专题02 方程与不等式7大考点（广东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 广东各地市2026年二模方程与不等式专题汇编，涵盖7大核心考点，融合科技前沿（如无人机配送、智能分拣机器人）、文化传承（《九章算术》《算法纂要》）及社会热点（“双减”、绿美广东）情境，梯度设计适配二模复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约30题|一元一次方程（牧童分杏问题）、二元一次方程组（购买篮球足球）、一元二次方程（“哭哭马”销量增长率）、分式方程（无人机配送时间）、不等式（绿植采购资金）|基础题注重概念辨析，中档题结合生活实际| |解答题|约20题|方程与不等式实际应用（如机器人分拣效率、图书销售利润）、跨学科问题（物理密度计算、几何图形与方程）|综合题突出建模能力，融入数学文化与时代素材|

专题02 方程与不等式 7大考点概览 考点01一元一次方程 考点02二元一次方程组 考点03一元二次方程 考点04分式方程 考点05不等式的概念与性质 考点06一元一次不等式 考点07一元一次不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·广东广州·二模）方程的解是 __________． 2．（2026·广东广州·二模）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？则该问题中的牧童有_____个． 3．（2026·广东揭阳·二模）一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 4．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 5．（2026·广东东莞·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·二模）解方程： 7．（2026·广东广州·二模）解方程：． 8．（2026·广东·二模）如图，数轴上的两点，所对应的数分别为，，点在数轴上，且点对应的数为． (1)若，求三点对应数的和； (2)若点在点的左侧，且，求的值． 二元一次方程组 考点02 1．（2026·广东广州·二模）若是二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·二模）已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·二模）方程组的解为______． 4.（2026·广东·二模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 5.（2026·广东云浮·二模）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．（2026·广东茂名·二模）古代数学题：“一些人共同买鸭，如果每人出10钱，则多了8钱；如果每人出8钱，则少了12钱，问人数和鸭的价格各是多少？”设人数为x，鸭的价格为y钱，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·二模）《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留．问人与舟各几何？译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐．问共有多少人、多少条船？若设有人，条船，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东深圳·二模）《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．问：牛、羊各值金几何？题目大意是：头牛、只羊共值两“金”；头牛、只羊共值两“金”．问每头牛、每只羊各值多少“金”？设每头牛值两“金”、每只羊值两“金”，则可列出方程组为（） A． B． C． D． 9．（2026·广东深圳·二模）地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（       ） A． B． C． D． 10．（2026·广东梅州·二模）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广东·二模）某国产机车工厂生产仿赛车与复古街车两种车型．已知生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元，且生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等．设生产1台仿赛车的成本为万元，生产1台复古街车的成本为万元，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 12.（2026·广东广州·二模）解方程组： 13.（2026·广东东莞·二模）解方程组： 14.（2026·广东河源·二模）以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 (1)这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误． (3)请写出解该方程组的正确过程． 15.（2026·广东·二模）阅读小邦同学数学作业本上的截图内容并完成任务． 解方程组． 解：由 ，得（第一步） 由，得 ； （第二步） 把 代入②，得 ； （第三步） 所以原方程组的解是 （第四步） 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做______（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第______步开始出现错误． (2)请写出该方程组的正确解答过程． 16.（2026·广东·二模）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值； (3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 17.（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 18.（2026·广东深圳·二模）根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 深圳读书月是由深圳市于2000年创办的大型综合性群众读书文化活动，每年11月举办，以“阅读·进步·和谐”为总主题，旨在提升市民文化素质、建设学习型城市． 素材一 某书店同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需70元；购进2本A类图书和1本B类图书共需65元． 素材二 已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为60元． (1)问题一：A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)问题二：若该书店购进这两类图书恰好用了4000元，设购进A类图书a本， ①请用含a的式子表示此时购进B类图书 本； ②进货时，A类图书的数量不少于100本．如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 19.（2026·广东广州·二模）为缓解某地区甘蔗滞销问题，某企业开展对口帮扶，收购当地农户种植的甘蔗．已知该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．据市场反馈，黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元． (1)求本次收购的黄皮甘蔗、黑皮甘蔗的单价分别是多少元/千克？ (2)为持续帮扶农户，该企业计划第二批收购两种甘蔗总量增加至1300千克．由于市场回暖，黑皮甘蔗售价提高至元/千克，黄皮甘蔗售价不变．要求第二批购买费用不低于元，求第二批至少需要收购黄皮甘蔗多少千克？ 20.（2026·广东广州·二模）广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 21.（2026·广东清远·二模）某校开展“绿美广东，我们在行动”活动，需购买甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多6元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费120元、60元． (1)求甲、乙两种花苗的零售价分别是多少元？ (2)该校预计购买这两种花苗共900株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，请你帮忙设计一种使费用最少的购买花苗方案，并求出最少费用． 22.（2026·广东东莞·二模）为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． (1)求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ (2)室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 23.（2026·广东深圳·二模）某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 一元二次方程 考点03 1．（2026·广东深圳·二模）若是方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．6 C． D．3 2．（2026·广东·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 3．（2026·广东广州·二模）若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 4.（2026·广东江门·二模）下列一元二次方程中，没有实数解的是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·广东广州·二模）若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 6（2026·广东广州·二模）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 7.（2026·广东·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 9.（2026·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则d的取值范围是___________． 10.（2026·广东肇庆·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 11.（2026·广东·二模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______． 12.（2026·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2026·广东广州·二模）关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 14.（2026·广东东莞·二模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15.（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 16.（2026·广东广州·二模）关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 17.（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 18.（2026·广东·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 19.（2026·广东广州·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，，则代数式的值为_________． 20.（2026·广东深圳·二模）已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为______． 21.（2026·广东深圳·二模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 22.（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 23.（2026·广东深圳·二模）由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 24.（2026·广东清远·二模）清晨，清远英德英西峰林薄雾缭绕、群峰叠翠，田园村落与溪流相映成趣，宛如一幅天然山水画卷．设计师为宣传英德文旅特色，准备给这幅英西峰林实景风景画四周安装宽度相等的空白画框（如图），制作成矩形装饰工艺品．