用直角三角形，得出，，设，在中，利用特殊角的正切值求解即可； （3）过点E作轴于点G，交于点A，作轴于点C，过O作交的延长线于点H，过点H作轴于点M，延长交y轴于点B，连接．根据反比例函数k的几何意义，得，则，由相似三角形的性质，得出，设，用含的式子表示出线段的长度，再证明三角形全等以及相似，求出，结合勾股定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图， ，， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 又， ， ，， 点的坐标为，即； （2）解：如图，过点C作于点D． ． ． ． ， ． ． 设，则． 在中，， ，即， 解得． ． ． （3）解：如图，过点E作轴于点G，交于点A，作轴于点C，过O作交的延长线于点H，过点H作轴于点M，延长交y轴于点B，连接． 根据反比例函数k的几何意义，得． ，， ． ， ， ． ， ， ， ． 设，则． ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，，． 轴， ，， ． ． ． ． ， ． ，即． 解得． ， ． ． 12.（2026·广东梅州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接． (1)求反比例函数的解析式和b的值． (2)如图1，已知轴，轴，作射线交一次函数的图象于点T，求证：． (3)①如图2，在中，，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出 ； ②设G为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点G的坐标．（提示：如） 【答案】(1)， (2) 解：联立 ，解得或， ∴， ∵，轴，轴， ∴， 设的解析式为，则， ∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∵，， ∴的中点坐标为， ∴点即为的中点， ∴为的中线， ∴； (3)①由题意，作图如下： ； ②或 【分析】（1）把代入直线解析式求出，待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的解析式，再联立两条直线的解析式，求出点坐标，求出两点的中点坐标，得到为两点的中点，根据三角形的中线平分面积，即可得出结论； （3）①根据尺规作角平分线的方法作图，作交于点，则，，在中，设，则，，进而求出的长，再根据正切的定义进行求解即可；②分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：① 由作图可知：， 作交于点，则，， 在中，设，则，， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴； 当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，， 同法可得：，直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或． 12.（2026·广东·二模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． 【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 13.（2026·广东河源·二模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴、轴上，反比例函数的图象分别与矩形的边相交于点． (1)如图1，若． ①点的坐标是 ； ②当为线段的中点时，连接．探究是否为直角三角形，并证明． (2)如图2，连接，过点作，交于点，连接．当时，探究点是否分别为线段的黄金分割点，并证明． 【答案】(1)①；②是直角三角形． 证明：∵四边形是矩形，点分别在轴、轴上， ． 为线段的中点， ． ． ． 把代入，得． 解得． ∴反比例函数的表达式为． 点的横坐标为4． 当时， ． ． ． ． 是直角三角形． (2)点分别为线段的黄金分割点． 证明：∵四边形是矩形， ． 设，则． ． 四边形为矩形． ． ． ． 又 ． ． ． 解得（负值已舍去） ． 点分别为线段的黄金分割点． 【分析】（1）①根据矩形的性质分别求出，可得答案； ②先根据已知条件求出点，再求出反比例函数的表达式为，再求出点，可得，然后根据勾股定理逆定理说明即可； （2）根据矩形的性质设，则，进而得出，由四边形为矩形可得，然后说明 ，可得，将数值代入求出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，且， ∴， ∴点； ②略 （2）略 14.（2026·广东肇庆·二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． (1)如图1，菱形的边长为2，设菱形的对角线的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用表示，即“相近度”，若，求该菱形的“相近度”； (2)如图2，已知矩形的对角线相交于点O，设的长分别为m，n（），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形的顶点分别在反比例函数和的图象上，轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用菱形的性质可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质计算即可； （2）①先求得，在上取一点E，使，连接，进而可证，再计算“相近度”即可； ②根据矩形的“相近度”为1，可得四边形是正方形，设，，再得到的坐标，结合都在反比例函数的图象上，进而得到，再代入求即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，，，， 是等边三角形，， ， ， 在中， ， ， ， 即该菱形的“相近度”为； （2）①， ，， 如图，在上取一点E，使，连接， 则， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，即该矩形的“相近度”为；               ②如图，连接交于点E，延长交x轴于点F， ∵矩形的“相近度”为1，即， ， ∴四边形是正方形， ， 设，， 轴， ． 都在反比例函数的图象上， ， 解得． ， ， ． 在反比例函数的图象上， 在反比例函数的图象上， ， ． 15.（2026·广东·二模）综合与探究 【概念理解】 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就知道并能应用黄金分割．黄金分割的相关定义为：如图1，点C将线段分割为和两条线段，其中，若 则称该分割为黄金分割，称点 C为线段的一个黄金分割点，称他们的比值为黄金分割比，记为m，即 黄金分割比m与线段的长度无关，是一个定值． 【初步探索】 (1)请求出黄金分割比m的大小； 【深入探究】 (2)如图2，对折边长为 4的正方形得折痕，其中点E在边上，点F在边上，连接，将边折叠到上，点B 落在点H处，折痕交边于点 G．请证明点G为线段的一个黄金分割点； 【拓展研究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点A在x轴上，点 C在y轴上，反比例函数的图象交于点 D，交 与点 E．若点 D 为线段的一个黄金分割点，请探究点 E 是否为线段的一个黄金分割点，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】（1）图1，设，得到，进一步得到，解方程即可求解； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）设点 D，得出或 ，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点． （3）解：是，理由如下： 因为点 D是反比例函数图象上一点， ∴设点 D， ∴； ∵点 D 为线段AB 的一个黄金分割点， ∴或 ， 当时，， ∵点 E是反比例函数图象上一点，四边形是矩形， ∴点 E纵坐标为， ∴点 E横坐标为， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴点 E 是线段的一个黄金分割点； 当时，， ∴， ∴点 E纵坐标为， ∴点 E横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点 E 是线段的一个黄金分割点； 【点睛】本题考查了黄金分割比，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是理解题意，熟练运用数形结合的思想解题． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03一次函数与反比例函数 ☆9大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02坐标方法的简单应用 考点03函数的基础知识 考点04一次函数的图像与性质 考点05一次函数的实际应用 考点06反比例函数的图像与性质 考点07反比例函数的实际应用 考点08一次函数与反比例函数的综合 考点09一次函数、反比例函数与几何图形的综合 考点01 平面直角坐标系 1. (2026广东大湾区·二模联考)在平面直角坐标系中，点(1,2)所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2026广东东莞二模)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点 (m,n) 在平面直角坐标系中位于() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 3.(2026广东实验中学二模)若实数m,n是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，且m<n,则点 m,n） 所在象限为() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A(5,m-2) 4.(2026广东深圳二模)在平面直角坐标系中，若点 在x轴上，则m的值为， 5.(2026广东深圳二模)在平面直角坐标系xO少中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为 2,5,请写出一个符合条件的点P的坐标 6.(2026广东江门二模)平面直角坐标系第三象限内有一点P,它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， 则直线OP的表达式为」 7.(2026广东广州二模)若点 m)关于轴对称的点在第四象限，则m的取值范围是（） A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-1<m<0 8.(2026广东清远·二模)在平面直角坐标系xOy中，点A(3,4)关于y轴的对称点B的坐标是() A.(3,4) B.(-3,4) C.(-3,4) D.(-4,3) 9.(2026广东广州二模)如图，平面直角坐标系中，平行四边形AOBC的边OB在x轴上， A(3,4),C(9,4) 若将边BC向左平移，当四边形AOBC是菱形时，平移的距离是() A.1 B.2 C.1或11 D.2或11 10.(2026广东清远·二模)如图，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到△A'OB',若点A的坐标为 -2,5,则点A的坐标为 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B B 1.(2026广东广州二模)如图，在平面直角坐标系中，将△1B0绕点4顺时针旋转 △AB,C 的位置，点 B C B. △AB,C B. B,O分别落在点，处，点在x轴上，再将 绕点顺时针旋转到 △48C的位置，点C在x 轴上， △ABC绕点C顺时针旋转到 4B,C的位置，点在x轴上，…依次进行下去，若点A3,0, B0,4,则点B2026的坐标为() B CA A A.(2132,0) B.(12156,4) c.(2140,4) D.(12152,0) 12.(2026广东·二模)如图，在平面直角坐标系中，动点P从点-1,0出发，按图中箭头所示方向依次 (0,1) 1,0) 运动，第1次运动到点，第2次运动到点 第3次运动到点2，一2，…，按这样的运动规律， 动点P第2025次运动到点的坐标为 (0,1) (4,1) (1,0) (5,0)(7,0) (-1,0)0 (3,0) M (2,-2) (6,-2) 考点02 坐标方法的简单应用 3/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 1.（2026广东广州二模)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是-6,0，点B的坐标是Q2), ∠ABC=90°，AB:BC=1:2,则点A的坐标是() 0 A.-1,5 B.（14) c.（-2,4) D.-2,5 2(2026广东深圳二模)在平面直角坐标系0中，己知1(4,0)，B(04),点C是直线y=2X在第一象 S 限内的图象上一个动点，连接AC,BC,记△OAC的面积为S1,△OBC的面积为S2,则S2的值为() A y=2x C 5 S A 1 A.2 B.1 e D.2 3.(2026广东广州：二模)如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，已知点A-3,0,B0,4, AM平分LBAO交y轴于点M,则OM=一 4B M A 4. (2026广东东荒二模)如图，：01B中，∠01B=90°，点4坐标为人， B为x轴上的点，则 4/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB= 5.(2026广东汕头·二模)重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合 图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为S1,S2,重心分别 =无8y=S+8 为M(),M(乃)，原图形的重心坐标为Mx,y,则有S+S,, S+S2如图， 若AF=CD=2,AB=4,BC=6,以点B为坐标原点，“1为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则 此“L”形的重心坐标为（) 37 7711 53 A.(22 B 52 c.2 考点03 函数的基础知识 2x 1,(2026广东二模)在函数y=3x-2中，自变量×的取值范围是 2。(2026广东二模)函数'=v2x-3 中自变量x的取值范围是 3. 2026广东三模)函数y=x+1中，自变量王您位 4.(2026广东广州二模)下列函数中，自变量X的取值范围是x≥3的是()· 1 x-3 x+3 C.y=x-3 D.y=Vx-3 5/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026广东二模)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家 (小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正 确的是() 个距离/km 2.5 0 15 4560 80 100 时间/min A.小明家到体育馆的距离为2m B.小明在体育馆锻炼的时间为45min C.小明家到书店的距离为km D.小明从书店到家步行的时间为40min 6.(2026广东深圳二模)甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面16m高的平台起飞，两架无人机同时 匀速上升.