第03讲 特殊二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像与性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

对称轴： 顶点坐标： a>0:开0」 开口方向 a<0:开0」 图像与性质 |a越大，抛物线开口越 a>0:x<h时，y随x增大而_；x>h时，y随x增大而； 增减性 a<0:x<h时，y随x增大而；x>h时，y随增大而。 二次函数y=a(x-h)2 的图像与性质 a>0:x=h时，y最小值=一 最值 a<0:x=h时，y最大值= -h>0:图像向平移h个单位长度，得到y=a(x一h)2; y=ac2(a卡0)的图像平移h<0:图像向平移h个单位长度，得到y=a(x-h)2; 平移后抛物线开口大小、开口方向不变，仅对称轴和顶点发生水平移动 对称轴：直线c三h 二次函数顶点式图像与性质 h>0,k>0一第象限； h<0,k>0一第象限； 顶点坐标：（亿，） h<0,k<0→第象限； h>0,k<0一第象限 图像与性质 开0方向一a>0:开0向；-a<0:开0向。 a>0:对称轴左侧x<h,y随c增大而；对称轴右侧x>h,y随 x增大而； 增减性 a<0:对称轴左侧x<h,y随c增大而_；对称轴右侧x>h,y随 二次函数y=a(c-h)2十k x增大而一。 的图像与性质 最值-a>0:x=h时，y最小值=；一a<0:x=h时，y最大值=k。 以y=αx2为起点有两条等效平移路径： 先水平平移： 平移关系 )=ar2左/右平移个单包y=a(e一2上/下平移1个单包)=a(红-h)2十k 先竖直平移： y=ax2 上/下平移k个单位、 二→y=ax2十k左/右平移h个单位 y=a(x-h)2+k 第03讲 特殊二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的 图像与性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数y=a(x-h)2的图像 题型2 二次函数y=a(x-h)2的性质 题型3 二次函数y=a(x-h)2的平移 题型4 二次函数y=a(x-h)2的几何应用 题型5 二次函数y=a(x-h)²+k的图像 题型6 二次函数y=a(x-h)²+k的性质 题型7 二次函数y=a(x-h)²+k的平移 题型8 二次函数y=a(x-h)²+k的旋转对称问题 题型9 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质的应用 题型10 二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题 题型11 二次函数y=a(x-h)²+k的几何问题 题型12 二次函数y=a(x-h)²+k的新定义问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线、描点法、顶点式 、顶点式 、开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、左右平移、上下平移、左加右减、上加下减、图像平移、待定系数法、图像共存、几何综合、区间最值、图像旋转对称、新定义函数 1. 掌握描点法画出 、 的图像，识别抛物线基本特征。 2. 熟练掌握两类顶点式抛物线的开口、对称轴、顶点、增减变化、最值，理解参数a、h、k 的几何含义。 3. 掌握抛物线平移规律：左加右减（自变量）、上加下减（常数），能根据平移写解析式，也可由解析式反推平移路径。 4. 会运用顶点式解决基础题型：判断点是否在抛物线上、比较函数值、图像共存判断、坐标系几何图形结合计算。 5. 掌握给定自变量区间求最值方法，能处理图像旋转、对称类变换题型。 6. 结合数形结合思想，解决含参数、新定义创新类二次函数题型。 学习重点： 1. 、 的全套图像性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）。 2. 参数 决定开口方向与宽窄， 控制左右平移， 控制上下平移。 3. 平移口诀“左加右减，上加下减”的理解与直接运用。 4. 基础题型：图像绘制、点坐标验证、函数值大小比较、简单几何面积计算。 5. 顶点式待定系数法求解析式（已知顶点/对称轴条件）。 学习难点： 1. 混淆左右平移规律，易错点：只对单独加减，不能整体外加减常数。 2. 已知顶点、平移终点反向推导原抛物线解析式。 3. 限定自变量取值范围求最值（顶点不在区间两端时，最值在区间端点）。 4. 抛物线与正方形、三角形结合的几何综合计算。 5. 二次函数与一次函数同图像辨析、图像旋转/对称变换。 6. 新定义类创新题型，结合图像性质综合分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数y=a(x-h)2的图像与性质 1.二次函数的图象和性质 图象 对称轴 _____________（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 _____________ 增减性 当时，随的增大而______； 当时，随的增大而______. 当时，随的增大而______； 当时，随的增大而______. 最大（小）值 当时， 当时， 2.二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 知识点二 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 1.二次函的图象和性质 函数 图象 （抛物线） 顶点坐标 ______ 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第______象限;当,时,顶点在第______象限; 当,时,顶点在第______象限;当,时,顶点在第______象限 开口方向 向______ 向______ 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而______;在对称轴右侧，即当时，随的增大而______ 在对称轴左侧,即当时，随的增大而______;在对称轴右侧,即当时，随的增大而______ 最值 当时， 当时， 2.二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: （1）的取值要以顶点的横坐标为中间值，左右对称各选取几个适当间距的自变量的值，并求出相应的函数值,最后描点、连线. （2）因为从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式. （3）二次函数的图象平移规律：函数图象的平移,形状大小均不变;左右平移在括号，上下平移在末梢;左加右减须牢记，上加下减错不了. 已知函数． (1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________． (2)当x____________时，y随x的增大而减小． (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线 题型1 二次函数y=a(x-h)2的图像 【例1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．            【例2】已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型2 二次函数y=a(x-h)2的性质 【例3】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【例4】已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．