该工艺品整体长，宽，中间英西峰林风景画的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 25.（2026·广东东莞·二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（     ） A． B． C． D． 26.（2026·广东·二模）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 27.（2026·广东梅州·二模）解方程： 28.（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 29.（2026·广东深圳·二模）按要求完成下列各题： (1)解方程： (2)计算： 30.（2026·广东深圳·二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 (1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； (2)任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 31.（2026·广东湛江·二模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 32.（2026·广东广州·二模）如图，已知． (1)尺规作图：和关于所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，过点B作交于点E，若线段和的长是方程的两个实数根，求的长． 33.（2026·广东中山·二模）【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 34.（2026·广东深圳·二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 (1)任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 35.（2026·广东·二模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 36.（2026·广东·二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） (1)求每轮传染中平均每个人传染了几个人? (2)按照这样的传染速度，第三轮传染后，政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 分式方程 考点04 1．（2026·广东·二模）解分式方程 去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东东莞·二模）将分式方程化为整式方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·二模）若，则________． 4．（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 5．（2026·广东惠州·二模）“无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活．若某外卖订单配送外卖员骑行路程为，无人机走直线路程为，无人机速度是外卖员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比外卖员早到22分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列分式方程（     ） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·二模）为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东肇庆·二模）自动分拣矩阵配套设备采用我国自主研发的仓储控制系统（WCS）等核心软件，可实现大件包裹快速扫码识别与精准分拣，大幅提升物流中转效率．已知1台自动分拣矩阵配套设备每小时分拣快递的数量是1名工人每小时分拣数量的4倍，1台设备分拣3000件快递比1名工人分拣这些包裹要少用3小时．设1名工人每小时能分拣x件包裹，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广东深圳·二模）为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A．B． C． D． 9．（2026·广东深圳·二模）在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10.（2026·广东·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 11.（2026·广东深圳·二模）如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 12.（2026·广东深圳·二模）观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ (1)解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 13.（2026·广东东莞·二模）某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格． 14.（2026·广东清远·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 15.（2026·广东东莞·二模）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 16.（2026·广东东莞·二模）木棉花是广东省花，早期民间应用（清代及以前）木棉花作为药食同源的植物，最早在岭南民间被广泛使用．清代何克谏的《生草药性备要》中明确记载木棉花“治痢症，祛湿热”，表明当时人们已认识到其清热利湿的功效，并开始将其用于缓解湿热引起的腹泻、痢疾等症状．某药店经营的木棉花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的木棉花全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种木棉花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 17.（2026·广东珠海·二模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求绿萝的单价是多少元？ (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是________盆． 18.（2026·广东河源·二模）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可：         琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． (1)可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； (2)在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； (3)利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 19.（2026·广东东莞·二模）根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进，两种图书共1000本，且种图书不少于700本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务： (1)探求图书的标价：请运用适当方法，求出，两种图书的标价． (2)确定如何获得最大利润：书店应怎样进货才能获得最大利润？ 20.（2026·广东茂名·二模）2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售． 信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同． 信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完． 问题： (1)求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元． (2)设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式； (3)在进货数量符合要求的条件下，求的最大值． 21.（2026·广东深圳·二模）为丰富学生课余生活，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程．已知乙校每季度开设的个性化课程数是甲校的2倍，且甲、乙两校分别完成240个课程数时，甲校比乙校多用了3个季度． (1)求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数； (2)已知甲校提供1个季度的个性化课程服务会产生2000元材料费用，乙校提供1个季度的个性化课程服务会产生3000元材料费用．现计划由甲、乙两校共同提供12个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学校承担，若总费用不超过31000元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 不等式的概念与性质 考点05 1．（2026·广东江门·二模）如果，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东揭阳·二模）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·二模）如果，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东东莞·二模）综合与探究：若正数a、b、c满足，且． (1)探究一：探究a的取值范围； 探究过程 推理依据 第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，__________． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：____________________________________ ，． ， ． ，即． 同理， 第二步 ． 根据不等式的放缩法：因为是三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和． 第三步 解得． 根据不等式的性质． 第四步 又， 根据不等式的放缩法： _____________________________________________ 第五步 ，解得． 根据不等式的性质． 第六步 ． a的取值范围是两个不等式解集的公共部分． (2)探究二：探究方程的正整数解． 若a、b、c为三个正整数，求所有满足条件的a、b、c的值． 一元一次不等式 考点06 1．（2026·广东·二模）写出不等式的一个整数解：___________． 2.（2026·广东·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·二模）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026·广东广州·二模）解不等式：． 5.（2026·广东广州·二模）解不等式：． 6.（2026·广东·二模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 7.（2026·广东佛山·一模）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 8.（24-25八年级下·广东深圳·阶段检测）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解∶去分母得∶，……第一步 去括号得∶，……第二步 移项得∶，……第三步 合并得∶，……第四步 系数化为1得：…第五步 任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集： ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式： 9.（2026·广东珠海·二模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求绿萝的单价是多少元？ (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是________盆． 10.（2026·广东广州·二模）为应对“电商”大促、提升快递分拣效率，某快递公司引入智能分拣机器人，已知一台机器人比一名人工分拣员每小时多分拣件包裹，已知一台机器人分拣件包裹所用的时间，与名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等． (1)求一台分拣机器人、一名人工分拣员每小时分别分拣多少件包裹？ (2)现“电商”期间，需要紧急分拣件包裹，已有台分拣机器人投入工作，问至少还需要安排多少名人工分拣员，才能保证在小时内完成所有包裹分拣任务？ 11.（2026·广东广州·二模）某校开展校园义卖活动．活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价10元．请认真阅读结账时老板与张明的对话： (1)结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ (2)根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共50个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过450元．其中“喜洋洋”挂件标价每个8元，“乐融融”挂件标价每个6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 12.（2026·广东广州·二模）为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 一元一次不等式组 考点07 1．（2026·广东广州·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·二模）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·广东珠海·二模）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·广东广州·二模）某不等式组的解集在数轴上表示如图，从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为（    ） A． B． C．1 D． 5.（2026·广东中山·模拟预测）不等式组的最小整数解是___________． 6.（2026·广东·二模）小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为___________． 7.（2026·广东广州·二模）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 8.（2026·广东汕头·二模）在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解． 如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，，求x的取值范围 小明的分析过程如下： 第一步：由图可知，点A在点B左侧，可列不等式为①； 第二步：由图可知，点C在点B右侧，可列不等式为_________②； 第三步：解不等式①得_________，解不等式②得_________； 第四步：得出x的取值范围是_________． 请补全小明的分析过程，并将不等式的解集在数轴上表示出来． 9.（2026·广东深圳·二模）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 10.（2026·广东·二模）解不等式组，并写出所有整数解． 11.（2026·广东·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 12.（2026·广东清远·二模）《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 13.（2026·广东广州·二模）广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 14.（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 15.（2026·广东·二模）自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． (1)根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ (2)若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） （根） A型管道（根） x B型管道（根） 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 7大考点概览 考点01一元一次方程 考点02二元一次方程组 考点03一元二次方程 考点04分式方程 考点05不等式的概念与性质 考点06一元一次不等式 考点07一元一次不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·广东广州·二模）方程的解是 __________． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程．利用移项、系数化为1的步骤进行解答即可． 【详解】解： ， 移项，得 ， 系数化为，得 ， 故方程的解是． 故答案为： 2．（2026·广东广州·二模）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？则该问题中的牧童有_____个． 【答案】24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有个牧童，根据杏的总数不变列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设共有个牧童， 由题意得：, 解得：， ∴共有个牧童， 故答案为： ． 3．（2026·广东揭阳·二模）一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得： ， 解得 ， 故答案为：7． 4．（2026·广东珠海·二模）为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【答案】400 【分析】先根据小健比小康少跑16米的路程差求出相遇时间，再利用反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长计算周长. 【详解】解：设出发到第一次相遇的时间为秒. 根据题意列方程得 合并同类项，得 系数化为，得 反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长，因此周长为： ， ∴环形跑道的周长为米. 5．（2026·广东东莞·二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出箭尺每小时匀速上升，以为时间起点，设经过小时后，箭尺读数为，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得至，读数从变成了，至，读数变成了，水匀速地从供水壶流到箭壶， ∴箭尺每小时匀速上升， ∴以为时间起点，设经过小时后，箭尺读数为， ∴当箭尺读数为时，即， 解得． ∴经过8小时后，指示时间为． 6．（2026·广东广州·二模）解方程： 【答案】 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 7．（2026·广东广州·二模）解方程：． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为，进而求出方程的解． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 8．（2026·广东·二模）如图，数轴上的两点，所对应的数分别为，，点在数轴上，且点对应的数为． (1)若，求三点对应数的和； (2)若点在点的左侧，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了有理数的加法，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得表示的数为，然后列式即可求解； （）分当点在点右侧时，则和当点在点的左侧时，则，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：若，则表示的数为， ∴三点对应数的和为； （2）解：由于点在点的左侧，则； 当点在点右侧时，则 ∵ ∴， 解得； 当点在点的左侧时，则, ∵ ∴, 解得； ∴的值为或． 二元一次方程组 考点02 1．（2026·广东广州·二模）若是二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知解代入方程，整理后即可得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·广东广州·二模）已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将和变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y为非负实数， ∴，解得， ∴， 已知， 将代入，得， 化简，得． 逐一验证选项： 选项A，，把代入，得，解得， 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误； 选项B，， ∵， ∴选项B错误； 选项C，， 把，代入左边， 得 ， 与右边相等，因此C正确； 选项D，，当时， ，因此D错误． 3．（2026·广东·二模）方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 方程组的解为． 4.（2026·广东·二模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，得出，，根据方程组的解都为正数，得出关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： 得：，解得 得：，解得 因为、都为正数，所以： 解得： 5.（2026·广东云浮·二模）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】设出两种球的购买数量，根据总费用列出方程，再结合球数为正整数的条件，找出所有符合要求的二元一次方程的解，统计方案数即可． 【详解】解：设购买篮球个，足球个，，均为正整数， 根据题意列方程，得 ， 化简，得 ， 整理，得 ， ∵，均为正整数， 为整数， 又与互质， 是的倍数， 由得 ，解得， 又，因此的可取的值为，对应为，均符合要求， 因此该社团共有种购买方案． 6．（2026·广东茂名·二模）古代数学题：“一些人共同买鸭，如果每人出10钱，则多了8钱；如果每人出8钱，则少了12钱，问人数和鸭的价格各是多少？”设人数为x，鸭的价格为y钱，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的两种出钱情况，找出等量关系即可列出方程组． 【详解】解：∵人数为，鸭的价格为钱，每人出10钱时，总出的钱比鸭价多8钱， ∴可得方程 ； 每人出8钱时，总出的钱比鸭价少12钱，即鸭价比总出的钱多12钱， ∴可得方程 ， 因此方程组为． 7．（2026·广东深圳·二模）《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留．问人与舟各几何？译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐．问共有多少人、多少条船？若设有人，条船，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有人，条船， 由每4人坐一条船，空余3条船，得：， 由每3人坐一条船，有5人无船可坐，得：， 则可得方程组． 8．（2026·广东深圳·二模）《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．问：牛、羊各值金几何？题目大意是：头牛、只羊共值两“金”；头牛、只羊共值两“金”．问每头牛、每只羊各值多少“金”？设每头牛值两“金”、每只羊值两“金”，则可列出方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组，得到正确选项． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两， 由头牛、只羊共值金两，可得， 由头牛、只羊共值金两，可得， ∴可列方程组为． 9．（2026·广东深圳·二模）地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据等量关系列二元一次方程组是解题的关键．根据题目中长江与黄河长度的关系，分别列出两个方程，组成方程组，再与选项对比． 【详解】解：由题意得 ． 故选：D． 10．（2026·广东梅州·二模）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意列方程组得． 11．（2026·广东·二模）某国产机车工厂生产仿赛车与复古街车两种车型．已知生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元，且生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等．设生产1台仿赛车的成本为万元，生产1台复古街车的成本为万元，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是1台仿赛车成本比1台复古街车成本高0.5万元，二是5台仿赛车成本等于6台复古街车成本，据此列出方程组即可． 【详解】解：设生产1台仿赛车的成本为万元，生产1台复古街车的成本为万元， 生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元 生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等 可列方程组为． 12.（2026·广东广州·二模）解方程组： 【答案】 【详解】解： ， ①②得：， 解得： ， 把代入①得： ， 解得：， 则方程组的解为 13.（2026·广东东莞·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，正确计算是解题的关键．根据加减消元法求解即可． 【详解】解： ①×②得，③ ②+③得，， ， 将代入②得，， ， 14.（2026·广东河源·二模）以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 (1)这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误． (3)请写出解该方程组的正确过程． 【答案】(1)A (2)三 (3)解：． 由①，得，③ 把③代入②，得 ， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略 15.（2026·广东·二模）阅读小邦同学数学作业本上的截图内容并完成任务． 解方程组． 解：由 ，得（第一步） 由，得 ； （第二步） 把 代入②，得 ； （第三步） 所以原方程组的解是 （第四步） 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做______（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第______步开始出现错误． (2)请写出该方程组的正确解答过程． 【答案】(1)加减消元法；一 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的各种方法是解题的关键． （1）观察解题步骤，可知这种求解二元一次方程组的解法叫做“加减消元法”，以上解答过程从第一步开始出现错误； （2）利用“加减消元法”解二元一次方程组，此题得解． 【详解】（1）解：根据题意得：这种求解二元一次方程组的解法叫做“加减消元法”，以上解答过程从第一步开始出现错误． 故答案为：“加减消元法”，一； （2）解：由，得 由，得； 把代入②，得； 所以原方程组的解是 16.（2026·广东·二模）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值； (3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数，理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可； （2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即可求出a的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m，n的方程得， 解得； （3）解：将代入， 得， 解得：． 17.（2026·广东广州·二模）某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 【答案】(1)每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； (2)①，符合条件的方案有5个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为． 【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据“购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元”列出方程组，解方程组即可； （2）①根据购买m枚国风书签和n个校徽钥匙扣的总费用列出m，n的数量关系，再根据m，n为正整数写出方案； ②根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元． 根据题意列方程组：， 解得， 答：每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； （2）解：①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元， 可得：， ∴， 因为m，n都是正整数， 所以必须是正偶数， ∴时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因为每种奖品至少买一件）． 所以符合条件的方案有5个； ②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即， ∴，和，， ∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个， ∴概率为：． 18.（2026·广东深圳·二模）根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 深圳读书月是由深圳市于2000年创办的大型综合性群众读书文化活动，每年11月举办，以“阅读·进步·和谐”为总主题，旨在提升市民文化素质、建设学习型城市． 素材一 某书店同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需70元；购进2本A类图书和1本B类图书共需65元． 素材二 已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为60元． (1)问题一：A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)问题二：若该书店购进这两类图书恰好用了4000元，设购进A类图书a本， ①请用含a的式子表示此时购进B类图书 本； ②进货时，A类图书的数量不少于100本．如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)A类图书每本的进价是20元，B类图书每本的进价是25元 (2)①或；②购买A类图书100本，B类图书80本，则卖出所有图书的总利润最大为4800元 【分析】（1）设A类图书每本的进价是x元，B类图书每本的进价是y元．根据题意，得，求解即可； （2）①设购进B类图书本，根据题意，得求解即可； ②设总利润为W元，根据题意，得，根据一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：设A类图书每本的进价是x元，B类图书每本的进价是y元． 根据题意，得，解得， 答：A类图书每本的进价是20元，B类图书每本的进价是25元． （2）解：①设购进B类图书本，根据题意，得， 变形，得本或本． ②解：设总利润为W元，根据题意，得 ， ∵， ∴W随着a的增大而减小，根据题意可得：， ∴当时，总利润最大，最大利润是（元）， 此时（本） 答：购买A类图书100本，B类图书80本，则卖出所有图书的总利润最大为4800元． 19.（2026·广东广州·二模）为缓解某地区甘蔗滞销问题，某企业开展对口帮扶，收购当地农户种植的甘蔗．已知该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．据市场反馈，黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元． (1)求本次收购的黄皮甘蔗、黑皮甘蔗的单价分别是多少元/千克？ (2)为持续帮扶农户，该企业计划第二批收购两种甘蔗总量增加至1300千克．由于市场回暖，黑皮甘蔗售价提高至元/千克，黄皮甘蔗售价不变．要求第二批购买费用不低于元，求第二批至少需要收购黄皮甘蔗多少千克？ 【答案】(1)黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． (2)第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克． 【分析】（1）设黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克．该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克，则第二批收购黑皮甘蔗千克，第二批购买费用不低于元，据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． 则 解得 答：黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． （2）解：设第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克，则第二批收购黑皮甘蔗千克， 则 解得 答：第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克． 20.（2026·广东广州·二模）广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 21.（2026·广东清远·二模）某校开展“绿美广东，我们在行动”活动，需购买甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多6元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费120元、60元． (1)求甲、乙两种花苗的零售价分别是多少元？ (2)该校预计购买这两种花苗共900株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，请你帮忙设计一种使费用最少的购买花苗方案，并求出最少费用． 【答案】(1)甲种花苗的零售价为12元，乙种花苗的零售价为6元 (2)费用最少的购买方案是购买甲种花苗300株，购买乙种花苗600株，最少费用为7200元 【分析】（1）设甲种花苗的零售价为x元，则乙种花苗的零售价为元，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设购买甲种花苗株，所需费用为元，列出不等式和一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：设甲种花苗的零售价为x元，则乙种花苗的零售价为元，根据题意得： ， 解得， 经检验，，是原方程的解，符合题意； ， 甲种花苗的零售价为12元，乙种花苗的零售价为6元 （2）解：设购买甲种花苗株，购买乙种花苗株，所需费用为元． 甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的， ， 解得； 根据题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时最小值为（元）． 答：费用最少的购买方案是购买甲种花苗300株，购买乙种花苗600株，最少费用为7200元． 22.（2026·广东东莞·二模）为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． (1)求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ (2)室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 【答案】(1)采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元． (2)采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克． 【分析】（1）可设1盆绿萝、1盆吊兰的价格分别为未知数，根据两个总价条件列出二元一次方程组，再利用解二元一次方程组的方法求解． （2）设采购绿萝的数量为未知数，因为两种绿植共20盆，所以可表示出吊兰的数量；然后根据花费不超过228元、绿萝数量不少于吊兰数量的2倍这两个条件，列出不等式组确定未知数的取值范围；接着根据两种绿植的吸碳量，建立每天吸收二氧化碳总量关于未知数的一次函数，再利用一次函数的增减性求出最大值对应的采购方案． 【详解】（1）设1盆绿萝x元，1盆吊兰y元． 根据题意，得， 解得，     答：采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元． （2）设采购绿萝a盆，吊兰盆， 根据题意，得 ， 解得， ． 设20盆绿植每天一共吸收二氧化碳W克，则 ． ， 随着a的增大而增大． 又为正整数， 当时，最大克． 答：采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克． 23.（2026·广东深圳·二模）某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条 (2)还需投入1175万元资金更新生产线的设备 【分析】（1）设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则更新1条甲类生产线的设备需投入万元，再列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线． ， 解得， 答：该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条． （2）解：设更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则更新1条甲类生产线的设备需投入万元． ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 答：还需投入1175万元资金更新生产线的设备． 一元二次方程 考点03 1．（2026·广东深圳·二模）若是方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的根，   ∴ 将代入方程得， 解得：． 2．（2026·广东·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 3．（2026·广东广州·二模）若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可． 【详解】解：将代入得 ，整理得， 解得或 当时，原方程二次项系数为零，不满足题意， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 4.（2026·广东江门·二模）下列一元二次方程中，没有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、方程整理为一般式为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； 、方程 的解为，有两个相等的实数根，该选项不符合题意； 、∵， ∴方程没有实数根，该选项符合题意； 、由 得或， 解得， ∴方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意． 5.（2026·广东广州·二模）若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】先计算方程的判别式，再结合已知条件判断判别式的符号，即可得到根的情况． 【详解】关于的一元二次方程 ， 可得， ，即， ， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 6（2026·广东广州·二模）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 7.（2026·广东·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：； ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴且， 故选：C 8．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出的值. 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 9.（2026·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则d的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程没有实数根可得根的判别式，据此构造不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 将代入得， 整理得 ， 解得， 故答案为： ． 10.（2026·广东肇庆·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 11.（2026·广东·二模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为，由该方程有两个实数根得出其为一元二次方程，且，即且，解出k的解集即可． 【详解】由新定义的运算法则可得出：． ∵， ∴． ∵该方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 12.（2026·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合一元二次方程根的判别式、二次根式的性质，考查一次函数图象的性质，先求出k的取值范围，再根据一次函数系数的符号判断图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴ 化简得， 解得． ∵ ∴， 解得． ∴k的取值范围为． 对于一次函数 ∵ ∴， 即一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴图象一定不经过第三象限． 13．（2026·广东广州·二模）关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【答案】C 【分析】先利用因式分解法求得方程的两个根，再根据根为整数、m为正整数的条件即可确定m的值． 【详解】解：， ， ，． ∵ 原方程是关于x的一元二次方程，m为正整数， ∴ ． ∵ 两个实数根都是整数，是整数， ∴为整数，m是正整数， ∴或． 14.（2026·广东东莞·二模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，计算两根之和与两根之积，再根据点的横纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：对一元二次方程， ， 解得方程两根为：，， ∵两根之和， 两根之积， ∴点即为， ∵点的横坐标小于，纵坐标小于， ∴该点位于第三象限． 15.（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 16.（2026·广东广州·二模）关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 【答案】10 【分析】先根据已知的两根之积求出参数的值，再代入两根之和的表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，其中 ，，， ∴ ，， ∵ ，即 ， ∴， ∴ ． 17.（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 【答案】 【详解】解：因为是方程的根， 所以，即； 由根与系数的关系得， 则 18.（2026·广东·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，由一元二次方程根和系数的关系可得，再把转化为，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 19.（2026·广东广州·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】，是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系得，， ． 20.（2026·广东深圳·二模）已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，设另一个根为，则由根与系数的关系得到，解得，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为2， 设另一个根为， ，解得， 故答案为：． 21.（2026·广东深圳·二模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得， 整理得， 解得． 22.（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 23.（2026·广东深圳·二模）由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 24.（2026·广东清远·二模）清晨，清远英德英西峰林薄雾缭绕、群峰叠翠，田园村落与溪流相映成趣，宛如一幅天然山水画卷．设计师为宣传英德文旅特色，准备给这幅英西峰林实景风景画四周安装宽度相等的空白画框（如图），制作成矩形装饰工艺品．该工艺品整体长，宽，中间英西峰林风景画的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得方程为． 25.（2026·广东东莞·二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， ∵每个球队需要与除自身外的个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知计划安排28场比赛， 因此可列方程． 26.（2026·广东·二模）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 【答案】0或 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 27.（2026·广东梅州·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了运用因式分解的方法解一元二次方程，准确地进行因式分解是解题的关键．先将原方程化为，再运用十字相乘法，分解因式解方程即可． 【详解】解： 原方程可化为， ， 或， ，． 28.（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以时，没有考虑的情况， 正确的解答过程： 第一步：， 第二步：， 第三步：，即， 第四步：或， 第五步：，． 【分析】由方程两边都除以，没有考虑的情况，这会导致漏解，从而得到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】略 29.（2026·广东深圳·二模）按要求完成下列各题： (1)解方程： (2)计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）先化简算术平方根与绝对值，计算特殊角的三角函数值与零指数幂，再计算加减法即可得； 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：原式 ． 30.（2026·广东深圳·二模）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式    第一步         第二步         第三步 习题2：解方程： 解：        第一步         第二步             第三步                 第四步 (1)解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； (2)任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 【答案】(1)二，三； (2)见解析. 【分析】（1）根据分式的通分和平方根解题即可； （2）根据分式的通分可解答习题，根据配方法可解答习题． 【详解】（1）解：习题中第二步在合并分子时，对分子去括号时出错，应为； 习题中第三步应为； （2）解：习题1：原式 ； 习题2：∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴，． 31.（2026·广东湛江·二模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 32.（2026·广东广州·二模）如图，已知． (1)尺规作图：和关于所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，过点B作交于点E，若线段和的长是方程的两个实数根，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）以点B为圆心，为半径作弧，再以点A为圆心，为半径作弧，两弧交于点D，连接即可； （2）过点B作交于点E，可得，根据线段和的长是方程的两个实数根，则，即可求解． 【详解】（1）解：画出如解图所示； （2）解：如图，过点B作交于点E， ∵， ∵和关于所在直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∵线段和的长是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 33.（2026·广东中山·二模）【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． （2）解：， ∴， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 令， 当时，， ∴， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． 34.