专题05 确定二次函数的表达式（讲义）九年级数学上册沪教版

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题05 确定二次函数的表达式 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 已知三点求表达式 题型2 已知顶点求表达式 题型3 隐蔽顶点条件（对称轴、最值） 题型4平移、对称后的表达式的确定 题型5 综合提高题 · 掌握二次函数一般式、顶点式、二种表达式形式，理解各参数几何意义。 · 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 · 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 知识点讲解 1. 二次函数的两种表达式 （1）一般式 （2）顶点式 2.待定系数法四步：设→代→解→写 题型归纳 题型1 已知三点求表达式 【例1】已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【例2】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【方法点睛】设一般式求二次函数表达式的一般步骤： 1. 设表达式； 2. 代入已知点的坐标，列出关于a,b,c的三元一次方程组； 3. 解方程组求出a,b,c; 4. 写出表达式。 【变式练习】 1．已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 2．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 题型2 已知顶点求表达式 【例1】如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； 【例2】已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 【变式练习】 1. 抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 2．已知二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 3．已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； 题型3 隐蔽顶点条件 【例1】已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【例2】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【例3】已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【方法点睛】 三道例题中都已知了抛物线的对称轴，但例1是用的顶点式解题； 例2是利用对称轴找到另一个已知点的坐标，用一般式解题，例2也可以设y=(x-1)2+k用顶点式解题； 例3 是利用对称轴方程列式解题，例3也可以设顶点式解题，还可以利用对称轴找到另一个已知点，用一般式解题。 【变式练习】 1. 抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x取何值时，函数有最大（或最小）值？ 2．已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 3. 已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，且有．顶点为D点． (1)求A、B点坐标，并根据图像直接写出当时x的取值范围． (2)求这个抛物线解析式． (3)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 题型4 平移、对称后求新抛物线的表达式 【例1】已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标： (2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【例2】已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【例3】已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【变式练习】 1．把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 2．已知二次函数的顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A、B两点的坐标； (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 3．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点． (1)抛物线的顶点坐标为______； 直线的解析式为______，直线的解析式为______； (2)将拋物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象记作，若直线与图象始终有个交点，请直接写出的取值范围． 4．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 题型5 综合提高题型 【例1】根据题意，求解二次函数的解析式． (1)求过点，，的抛物线的解析式． (2)已知二次函数的顶点坐标为，并且图像与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式． 【例2】如图，已知二次函数图象的顶点为，与轴的交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)求与此二次函数图象关于轴对称的图象的二次函数解析式； (3)已知点A的坐标为，若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过A点，求的值． 【变式练习】 1．在平面直角坐标系中，点，点，已知抛物（是常数），顶点为 (1)当抛物线经过点时，求抛物线解析式及顶点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式； 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 3．如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 4．如图，已知抛物线与直线：交于两点，顶点为D． (1)请根据图象直接写出时x的取值范围； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式． 过关练习 一、单选题 1．已知抛物线与y轴的交点坐标为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 3．已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 3 4 3 0 … 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图是抛物线的图象，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最大值为4 二、填空题 7．若二次函数的图像过点，则a的值为______． 8．若点是抛物线上一点，则________． 9．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________． 10．如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____． 11．若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 12．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 13．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 14．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 三、解答题 15．已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 16．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 17．如图是一个矿洞的横截面示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到边的距离为，以矩形的顶点为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了使矿洞更牢固，工程队想要在矿洞正中间搭建一个正方形支撑架．正方形的边，，为支撑架的架骨，点，在边上，点，在抛物线上，求的长． 18．如图为某项目小组为公厕设计的大门上半部分的截面示意图，大门顶部呈抛物线形，水平横梁米，的最高点C到的距离米．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线形的结构，，交于点C，且关于所在直线对称，矩形为框架，M，N分别是与，的交点（不同于点C的交点）．已知抛物线的函数表达式为，求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 20．已知在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点、交轴于点，且该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点的直线交抛物线于点，且点在第二象限： ①连接，若平分，求点的坐标； ②直线交直线于点，连接，请判断直线与直线的位置关系是否确定，并说明理由． 21．定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“轴顶函数”. (1)判断二次函数和是否为“轴顶函数”，并说明理由； (2)若二次函数是“轴顶函数”. ①求二次函数的解析式； ②与轴平行的直线交“轴顶函数”于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围. 22．如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题05 确定二次函数的表达式 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 已知三点求表达式 题型2 已知顶点求表达式 题型3 隐蔽顶点条件（对称轴、最值） 题型4平移、对称后的表达式的确定 题型5 综合提高题 · 掌握二次函数一般式、顶点式、二种表达式形式，理解各参数几何意义。 · 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式。 · 能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 知识点讲解 1. 二次函数的两种表达式 （1）一般式 （2）顶点式 2.待定系数法四步：设→代→解→写 题型归纳 题型1 已知三点求表达式 【例1】已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【例2】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 【方法点睛】设一般式求二次函数表达式的一般步骤： 1. 设表达式； 2. 代入已知点的坐标，列出关于a,b,c的三元一次方程组； 3. 解方程组求出a,b,c; 4. 写出表达式。 【变式练习】 1．已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 2．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 题型2 已知顶点求表达式 【例1】如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； 【详解】（1）解：由题意设，则把点代入得： ，解得：， ∴； （2）解：令时，则有， ∴， ∴由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为； （3）解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为． 【例2】已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 【详解】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 【变式练习】 1. 抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的关系式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． 2．已知二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设顶点式： ， 代入 ， 得：， 解得：， 故该二次函数的解析式为： ； （2）解：当时，， ∴图象与轴的交点坐标为． 3．已知抛物线顶点，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的开口方向和y的最值； 【详解】（1）解：抛物线顶点， 可设此抛物线的解析式为， 过点， ， 解得：， ； 故此抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， ， 抛物线的开口向上，． 题型3 隐蔽顶点条件 【例1】已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：设满足题意的抛物线解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴满足题意的抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【例2】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 【例3】已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 方法点睛： 三道例题中都已知了抛物线的对称轴，但例1是用的顶点式解题； 例2是利用对称轴找到另一个已知点的坐标，用一般式解题，例2也可以设y=(x-1)2+k用顶点式解题。 例3 是利用对称轴方程列示求解的。例3也可以设顶点式解题，还可以利用对称性找到另一个已知点，用一般式解题。 【变式练习】 1. 抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x取何值时，函数有最大（或最小）值？ 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 过， 解得， 抛物线的解析式． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （3）解：， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小，当时，函数有最大值0． 2．已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 3. 已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【详解】（1）解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 （2）解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，且有．顶点为D点． (1)求A、B点坐标，并根据图像直接写出当时x的取值范围． (2)求这个抛物线解析式． (3)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点A坐标为， ∵， ∴点B坐标为， ∴， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴时，． （2）解：将代入得， ， 解得， ∴， （3）解：由上题知：抛物线顶点D坐标为， ∵将点向左平移3个单位，再向下平移个单位后得到点D， ∴平移后的抛物线解析式为． 题型4 平移、对称后求新抛物线的表达式 【例1】已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标： (2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【详解】（1）解：， 此抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线表达式为(为常数)， 平移后的抛物线经过点， ，解得， 平移后的抛物线表达式为． 【例2】已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【详解】（1）解：抛物线：， 平移后的新抛物线：， 把原抛物线向左平移4个单位，向上平移6个单位可得到新抛物线； （2）将抛物线图象沿轴翻折，得到新的抛物线的开口方向与原来相反，顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称， 新的抛物线的函数表达式为：． 【例3】已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【详解】解：（1）y和y1关于x轴对称，则开口方向相反，顶点关于x轴对称， 即表达式为：； （2）y和y2关于y轴对称，则开口不变，顶点关于y轴对称， 即表达式为：； （3）y和y3关于坐标原点对称，则开口方向相反，顶点坐标关于原点对称， 即表达式为：； （4）y4由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则开口相反，顶点关于P（1，0）对称， 即表达式为：. 【变式练习】 1．把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 【详解】解：由题意得：， 即， 故答案为：． 2．已知二次函数的顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A、B两点的坐标； (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 【详解】（1）二次函数的顶点为， 二次函数的解析式为：， 当，则， 解得， A、B两点的坐标为：； （2）由题可知，新的抛物线顶点坐标为，， 新的抛物线的解析式为：． 3．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点． (1)抛物线的顶点坐标为______； 直线的解析式为______，直线的解析式为______； (2)将拋物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象记作，若直线与图象始终有个交点，请直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：由， ∴顶点坐标为， 故答案为：； ∵与轴相交于点和点，与轴交于点， ∴当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 故答案为：，； （2）解：翻折后所得新图象如图所示， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点； 当直线位于时，此时过点， ∴，即； 当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴，整理得：， 故有方程两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴直线与图象始终有个交点，的取值范围为． 4．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 题型5 综合提高题型 【例1】根据题意，求解二次函数的解析式． (1)求过点，，的抛物线的解析式． (2)已知二次函数的顶点坐标为，并且图像与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数． （1）通过设二次函数一般式，代入三点坐标建立方程组求解系数，得到解析式； （2）利用顶点式，结合抛物线对称性和与轴交点距离确定交点坐标，代入求解系数得解析式． 【详解】（1）设二次函数的解析式为：， ∵ 图像过，，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）设二次函数的解析式为：， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴，对称轴为直线， ∵图像与x轴两交点间的距离为4， ∴两交点到对称轴的距离均为， 交点坐标为或 将交点坐标代入得： 解得： ∴ 二次函数的解析式为：． 【例2】如图，已知二次函数图象的顶点为，与轴的交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)求与此二次函数图象关于轴对称的图象的二次函数解析式； (3)已知点A的坐标为，若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过A点，求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴的交点为， ∴， ∵顶点为， ∴，即， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵关于轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为： ； （3）解：， 若原二次函数图象向下平移个单位，恰好经过点A， 则此时函数解析式为， 将代入中， 解得：． 【变式练习】 1．在平面直角坐标系中，点，点，已知抛物（是常数），顶点为 (1)当抛物线经过点时，求抛物线解析式及顶点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式； 【分析】（1）将点代入求出m，化为顶点式即可得到顶点P的坐标； （2）将函数解析式化为顶点式，得到顶点P的坐标为，由点在轴下方，当时，，得到点P在第四象限的角平分线上，根据横纵坐标互为相反数列得方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得， ∴， ∴顶点的坐标是 （2）∵， ∴顶点P的坐标为， ∵点在轴下方，当时，， ∴点P在第四象限的角平分线上， ∴， 解得（舍去）， ∴抛物线的解析式为． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴，即 ∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴ （2）解：将点代入， 则， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 3．如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：设该抛物线解析式为， ∵点在该抛物线的图象上， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点， ∴平移后的抛物线的顶点在x轴上， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 4．如图，已知抛物线与直线：交于两点，顶点为D． (1)请根据图象直接写出时x的取值范围； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围或； （2）解：设将绕点A顺时针旋转后的对应图形为， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点C的坐标为， ∵原抛物线解析式为， ∴可设平移后的抛物线解析式为， 把点代入中得：， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为 过关练习 一、单选题 1．已知抛物线与y轴的交点坐标为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴把代入得， ∴， 故选：A． 2．如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故A正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误． 3．已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 4．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 5．已知二次函数（，为常数，且）中的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 3 4 3 0 … 以下结论：①对称轴为直线  ②函数最小值为4  ③时，  ④的解集是；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与性质、解不等式，利用给定点求出二次函数解析式，再逐一判断各结论． 【详解】解：由表，取点得，取点和， 得： 解得： ． ①对称轴，正确； ②，则函数有最大值，错误； ③时，，正确； ④不等式，解得，正确； ∴正确结论有个． 故选：C． 6．如图是抛物线的图象，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最大值为4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式．利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用二次函数的最值及开口方向，即可判定选项D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； 设二次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； ∵二次函数的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值是4， 即当时，函数的最大值为4，故选项D正确， 故选：D． 二、填空题 7．若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将点代入二次函数得：，解得：． 8．若点是抛物线上一点，则________． 【答案】2或4/4或2 【分析】点在抛物线上，因此点的坐标满足抛物线的解析式，将点的坐标代入解析式，得到关于的一元二次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：点在抛物线上， 将，代入抛物线解析式得， ， 解得或， 故答案为或． 9．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．由二次函数与x轴的交点坐标，利用根与系数的关系可求出对称轴，进而求得顶点坐标，即可作答． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于点和， ∴设二次函数为， 则对称轴为直线， 将代入函数解析式，得， 故顶点坐标为， 故答案为：． 10．如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____． 【答案】 【分析】利用待定系数法解答即可． 本题考查了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解： ∵二次函数的图象经过两点， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 11．若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 12．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 13．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 【答案】4 【分析】先根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度后，平移后的抛物线解析式为， 平移后抛物线经过原点， ∴， 解得． 14．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 三、解答题 15．已知抛物线的顶点与抛物线的顶点相同，且与直线的交点A的横坐标为3． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)直接写出把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数图象的平移，掌握平移法则是解题的关键． （1）根据两条抛物线顶点相同，可得，，再求出点A的坐标，代入抛物线解析式求出a值即可； （2）根据“上加下减，左加右减”平移法则求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点与抛物线的顶点相同， ，， ， 对于，当时， ， 将代入，得：， 解得， 这条抛物线的函数解析式为； （2）解：把这条抛物线先向右平移4个单位长度再向下平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式为： ， 即． 16．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 17．如图是一个矿洞的横截面示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到边的距离为，以矩形的顶点为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了使矿洞更牢固，工程队想要在矿洞正中间搭建一个正方形支撑架．正方形的边，，为支撑架的架骨，点，在边上，点，在抛物线上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知抛物线过点，顶点为，设顶点式为，代入点坐标算出​，进而求出抛物线解析式； （2）设，根据正方形性质可知和，利用抛物线在点的函数值与相等建立方程求出，进而算出． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 又∵抛物线过， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， 设，由题意可知， 则， ∴， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ， 故的长为． 18．如图为某项目小组为公厕设计的大门上半部分的截面示意图，大门顶部呈抛物线形，水平横梁米，的最高点C到的距离米．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线形的结构，，交于点C，且关于所在直线对称，矩形为框架，M，N分别是与，的交点（不同于点C的交点）．已知抛物线的函数表达式为，求的长． 【答案】(1)的函数解析式为 (2)的长为12． 【分析】（1）根据题意得到，，，然后利用待定系数法即可解答； （2）先联立与的解析式，求得点的横坐标，然后根据抛物线的对称性得到点的和坐标，即可解答． 【详解】（1）解：由题可知，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入得， 解得： 的函数解析式为； （2）解：∵点是与的交点， ∴联立与的解析式，得 解得：或， ∴点的横坐标为， ∵抛物线，关于所在直线对称，点是与的交点，，，， ∴点和点关于y轴对称， ∴点的横坐标为6， ∴， ∴的长为12． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，再设，然后根据平行四边形得到，则，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 对于抛物线，可得对称轴为直线， 设 ∵点为顶点的四边形是以为边的平行四边形 ∴， ∴ ∴ 解得或 ∴或． 20．已知在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点、交轴于点，且该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点的直线交抛物线于点，且点在第二象限： ①连接，若平分，求点的坐标； ②直线交直线于点，连接，请判断直线与直线的位置关系是否确定，并说明理由． 【答案】(1) (2)① ②是，，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，一次函数与二次函数的交点问题，求正切，平行线的判定， 对于（1），设抛物线的关系式为，再将点代入关系式可得答案； 对于（2）①，先确定抛物线的关系式为，再将两个函数关系式联立，求出解即可； ②设点，可表示的关系式，再将两个函数关系式联立求出点，进而得出，则此题可解． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式为， ∵该抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：①∵抛物线， ∴， ∴抛物线． ∵平分， ∴直线的关系式为． 将两个函数关系式联立，得 ， 解得，， ∵点D在第二象限， ∴点； ②是， ，理由如下： 设点，直线的关系式为， ∵直线经过点，得， 解得， ∴直线的关系式为． ∵直线与抛物线交于点D， ∴， 解得， ∴点 则，， ∴， ∴， ∴． 21．定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“轴顶函数”. (1)判断二次函数和是否为“轴顶函数”，并说明理由； (2)若二次函数是“轴顶函数”. ①求二次函数的解析式； ②与轴平行的直线交“轴顶函数”于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围. 【答案】(1)解：和都是“轴顶函数”； 理由：∵的顶点坐标为在轴上； 的顶点坐标为在轴上， ∴它们都是“轴顶函数”； (2)①；② 【分析】（1）根据“轴顶函数”的定义判断即可； （2）①根据题意可知，再解方程即可； ②设与轴平行的直线，则，则，结合进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）①∵， ∴其对称轴为直线， 当时，， ∴的顶点坐标为． ∵是“轴顶函数”， ∴或， ∵， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线，设与轴平行的直线， 则点，的横坐标满足，解得，， 则， ∵，即，解得， 当时，， 当时，（此时、两点重合，不满足题意）， 综上，点横坐标的取值范围． 22．如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）由点，得．顶点在轴上，得， 即可确定对称轴为 ．即可确定； （2）推导出．设点，则点， 得，解得（舍）， ．得． （3）由图可知，当时，有最小值，得，解得． 得最大值 ．当时，，解得：或（舍）．即得． 【详解】（1）图象与轴交于点， ． 顶点在轴上， ， ， ． 对称轴为 ． 与的对称轴相同，且经过点， ． 把点代入得：， ， ． （2）解：设直线与抛物线的对称轴交于点， 由题可知：， ． ， ， ． 设点， 则点， ， 解得（舍）， ． ． （3）解：①定义为： ① 在部分，代入​得​； 在​部分，代入​得； 在时，​随x的增大而减小； 在时​随x的增大而增大，在​时随x的增大而减小，最大值为3（时），时​。 当时，线段与无交点。 当时，是公共点，线段与​交于和， 共2个交点； 当​时，线段与（）交于1点，与​（）交于2点，共3个交点； 当时，线段与（） 无交点，与​（）交于2点，共2个交点； 当时，线段与交于，与​无交点，仅1个交点； 当时，线段与（） 无交点。 故n的取值为：或 ， ②当时，， 由图可知，当时，有最小值， ， ． 最大值为 ． 在中，当时，， 解得：或（舍）． ． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $