精品解析：山东省枣庄市滕州市至善学校2025-2026学年 七年级下学期第二次阶段检测数学试题

至善学校七年级下学期第二次阶段检测数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 5. 现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为(　　) A. B. C. D. 6. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， ， 7. 如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定 的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，， ， ，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以 的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（ ） 时， ． A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或5 9. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 10. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形 的周长为，，则它的“优美比”k为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，，则______． 12. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______． 13. 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______．    14. 如图，将一张长方形纸条 折叠，折痕分别与、交于点M、N，点A、B分别落在E、F处，与交于点O．若 ，则 的度数为________． 15. 如图，与 相交于点C，， ，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿 以 的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为 ．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 三．解答题（共7小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值． ，其中． 18. 中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且 ，．求证： ． 19. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ （3）能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中，的顶点都在格点上， ． （1）在方格纸中画出关于直线 对称的（不写作法，不下结论）； （2）尺规作图：请在图中作出 的角平分线交 于点D，交于点E（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （3）在（1）（2）的条件下，求证： ． 21. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 刹车距离 请回答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）当刹车时车速为时，刹车距离是______； （3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：______； （4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ （相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．） 22. 如图，，有如下条件： ①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证： ； （2）在（1）的条件下，若，求的度数； （3）在（1）的条件下，若，求． 23. 综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． （1）如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段 、、 之间的数量关系为___________． 【模型应用】 （2）如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知 ，．求证：． 【类比探究】 （3）如图3，过的边、向外作正方形 和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交 于点，若，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 至善学校七年级下学期第二次阶段检测数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 2. 中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、根据完全平方公式展开：，错误； B、根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减：，错误； C、根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂指数相加：，正确； D、根据幂的乘方法则计算：，错误． 4. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】A．2+5<8，不能组成三角形，故此选项符合题意； B．2+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； C．3+4＞5，，能组成三角形，故此选项不符合题意； D．8+7＞14，，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 5. 现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记小明一次随机试验能打开门为事件A，根据列举法得出第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种，根据概率公式即可求解． 【详解】记小明一次随机试验能打开门为事件A． 根据题意，每个数字为0~9中任意一个， 小明记得前五个数字，第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种， 而正确的只有其中一个，所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的，故该选项符合题意； B．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； C．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； D．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定 的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①∵，∴ ，故符合题意； ②∵，∴ ，不能判断 ，故不符合题意； ③∵，∴ ，故符合题意； ④∵，∴ ，故符合题意； ⑤∴ ，不能判断 ，故不符合题意； 综上，①③④都能判定 ， 故选：B． 8. 如图，在中，， ， ，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以 的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（ ） 时， ． A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或5 【答案】D 【解析】 【分析】设点E运动时间为 ，则 ，分两种情况求解：①当点 从点B出发，向点左侧移动时；②当点 从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为 ，则 ， ①如图，当点 从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得： ； ②如图，当点 从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或 时， ． 9. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数图象的理解和分析，解题的关键是根据图象分析出需要的条件．根据给出的函数图象分别判断出甲、乙两人的路程，行驶的时间和速度即可求解． 【详解】解：A、甲、乙两人练习的长跑路程是，选项正确，不符合题意； B、根据图象可知，甲、乙两人同时达到终点，选项正确，不符合题意； C、根据图象可知：前分钟甲的速度为：（米/分）， 乙的速度为：（米/分）， 前分钟，甲比乙每分钟快（米），选项正确，不符合题意； D、分钟后，甲在前，乙在后，选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形 的周长为，，则它的“优美比”k为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式求解即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及多项式乘法运算，解题的关键是理解新运算的规则，将对应数值代入运算式后准确展开并合并同类项． 先明确新运算定义：，需计算，即确定、 ；再将、 代入运算式，得到；最后展开该多项式并合并同类项，得出化简结果． 【详解】解：根据新运算定义，计算时，令， ，则： 故答案为：． 13. 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______．    【答案】##210度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点做直线 支撑平台，直线将分成两个角，根据平行的性质即可求解． 【详解】解：过顶点做直线 支撑平台， 支撑平台工作篮底部， 、， ， ， ． 14. 如图，将一张长方形纸条 折叠，折痕分别与、交于点M、N，点A、B分别落在E、F处，与交于点O．若 ，则 的度数为________． 【答案】116 【解析】 【分析】由折叠和平行的性质，求出 ，再根据平角求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，与 相交于点C，， ，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿 以 的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为 ．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程是解决问题的关键． 先证明和全等得，依题意得， ，根据点P的运动速度和方向有以下两种情况∶①当点P从点A向点B运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，证明和全等得．则，由此解得；②当点P从点B向点A运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则，由此解得．综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，． 在和中， ． ∵点Q从点D出发，沿DE以 的速度向E运动， ． ， 根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点P从点A向点B运动时，依题意得： ， 此时． 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 在和中， ． ． ，解得：； ②当点P从点B向点A运动时，依题意得： ， 此时， 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 同理证明：． ． ，解得：， 综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或． 三．解答题（共7小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘法，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减计算； （2）先计算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值． ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先根据整式的运算法则，乘法公式进行化简，再将代入化简后的整式中进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， ∴原式． 18. 中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且 ，．求证： ． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，，得到，从而得到 ，再由 得出结论． 【详解】略 19. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ （3）能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 【答案】（1）随机； （2）指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； （3）将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【解析】 【分析】（1）根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答； （2）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【小问1详解】 解：第7次转动时指针指向红色区域是随机事件； 【小问2详解】 解：∵指针都指向红色区域的概率为， 指针都指向蓝色区域的概率为：， 指针都指向黄色区域的概率为：， ∴指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； 【小问3详解】 略． 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中，的顶点都在格点上， ． （1）在方格纸中画出关于直线 对称的（不写作法，不下结论）； （2）尺规作图：请在图中作出 的角平分线交 于点D，交于点E（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （3）在（1）（2）的条件下，求证： ． 【答案】（1） （2） （3）证明：∵ ，， ， 和关于直线 对称， ， ， ， ， ， ∵平分 ， ， ， ， ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据角平分线的作图方法作图即可． （3）根据角平分线的定义、余角的性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 刹车距离 请回答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）当刹车时车速为时，刹车距离是______； （3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：______； （4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ （相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．） 【答案】（1）刹车时车速；刹车距离； （2） （3） （4）推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加 ，可得答案； （4）结合（3）的结论得出可得车速为，进而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； 【小问2详解】 解：当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加 ， 与之间的关系式为：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，， ， ， 事故发生时，汽车是超速行驶． 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 【点睛】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． 22. 如图，，有如下条件： ①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证： ； （2）在（1）的条件下，若，求的度数； （3）在（1）的条件下，若，求． 【答案】（1）②或③或④；证明见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明 ，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可； （3）先根据全等三角形的性质得到，再由线段间的数量关系求解即可． 【小问1详解】 解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴ ， 选择②， ∵ ，， ∴； 选择③， ∵ ， ， ∴； 选择④， ∴， ∵ ， ， ∴； 故答案为：②或③或④； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． （1）如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段 、、 之间的数量关系为___________． 【模型应用】 （2）如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知 ，．求证：． 【类比探究】 （3）如图3，过的边、向外作正方形 和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交 于点，若，则___________． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据、分别是、的外角，可证，进而即可证明； （3）过点E作于M，过点G作的延长线于N，通过角的转化证明，则进而可证，则，，同理可证，则，，进一步证明即可求解． 【小问1详解】 证明： ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 在 和中， ， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 ，，， ， ，，， ， 在和中， ； 【小问3详解】 如图，过点 作于，过点作的延长线于， ， ，， ， 在和中， ， ，， 同理可得：， ，， 即：，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $