1.1 有理数的有关概念-【小升初】2026年小升初数学提前学

第一章有理数 思维导图 定义 有理数的四则运算 正数和负数 具有相反意义的量 倒数 有理数及其分类 有理数 有理数的 有关概念 乘方 数轴 原点、单位长度、 正方向 赚了1000元 赔了1000元 科学记数法、 近似数 相反数 只有符号不同 的两个数 绝对值 a(a>0), lal={0(a=0) -a(a<0) 1.1有理数的有关概念 (2)0的意义不仅可以表示 知识详解大全 以表示其他意义.如0℃是一个确定的温度， 海拔0m表示海平面的平均高度. 知识1正数、负数 长注意 1.定义 1)对于正数和负数，不能简单地理 (1)正数：像+，+12,13,258这样 解为带“+”的数是正数，带“-”的数是 大于0的数(“+”通常省略不写)叫作正数. 负数，要看其值是正还是负.如+(-3) 不是正数，-（-2)也不是负数.(2)正 (2)负数：像-3，-0.1这样在正数 数前面的“+”可以写，也可以省略，而负 前加上符号“”（负号)的数叫作负数，负数 数前面的“-”不可以省略，(3)0是最 小的自然数，0既是整数，也是偶数· 小于0. 2.数0的认识 3.正负数的意义 (1)0既不是正数，也不是负数.0是正 (1)具有相反意义的量 数与负数的分界. 引入负数以后，我们可以用正数和负数表 小初数学提前学 示一些具有相反意义的量时，哪种意义为正， 注意：正数和0统称为非负数：无限不循 是可以任意选择的.当已知一个量用正数表示 环小数不是有理数.负数和0统称为非正数 时，与其具有相反意义的量就用负数表示；反 2.有理数的分类 之，亦然. (2)具有相反意义的量的表述 描述一对具有相反意义的量的词语一般是 有理数 一对反义词，如上升与下降、增加与减少、盈 正有理数← 0 负有理数 利与亏损、收入与支出等.另外还应有具体的 数量，至于哪一个为正，通常看生活中的习惯 知识3数轴及其三要素 用法或我们规定其中一个为正，与之相对的即 1.定义 为负 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的 北 直线 牛东 单位长度 向北走3m 向西走3m 向东走3m 原点将数轴（原点除外）分战两部分，其 中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴：另一 “西”和“北” “东” 若向东走3m.记为+3m: 侧的部分叫作数轴的负半轴 和“北”都不是具有相反 则向西走3m,记为3m 意义的量 经温磐提示 数轴是数形结合的基础，把数与直线上 点拨(1)相反意义的量需注意两点： 的点生动形象地联系起来.任何一个有理数 ①必须是同类量.如：节约3吨汽油 都可以用数轴上的一个点来表示· 与浪费1吨水就不是具有相反意义的量. 般地，设a是一个正数，则数轴上 ②表示的意义要完全相反，而不仅仅 表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点 是不同.如：向东和向南就不能用来描述 的距离是a个单位长度；表示数-a的点 具有相反意义的量 在数轴的负半轴上，与原，点的距离是a个 (2)通常将上升、增加、盈利、收入 单位长度.数轴上与原点的距离是a个单 等记为正的，下降、减少、亏损、支出等 位长度的点，简称为数轴上与原点的距 记为负的 离是a的点. 知识2有理数及其分类 2.数轴的画法 1.有理数的定义 (1)画一条水平（或竖直）的直线 (2)在直线上适当选取一点表示数0， 正整数、0、负整数统称为整数；正分数、 这个点叫作原点， 负分数统称为分数 (3)通常规定直线上从原点向右（或上） 整数可以写成分数的形式 为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部 可以写成分数形式的数称为有理数.其中， 分的最右（或上）端)；从圆点向左（或下) 可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写 成负分数形式的数为负有理数. 为负方向 (4)选取适当的长度为单位长度，直线 第一章 有理数 上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点， (1)如果a>0,那么lal=a; a(a>0). 依次表示1,2,3，；从原点向左，用类似 lal= 0(a=0). 方法依次表示-1，-2，-3，…，如图所示. (2)如果a=0,那么lal=0: -a(a<0). (3)如果a<0,那么lal=-a; -3-2-10123 温馨提示 4相反数 （1)绝对值是a(a>0)的数有两个，它 们互为相反数，即±a 1.相反数的概念： (2)绝对值相等的两个数相等或互为 像3和-3,2和-2这样只有符号不同 相反数.即若|al=|b1,则a=b或a+b=0. 的两个数，互为相反数 (3)绝对值等于它本身的数是正数和0. a表示一个裁-a+(-a)=0 3.绝对值的几何意义 只有符号不同 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原 0的相反数是0.一般地，a和-a互为相 点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大； 反数.这里，a表示任意一个数，可以是正数、 离原点的距离越近，绝对值越小 负数，也可以是0. 知识6有理数的大小比较 只有我的相反 1.数轴比较法 数是我本身！ 用a表示一个裁 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定： -a不一定是负裁 它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序， 加a=-5.-0-5 即左边的数小于右边的数 2.几何意义 2.直接比较法 互为相反数的两个数在数轴上对应的两 一般地， 个点位于原点的两侧且到原点的距离相等； (1)正数大于0,0大于负数，正数大于 反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等 负数； 的点所表示的两个数互为相反数 (2)两个负数，绝对值大的反而小； 3.表示方法 (3)两个正数，绝对值大的数就大. 在任意一个数前面添上“-”号，新的数 技能方 就表示原数的相反数，如-3，+2的相反数分 2 技能方法大全 别为-(-3)=3，-(+2)=-2. 4.相反数的性质 方法1多重符号的化简方法 若a,b互为相反数，则a+b=0:反之， 个正数前面有偶数个“-”号，可以把 若a+b=0,则a,b互为相反数. “-”号一起去掉；一个正数前面有奇数个“-” 知识5绝对值 号，则化简后只剩一个“-”号；0前面不论 1.绝对值的定义 有多少个“+”号或“-”号，化简后仍是0 一般地，数轴上表示数a的点与原点的 -[-（-6)]=-6 -[-（-6)]}=6 L上LJ 距离叫作数a的绝对值，记作lal 3（奇数)个“_” 4（偶数)个“_” 2.绝对值的代数意义 个正数的绝对值是它本身；一个负数 例D计算；2上c.-1 的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即 解析：因为正数1前面有2个“-”，2是偶数， 小初数学提前学 所以-(-1)=1. 个非负数都为零，即lal+bl+lcl+..+lzl=0, 答案：A 则a=b=c==z=0.上述性质在解题中会经常 方法2去绝对值符号的方法 用到 去绝对值符号是解决绝对值问题的关键， 例4已知1a-11与b+21互为相反数，求a、b 重点是确定绝对值符号内代数式的正负. 的值 例2已知有理数a,b,c在数轴上的对应点 解析：因为la-1‖与lb+21互为相反数， 分别为A,B,C,如图，化简lal+la-bl+lc-bl. 所以la-1l+b+21=0.由绝对值的非负 A B C 性可知la-11≥0，b+2≥0，只有当 a 0b c la-1l和b+2l都等于0时，它们的和才 答案：由数轴可知，a<0,a-b<0,c-b>0, 等于0，所以1a-1l=0,b+21=0,所以 所以|a+|a-b1+|c-b1 a-1=0,b+2=0,所以a=1,b=-2. =-a-(a-b)+(c-b) =-a-a+b+c-b =-2a+c. 3)知识易错大全 方法3有理数大小的比较方法 易错 1 正数、负数的概念不清 类别 特征 例1) 判断下列各数是正数还是负数： 将两有理数分别表示在数轴上，右边点 (1)+(-3)；(2)-(+2);(3)3a 数轴比较法 表示的数总比左边点表示的数大，若两 数表示同一点，则这两数相等 错解：（1)因为+(-3)的最前面是“+” 差值比较法 设a、b是任意两有理数，a-b>0曰 号，所以它是正数 a>b;a-b<0台a<b;a-b=0台a=b (2)因为-(+2)中2的前面是“+” 商值比较法 设a、6是两正有理数，分>1分a>: 号，所以它是正数 =1分a=b:分<1分a<动 a （3)因为a前面没有写“+”号也没 设a、b是两负有理数，lal>lb1台a<b: 绝对值比较法 有写“-”号，表示它是把“+”号 lal=lbl台a=b:lal<lbl台a>b 省略了的数，所以它是正数. 例3 把数-37-1，-0.5,4，-15,2,1.8，-4 错因分析：造成错误的原因是对正数、负数 的概念理解不清· 用“>”连接起来 正解：(1)因为+(-3)最前面作为表 解析：把所给的有理数表示在数轴上，如图所示」 示数的符号的“+”号可以省略， 3 、/ -1.5.-0.51.82 省略后为一3，所以它是负数. -4-3-2-1012345 (2)因为-(+2)中的“+”号也可 答案：从大到小的顺序为 以省略，省略后为一2，所以它是负数 （3)因为a是一个字母，它可以表 4>27>1.8>-0.5>-1>-1.5>-37>4 示任意数，所以a的正负不能确定. 方法4绝对值的非负性的应用方法 易错2对相反数的意义理解不清 绝对值是非负数，绝对值的这一性质表 现为两个方面：(1)lal≥0，即Ial有最小 例2 求下列各数（或式子）的相反数： 值；(2)若几个非负数的和为零，则每一 (1)-(-3);(2)a-b;(3)a+b. 第一章 有理数 错解：（1)3.(2)-a-b 正解：D由lal=lbl,可得b=±a,所以b=a (3)-a+b. 或b=-a,即b=-5或b=5. 错因分析：（1)-(-3)=3，它的相反数是-3： (2)(3)求相反数时，应把式子看作一个整体， 例4 已知lal=-a,则a的值是( 能化简的要先化简再求其相反数. A.正数B.负数C.非负数D.非正数 正解：(1)-3.（2)-(a-b)或b-a. 错解：B (3)-(a+b)或-a-b 错因分析：知道负数的绝对值等于它的相反数， 易错3对绝对值的意义理解不清 但忽略了特殊的0,0的相反数是它本身 (例3已知a=-5,lal=bl,则b的值等于( 正解：D当a>0时，lal=a;当a<0时，lal= -a;当a=0时，lal=a=-a,所以a<0 A.5 B.-5 C.0 D.±5 或a=0时，lal=-a,即a为非正数. 错解：B 错因分析：错误地认为由a=b可以推出a=b. 1.2有理数的四则运算 2.有理数加法的运算律 知识详解大全 学习兴 加法交 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和 不变 知识1有理数的加法 换律 符号语言 a+b=b+a 1.有理数加法法则 三个数相加，先把前两个数相 (1)同号两数相加，取相同的符号，且 加法结 文字语言 加，或者先把后两个数相加，和 和的绝对值等于加数的绝对值的和. 合律 不变 符号语言 (a+b)+c=a+(b+c) a+b=+(lal+lbl) a+b=-（lal+lb) 两正数取+ 两负数取 温馨提示 (2)绝对值不相等的异号两数相加， (1)利用加法交换律交换加数的位置 和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝 时，各加数连同其符号一起交换 对值等于加数的绝对值中较大者与较小者 （2)根据加法交换律和结合律，多个 的差 有理数相加，可以任意交换加数的位置，也 a+b=+（lal-lb) a+b=-(l1bl-lal)） 可以先把其中的几个数相加 〉取⊕ 取只 （3)利用加法交换律、结合律，可以 a(+).b(-) a(+).b(-) 使运算简化」 la >b la<b 取绝对值较大 的加数的特号 +)每+(+ (3)互为相反数的两个数相加得0.一个 知识2有理数的减法 数与0相加，仍得这个数. 1.有理数减法法则 a+(-a)=0 a+0=a 减去一个数，等于加这个数的相反数.有 显然，两个有理数相加，和是一个有理数. 理数的减法可以利用相反数转化为加法来进