甲、乙两架无人机距离地面的高度y(单位：m)与上升的时间x(单位：s)的对应关系如图 所示.下列说法正确的是() y/m 甲 16 A.起飞时甲、乙高度相同 B.甲无人机的上升速度更快 C.乙无人机的上升速度更快 D.甲、乙两架无人机速度相同 7.(2026广东·二模)随着科技发展，无人配送车逐渐普及.某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站 出发，给距离配送站480m的居民送包裹.小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为12m/s,若小橙、小绿 行驶的路程y(单位：m)与小橙行驶的时间为x(单位：S)之间的函数图象如图所示，则下列说法正确 的是() 个y/m 480 320 010 bx/s 小橙 小绿 A.小橙的行驶时间为40s 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.小橙的速度为8m/s C.小橙比小绿先出发10s D.小橙比小绿晚24s到达居民位置 8.(2026广东·二模)同一条公路连接A、B、C三地，B地在A、C两地之间.甲、乙两车分别从A地、 B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.下图表示甲、乙两 车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是() y/km 40-- 20 4x/h 8 A,甲车行驶3h与乙车相遇 B.A、C两地相距220km C.甲车的速度是70km/h D.乙车中途休息36分钟 9.(2026广东深圳二模)图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点A的压强 P cmHg 5 P=kh+8 k≠0 (单位： 与其离水面的深度（单位：m)的函数解析式为 ,k为常数且，其图 象如图2所示.根据图中信息分析数据，下列选项错误的是() 水面 ↑P(cmHg) 500 M(58,500) 400 58m 300 200 W 100 梅林水库最深处某一截面图 0102030405060h(m) 图1 图2 A.水库水面大气压强为8cmHg B.P与h的函数解析式为P=10h+8 C.水库水深29m处的压强为254cmHg 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P=kh+Po D.函数 中自变量的取值范围是0≤h≤58 10.(2026广东珠海二模)如图1，在RIAABC中，∠C=90,BC>AC,动点P从点A出发，沿着 A→B→ 的路径运动到点C停止，过点作PQL4C于点0 PO-AO 于点·设点的运动路程为X, 的值为 y,y随X变化的函数图象如图2所示，则AB的长为() 图1 图2 A.5 B.6 C.8 D.10 11.(2026广东深圳二模)如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单 位的速度沿折线AB-BE向终点E匀速运动.设点P的运动时间为t秒，EP的长为y,y随t的变化图象如 图2所示，则矩形ABCD的面积为() A D N34 E 8 图1 图2 A.6v17 B.32 c.4v67 D.30 12.(2026广东广州·二模)如图1，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块P(绳子体积忽略不计)· 现往容器内匀速注水，注满为止.水面高度(cm)与注水时间Xmin的关系如图2.则注水时间l0mim时 的水面高度为 cm 8/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y(cm) 90 80 A 8 1214x(min) 图1 图2 13.(2026广东深圳二模)如图1是某款煮茶壶，开机加热4min将水匀速加热至100°C后停止加热，此时 水温开始下降，此时水温 y(C) 与启动加热后通电时间xmin成反比例函数关系.当水温降至40°C时启 动保温功能.图2是开给启动加热过程中，水温(C)与通电时间Xmin之间的函数关系图。则下列说法 错误的是() Ay/C 100 20 0 x/min (图1) (图2) A.水温在启动加热到100°C的过程中，y与x的函数关系式是y=20x+20 B.在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50°C C.在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50°C的时间为7min D.在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40°C 14.(2026广东河源二模)如图，点E为矩形ABCD的边AB的中点，点P从点C出发，沿路径C→D→A 运动，已知AB=4,BC=6,则△PCE的面积y关于点P所走路径长x的函数图象大致为() D 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 12 12 12 12 A 6 B 6 6 D 6 O410x O410x 0410衣 0410衣 15.(2026广东·二模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,动点E从点A出发沿边AB→BC匀 速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线，在点E运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分） 的面积为y,点E运动的路程为x(x>0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是() 85 85 85 85 65 65 6W5 6N5 B 23 25 23 25 6 6 6 考点04 次函数的图像与性质 3 1. (2026广东广州二模)给出下列函数：①y=3x,②y=-3x+2, ⑧y=x, ④y=2x2,其中符 合条件“当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是() A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 2.(2026广东珠海二模)下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是() 3 A.y=2x B.y=1-x C.y=- x D.y=x2 3.(2026广东·二模)在平面直角坐标系中，将直线y=-2x向上平移2个单位，平移后的直线过点 (-1m ,则m的值为() A.-1 B.1 C.-4 D.4 10/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 4(2026广东广州二模)将一次函数y=-2x一2的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过 第三象限，则的值可以为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2026广东深圳二模)将直线y=x-1沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、 第三象限，则的值可以是 (写出一个即可)· 6.(2026广东河源二模)在平面直角坐标系中，将直线y=2x-2沿x轴向左平移2个单位长度，则平移 后的直线的解析式为. 7.(2026广东二模)对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是() 1 A.当x>2时，y<0 B.y随x的增大而减小 C.它的图象与'轴交于点0，) D,它的图象经过第一、二、三象限 5.(2026:广东广州二模)一次函数'=(m-1)x+ 的图象经过第一、第二、第三象限，则”的取值范围 是 6.(2026广东·二模)请写出一个b的值，使一次函数y=x+b的图象经过第一、三、四象限，b= 7.(2026广东·二模)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合 该条件的一次函数的表达式： 8.(2026广东惠州二模)直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax+2x+1=0实数解的个数是 ()· A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 9.(2026广东广州·二模)若关于x的一元二次方程x2-6x+2k+3=0有两个不相等的实数根，且 V(2-k)=k-2,则一次函数y=(k-5)x+k的图象一定不经过(） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026广东广州二模)两条直线y=ax-b与y=bx-a,在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中 的() D 1.(2026广东肇庆二模)如图，在同一平面直角坐标系0中，一次函数乃=+b(低≠0)与 y2=k2x+b2(k3≠0) 的图象分别记为直线和直线？，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确 的是() kk2>0bb2<0 B.46<044>0 C.6+6<46+b D.6+么>46+B 12.(2026r东州二模)抛物线"=-2a(a+0)与直线"=（低≠0）交于1(，），B(,）两点， 者5+5>0 则直线=ar+k 一定经过（) A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限 18(206广东广州二模)女图，直线=名-与，输、y转分别交于A8两点则csO1B的值为 () 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A 12 B.13 c. 5 D. 14.(2026:广东中山二模)如图为一次函数y=+b k(x-3)<-b 的图象，关于x的不等式 的解集为 A.x<-4 B.x>-4 C.x<2 D.x>2 15.(2026广东肇庆二模)己知一次函数y=+b的图象如图所示，则不等式+b<3的解集为() -10 A.x>-1 B.x<-1 C.x<3 D.x>3 16.(2026广东茂名二模)如图，直线'=x+'和直线"=m+m交于点 a,2) ,则关于x的不等式 0<x+1≤mx+n的解集为() V =x+1 y-mx+n A.-1<x≤1B.0<x≤1 C.-1<x≤2 D.1<x≤2 13/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 17.(2026:广东清远二模)如图，函数'=m 和y=ar+b P(1,m) 的图象相交于 则-b≤c-b≤mr的解 集为() y=kx+b D y-mx A.0≤x≤1 B.-1≤x≤0 C.-1≤x≤1 D.m≤x≤m 18.(2026广东二模)如图，已知直线y=2x-1经过点4和点B,其中点4在x轴上，点B的横坐标为 10,若将线段AB平移至CD,点A的对应点C的坐标为(6,2)，则点D的纵坐标是() D B A A.3 B.4 C.5 D.6 19.(2025:广东珠海·二模)如图，点A是直线y=3x在第一象限图象上一动点，以0A为边向左边作正方 形OABC,若B(a,b),则b的值为() y 2-3 1 A B. c.2 D. 14/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(2026广东佛山二模)如图，直线I是一次函数y=+b的图象，求出函数的表达式. 0 3 考点05 一次函数的实际应用 1.(2026广东广州二模)成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量少（毫克）随时间x(小 时)的变化情况如图所示，下列说法错误的是() y/毫米 x/小时 A.服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B.服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C.服药后第8小时，血液中不含药 D.如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 2.(2026广东惠州二模)2025年12月19日，惠阳区半岛体育公园上演1000架无人机表演，为2025粤 港澳大湾区无人机竞速大赛开幕式助兴.如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机.如图2，在平面直 角坐标系中，线段O1,BC分别表示1号、2号无人机在队形变换过程中飞行高度”，为《米)与飞行时 间产（秒）的函数关系，其中为=4+15s0.线段O1与8C相交于点P,8Ly 轴于点B,点A的横坐 标为25，则在第()秒时1号和2号无人机在同一高度. 15/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/米 Cx/秒 图1 图2 A.14 B.15 C.16 D.17 3.(2026广东清远·二模)控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营 养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了10℃时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在 一定用量范围内，幼苗的生长速度y(cm/天)是该营养素用量x(mg)的一次函数(0<x<2)，部分 数据如下表所示： 营养素用量x(mg) 0.2 0.4 0.6 2.0 幼苗的生长速度y(cm/天) 1.2 1.6 若营养素用量为l.4mg, 则幼苗的生长速度为 cm/天. 4.(2026广东肇庆·二模)“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、 乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计 时装置（如图②）·上午10：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度 h(cm)与流水时间 (min) 的关系如图③所示，下列说法错误的是() h(cm) 30 节流阀 24 60 t(min) 图① 图② 图③ A.甲容器的初始水面高度为30cm B.12:00甲容器的水面高度为l2cm C.11:00甲容器的水面高度为24cm D.15:00甲容器的水流光 5.(2026广东广州二模)如图1，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块P(绳子体积忽略不 16/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y(cm)与注水时间 x(min) 计)·现往容器内匀速注水，注满为止。水面高 的关系如图2.则注水时间 10min时的水面高度为 cm Ay(cm) 90. 80 P 8 1214x(min) 图1 图2 6.(2026广东江门二模)古秤是中国传统计量工具，核心是“杠杆原理”，最常见是杆秤.如图，我们 可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤钩所挂物 重为x斤，秤砣到秤纽的水平距离为ycm,则y与x满足一次函数的关系.下表为若干次称重时所记录的 一些数据： x(斤) 2 3 4 6 1 y (cm) 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 秤纽 秤杆 0 入 秤砣 秤钩 ()应用你学的函数知识，用函数解析式表示y与x的关系： (2)在不超重的情况下，当x=10时，求对应的水平距离y的值. 7.(2026广东广州：二模)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族 的传统习俗.端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择， 此款礼盒在A、B两家超市售价均为200元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售： B超市：100盒以内（含100盒）不打折，超过100盒后，超过的部分打7折. 该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付”元，去B超市购买应付”元。 (①)分别求出”，片与之间的函数关系式 (2)若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？ 17/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 8.(2025山东东营中考真题)某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不 低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x(元/个)与每天销售量y(个)的对应值表格如下： x(元/个) 52 53 54 55 76 y(个) 740 720 700 0 (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 9.(2026广东清远·二模)研究表明，地表以下岩层的温度 C)与所处深度km)成一次函数关系.通 过测量得到某个地点地表以下的岩层温度（℃）与所处深度” x(km) 的部分数据如下表： 岩层的深度 1 x/km 9 岩层的温度y/C 55 125 160 0 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)当该地点地表以下某处岩层的温度为300°℃时，求此处岩层的深度. 10.(2026广东深圳二模)综合与实践 2026年央视春晚节目《武B0T》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为普及科 技文化，计划采购字树科技Go2四足机器人与G1人形机器人用于科普展示.根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 购买6台G02四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元： 素材1 5台G1人形机器人的售价比11台G02四足机器人贵23万元. 每台G02四足机器人每日可服务观众150人次： 素材2 每台G1人形机器人每日可服务观众280人次. 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元. 问题解决 (1)求每台G02四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元？ 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)采购G02四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 11.(2026广东茂名·二模)综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度，某数学综合与实践小组 仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如 图所示的简易计时装置. 节流阀 【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午8：00开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为36cm,开始放 水后，每隔l0min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 8:40 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm(观察值) 36 34.8 33.5 32.3 31.0 【建立模型】 小组讨论发现：可用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间t的关系， 【问题解决】 (1)利用当t=0时，h=36;当t=10时，h=34.8这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式： (2)在(1)的条件下，当流水时间为50min时，求水面高度h的值； (3)在(1)的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间. (4)在(1)的函数模型下，计算t=20时的模型预测值与表格中实际观察值的绝对误差与相对误差（结果保 绝对误差 留三位小数，参考：相对误差= 实际观察值）· 12.(2026广东惠州二模)综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 19/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”· 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益。 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x (元千 60 65 70 75 80 85 克) 每日销售 量y(千 120 110 100 90 80 70 克) 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元 【问题解决】 (I)根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量y(千克)是销售单价x(元/千克)的函数（选填 “一次”“二次”“反比例”)，并求出y关于x的函数解析式： (2)若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润。 13.(2026广东深圳二模)【综合实践】 【背景】日常出行离不开公共交通，面对公共交通种类日益丰富，乘坐公交车的人逐渐减少，公交车运营 面临亏损，某校数学小组调查了某公交车线路的运营情况 【材料一】图()是某公共汽车线路的收支差额y(票总价收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象， 该路线的票价为2元人· 【材料二】为了扭亏有关部门举行提高票价的听证会. 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏， 公交公司认为：运营成本难以下降，公司已经尽力，每张票需提高票价才能扭亏 根据两种意见，可以把图(a)分别改画成图(b)和图(c), 2 6.51 2 0.51 2x 0.51 2 图(a) 图b) 图(c) 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【问题解决】 (1)根据图中信息填空： ①写出图(a)的函数解析式：y= ②由图()可知，乘客量达到万人时，该公交路线才不会亏损，公交公司的运营成本是万 元 ③你认为上述三个图象中，反映乘客代表意见的是图 (2)若同时采用乘客代表（成本降低万元，0<m<1)和公交公司（票价提高n元，n>0)的方案.设收 支平衡时（即公交公司的票价总收入=公交公司的运营成本）的乘客量为。（万人），则m,儿，满足的 数量关系为 )若x,与”满足函数关系=”+a n+b,且当n=0.5时，x0=0.2;当m=2时，x=0.5, ①求a,b的值： 1 1 ②在(2)的方案下， 当5≤<2时，则m的取值范围是 考点06 反比例函数的图像与性质 2 y=- 1. (2026广东清远二模)下列图象与函数 d图象相符的是() 4320234 B.4支21o234x 3 21/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 3 2 c.432024 D.之10十2之4 3 -44 2.(2026广东·二模)当自变量x>1时，下列函数y随x的增大而增大的是() 3 A.y=-3x B.y= C.y=3x+1 D.y=---3 2 3.(2026:广东佛山二模)若A(,y)和Bx,)在反比例函数y=的图象上，且0<x<x,则乃，的 大小关系是片⅓ 9 4(2026广东广州二模)若点A(-3,),BL,),C3,y)都在反比例函数y=一的图象上，则，，片 的大小关系是() A.片<为<为B.乃<为<乃 C.片<乃<2 D.h<⅓<乃 5.(2026广东阳T二模)已知4，B,为，C）是反比例西数=名图象上的=个点， <5<0<5,则%” 的大小关系为() A.片<%乃B.为<片<y C.⅓<< D.为<<乃 6.(2026广东·二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上， 顶点B在反比例函数y-（Cx>0)的图象上，p是矩形O4BC内的一点，连接PO,PL.PB,PC,若图中阴影 部分的面积为10，则k为() 22/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.10 B.15 C.20 D.25 7(206广东米到二)图，已年6CD的顶点4在西数y-专（心0的图家上，点成，C,D在心 标轴上，连接O1交BC于点B,若5，.0e=3,S1cm=7 ,则k的值为() A D A.4 B.8 C.10 D.14 &(206广东中山二模)如图，81轴，B为垂，双前线y->0)与。1OB的两条边O4:B 分别相交于C、D两点，OC=CA;△ACD的面积为9，则k等于() A.4 B.6 C.8 D.12 9.(2026广东·二模)如图，反比例函数= +(x<0),为-冬(x<0)的图象在平面直角坐标系中，点 9为《十x<0)的图象上二点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为4，C,线段C 23/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3= (x<0)的图象上一点D分成两部分，且BD:CD=1:2,连接AC,则。ABC的面积为（） 2 A.2 B.2 C.2 D.1 10.(2026广东二模)如图。点4为反比例画数y=-(<0)图象上的一点，连按40：过点0作O4的 重线与反比例y-兰(：>0)的图象交于点A,则品的值为() A0 B 1 1 3 1 A.2 B.4 C.3 D.3 11.(2026广东惠州二模)如图，平行四边形ABCD的顶点B在y轴正半轴上，BC平行x轴，直线DB交 :轴于E,连接E,C,双曲线y经过点C,若BE的面积为1，则k的值为 2.(2026东分州二模)若正比例西数y=4r与反比例通数y冬的一个文点为4a4,则反比例证 数的解析式为() 4 A.y= x 24/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.y=-4 x D.y=2 1B。(2026广东茂名二模)在平面直角坐标系0y中，点MB,m),N6,在反比例函数y=k+0)的 图象上，且m<n,k的取值范围是 4 14.(2026广东梅州二模)如图，直线1：y=-2x+2与双曲线y=交于4'B两点.已知8(2，-2)， 点A的纵坐标为4，则不等式-2x+2+4<0的解华从) A.-1<x<0B.x>2 C.-1<x≤0或x之2D.-1<x<0或x>2 15.(2026:广东广州二模)已知曲线G: J= (1)求k的值： (2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有 数字0,1,3；乙袋中的小球上分别标有数字-1，-2，-3.现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的 (x,y) 数字为”，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为'，以此确定点的坐标为 求点 Q(x,)在曲线G上的概率。 16.(2026广东·二模)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正 半箱上，点A在反比例函数y-k>0,x>0)的图象上，点D的坐标为4,3) 25/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B o( (1)求k的值. (②)设点M在反比例函数图象上，连接AM,DM,若△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，请直接写出 点M的坐标， 考点07 反比例函数的实际应用 1.(2026广东东莞二模)在功v(单位：J)一定的条件下，功率卫（单位：W)与做功时间t(单位： s)成反比例，p(单位：W)与t(单位：s)之间的函数关系如图所示.当60≤t≤80时，p的值可以是 () AP/W 40 ! 30 s A.18 B.28 C.38 D.48 2.(2026广东河源·二模)/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率 (单位：Hz)与振动弦长1（单位：m)近似成反比例函数关系，其图像如图所示.根据图像，下列结论 正确的是() fHz◆ 240-- 0.5 l/m 240 A.该函数图像满足的表达式为∫= 1 26/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.当振动弦长1为0.6m时，振动频率为200Hz C.当振动弦长1<0.5m时，振动频率∫<240Hz D.该函数图像与坐标轴有一个交点 3.(2026广东茂名·二模)如图，某种近视眼镜的度数)（度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系.某 同学的镜片焦距为02米，经过矫正治疗后调整到了05米，则近视眼镜的度数减少了() (度) 500 00.20.5 x(米) A.400度 B.300度 C.200度 D.100度 4.(2026广东·二模)已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质 量浓度‘的变化而变化（如图②）·当甲醛质量浓度 c>0.1mg/m' 时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错 误的是() Ri/ 100 ④ 40 O0.20.5质量浓度 c/(mg/m3) 图① 图② R A.空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时， 的阻值逐渐增大 R=3002 B.当 时，甲醛检测仪会报警 C.当c=0.8mg/m3 R 时，“的阻值为250 0.1mg/m3 R 2002 D.当房间内甲醛质量浓度低于 时，的阻值高于 27/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 5.(2026广东广州·二模)某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向 为少轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线=2X+b,需与一条洋流边界线 乃，-《(x>0)交汇以采集水样.无人机与洋流边界在交汇点A(3,2)相遇. 北 东 (I)求无人机航线参数b和洋流边界参数k; (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标 6.(2026广东揭阳二模)【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为5V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制 U 灯泡L(灯丝的阻值R=2Ω)亮度.已知电流I与电阻R,R,之间关系为R+R,通过实验得出如 下表格的数据： P A R/2 2 3 n 6 I/A 15 m 5 15 15 5 4 7 8 (1)填写：m= n= 【探究观察】 15 ②根据以上实验，构建出函数y=x+2（x≥0)，结合表格信息， 28/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 234567六 ①在平面直角坐标系中画出对应函数y= 5x之0的大致图象 ②观察图象，写出该函数的一条性质： 【拓展应用】 15、5..15 ③)结合函数图象，直接写出不等式x+2>4x+2的解集， 7.(2026广东东莞二模)【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野.如图为某品牌 的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系.因此，将该扫地机器 人视作半径为2的圆，圆心为P,该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即 为该扫地机器人圆心P的运动路径(x>0), y 【问题解决】 29/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若在扫地机器人的运动路径上，圆心P会经过一污迹 (4,3) 求该运动曲线的函数解析式： (6,8) (2)在(1)的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物 求当点P,O,B在一条 直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物： 45 (③)若以P,0:4为顶点的三角形的面积为2，求此时机器人的圆心P的坐标， 考点08 一次函数与反比例函数的综合 b 1.(2026广东清远二模)若ab>0,则函数y=r+b与函数y=x在同一坐标系中的大致图象可能是 2(2026广东二模)已知正比例函数y=太k+0)的图象与反比例函数y=名化，≠0)的图家交于A,五 两点，其中点A在第二象限，横坐标为2，另一交点B的纵坐标为1， kk2（) A.4 B.-4 C.-1 D.1 2026广东东莞二模)如图，正比例函数片2x与反比例函数4=x>0)的图象交于点A,把 8 片=2向上平移3个单位长度与乃=(x>0)的图象交于点B,连接4B、OB,则。4OB的面积是 30/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 B 4（2021-四川成都一模)如图，反比例函教y=- 的图象与直线y=2x+bb>0)交于A,B两点（点 A在点B右侧)，过点A作x轴的垂线，垂足为点C,连接AO,B0,图中阴影部分的面积为12，则b的 值为 B k 5.(2026广东广州二模)如图，已知反比例函数y=(k≠0)与直线y=-2x+4交于点A3,n),B(m,6). VA (I)求m,n的值及反比例函数解析式： (8根据局数图象。直接写出冬-2+4的解失。 6（2026广东广州二模)如图，一次函数)y=:+b的图象与反比例函数y= x的图象相交于点A(2,3)和 31/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点(3) 6 4 2 64202468x (1)求一次函数和反比例函数的解析式： ②)根据图象，直接写出不等式+6>的解集 (3)设直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积 7(2026广东珠海二模)如图，反比树酒数-草（x>0与次西数=-+a的图象交于点4，员，且B 6,1) 点坐标为 (Q)求一次函数片=-r+ 的解析式： ②点P为线段B上的一点，过P作y轴的垂线，重足为五PH与反比例函数一(x>0)的图象交于点 C,当点C为PH中点时，求点C的坐标. 8.(2026广东·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A,B,与反比例函 数y=华c>0的图象交于点C.已知点4的坐标为(-2.0，点C的坐标为L,6,点D在反比例函数 y=x>0)的图像上，纵坐标为2. 32/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标： (2)连接BD,OD,请直接写出四边形ABDO的面积. 9.(2026广东二模)某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数y=“(口≠0）一个有趣的结论 6 小龙：如图1，直线y=x与双曲线y=元交于A,B两点，根据中心对称性可以得到 OA=OB 【轻松探究】 6 直线y=3x-4与双曲线y=x交于4，B两点，与x,y轴分别交于点C,D,试证明：AC=BD 6 小华：如图2，直线y=3x-4与双曲线y=x联立可得3x2-4x-6=0,进而求得 +9与e+0 的值，由 。+n=,+。,证得线段1B的中点与线段D CD 的中点重 合即可 请完整的写出上述推理过程， 【深入探究】 直线y=:+bk>0)与双曲线y-口>0)交于AB两点，与xy轴分别交于点C,D,试间：AC=BD 还成立吗？请说明理由， 【模型应用】 如图3，直线y=x+与双曲线-(>0)交于4B两点，与y特分别交于点C.D.连接O4.O8.若 △AOC 5,2CD=AB a 的面积为 ,求的值 33/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图1 图2 图3 考点09 一次函数、反比例函数与几何图形的综合 1(206广东汕头二模)如图，点A在直线=上，点M的坐标为2,1)，则5M+04的最小值为 V-X 2 2(2026广东梅州：二模)如图，已知一次函数y=3x+1图象与坐标轴交于M,V两点.点P是x轴上一 点，其横坐标为 (a>0) 若△NP的面积为S,则S与a的函数关系式为， y N M 3(2026广东矿州二模)如图在平面直角坐标系中，动点P在直线”=+25上，动点P在半径为的 ⊙O上(O为坐标原点)，过点P作⊙O的一条切线PR,R为切点， (1)原点O到该直线的距离为 (2)当PO+PR的值为最小时，tan∠RPO的值为 34/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 4(2026:广东二模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数”= 4x (x>0) 的图象经过矩形ABCD的顶 点C,D,若∠BA0=60°，且40 ,则点B的坐标为() A.（122)B.（125) 5.(2026广东·二模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B(-1,-1),C在x轴正半轴上， 4 A在第二象限双曲线y=- 上，过D作DEk轴交双曲线于E,连接CE,则△CDE的面积为() A.3 7-2 B. C.4 D. 9-2 35/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026广东佛山二模)已知在平面直角坐标系中，A2,0,点B是直线y=x上的动点，以AB为边作正 方形ABCD,点A,B,C,D按顺时针方向排序. 备用图1 备用图2 (I)如图，若点D在x轴上，求点C的坐标： (2)当点B不与原点重合时， ①连接AC,猜想∠OAC与∠ABO的数量关系，直接写出结论： CH ②过点C作CH1y轴，垂足为H,OB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 7(2026广东二模)如图。反比例图数=（x<0)和y-(x>0)的图象分别与直线y=在+6依次相 交于1(m,,B,C3,m)=点 D (I)求出直线AC对应的函数表达式： (②)分别以点A'C为圆心，以大于2AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F·直线EF交y轴于点 D,连接AD,CD.试判断△ACD的形状，并说明理由： )请直接写出关于x的不等式c+h<6 的解集。 8.(2025山东济南二模)如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为线段AB的中点， 将线段直线AB向右平移M个单位，点B、C的对应点分别为D、B,且D、B均在反比例函数y-(>0) 的图象上 36/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 图3 (1)求m的值和反比例函数的关系式： (2)连接OD、OE,求aODE的面积： (③若点P是直线OE下方反比侧函数y-（>0)图象上的点，点Q在轴上，连接E印，E0,PQ,是否存在 点P、Q使△QPE∽aAOB?若存在，求出符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由. 12 9.(2026广东清远二模)如图，反比例函数y=元的图象经过矩形0ABC的对角线AC和OB交于点D, 点B的纵坐标为6.过点B作BE‖AC交x轴于点E.点F是线段AE上的动点，连接BE交反比例函数 少子的图象于点6 D E 备用图 (1)点D的坐标为 (2)判断△OBE的形状，并说明理由； (3)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.若△BEF为“反直角三角形”，求直线 BF的表达式. 10.(2026广东广州二模)已知抛物线y=(x-mx-m)与x轴交于两点A,B(A在B的左边，m<n), 37/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 与'轴交于点 (0,1 ,设△ABC的外接圆圆心为P,P与'轴相切，圆心P在反比例函数 y=(k>1x>0)图象上. (1)求点P的纵坐标： (2)求a的值： (当C4少B即时，设直线B即与阿数y一会图象的另一文点为E:若淡抛物线对称精上一点0满足 ∠CQE≤30 ,证明点E在上，并直接写出点”的纵坐标‘的取值范国。 11.(2026广东东莞二模)在平面直角坐标系x0少中. B 9 A 图1 图2 图3 (四如图1，点1(2,0) 绕点B(04 顺时针旋转90°得到点4，则点A的坐标为一： (2)如图2， 点4(2,0)，B(0,4)在直线1上，若直线1绕点B顺时针旋转60得到直线，直线与x轴交于 点C,求点C的坐标： )如图3，直线1分别与函数y=4, 9 =x,y=x的图象交于点D、E,将直线I绕点E逆时针旋转45°，与函数 9 EF y=的图象交于点R,连接DF,若DF∥x轴，求OE的值. 12.(2026广东梅州·二模)在平面直角坐标系中，一次函数y=ax-3+3的图象与反比例函数 y=《(x>0)的图象相交于A3,b),B两点，交x轴于点C,交y轴于点D,连接0A 38/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 TE B B 图1 备用图 图2 (1)求反比例函数的解析式和b的值. (2)如图1，已知“轴， '轴，作射线O正交一次函数的图象于点T,求证： SAET -STBE (3)①如图2，在R1△AB0中，∠B=90,∠0=30°，AB=2,用无刻度的直尺和圆规作∠0的平分线交AB于 点C(保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出tanl5°=_； ②设G为反比例函数y(x>0)的图象上的点，连接OG,若∠A0G=30,请求出点G的坐标。（提示： 如V5+26=3+26+2=5+2=5+2) 12.(2026广东·二模)一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(m,6),与x轴 交于点B,与y轴交于点C 图1 图2 (1)求，k的值. (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m. AE 1 ①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD,E为线段D上一点，且ED2,求点B的坐标： ②如图2，M为线段OC上一点，且CM=1,四边形OMDN是平行四边形，连接AN,若∠BAN=45°，求 点D的坐标. 39/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026广东河源二模)在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A,C分别在y轴、x轴上，反 比例函数y-(k>0,x>0)的图象分别与矩形O1BC的边AB,BC相交于点D,E D 图1 图2 (1)如图1，若0C=V20A=4. ①点B的坐标是_： ②当D为线段AB的中点时，连接OD,OE,DE,探究△ODE是否为直角三角形，并证明. (2)如图2，连接OE,过点D作DF‖OE,交OA于点F,连接EF.当∠AFE=90时，探究点D,E是否分 别为线段AB,BC的黄金分割点，并证明. 14.(2026广东肇庆·二模)定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近 程度称为菱形或矩形的“相近度”， A D 0 图1 图2 图3 ()如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为心，n,我们将菱形的“相近度” 用咖-小表示，即“相近度”-伽-川，若∠ABC=60°，求该菱形的“相近度”， (2)如图2，已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,设AB,BC的长分别为，n(m≥n),我们 40/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将矩形的“相近度”用万表示，即“相近度”=” m n ①若∠AOD=45°，求该矩形的“相近度”： ②如图3，矩形ABCD的顶点分别在反比例函数y(低>0)和y=三，>0)的图象上，BDy箱，点D k+k 的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求 的值. 15.(2026广东·二模)综合与探究 【概念理解】 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就知道并能应用黄金分割.黄金分割的相关 BC AC 定义为：如图1，点C将线段AB分割为AC和BC两条线段，其中AC>BC,若ACAB'则称该分割为 黄金分割，称点C为线段AB的一个黄金分割点，称他们的比值为黄金分割比，记为，即 BC AC AC AB =m黄金分割比m与线段4B的长度无关，是一个定值。 VA H 图1 图2 图3 【初步探索】 (1)请求出黄金分割比m的大小： 【深入探究】 (②)如图2，对折边长为4的正方形ABCD得折痕EF,其中点E在边AD上，点F在边BC上，连接CE, 将边CB折叠到CE上，点B落在点H处，折痕交边AB于点G.请证明点G为线段AB的一个黄金分割点： 【拓展研究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数 y=k≠0x>0)的图象交AB于点D,交BC与点8.若点D为线段AB的一个黄金分制点，请探究点 41/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 E是否为线段BC的一个黄金分割点，并说明理由. 42/23