（2026·广东深圳·二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 (1)任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)75元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设每件售价为元，根据单件利润销售量总利润，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为； （2）解：设每件售价为元， 依题意，得， 解得：，； ∵为了尽快减少库存 ， 答：每件售价应为75元． 35.（2026·广东·二模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2)不能；理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 36.（2026·广东·二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） (1)求每轮传染中平均每个人传染了几个人? (2)按照这样的传染速度，第三轮传染后，政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 【答案】(1)12个人 (2)85个 【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染中有人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这个方舱医院设置个重症病房，则设置个普通病房，由题意：重症病房不少于普通病房的，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染， 由题意得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了12个人； （2）第三轮传染后，患病总人数为：（人）， 设这个方舱医院设置个重症病房，则设置个普通病房， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为85， 答：这个方舱医院至少设置85个重症病房． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 分式方程 考点04 1．（2026·广东·二模）解分式方程 去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程去分母，先将原方程的分母统一，找出最简公分母，给方程两边同时乘以最简公分母去掉分母，整理后对比选项得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 原方程可变形为 ， 方程两边同时乘以最简公分母， 得． 2．（2026·广东东莞·二模）将分式方程化为整式方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用分式的基本性质统一分母，再给方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程后对比选项即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，． 3．（2026·广东广州·二模）若，则________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原方程的解. 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 移项，得 合并同类项，得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 4．（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 5．（2026·广东惠州·二模）“无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活．若某外卖订单配送外卖员骑行路程为，无人机走直线路程为，无人机速度是外卖员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比外卖员早到22分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列分式方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“时间路程速度”得到两者用时，统一单位后根据时间差列方程即可． 【详解】解：设外卖员配送速度为，则无人机速度为，22分钟小时， 根据题意，得． 6．（2026·广东广州·二模）为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则优化后A生产线每小时组装块，找到“A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程． 【详解】解：优化后A生产线组装900块太阳能板所用时间为， 优化后B生产线组装600块太阳能板所用时间为， 根据题意可列方程为：． 故选：B． 7．（2026·广东肇庆·二模）自动分拣矩阵配套设备采用我国自主研发的仓储控制系统（WCS）等核心软件，可实现大件包裹快速扫码识别与精准分拣，大幅提升物流中转效率．已知1台自动分拣矩阵配套设备每小时分拣快递的数量是1名工人每小时分拣数量的4倍，1台设备分拣3000件快递比1名工人分拣这些包裹要少用3小时．设1名工人每小时能分拣x件包裹，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据工作时间总工作量工作效率，分别表示出工人和设备分拣3000件包裹的用时，再结合时间差的等量关系列方程即可． 【详解】解：设1名工人每小时能分拣x件包裹，则1台设备每小时分拣快递的数量为件. 可得1名工人分拣3000件包裹的用时为小时，1台设备分拣3000件包裹的用时为小时， ∵1台设备分拣这些包裹比1名工人少用3小时， ∴可得方程． 8．（2026·广东深圳·二模）为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 9．（2026·广东深圳·二模）在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大巴租金比中巴贵180元/辆，可得，根据7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆，即可得出分式方程． 【详解】解：∵大巴租金比中巴贵180元/辆， ∴， ∵7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆， ∴． 10.（2026·广东·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 11.（2026·广东深圳·二模）如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 12.（2026·广东深圳·二模）观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ (1)解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 【答案】(1)③，见解析 (2) 【分析】（1）理解题意，认真分析解题过程，得出出现错误的是步骤③，再按要求写出正确的化简过程，即可作答． （2）理解题意，建立方程，解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，观察解题过程，得出开始出现错误的是步骤③， 原式 ， （2）解：由（1）得原式 代入后的值为3， ， 解得：， 经检验，，，故为原方程的根． 13.（2026·广东东莞·二模）某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格． 【答案】25元 【分析】根据“用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个”列出方程，进而求解即可． 【详解】解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，由题意得： ， 解得； 经检验：是原方程的解， 答：每个A种挂件的价格为25元． 14.（2026·广东清远·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【答案】A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元 【分析】设A型号纪念品的单价为元，表示出B型号的单价后，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设A型号纪念品的单价为元，则B型号纪念品的单价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A型号纪念品的单价为元，B型号纪念品的单价为元． 15.（2026·广东东莞·二模）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】智能机器人每小时可以装载货物9吨 【分析】建立分式方程，求解后得到智能机器人每小时可以装载多少吨货物． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载货物吨，则智能机器人每小时可以装载货物吨，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨． 16.（2026·广东东莞·二模）木棉花是广东省花，早期民间应用（清代及以前）木棉花作为药食同源的植物，最早在岭南民间被广泛使用．清代何克谏的《生草药性备要》中明确记载木棉花“治痢症，祛湿热”，表明当时人们已认识到其清热利湿的功效，并开始将其用于缓解湿热引起的腹泻、痢疾等症状．某药店经营的木棉花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的木棉花全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种木棉花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【答案】(1) 全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 (2) 本次采购的最少花费为6700元 【分析】（1）利用总价、单价、数量的关系，根据两种茶的盒数差列分式方程求解； （2）先根据题目的不等关系得到自变量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出最小花费． 【详解】（1）解： 设花瓣茶每盒的价格为元，则全花茶每盒的价格为元， 根据题意得 解得 检验: 当时，， 所以是原分式方程的解 答：全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元； （2）解：设购进花瓣茶盒，总花费为元，则购进全花茶盒， 根据题意得 解得 因为是非负整数， 所以的最大值为 总花费 因为， 所以随的增大而减小 当时，取得最小值， （元） 答：本次采购的最少花费是6700元． 17.（2026·广东珠海·二模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求绿萝的单价是多少元？ (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是________盆． 【答案】(1) 绿萝的单价是10元 (2) 17 【分析】（1）设绿萝单价为元，根据两种绿植购买盆数相等列分式方程求解； （2）设吊兰数量为盆，结合绿萝与吊兰数量关系，根据总资金限额列一元一次不等式，结合盆数为正整数求出最大值． 【详解】（1） 解： 设绿萝的单价为元，则吊兰的单价为元， 由题意得 解得： 经检验， 时， ， 所以是原方程的解，符合题意， 答：绿萝的单价是10元； （2）解： 设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 由题意得 整理得 解得 是正整数 的最大值为 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 18.（2026·广东河源·二模）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可：         琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． (1)可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； (2)在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； (3)利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【答案】(1)甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间 (2)选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等；选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； (3)见解析 【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可解答； （2）根据所列方程，结合题意即可解答； （3）解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，可可同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；琪琪同学所列方程中的y表示甲队修路700米所用时间． （2）解：选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； 选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； （3）解：①选择可可的方程， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解． 答：甲队每天修路70米． ②选择琪琪的方程， 去分母得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲队每天修路70米． 19.（2026·广东东莞·二模）根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进，两种图书共1000本，且种图书不少于700本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务： (1)探求图书的标价：请运用适当方法，求出，两种图书的标价． (2)确定如何获得最大利润：书店应怎样进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) A种图书标价27元，B种图书标价18元 (2) 购进A种图书700本，B种图书300本时可获得最大利润 【分析】（1）设种图书的标价是元，则种图书的标价是元，根据“顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组求出的取值范围，求出、两种图书的售价，设获得的利润是元，得出关于的关系式，再利用一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设种图书的标价是元，则种图书的标价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴种图书的标价是元，则种图书的标价是元； （2）解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， 由题意可得：种图书的售价是（元），种图书的售价是元， 设获得的利润是元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最大， （本）， ∴购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大． 20.（2026·广东茂名·二模）2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售． 信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同． 信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完． 问题： (1)求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元． (2)设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式； (3)在进货数量符合要求的条件下，求的最大值． 【答案】(1)每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元 (2) (3)的最大值为1300元 【分析】（1）设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个，结合（1）可知每个“荔荔”玩偶的利润为5元，每个“好心茂名”徽章的利润为10元，然后列出与的函数关系式即可； （3）首先根据题意确定的取值范围，然后结合一次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元， 根据题意，可得， 解得（元），经检验，是该分式方程的解， ∴（元）， 答：每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元； （2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个， 每个“荔荔”玩偶的利润为（元）， 每个“好心茂名”徽章的利润为（元）， 总利润，化简得； （3）根据总进价费用不超过12000元，得， 解得， 又∵a为非负整数，且， ∴，且a为整数， 由， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵，且a为整数， ∴当时，w取得最大值， 将代入，得（元）， 答：w的最大值为1300元． 21.（2026·广东深圳·二模）为丰富学生课余生活，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程．已知乙校每季度开设的个性化课程数是甲校的2倍，且甲、乙两校分别完成240个课程数时，甲校比乙校多用了3个季度． (1)求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数； (2)已知甲校提供1个季度的个性化课程服务会产生2000元材料费用，乙校提供1个季度的个性化课程服务会产生3000元材料费用．现计划由甲、乙两校共同提供12个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学校承担，若总费用不超过31000元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 【答案】(1)甲校每季度开设的个性化课程40个，乙校每季度开设的个性化课程80个 (2)5个季度 【分析】（1）设甲校每季度开设的个性化课程x个，以甲校和乙校分别完成240个课程数时所用的季度差构成方程即可； （2）设甲校应提供m个季度的服务，则乙校应提供个季度的服务，表示两个学校的总费用，构造不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲校每季度开设的个性化课程x个，则乙校每季度开设的个性化课程个， 依据题意可列式， 解得， 经检验，是方程的根． 答：甲校每季度开设的个性化课程40个，乙校每季度开设的个性化课程80个． （2）解：设甲校应提供m个季度的服务，则乙校应提供个季度的服务， 依据题意可得， 解不等式得， 答：甲校至少应提供5个季度的服务． 不等式的概念与性质 考点05 1．（2026·广东江门·二模）如果，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项符合题意； B、如果，那么，故本选项不符合题意； C、如果，，那么，故本选项不符合题意； D、如果，，那么，故本选项不符合题意； 2．（2026·广东揭阳·二模）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 3．（2026·广东广州·二模）如果，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解： ， ∴，，，故选项A，B不符合题意，选项C符合题意， ， 故选项D不符合题意； 故选C. 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，解答此类题目时一定要注意，当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变． 4．（2026·广东东莞·二模）综合与探究：若正数a、b、c满足，且． (1)探究一：探究a的取值范围； 探究过程 推理依据 第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，__________． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：____________________________________ ，． ， ． ，即． 同理， 第二步 ． 根据不等式的放缩法：因为是三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和． 第三步 解得． 根据不等式的性质． 第四步 又， 根据不等式的放缩法： _____________________________________________ 第五步 ，解得． 根据不等式的性质． 第六步 ． a的取值范围是两个不等式解集的公共部分． (2)探究二：探究方程的正整数解． 若a、b、c为三个正整数，求所有满足条件的a、b、c的值． 【答案】(1)分数越小；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；因为这两个数都大于0，所以一定大于． (2)a、b、c的值为2、3、6或2、4、4或3、3、3． 【分析】（1）根据分数和不等式的性质分析即可； （2）由（1）得，则正整数a的取值为2或3．①当时，解得，再分三种情况求解；②当时，此时，．即可得解． 【详解】（1）解：第一步：思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，分数越小． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 第四步：因为这两个数都大于0，所以一定大于． （2）解：由（1）得，且正整数a、b、c满足， 正整数a的取值为2或3． ①当时，． ， ， ． 解得． ． 当时，，与题意不符，舍去． 当时，．则． 当时，．则． ②当时，． ． ， 解得． ， ，此时，则． 综上所述，a、b、c的值为2、3、6或2、4、4或3、3、3． 一元一次不等式 考点06 1．（2026·广东·二模）写出不等式的一个整数解：___________． 【答案】 4 （答案不唯一） 【详解】解： 移项得 所以不等式的整数解为所有大于的整数，任写一个即可，例如． 2.（2026·广东·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解： ， 在数轴上表示如下， ， 故选项符合题意． 3．（2026·广东·二模）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到，再由数轴可得不等式的解集为，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得 由数轴可知表示的不等式的解集为， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2026·广东广州·二模）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 解得：． 5.（2026·广东广州·二模）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为的：. 6.（2026·广东·二模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】答案见解析 【详解】试题分析：先去分母和去括号得到6-x+3>2x，然后移项后合并同类项，再把x的系数化为1即可，接着用数轴表示解集； 解：6-(x-3)>2x， 6-x+3>2x,   -x-2x>-3-6, -3x>-9， x<3. 点睛：解一元一次不等式的基本步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.在用数轴表示不等式的解集时，用实心点表示包含分界点，用空心圆表示不包含分界点. 7.（2026·广东佛山·一模）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 【答案】 小明的解答过程不正确，第一步首先出错， 错误原因：不等式两边同乘负数时，不等号方向未发生改变， 正确解答过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【分析】先根据不等式的基本性质和去括号法则，逐步检查小明的解题过程找出错误，再按照解一元一次不等式的正确步骤，求出原不等式的解集． 【详解】略 8.（24-25八年级下·广东深圳·阶段检测）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解∶去分母得∶，……第一步 去括号得∶，……第二步 移项得∶，……第三步 合并得∶，……第四步 系数化为1得：…第五步 任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集： ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式： 【答案】任务一：五，不等式两边同时除以，没有改变不等号的方向；任务二：；任务三：． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 任务一：观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出不等式正确解集即可； 任务三：写出一条建议，符合题意即可． 【详解】解：任务一： 以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是，不等式的两边同除以时，没有改变不等号的方向； 故答案为：五，不等式的两边同除以时，没有改变不等号的方向； 任务二： 不等式的正确解集为； 故答案为：； 任务三： 去分母得∶， 去括号得∶， 移项得∶， 合并得∶， 系数化为1得：． 9.（2026·广东珠海·二模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求绿萝的单价是多少元？ (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是________盆． 【答案】(1) 绿萝的单价是10元 (2) 17 【分析】（1）设绿萝单价为元，根据两种绿植购买盆数相等列分式方程求解； （2）设吊兰数量为盆，结合绿萝与吊兰数量关系，根据总资金限额列一元一次不等式，结合盆数为正整数求出最大值． 【详解】（1） 解： 设绿萝的单价为元，则吊兰的单价为元， 由题意得 解得： 经检验， 时， ， 所以是原方程的解，符合题意， 答：绿萝的单价是10元； （2）解： 设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 由题意得 整理得 解得 是正整数 的最大值为 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 10.（2026·广东广州·二模）为应对“电商”大促、提升快递分拣效率，某快递公司引入智能分拣机器人，已知一台机器人比一名人工分拣员每小时多分拣件包裹，已知一台机器人分拣件包裹所用的时间，与名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等． (1)求一台分拣机器人、一名人工分拣员每小时分别分拣多少件包裹？ (2)现“电商”期间，需要紧急分拣件包裹，已有台分拣机器人投入工作，问至少还需要安排多少名人工分拣员，才能保证在小时内完成所有包裹分拣任务？ 【答案】(1)一台分拣机器人每小时分拣件包裹，一名人工分拣员每小时分拣件包裹 (2)至少还需要安排名人工分拣员 【分析】（1）设一名人工分拣员每小时分拣件包裹，则一台机器人每小时分拣件包裹，根据一台机器人分拣件包裹所用的时间与名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等列分式方程并解方程即可得到答案． （2）设还需要安排名人工分拣员，根据需要至少在小时内完成件包裹分拣列一元一次不等式，解不等式后取的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设一名人工分拣员每小时分拣件包裹，则一台机器人每小时分拣件包裹， 根据题意可列方程：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一台分拣机器人每小时分拣件包裹，一名人工分拣员每小时分拣件包裹； （2）解：设还需要安排名人工分拣员， 根据题意可列不等式：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为， 答：至少还需要安排名人工分拣员． 11.（2026·广东广州·二模）某校开展校园义卖活动．活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价10元．请认真阅读结账时老板与张明的对话： (1)结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ (2)根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共50个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过450元．其中“喜洋洋”挂件标价每个8元，“乐融融”挂件标价每个6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 【答案】(1)张明原计划购买“广州塔”挂件17个 (2)张明最多可购买“喜洋洋”挂件35个 【分析】（1）设张明原计划购买“广州塔”挂件x个，则实际购买了个，再根据题意列方程求解即可； （2）先求出购买“广州塔”挂件的费用，设张明购买“喜洋洋”挂件y个，则购买“乐融融”挂件个，再根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设张明原计划购买“广州塔”挂件x个，则实际购买了个， 依题意得：，解得． 答：张明原计划购买“广州塔”挂件17个． （2）解：算出广州塔实际花费，实际买了个，费用：元， 设张明购买“喜洋洋”挂件y个，则购买“乐融融”挂件个， 依题意得： ，解得． ∵y的取值必须为正整数， ∴y的最大值为． 答：张明最多可购买“喜洋洋”挂件35个． 12.（2026·广东广州·二模）为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 【答案】(1) (2)白色地砖块，灰色地砖块 【分析】（1）利用反比例关系得到关于的函数表达式即可； （2）先根据正方形面积公式算出单块地砖面积，进而得到总地砖数量，再结合两种地砖的数量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，广场总面积为，故， 整理得，其中． （2）解：已知地砖是边长为的正方形，因此单块地砖面积为：， 所需地砖的总块数为：（块）， 设灰色地砖数量为块，则白色地砖数量为块， 根据题意列方程得：， ， 解得， 故白色地砖数量为：（块）， 故白色地砖用了块，灰色地砖用了块． 一元一次不等式组 考点07 1．（2026·广东广州·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解不等式组 ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，移项得 ，系数化为1得 ， 不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： 处为实心点且向右， 处为空心圈且向左，公共部分为中间线段. 观察选项，C选项符合． 2．（2026·广东深圳·二模）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，要注意大于等于、小于等于用实心点，大于、小于用空心圆． 【详解】解： 解不等式①得， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集在数轴上表示，如图： 3.（2026·广东珠海·二模）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可得：这个不等式组的解集是. 4.（2026·广东广州·二模）某不等式组的解集在数轴上表示如图，从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：从，，3，中任选一个数，有4种等可能的结果，其中，是不等式组的整数解，3，不是； ∴从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为． 5.（2026·广东中山·模拟预测）不等式组的最小整数解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求解两个不等式，找出解集的公共部分，然后确定最小整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为， 故答案为：． 6.（2026·广东·二模）小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为___________． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式(1)的解集，再根据不等式组的解集中有三个整数解得出不等式(2)的解集，从而得出不等式(2)． 【详解】解：解不等式(1)得：， ∵这个不等式组的解集中有三个整数解， ∴不等式(2)的解集可以为， ∴符合条件(2)的不等式可以为， 故答案为： (答案不唯一)． 7.（2026·广东广州·二模）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【答案】， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示见答案． 8.（2026·广东汕头·二模）在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解． 如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，，求x的取值范围 小明的分析过程如下： 第一步：由图可知，点A在点B左侧，可列不等式为①； 第二步：由图可知，点C在点B右侧，可列不等式为_________②； 第三步：解不等式①得_________，解不等式②得_________； 第四步：得出x的取值范围是_________． 请补全小明的分析过程，并将不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】，，，； 在数轴上表示如下： 【分析】先建立，再分别解出每个不等式的解集，得的取值范围是，再在数轴上表示出来该不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：点，，在数轴上的对应值分别为，，， 当点在点左侧，则； 当点在点右侧，可列不等式为， 即， 解不等式①得， 解不等式②得， 的取值范围是， 在数轴上表示如答案． 9.（2026·广东深圳·二模）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：∵ ∴解不等式①得：， ∴解不等式②得：， ∴不等式组的解集为           将不等式的解集在数轴上表示如下： 10.（2026·广东·二模）解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 11.（2026·广东·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 【答案】，不等式组整数解的和为0 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解是：，， ∴不等式组整数解的和为． 12.（2026·广东清远·二模）《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 【答案】需要积攒天到天（包含天和天），即天数为满足的正整数 【分析】先设积攒天数为未知数，根据粟米兑换糙米的比例得到糙米总量的表达式，再结合糙米总量的范围要求列出不等式组，求解后结合天数为正整数的实际条件得到结果； 【详解】设需要积攒天，为正整数， 由题意得：每斗粟米，可兑换斗糙米，兑换糙米的比例为，总粟米量为斗， 因此兑换所得糙米总量为， 根据兑换要求列不等式组：， 由得：， ， 由得：， ， 不等式组的解集为， 为正整数， ． 13.（2026·广东广州·二模）广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 14.（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 15.（2026·广东·二模）自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． (1)根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ (2)若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 【答案】(1)， (2)共有两种截取方案：方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道 【分析】（1）设按截法一的标准管道为x根，则标准管道截法二为根，结合图形可得B型管道（根）； （2）根据需要A型160根，B型管道178根，列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） （根） A型管道（根） x B型管道（根） （2）解：由题意，得， 由①得： 由②得：． ∴ ∵x取整数， ∴，40 答：共有两种截取方案： 方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道； 方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道； 【点睛】此题主要考查了不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式组求解即可． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $