精品解析：山东省济南市历城区济南稼轩学校 2025-2026学年下学期七年级阶段测试数学试题（6月）

济南稼轩学校七年级月考数学试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000164=1.64×10-6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键． 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、原式=m6-3=m3，故此选项计算错误； B、原式=8m6，故此选项计算错误； C、原式=m2+2mn+n2，故此选项计算错误； D、原式=-2m3，故此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D. 明天太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、是必然事件，不符合题意； B、不可能事件，不符合题意； C、是随机事件，符合题意； D、是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 5. 在 中a，b，c分别是的对边，下列条件中，不能判断 是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 是直角三角形，故A不符合要求； 设， ∵， ∴， 是直角三角形，故B不符合要求； ∵， ∴， 不是直角三角形，故C符合要求； ∵， ∴， 是直角三角形，故D不符合要求； 故选：C． 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．先根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质求出． 【详解】解：如图：    ，， ， ，， ， ． 故选：A． 7. 某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小球停留在某区域的概率 阴影区域的面积 大正方形的总面积． 【详解】解： 根据七巧板的构造规律，对整个大正方形面积拆分后可得： 图中阴影平行四边形的面积，占整个大正方形面积的​， 因此小球最终停留在阴影区域的概率是． 8. 如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点 作 三边的高，，证明，,继而根据三角形三边关系，证明，从而利用 面积等于3个小三角形面积和，求得△BOC的BC边上的高 【详解】如图： 过点 作 三边的高，则： 点O是三条角平分线的交点 ,, （AAS） , 设 AB＝10，BC＝8，AC＝6 解得 即BC边上的高是2 故选B 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定，勾股定理的逆定理，根据面积相等列方程求出OE是解决本题的关键． 9. 某中学举办数学竞赛，五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． 说： 第三名， 第五名； 说： 第四名， 第五名； 说： 第一名， 第四名； 说： 第一名， 第二名； 说： 第三名， 第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一名为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逻辑推理，利用“每个名次都有人猜对”的条件，从只有一人猜测的名次入手逐步推导，即可得到第一名． 【详解】解：∵每个名次都有人猜对，所有猜测中，第二名只有 猜测 是第二名， ∴ 是第二名； ∵ 已经是第二名，因此 猜测“ 第三名”错误，第三名必须有人猜对，此时只有 猜测“ 第三名”， ∴ 是第三名； ∵ 已经是第三名，因此 猜测“ 第一名”错误，第一名必须有人猜对，此时只有 猜测“ 第一名”,故 是第一名． 10. 如图， 中， ， 的角平分线 、 相交于点 ，过 作交 的延长线于点 ，交 于点 ，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】在 中 ，利用直角三角形性质得到，再 、 分别平分 、，即可得到，从而，故①正确；又根据上述条件得到，结合，得到，从而根据三角形全等的判定定理得到，所以，，，故②正确；再根据上述条件及结论有，进而可以由图中线段关系确定，故③正确；连接，，结合前面，，得到，，，根据，确定，则由平行线的判定定理得到，从而有，根据，确定④正确，综上可知正确的结论有 个． 【详解】解：在 中， ， ， 又、 分别平分 、， ， ，故①正确； ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，，，故②正确； ， 在和中， ， ， ， 又， ，故③正确； 连接，，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二．填空题（共小题，满分20分，每小题4分） 11. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 等腰三角形的一个内角为，则它一腰上的高与底边所夹角的度数为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，要利用分类讨论思想求一腰上的高与底边所夹角的度数，当是顶角时讨论一次，当是底角时讨论一次即可求出度数． 【详解】解：如下图所示，当三角形顶角是时； ∵ ； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 第二种情况，如下图所示，当三角形底角是时； 即，； ∵; ∴； 故答案为：或． 13. 如图，在 中，已知，， ，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于 ， 两点，直线分别与边 ， 相交于点 ， ，连接 ．则线段 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到，再通过勾股定理建立方程求解． 先在 中用勾股定理求出 的长；由作图可知是 的垂直平分线，故；设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程求出 的值，即为 的长． 【详解】解：，， ， ． 由作图可知，是 的垂直平分线， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高 为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的 点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图： 根据题意可得柱身高为米，底面周长为米， 有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的 点， 米，米， 米， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为米． 故答案为：． 15. 如图，在 中， ，，点 是边 上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用．根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点 关于的对称点，作点 关于 的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在 中， ，，即 是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时， 原式； 18. 中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （__________）， 又（已知）， __________（等量代换）， 又 __________（已知）， （__________）， 又__________（平角的定义）， （__________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，，最后根据等角的补角相等求解即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， 又 （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（平角的定义）， （等角的补角相等）． 19. 如图，每一个小正方形的边长为 ， （1）画出格点 关于直线 对称的； （2）在 上画出点 ，使最小； （3）在 上画出点 ，使最大； （4）直接写出的最大值为 ． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先作出 三个顶点的对称点，和，再顺次连接即可； （2）先作出点A的对应点，连接，交 于点 ，此时的值最小，即为的值； （3）延长 交 于点 ，此时最大，即为 的长； （4）根据勾股定理，计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作出点A的对应点，连接，交 于点 ，点 即为所求， 此时的值最小，即为的值，图形略； 【小问3详解】 解：延长 交 于点 ，点 即为所求， 此时最大，即为 的长，图形略； 【小问4详解】 解：由图可得，， 的最大值为． 20. 如图，，，，求证：． 【答案】证明：， ， ． ， ． 在 和中， ， ， 。 【解析】 【分析】先证明，，再证明，即可证明． 【详解】略 21. 在一个不透明的袋子中装有积分卡10张，这些积分卡除颜色、图案不同外其他都相同，其中红色的积分卡4张，绿色的积分卡6张． （1）先从袋子中取出张红色积分卡，再从袋子中随机摸出1张积分卡，将“摸出绿色积分卡”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 _______ _______ （2）先从袋子中取出n张红色积分卡，再放入n张一样的绿色积分卡，并搅拌均匀，随机摸出1张卡片是绿色的概率等于，求n的值． 【答案】（1）4；2或3 （2）n的值为2 【解析】 【分析】（1）当袋子中全部为绿色积分卡时，摸出绿色积分卡才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得n的值即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的袋子中装有仅颜色、图案不同的10张积分卡，其中红色积分卡4张，绿色积分卡6张，， ∴当时，即摸出4张红色积分卡时，袋子中全为绿色积分卡，摸到绿色积分卡是必然事件， 即当时，事件A为必然事件； ，当摸出2张红色积分卡或3张红色积分卡时，摸到绿色积分卡为随机事件， ∴当或3时，事件A为随机事件． 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得 ． 答：n的值为2． 22. “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边 上，三角形的边和 分别在边 、 上，使得． （1）通过观察图形得到 ； （2）一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）可能性不同，见解析 【解析】 【分析】本题通过七巧板考查正方形的性质，勾股定理，几何概率，理解题意，发现 与图1中的正方形对角线间的关系，以及掌握几何概率公式是解题的关键． （1）观察可以发现 正好等于正方形的对角线长，利用勾股定理求出对角线长即可； （2）根据几何概率公式分别求出它停在“台灯”上与空白区域的概率，即可作出判断． 【小问1详解】 解：对比图2与图1，可以发现 正好等于正方形的对角线长， ∵正方形的边长为， ∴对角线长为， 故答案为：， 【小问2详解】 解：不相同． 说明：∵， ∴， ∴ (它停在“台灯”上）， 它停在空白区域， ， ∴它停在“台灯”上与空白区域的可能性不相同． 23. 已知动点 以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图 所示，若 ，请回答下列问题： （1）图 中_________ ，_________ ，_________ ． （2）求图 中 ， 的值； （3）当点 在线段 上运动时与 的关系式为__________．当点 在线段 上运动时与 的关系式为__________． 【答案】（1）， ， （2）， （3）； 【解析】 【分析】（1）结合图象，根据时间和速度求出线段的长； （2）结合图形，可得 为 的面积， 为点 回到点 的时间，计算即可； （3）根据点 的位置分类讨论，分别用含 的式子表示出点 到 的距离，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由图 可知从运动时间为， ， 同理， ； 【小问2详解】 解： ， ，，， ，， ，； 【小问3详解】 由图 知，点 在 上运动时，， ，即； ∵由图 知，点 在 上运动时，， ，即． 24. 如图，在 中，， 是 边上的高， 是 边上的高， 、 相交于点 ，，且． （1）线段 的长度等于___________． （2）求证：． （3）动点 从点 出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线 以每秒4个单位长度的速度运动， 、 两点同时出发，当点 到达 点时， 、 两点同时停止运动．设点 的运动时间为 秒，点 是直线 上的一点且．是否存在 值，使以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的 值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3）或时，使以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等 【解析】 【分析】（1）由，，进行计算即可得到答案； （2）由，可得，通过 即可证明； （3）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ，， ，即， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 证明： 是 边上的高， 是 边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问3详解】 解：存在， 如图2，当时， 是 边上的高， 是 边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是 边上的高， 是 边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 25. 在等腰 中， ，， 是射线 上的动点，过点 作（ 始终在 上方），且，连接 ． （1）如图1，当点 在线段 上时，判断 与的关系，并说明理由． （2）如图2，若点为线段 上的两个动点，且，连接 ，，求的长． （3）若在点 的运动过程中，，则___． （4）如图3，若 为 中点，连接，在点 的运动过程中，当__时，的长最小？最小值是___． 【答案】（1）垂直且相等，理由见解析 （2）5 （3）或 （4）9，3 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得出答案； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理进行计算即可得到答案； （4）当时，线段最短，证出为等腰直角三角形，可求出的长． 【小问1详解】 解：当点 在线段 上时， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图1，当点 在线段 上，，设 为 边上的高， 为垂足， ， 在等腰 中， 为 的中点，， ， ，， ， 如图2，点 在线段 的延长线时，同理可得， ， ， ， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：点 运动轨迹是过点 ，且垂直于 的射线，根据垂线段最短的性质，当时，线段最短，如图3， ， ，，， 为等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ， 此时， 故答案为：9，3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校七年级月考数学试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D. 明天太阳从西方升起 5. 在 中a，b，c分别是的对边，下列条件中，不能判断 是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 某中学举办数学竞赛，五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． 说： 第三名， 第五名； 说： 第四名， 第五名； 说： 第一名， 第四名； 说： 第一名， 第二名； 说： 第三名， 第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一名为（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 中， ， 的角平分线 、 相交于点 ，过 作交 的延长线于点 ，交 于点 ，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共小题，满分20分，每小题4分） 11. 的立方根是__________． 12. 等腰三角形的一个内角为，则它一腰上的高与底边所夹角的度数为_______________． 13. 如图，在 中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于 ， 两点，直线分别与边 ， 相交于点 ， ，连接 ．则线段 的长为_____． 14. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高 为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的 点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米． 15. 如图，在 中， ，，点 是边 上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 17. 化简求值：，其中． 18. 中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （__________）， 又（已知）， __________（等量代换）， 又 __________（已知）， （__________）， 又__________（平角的定义）， （__________）． 19. 如图，每一个小正方形的边长为 ， （1）画出格点 关于直线 对称的； （2）在 上画出点 ，使最小； （3）在 上画出点 ，使最大； （4）直接写出的最大值为 ． 20. 如图，，，，求证：． 21. 在一个不透明的袋子中装有积分卡10张，这些积分卡除颜色、图案不同外其他都相同，其中红色的积分卡4张，绿色的积分卡6张． （1）先从袋子中取出张红色积分卡，再从袋子中随机摸出1张积分卡，将“摸出绿色积分卡”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 _______ _______ （2）先从袋子中取出n张红色积分卡，再放入n张一样的绿色积分卡，并搅拌均匀，随机摸出1张卡片是绿色的概率等于，求n的值． 22. “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边 上，三角形的边和 分别在边 、 上，使得． （1）通过观察图形得到 ； （2）一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 23. 已知动点 以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图所示，若 ，请回答下列问题： （1）图 中_________ ，_________ ，_________ ． （2）求图中， 的值； （3）当点 在线段 上运动时与的关系式为__________．当点 在线段 上运动时与的关系式为__________． 24. 如图，在 中， ， 是 边上的高， 是 边上的高， 、 相交于点 ，，且． （1）线段 的长度等于___________． （2）求证：． （3）动点 从点 出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线 以每秒4个单位长度的速度运动， 、 两点同时出发，当点 到达 点时， 、 两点同时停止运动．设点 的运动时间为秒，点 是直线 上的一点且．是否存在值，使以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 25. 在等腰 中， ，， 是射线 上的动点，过点 作（ 始终在 上方），且，连接 ． （1）如图1，当点 在线段 上时，判断 与的关系，并说明理由． （2）如图2，若点为线段 上的两个动点，且，连接 ，，求的长． （3）若在点 的运动过程中，，则___． （4）如图3，若 为 中点，连接，在点 的运动过程中，当__时，的长最小？最小值是___． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $