初中数学考前抢分卡-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

初中数学春前抢分卡 常见公式及常用定理 一、数与式 ra-b,a>b 1.绝对值的性质：la-b1= 0,a=b. [b-a;a<b 2.实数的运算律 (1)加法交换律：a+b=b+a; (4)乘法结合律：(ab)c=a(bc); (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c); (5)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. (3)乘法交换律：ab=ba; 3.幂的运算(a≠0，b≠0，m,n为整数】 (1)a·a=a*; (2)am÷a”=am-n; (6a= (3)(am)"=a; (7)(-a)"=-a"或(a-b)”=-(b-a)”;(n为正 (4)(ab)"=a"b"; 奇数) (5)a°=1； (-a)"=a”或(a-b)”=(b-a).(n为正偶数) 4.整式的乘法 (1)单项式乘单项式：ma·mb=m2ab; (2)单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc; (3)多项式乘多项式：(a+b)(p+q)=ap+ag+bp+bg: 5.乘法公式 (1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2. 6.乘法公式常见变形 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab; (5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc; (2)a2+b2=(a-b)2+2ab; (3)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (6)a2+B+e-ab-ac-be=2[(a-b)2+ (4)(a-b)2=(a+b)2-4ab; (b-c)2+(a-c)2]. 7.因式分解 (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c); x+(a+b)x+ab--(x+a)(x+b) (2)公式法：a2-b2=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)十字相乘法： +(x+a) 8.分式 →(x+b) （1)分式的基本性质：合-会：=会总(B0,G04R,C都是整式)： (2)分式的运算：片·音-荒(6，d0):号÷台=号·是-(6，d40): ±c-ad±c=ad±bc(b,d≠0) 6±d=bd±6d （3)装方运算：（合”-（≠0，n为整数）。 9.二次根式的性质与运算 (1)√a≥0(a≥0)； (3)√a2=lal; (2)(√a)2=a(a≥0)； (4)a·√6=√ab(a≥0，b≥0)； 二、方程（组）与不等式（组） 1.等式的性质 (1)若a=6,则a±c=6±c;(2②)若a=b,则ac=k,是=（c0). 2.不等式的性质 (1)若a>b,则a±c>b±c;(2)若a>b,c>0,则ac>bc(g>);(3)若a>b,c<0,则ac<bc(g<名). 3.一元二次方程（一般式：ax2+bx+c=0,a≠0） (1)求根公式：x=-b±=4匹（公-4c≥0）： 2a (2)根的判别式： ①b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实数根；③b2-4ac<0曰一元二次方程没有实数根； ②b2-4ac=0一一元二次方程有两个相等的实数根； ④b2-4ac≥0台一元二次方程有两个实数根. (3)根与系数的关系：1，x是一元二次方程am2+bx+c=0的两个根，+名，=- a书=S (4)常见等式： ①x+x=(x1+x2)2-2x1x2; ②1+1=出+西2 ④lx1-x21=√(x1+x2)2-4x1x2; 尤1x2x12 ⑤(1x11+1x21)2=(x1+x2)2-2x1x2+21x1x21. ③(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; 4.实际应用常见基本关系式 （1)行程问题：①基本关系式：时间=路程÷速度； ②相遇问题（同时相向出发）： ③追及问题（同时同向出发）： C 争一相逼处一艺 B A ◆B 甲+ 乙→相遇处 t甲=tz;（v甲+vz)t=SAB t甲=tz;(甲-vz)t=SAC ④水中航行：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度. (2)工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（未明确工作总量时，工作总量为1）； (3)利润问题：单个利润=售价-进价；总利润=销量×（每个售价-每个进价）. 三、函数 1.两点间的距离公式 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,y1),.AC=|x1-x21,BC=ly1-y21,.AB=√(x1-x2)2+(y1-y2)2. 2.中点坐标公式 A(),B(M色士，生到 3.一次函数（平面直角坐标系有2条直线，解析式为y1=1x+b1,y2=k2x+b2） (1)k,=k2台两直线平行； (2)k1·k2=-1曰两直线垂直； (3)直线系数k值与直线与x轴夹角的关系 ①已知直线上两点(k,),(2,若直线与x轴的夹角为a,则aa=11=- 1y2-y1 ②特别地，当a=45°，k=±1；w=30°，k=±3：0 3;a=60°，k=±3. 4.二次函数 (1)一搬式=am+c+4(a0),其对应的顶点堡标是个-名“4。对称轴为直线=六 6 (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其对应的顶点坐标是(h,k),对称轴为直线x=h; (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1,x2是二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标，其对应 的对称轴为直线x=十2 2 (4)对称点式：y=a(x-x1)(x-x2)+k,其中二次函数图象过(x1,k),(x2,)两点. 2 5.反比例函数k的几何意义及常见图形 Y 1%l S阴影= 2 四、三角形 1.直角三角形的相关结论 (1)勾股定理：AC2+BC2=AB2; (2)若∠A=30,则BC=24B, (3)若D是AB的中点，则CD=2AB, 2.锐角三角函数 30° 45° 60° 图示 2 3 3+1 sin 2 2 15 45 3 2 -175 22 cos 45° 2 303 2 2 2 60° 2 3 1 √3 30°4 60 tan 3 3.中线定理 4.垂线定理 5.角平分线定理 6.中位线定理 AD为BC边上的中线 AD为BC边上的高 AD为∠BAC的平分线 DE为△ABC的中位线 D B D B D 结论：DE∥BC, 结论：AB2+AC2= 结论：AB2-BD2= AB AC 2(AD2+BD2) AC2 CD2 结论：BDCD 0E=4c 五、四边形 1.正n边形(n≥3) (1)正n边形的每个内角度数：n-2)×180° n (2)正n边形的每个外角度数：360° n 2.四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 角：有三个角是直角 矩形 边：一组邻边相等 角：有一个角 对角线：互相垂直 边：两组对边分别平行 是直角 两组对边分别相等 对角线：相等 一组对边平行且相等 平行 四边形 四边形 边：一组邻 正方形 角：两组对角分别相等 对角线：互相平分 边相等 对角线： 对角线：相等 互相垂直 菱形 边：四条边相等 角：有一个角是直角 3 3.中点四边形的形状 (1)任意四边形的中点四边形是平行四边形； (4)菱形的中点四边形是矩形； (2)平行四边形的中点四边形是平行四边形； (5)正方形的中点四边形是正方形. (3)矩形的中点四边形是菱形； 总结 (1)若四边形的对角线互相垂直，则它的中点四边形是矩形； (2)若四边形的对角线相等，则它的中点四边形是菱形； (3)若四边形的对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形 六、圆 1.弧长计算公式：l=π迟 180 (R为半径，n为扇形的圆心角度数). 2.扇形的面积：S= 2IR=nuR =360(1为弧长，R为半径，n为扇形的圆心角度数. 3.圆柱的侧面积：S=2πrh(r为底面圆半径，h为圆柱的高)， 4.圆锥的侧面积：S=π(r为底面圆半径，l为母线长即为展开图中扇形半径)， 七、统计与概率 1平均数：元=+2+%+…+x n 2.加权平均数：花=++…+f花。 f+i+…+fn 3.方差：S2-1[(x-)2+(x,-)2++(x。-)2] 4.概率计算：公式法：P(A)=m,其中n为所有事件总数，m为事件A发生的总次数. n 5.几何概型：P(A)= 构成事件A的区域长度（面积） 全部结果所构成的区域长度（面积） 常见几何模型 1.“手拉手”模型 (1)全等三角形 △AOB和△COD均是等腰三角 △AOB和△COD均是等腰直角三△AOB和△COD均是 条件 形，OA=OB,OC=OD,∠A0B= 角形，OA=OB,OC=OD,连接等边三角形，连接AC, ∠COD,连接AC,BD AC.BD BD交于点E,连接OE 变化 将△COD绕点O旋转一定角度后，连接AC,BD(称为“拉手线”，左手拉左手，右手拉右手) 模型展示 B △AOC≌△BOD; 结论 △AOC≌△BOD; △AOC≌△BOD; ∠AEB=60°： AC=BD AC⊥BD EO平分∠AED (2)相似三角形 条件 在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,将△ADE绕，点A旋转 模型展示 结论 △ADE∽△ABC,△ADB∽△AEC,△ABG∽△FCG 2.最短路程-“将军饮马”模型 (1)线段和最小问题 问题描述 在直线I上找一点P,使得PA+PB最小 类型 异侧求线段和最小 同侧求线段和最小 作点B关于直 A 线的对称点 A 模型展示 连接AB交 B B',连接AB 直线I于点P ·B 与直线交 于点P 作法 直接连两定点 先作其中一点的对称点，再连线 解题思路 线段和最小，异侧直接连，同侧找对称 (2)线段差最大问题 问题描述 在直线l上找一点P,使得IPA-PBI最大 类型 同侧求线段差最大 异侧求线段差最大 作点B关于直 A 。A B 连接AB A 线的对称点 B 模型展示 并延长， B,连接AB 与直线 并延长， B 与直线 交于点P 于点P 作法 直接连两定点 先作其中一点的对称点，再连线 解题思路 线段差最大，同侧直接连，异侧找对称 天于条件的联想 1.弦长垂径定理，勾股定理 2.中点→中线，中位线，等腰，斜中线，倍长。 3.角平分线→角边距离，三线合一等. 4.矩形、正方形对角线上的点→往角两边作垂线构造相似或全等. 5.一线三等角（可能只出现2个等角）→构造全等、相似. 6.求面积→能切割用切割，不能切割去作高；特殊角度出现，可能做高更好 7.相切问题→直线与圆有交点，则连半径，证垂直；若不知是否有交点，则作垂直，证半径. 8.动点特殊四边形问题→抓住各类四边形专有特点是关键. 9.解的可能个数（分类讨论）→关注关键字词(“射线”“延长线”“直线”)，(“等腰”“等边”“翻折”“旋转”)等 10.临界状态的考虑→是自变量的关键 11.动点定值问题→可取特殊位置法. 常春拓展定理 1.射影定理 2.三角形面积求法 ∠ACB=90°，CD⊥AB, A(xy) h B(x2,y2) D 结论：①CD2=AD·BD; 0--a ②AC2=AD·AB; 结论：①S0s=2×ah=2水平宽·铅垂高 1 ③BC2=BD·AB ②5。=之1-（仪用于三角形-个顶点为原点） 5 3.黄金三角形 (1)顶角为36°的等腰三角形 (2)顶角为108的等腰三角形 A B 结论：①AD=BD=BC;②△BCD~△ABC; 结论：AB=5,-'BC 2 ③Bc=5,-14C 2 4.垂美四边形 (1)对角线互相垂直的四边形(AC⊥BD); (2)P是矩形ABCD内任意一点 结论：AB2+CD2=AD2+BC 结论：PA2+PC2=PB2+PD2 5.相交弦定理 6.切割线定理 弦AB与弦CD交于点P PQ切⊙0于Q,割线PB,PD交⊙0于A,C D ·0 B 0 结论：PA·PB=PC·PD 结论：PQ=PA·PB=PC·PD 7.托勒密定理 8.梅涅劳斯定理 四边形ABCD为圆内接四边形 一条直线与△ABC三边或其延长线交于R,P,Q 结论：AC·BD=AB·CD+AD·BC 结论6·肥·6贸1 三角函数公式（高中） sin Asin Bsin C=2R(R为外接圆半径). 1.正弦定理：a C 2余弦定理：cosA=6+c2-a2 2bc ,cos B=+e2-62 2ac ,cosC=02+b2-c2 2ab 3.二倍角公式：(1)sin2A=2 2sin Acos A;(2)cos2A=1-2sin2A;(3)an2A=,2amA 1-tan2 A" 4.和差角公式 (1)sin(A±B)=sin Acos B±cos Asin B; (2)cos(A +B)=cos Acos B-sin Asin B; (3)tan(A+B)=(1-tan Atan B) tan A tan B tan(A-B）=(d+tan Atan B） tan A-tan B cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B; 6