图像不经过第一象限 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 【变式2-3】在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【变式2-4】在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 【变式2-5】如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【变式2-6】[易错题]已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【变式2-7】如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 题型3 二次函数y=a(x-h)2的平移 【例5】函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【变式3-2】平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（    ） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 【变式3-3】抛物线的图象相当于把抛物线的图象____（h＞0）或____（h＜0）平移_____个单位． 【变式3-4】已知抛物线向左平移3个单位后再沿x轴翻折得到抛物线，则________，________． 题型4 二次函数y=a(x-h)2的几何应用 【例6】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【变式4-1】如图，抛物线的顶点为A，与轴的负半轴交于点B，且＝． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求最大时，点C的坐标． 【变式4-2】如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． (1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； (2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 【变式4-3】如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 题型5 二次函数y=a(x-h)²+k的图像 【例7】二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【例8】如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【变式5-1】二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点，下列说法错误的是（    ）    A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．图象的对称轴为直线 D． 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 题型6 二次函数y=a(x-h)²+k的性质 【例9】指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【例10】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 【变式6-2】宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【变式6-3】已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-4】抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式6-5】抛物线在对称轴右侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”） 题型7 二次函数y=a(x-h)²+k的平移 【例11】将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【变式7-2】若要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【变式7-3】点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-4】若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第_______象限． 题型8 二次函数y=a(x-h)²+k的旋转对称问题 【例12】将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知抛物线与抛物线关于轴对称，那么的值是_______． 【变式8-2】将抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式是__________； 【变式8-3】将函数的图象绕着原点旋转，得到的新图象的函数表达式为_________． 【变式8-4】已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 题型9 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质的应用 【例13】已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【变式9-1】如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交两条抛物线于点，，则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移个单位得到； ③随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是______．（填序号） 题型10 二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题 【例14】二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式10-1】已知二次函数，当时，的最小值是______． 【变式10-2】点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（） A．点一定在二次函数图象上 B． C．当最小时，的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则 题型11 二次函数y=a(x-h)²+k的几何问题 【例15】已知抛物线，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，C与相交于点Q，若，则m等于（    ） A． B． C．﹣2或 D．﹣4或 【变式11-1】已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于________． 【变式11-2】如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 题型12 二次函数y=a(x-h)²+k的新定义问题 【例16】如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为______． 【变式12-1】对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为_____________． 【变式12-2】我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为______． 【变式12-3】对于实数，我们可以用表示两数中较小的数，例如， ， 类似地，若函数都是的函数，则表示函数和的“取小函数”． (1)设，则函数的图像应该是______中的实线部分．    (2)函数的图像关于______对称． 1．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 4．抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 7．已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 8．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 9．已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 _______． 10．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 特殊二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的 图像与性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数y=a(x-h)2的图像 题型2 二次函数y=a(x-h)2的性质 题型3 二次函数y=a(x-h)2的平移 题型4 二次函数y=a(x-h)2的几何应用 题型5 二次函数y=a(x-h)²+k的图像 题型6 二次函数y=a(x-h)²+k的性质 题型7 二次函数y=a(x-h)²+k的平移 题型8 二次函数y=a(x-h)²+k的旋转对称问题 题型9 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质的应用 题型10 二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题 题型11 二次函数y=a(x-h)²+k的几何问题 题型12 二次函数y=a(x-h)²+k的新定义问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线、描点法、顶点式 、顶点式 、开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标、增减性、最值、左右平移、上下平移、左加右减、上加下减、图像平移、待定系数法、图像共存、几何综合、区间最值、图像旋转对称、新定义函数 1. 掌握描点法画出 、 的图像，识别抛物线基本特征。 2. 熟练掌握两类顶点式抛物线的开口、对称轴、顶点、增减变化、最值，理解参数a、h、k 的几何含义。 3. 掌握抛物线平移规律：左加右减（自变量）、上加下减（常数），能根据平移写解析式，也可由解析式反推平移路径。 4. 会运用顶点式解决基础题型：判断点是否在抛物线上、比较函数值、图像共存判断、坐标系几何图形结合计算。 5. 掌握给定自变量区间求最值方法，能处理图像旋转、对称类变换题型。 6. 结合数形结合思想，解决含参数、新定义创新类二次函数题型。 学习重点： 1. 、 的全套图像性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）。 2. 参数 决定开口方向与宽窄， 控制左右平移， 控制上下平移。 3. 平移口诀“左加右减，上加下减”的理解与直接运用。 4. 基础题型：图像绘制、点坐标验证、函数值大小比较、简单几何面积计算。 5. 顶点式待定系数法求解析式（已知顶点/对称轴条件）。 学习难点： 1. 混淆左右平移规律，易错点：只对单独加减，不能整体外加减常数。 2. 已知顶点、平移终点反向推导原抛物线解析式。 3. 限定自变量取值范围求最值（顶点不在区间两端时，最值在区间端点）。 4. 抛物线与正方形、三角形结合的几何综合计算。 5. 二次函数与一次函数同图像辨析、图像旋转/对称变换。 6. 新定义类创新题型，结合图像性质综合分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数y=a(x-h)2的图像与性质 1.二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2.二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】见解析 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格. 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键 知识点二 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 1.二次函的图象和性质 函数 图象 （抛物线） 顶点坐标 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小 最值 当时， 当时， 2.二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: （1）的取值要以顶点的横坐标为中间值，左右对称各选取几个适当间距的自变量的值，并求出相应的函数值,最后描点、连线. （2）因为从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式. （3）二次函数的图象平移规律：函数图象的平移,形状大小均不变;左右平移在括号，上下平移在末梢;左加右减须牢记，上加下减错不了. 已知函数． (1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________． (2)当x____________时，y随x的增大而减小． (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线 【答案】(1)向下，直线 (2) (3)把抛物线向右平移4个已知函数． 题型1 二次函数y=a(x-h)2的图像 【例1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握描点法画图． 先列表分别得到两个函数图像上的一些点的坐标，然后描点画出函数图像即可． 【详解】先列表：            描点、连线，画出这两个函数的图象： 【例2】已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【变式1-1】抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标． 题型2 二次函数y=a(x-h)2的性质 【例3】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 【例4】已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 【变式2-1】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【变式2-2】关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．图像不经过第一象限 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据第一象限的特点进行判断即可，由抛物线的性质可判断对称轴右侧图象的变化情况，根据顶点式即可得到顶点坐标，由此即可得答案． 【详解】解：A、∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，即， ∵第一象限的横纵坐标都为正， ∴该抛物线不经过第一象限，故该选项正确，不符合题意； C、∵抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧的部分是下降的，故该选项正确，不符合题意； D、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，故该选项错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下． 【变式2-3】在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 【变式2-4】在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 【答案】② 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确． 【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交； 对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误； 结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确； 结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误； 结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误； 故答案为：②． 【变式2-5】如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【变式2-6】[易错题]已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 【变式2-7】如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 题型3 二次函数y=a(x-h)2的平移 【例5】函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减”的平移法则． 根据二次函数图象“右移减”的平移规律，将中替换为，得到平移后的解析式． 【详解】解：原函数为，向右平移2个单位， 新函数为． 故选C 【变式3-1】将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 【变式3-2】平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（    ） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 【答案】A 【分析】根据平移前后抛物线的顶点坐标来作答即可．由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标为，平移抛物线后的顶点坐标为， ∴将点向左平移一个单位后得到点， ∴平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是向左1个单位． 故选：A． 【变式3-3】抛物线的图象相当于把抛物线的图象____（h＞0）或____（h＜0）平移_____个单位． 【答案】 向右 向左 |h| 【解析】略 【变式3-4】已知抛物线向左平移3个单位后再沿x轴翻折得到抛物线，则________，________． 【答案】 2 4 【分析】本题考查二次函数平移性质，熟练掌握二次函数的平移的知识点是解决本题的关键． 通过逆向分析抛物线的平移和翻折变换，根据变换后抛物线的解析式，比较系数求参数． 【详解】解：原抛物线 的顶点为 ，向左平移3个单位后，顶点变为 ， 解析式为 ， 再沿轴翻折后，抛物线关于轴对称，解析式为 ， 给定翻折后的抛物线为 ，其顶点为 ， 比较解析式，得 和 ， 解得 ，． 故答案为： ． 题型4 二次函数y=a(x-h)2的几何应用 【例6】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【答案】1 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图像上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 【变式4-1】如图，抛物线的顶点为A，与轴的负半轴交于点B，且＝． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求最大时，点C的坐标． 【答案】（1）y＝−（x＋1）2；（2） 【分析】（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据S△AOB＝确定出a的值，即可确定出解析式； （2）过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设C（x，−（x＋1）2），则D（x，−x−1），根据S△ABC＝S△ACD＋S△BCD表示出△ABC的面积，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：（1）由题意得：A（−1，0），B（0，a）， ∴OA＝1，OB＝−a， ∵S△AOB＝， ∴×1×（−a）＝， 解得：a＝−1， ∴抛物线的解析式为y＝−（x＋1）2； （2）∵A（−1，0），B（0，−1）， ∴直线AB为y＝−x−1， 过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D， 设C（x，−（x＋1）2），则D（x，−x−1）， ∴CD＝−（x＋1）2＋x＋1， ∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝[−（x＋1）2＋x＋1]×1， ∴S△ABC＝−（x＋）2＋， ∵−＜0， ∴△ABC面积的最大值是． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，表示出C、D的坐标是解本题的关键． 【变式4-2】如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． (1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； (2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 【答案】(1)见解析 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，常量与变量，二次函数的性质等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）答案不唯一比如线段，线段，线段； （2）根据特殊三角形两边之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：变量有线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，的面积，的面积，的面积，的面积，的度数，的度数，的度数，的度数． （2）解：答案不唯一，例如选取线段的长与的面积两个变量． 设线段的长为x，的面积为y，则自变量x的取值范围为， 在中，的长度为，斜边的长度为， 根据勾股定理可得． 所以面积函数的表达式为， 由二次函数的性质可知变化规律为：面积y随线段x的增大而减小． 【变式4-3】如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 题型5 二次函数y=a(x-h)²+k的图像 【例7】二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：由条件可知，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 【例8】如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限， ∴m＞0，n＜0， 则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式5-1】二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 【变式5-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点，下列说法错误的是（    ）    A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．图象的对称轴为直线 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：A．图像与x轴交于、B，关于对称，所以，说法正确，但不符合题意； B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，但符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，说法正确，但不符合题意； D．根据函数图象可知，函数图象与y轴交于正半轴，即当时，， ∴，说法正确，但不符合题意． 故选：B． 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标，轴对称方程，结合抛物线的开口方向，再逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，轴对称为直线， ∵抛物线开口向上，则，抛物线对称轴位于y轴右侧， 则， ∵顶点在第四象限， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟记抛物线的顶点式的特点及图象性质是解本题的关键． 题型6 二次函数y=a(x-h)²+k的性质 【例9】指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键． 【例10】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故①正确，②③错误， ∴当时，随的增大而减小，故④正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 【变式6-1】已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，关键是利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，且， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 【变式6-3】已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 【变式6-4】抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式方程，可以直接确定其对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 【变式6-5】抛物线在对称轴右侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”） 【答案】下降 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键． 根据，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 对称轴右侧的部分呈下降趋势． 故答案为：下降． 题型7 二次函数y=a(x-h)²+k的平移 【例11】将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 【变式7-1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 【变式7-2】若要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线平移的规律：根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，分析目标函数相对于原函数的变换. 【详解】解：∵ 可由 先向右平移2个单位长度得到 （右减），再向上平移3个单位长度得到 （上加）； ∴ 平移方式为先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度. 故选：C. 【变式7-3】点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定了，先求出或，再根据平移规律得出的坐标为或，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点在抛物线上， ， 解得：或， 或， 将抛物线进行平移得抛物线， 平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 的对应点为的坐标为或， 点移动的最短路程为， 故选：C． 【变式7-4】若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第_______象限． 【答案】三与四 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到二次函数的顶点坐标为，根据平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限． 【详解】解：二次函数不经过第三象限， 抛物线顶点坐标为，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上， 平移后新抛物线的顶点坐标在轴上， 新抛物线不可能经过第三、四象限， 故答案为：三与四． 题型8 二次函数y=a(x-h)²+k的旋转对称问题 【例12】将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标． 先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的，顶点是， ∴将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线的，顶点是， ∴旋转后的抛物线解析式为． 故选：C． 【变式8-1】已知抛物线与抛物线关于轴对称，那么的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握两条抛物线关于x轴对称，则对应点的纵坐标互为相反数是解题的关键．根据两条抛物线关于x轴对称，则对应点的纵坐标互为相反数，因此二次项系数互为相反数，即可得解． 【详解】解：抛物线与抛物线关于轴对称， 对于任意，有， ． 故答案为：． 【变式8-2】将抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式是__________； 【答案】 【分析】由关于原点对称的点的特点是：横、纵坐标都变为相反数，可直接得出答案． 【详解】解：∵抛物线的图象上的点关于原点对称后横、纵坐标都变为相反数， ∴得到的抛物线的解析式是， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于原点对称的点的坐标特征． 【变式8-3】将函数的图象绕着原点旋转，得到的新图象的函数表达式为_________． 【答案】 【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标和开口方向都发生变化，确定顶点坐标即可得出所求的结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为, 图象绕着顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标变为，开口方向相反，即， 则旋转后的二次函数解析式是：． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小不变，方向和顶点坐标都发生变化． 【变式8-4】已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，顶点坐标为， ∵绕它的原点旋转得抛物线， ∴开口向下，顶点坐标为， ∴. 故答案为：． 题型9 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质的应用 【例13】已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于，即可判断Ⅱ，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过、两点，， ∴对称轴在到之间，故结论Ⅰ不正确； ∵图象经过、两点，，对称轴为直线， ∴点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， ∴点满足条件的点有两个，故结论Ⅱ正确； 故选：． 【变式9-1】如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交两条抛物线于点，，则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移个单位得到； ③随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由即可判断①；求出的顶点坐标即可判断②；求出，根据一次函数的性质即可判断③；设与交于点，分别求出点的坐标，根据正方形的判定定理即可判断④． 【详解】解：∵， ∴无论取何值，总是负数，故①正确； 由得到抛物线的顶点坐标为，由可得抛物线的顶点坐标为， ∴可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到，故②正确； ∵， 又∵， ∴的值随着的增大而减小，故③错误； 设与交于点， ∵当 时，， 解得或， ∴点， 当时，， 解得或， ∴点， ∴， 当时，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，故④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数的平移一次函数的性质，正方形的判定，解题的关键是综合运用以上知识． 题型10 二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题 【例14】二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 【变式10-1】已知二次函数，当时，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键是根据图像的性质判断取值．根据二次函数顶点式图像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小．据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ， 函数图像开口向下， 离对称轴越远，取值越小， ， 当时，取最小值，最小值为． 故答案为：． 【变式10-2】点是二次函数图象的顶点，轴，且交一次函数的图象于点，点在轴上，下列结论错误的是（） A．点一定在二次函数图象上 B． C．当最小时，的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】二次函数， 当时，， 点一定在二次函数图象上，故选项A正确； 二次函数， 该函数的顶点坐标为， 点的坐标为， 点在上，轴， 点N的坐标为， ， 故选项B正确； 当最小时，，此时 点的坐标为，点的坐标为， 点在轴上，点M，N在y轴的左侧， 关于y轴对称点为 ，则直线与y轴的交点即为点P，此时的值最小， ， 的最小值是，选项C错误； 二次函数， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，， 该函数图象与轴交于点， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 将代入，得，解得：， 将代入，得，解得：， 两函数图象在第四象限有交点， ， 故选项D正确； 故选：C． 题型11 二次函数y=a(x-h)²+k的几何问题 【例15】已知抛物线，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，C与相交于点Q，若，则m等于（    ） A． B． C．﹣2或 D．﹣4或 【答案】A 【分析】先表示出平移后的函数为，得到，，求出Q点的横坐标为：，代入求得，再根据等腰直角三角形的性质得到，解出m即可求解. 【详解】抛物线沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到 ∴，， ∴Q点的横坐标为：， 代入求得， 若，则是等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， 解得， 故选A． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何，解题的关键是熟知二次函数的性质及直角三角形的性质. 【变式11-1】已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于________． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标为：，的纵坐标为：，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴，，， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 【变式11-2】如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：函数的图像如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 题型12 二次函数y=a(x-h)²+k的新定义问题 【例16】如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，关于原点对称的点的特征，先得出的顶点坐标为，再结合关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴这个二次函数的顶点坐标为， 则关于原点对称的点为 ∴二次函数的梦函数解析式为， 故答案为： 【变式12-1】对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为_____________． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质．先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 【详解】解：由得， 设，则， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：2． 【变式12-2】我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为______． 【答案】或 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解． 【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线 两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度， 的顶点为或，且 ∴该抛物线的解析式为或． 故答案为：或 【变式12-3】对于实数，我们可以用表示两数中较小的数，例如， ， 类似地，若函数都是的函数，则表示函数和的“取小函数”． (1)设，则函数的图像应该是______中的实线部分．    (2)函数的图像关于______对称． 【答案】(1)B (2)直线 【分析】（1）依据函数解析式，可得当时，；当时，；当时， ，当时， ，进而得到函数的图象； （2）令，则，进而得到函数的图象的对称轴． 【详解】（1）解：当时，当时，，当0<x<1时， ，当时，，当时， ∴函数的图象应该是    故选：B； （2）解：令，则， 故函数的图象的对称轴为：直线． 故答案为：直线． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数和一次函数以及二次函数图象与性质的综合应用，新定义问题，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键． 1．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 2．若点三点在抛物线的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数抛物线y=a（x+1）2（a＞0）的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数y=a（x+1）2中a＞0， ∴开口向上，对称轴为x=-1， ∵-3＜-2＜-1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 4．抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 5．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 7．已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 8．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的开口方向确定的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 9．已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据解析式得出对称轴为直线，进而根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当分别取，时，函数值相等，则， 时， 函数值． 故答案为：． 10．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $