2026年中考数学真题完全解读（江苏省苏州卷）

该初中数学中考复习讲义全面覆盖数与式、函数、图形的性质、统计与概率四大核心模块，依据中考考点细目表系统梳理知识体系，通过“考点梳理-方法指导-真题训练”三阶教学流程，帮助学生突破二次函数最值、圆的切线证明等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融入苏州园林月洞门等地方情境与光的反射跨学科素材，创新设计“吸收函数”新定义、动态几何专题，培养学生模型观念和推理能力。设置基础题、中档题、压轴题分层训练及避坑提醒，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2026年江苏省苏州市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年江苏省苏州市中考数学试卷整体难度适中，延续苏州卷“基础扎实、能力分层、素养导向”的命题风格。全卷共27题，考试时间120分钟，总分130分；其中选择题8题（24分）、填空题8题（24分）、解答题11题（82分）。试卷在题型结构、分值比例上保持稳定，基础题占比超过六成，中档题与压轴题梯度明显。数与式、函数、图形的性质三大模块分值接近，统计与概率稳定在第4、11、20、22题，综合实践意识在第14、20、24、26题中均有渗透。整卷注重对运算能力、推理能力、几何直观与模型观念的考查，尤其第8、15、16、25、26、27题需要学生在熟悉知识方法的基础上进行转化、构造与分类讨论。 试题亮点 1. 苏州元素与人文情境有机融入，彰显江南文化育人底色：第2题以苏州市统计局公布的常住人口约1305万人为素材，考查科学记数法；第14题以苏州园林中的“月洞门”为背景，将“框景”美学抽象为圆与垂径定理问题；第20题以学校团委“青春荟萃·追光少年”红色主题活动为情境设置概率问题。三题分别对应数据意识、几何直观与随机观念，体现数学与本土文化、时代主题的结合。 2. 函数主线贯穿中高档题，数形结合与分类讨论要求更高：第8题在矩形动点情境下利用相似三角形建立二次函数模型求最值；第15题将抛物线与正方形性质结合，考查二次函数图象特征；第23题把一次函数与反比例函数置于同一坐标系，通过等腰直角三角形条件确定点的坐标；第26题以道路红绿灯为背景，建立不等式组分析车辆能否连续通过路口；第27题新定义“吸收函数”，将二次函数与一次函数叠加，考查函数最值、图象交点与面积问题。函数思想成为贯穿全卷的核心工具。 3. 几何推理稳中有新，传统文化与物理情境拓宽考查视角：第5题结合平行线与三角形外角定理；第13题以尺规作垂直平分线为基础，融合直角三角形斜边中线与勾股定理；第21题在平行四边形中嵌入解直角三角形求面积；第24题以光的反射定律为情境，通过等边三角形与解直角三角形分析光点移动距离；第25题围绕圆的切线、相似三角形与三角函数展开多方法探究。几何题既保持传统证明与计算，又引入物理光学情境，拓展了学生的建模视野。 命题趋势 1. 苏州地方情境与人文素材将持续入题，应用意识考查常态化：第2题引用苏州市常住人口数据、第14题以苏州园林月洞门为原型、第20题取材学校红色主题活动，均体现命题对本土素材的偏好。未来苏州卷仍将选取具有城市辨识度或时代背景的素材，引导学生在真实情境中提取数量关系、建立数学模型。 2. 函数与几何深度融合，中高档题成为区分主战场：第8、15、23、26、27题均涉及函数与几何的综合，其中第27题“吸收函数”新定义、第26题红绿灯不等式组、第15题抛物线与正方形综合，要求学生既能进行代数运算，又能结合图形性质进行分类讨论。预计函数与几何交叉题目将继续占据压轴与次压轴位置。 3. 传统文化与跨学科情境拓宽命题视野，综合实践比重可能提升：第7题《九章算术》“雀燕集称之衡”、第14题苏州园林月洞门、第24题光的反射定律，分别融合数学文化、地方建筑与物理光学。未来试卷可能进一步增加传统文化、科技成就、地方产业等跨学科素材，考查学生将陌生情境转化为数学问题的能力。 4. 基础题“送分到位”但概念理解要求更深，反套路设计值得警惕：第1题相反数、第3题长方体展开图、第9题二次根式有意义等题看似常规，但第6题平方差公式与不定方程结合、第12题分式条件求值需要整体代入、第18题不等式组求解需细致处理边界，均体现“基础题不基础”的倾向。备考应回归概念本质，避免机械刷题。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→相反数的概念 运算能力 2 单选 3 数与式→科学记数法→大数的科学记数法表示 运算能力、数据观念 3 单选 3 图形的性质→立体图形与展开图→长方体表面展开图判断 空间观念、几何直观 4 单选 3 统计与概率→数据的集中趋势→平均数的计算与应用 运算能力、数据观念 5 单选 3 图形的性质→平行线与三角形→平行线性质与三角形外角定理 推理能力、几何直观 6 单选 3 数与式→因式分解→平方差公式与不定分析 运算能力、推理能力 7 单选 3 方程与不等式→二元一次方程组→古代数学问题中的方程组建模 模型观念、运算能力 8 单选 3 函数→二次函数的应用→相似三角形与二次函数最值 推理能力、几何直观 9 填空 3 数与式→二次根式→二次根式有意义的条件 运算能力 10 填空 3 函数→一次函数→一次函数图象上点的坐标特征 运算能力 11 填空 3 统计与概率→概率→可能性大小与简单概率 数据观念 12 填空 3 数与式→分式与代数式求值→整体代入法求代数式的值 运算能力 13 填空 3 图形的性质→三角形与尺规作图→垂直平分线、直角三角形斜边中线与勾股定理 推理能力、几何直观 14 填空 3 图形的性质→圆→垂径定理与勾股定理的应用 模型观念、几何直观 15 填空 3 函数→二次函数综合→抛物线与正方形性质综合 推理能力、几何直观 16 填空 3 图形的变化→图形的对称与最值→等边三角形折叠与线段最值 推理能力、几何直观 17 解答 5 数与式→实数运算→实数的混合运算 运算能力 18 解答 5 方程与不等式→一元一次不等式组→解一元一次不等式组 运算能力 19 解答 6 数与式→整式与分式的化简→先化简再求值 运算能力 20 解答 6 统计与概率→概率→列表法或树状图求概率 数据观念、模型观念 21 解答 6 图形的性质→平行四边形与解直角三角形→平行四边形的判定与性质、解直角三角形 推理能力、几何直观 22 解答 8 统计与概率→统计图表与数据分析→频数分布表、扇形统计图与样本估计总体 数据分析、数据观念 23 解答 8 函数→一次函数与反比例函数→一次函数与反比例函数综合、等腰直角三角形 推理能力、几何直观 24 解答 8 图形的性质→三角形与三角函数→等边三角形判定、光的反射定律与解直角三角形 模型观念、几何直观 25 解答 10 图形的性质→圆的综合→圆的切线、相似三角形与锐角三角函数 推理能力、几何直观 26 解答 10 函数→一次函数与不等式应用→一次函数模型、不等式组与方案选择 模型观念、应用意识 27 解答 10 函数→二次函数新定义→“吸收函数”新定义、二次函数最值与面积问题 创新意识、推理能力 考点模块占比分析 数与式模块（约26%，34分）：含方程与不等式，重点考查第1、2、6、7、9、12、17、18、19题，涵盖相反数、科学记数法、二次根式、分式化简、实数运算、解不等式组等核心内容，体现对基础运算能力与概念理解的重视。 函数模块（约28%，37分）：重点考查第8、10、15、23、26、27题，覆盖一次函数、反比例函数、二次函数及其综合应用，最值问题、新定义“吸收函数”与红绿灯方案选择均体现函数建模与数形结合思想。 图形的性质模块（约28%，36分）：重点考查第3、5、13、14、21、24、25题，涉及长方体展开图、平行线与三角形、垂直平分线、圆与垂径定理、平行四边形、解直角三角形与圆的综合，强调几何推理与空间想象。 图形的变化与综合实践模块（约2%，3分）：主要考查第16题等边三角形折叠中的轴对称变换与线段最值；第14、24、26、27题虽以地方文化、物理光学、交通信号、新定义为情境，但核心求解仍以几何或函数为主，综合实践意识贯穿其中。 统计与概率模块（约15%，20分）：重点考查第4、11、20、22题，包括平均数、可能性大小、列表法或树状图求概率、频数分布表与扇形统计图分析，突出数据观念与样本估计总体的统计思想。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实数与式、方程不等式基础 （1）系统梳理有理数、实数、整式、分式、二次根式的概念与运算法则，确保第1、9、12、17、19题等基础题得分稳定。 （2）强化一元一次不等式组、二元一次方程组的解法训练，特别关注含参数与边界条件的处理，提升第7、18题的准确性。 2. 强化函数主线，提升数形结合与建模能力 （1）将一次函数、反比例函数、二次函数的图象性质、最值问题与几何图形结合训练，重点突破第8、15、23、26、27题。 （2）通过新定义、实际情境题培养“翻译”能力，学会把文字信息、图象信息转化为函数关系式或不等式组。 3. 重视几何推理，积累常用辅助线与模型 （1）归纳平行线、三角形、四边形、圆中的常用性质与判定，熟练运用相似、全等、勾股定理、三角函数解决第13、14、21、24、25题。 （2）针对折叠、旋转、最值、新情境几何题进行专题训练，培养“遇折思对称、遇圆思半径与切线、遇最值思函数或轨迹”的解题直觉。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。 ×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。 ×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：相反数的概念 ►命题分析： （1）情境创设：以具体数字为背景，直接考查相反数的定义，属于纯数学概念情境。 （2）问题设计：题目给出单一数字，要求判断其相反数，选项设置围绕符号变化展开，考查学生对概念的精确理解。 （3）考查目标：考查学生对相反数概念的记忆与直接应用，属于基础层次的信息提取与运算能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果. 【详解】解：的相反数是. 知识总结 ① 核心概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。② 解题方法：求一个数的相反数，只需改变其符号。③ 易错点：不要与倒数、绝对值混淆。 2．根据苏州市统计局公报显示，截止2025年末，苏州市常住人口约1305万人，比上年末增长 ，常住人口城镇化率达 ，比上年提高 个百分点．数据“ ”用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：以苏州市统计局公布的常住人口数据为情境，将地方统计公报中的大数抽象为数学问题。 （2）问题设计：给出带单位“万人”的实际数据，要求用科学记数法表示，考查单位换算与科学记数法的规范表达。 （3）考查目标：考查数据观念与运算能力，要求学生能从真实数据中提取有效数字并正确表示。 答案与解析 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可求解． 【详解】解：数据“”用科学记数法可表示为． 知识总结 ① 科学记数法形式为a×10^n，其中1≤|a|＜10，n为整数。② 大数表示时n等于整数位数减1；含单位时先统一单位。③ 注意保留有效数字，避免将“万人”误作个位处理。 3．下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：长方体表面展开图 ►命题分析： （1）情境创设：以硬纸片折叠成长方体纸盒为操作性情境，考查空间想象能力。 （2）问题设计：给出四个平面图形，判断哪一个能沿虚线折叠成长方体，选项设置典型，要求学生识别相对面与相邻面的位置关系。 （3）考查目标：考查空间观念与几何直观，要求学生能在平面展开图与立体图形之间建立联系。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 知识总结 ① 长方体展开图共11种基本类型，判断关键是“相对面不相邻，相邻面共棱”。② 常用方法：想象折叠过程，或寻找“田”“凹”等不能折叠的结构。③ 可借助实际剪纸模型加深理解。 4．一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则 的值为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平均数的计算 ►命题分析： （1）情境创设：以一组含未知数的数列为背景，通过平均数条件建立方程。 （2）问题设计：题目给出数据与平均数，要求反求未知数的值，属于平均数定义的逆用。 （3）考查目标：考查运算能力与数据观念，要求学生能根据平均数公式列方程求解。 答案与解析 【答案】D 【分析】本题考查平均数的基础计算，根据平均数的定义列出关于 的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ 这组数据共 个，平均数为 ， ∴ 这组数据的总和为 ， 可得方程 ， 化简得 ， 解得 ． 知识总结 ① 平均数公式：x̄=(x1+x2+…+xn)/n。② 已知平均数求未知数据时，常先求总和，再列方程。③ 注意数据个数，避免漏加或重复。 5．如图，中，，，延长至D，过C作，则的度数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平行线性质与三角形外角定理 ►命题分析： （1）情境创设：以三角形一边延长后作平行线为几何情境，考查角度计算。 （2）问题设计：题目给出三角形内角与平行线条件，要求求出某角的度数，需综合运用平行线性质与外角定理。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能识别平行线带来的同位角、内错角关系。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，然后根据求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴. 知识总结 ① 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。② 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和。③ 角度计算常需设未知数，利用等量关系求解。 6．若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 命题透视 ►核心考点：平方差公式与因式分解 ►命题分析： （1）情境创设：以等式左边因式分解后对比右边形式为纯数学情境。 （2）问题设计：题目给出a²-b²=m a+nb型等式，要求学生通过平方差公式分解后比较系数，确定m、n的值。 （3）考查目标：考查运算能力与推理能力，要求学生能灵活运用公式并进行系数比较。 答案与解析 【答案】B 【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合得到和的值，即可计算出的结果． 【详解】解： 又∵，且， ∴ ，， ∴ ． 知识总结 ① 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。② 多项式恒等对应项系数相等。③ 注意符号与系数化简，避免漏项。 7．《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：二元一次方程组的应用 ►命题分析： （1）情境创设：以《九章算术》中“雀燕集称之衡”为数学文化情境，体现中国古代数学成就。 （2）问题设计：题目给出雀燕重量、互换后平衡、总重三个条件，要求学生设未知数并列出二元一次方程组。 （3）考查目标：考查模型观念与运算能力，要求学生能从古题中提取两个等量关系。 答案与解析 【答案】A 【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两 ∵5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， ∴可得方程 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀， ∴可得方程 , 因此可列方程组为． 知识总结 ① 列方程组的关键是找两个独立等量关系。② 注意单位统一，题中1斤=16两。③ 古代数学问题常需先“翻译”为现代数学语言。 8．如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：相似三角形与二次函数最值 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形中动点E、F形成线段为几何情境，考查动态几何中的最值问题。 （2）问题设计：题目设定动点E在AB上运动，过E作垂线交CD于F，要求求出某线段乘积或长度的最大值，需通过相似建立函数关系。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观与函数建模能力，要求学生能将几何动态问题转化为二次函数最值问题。 答案与解析 【答案】C 【分析】设，则，然后证明，表示出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则 ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 将代入得，． 知识总结 ① 识别相似三角形，利用对应边成比例建立函数关系。② 二次函数在闭区间上的最值需结合对称轴与自变量取值范围。③ 动点问题常设一个变量，用它表示其他相关线段。 二、填空题 9．若有意义，则的取值范围是_____． 命题透视 ►核心考点：二次根式有意义的条件 ►命题分析： （1）情境创设：以二次根式为背景，直接考查被开方数的非负性。 （2）问题设计：题目给出一个含字母的二次根式，要求确定字母的取值范围。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握二次根式有意义的条件。 答案与解析 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 知识总结 ① 二次根式√a有意义的条件是a≥0。② 若被开方数是代数式，则需解对应的不等式。③ 注意分母不能为零等附加限制。 10．点在一次函数的图像上，则a的值为_________． 命题透视 ►核心考点：一次函数图象上点的坐标特征 ►命题分析： （1）情境创设：以一次函数图象为背景，考查函数解析式与点坐标的关系。 （2）问题设计：题目给出点在一次函数图象上，要求将横坐标代入解析式求参数a的值。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生理解函数图象上的点满足函数解析式。 答案与解析 【答案】 【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， 将代入，得． 知识总结 ① 函数图象上的点坐标满足函数解析式。② 已知横坐标可求纵坐标，反之亦然。③ 点在图象上是“代入等式成立”的等价条件。 11．一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 命题透视 ►核心考点：可能性大小与简单概率 ►命题分析： （1）情境创设：以不透明袋子摸球为经典概率情境。 （2）问题设计：题目给出白球、黄球、红球数量，要求确定使摸出红球可能性最小的正整数n。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生理解可能性大小与数量多少的关系。 答案与解析 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合n为正整数即可求解． 【详解】解：白球数量为，黄球数量为3，红球数量为n， 要使摸出红球的可能性最小，需满足， 又n是正整数， n的值为1或2（答案填写一个即可）． 知识总结 ① 在总球数固定时，某种颜色球数量越少，摸出该球的可能性越小。② 要使红球可能性最小，需让红球数量小于其他各色球数量。③ 注意题目要求填写“一个”符合要求的值。 12．若，则代数式的值为_________． 命题透视 ►核心考点：整体代入法求代数式的值 ►命题分析： （1）情境创设：以分式等式为条件，求另一个代数式的值。 （2）问题设计：题目先给出关于x、y的等式，再要求用整体代入法求目标代数式的值，避免分别求x、y。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能观察式子结构，灵活运用整体代入。 答案与解析 【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 知识总结 ① 整体代入法：将已知等式变形后整体代入目标式。② 常用技巧：通分、倒数、齐次式化简。③ 不要盲目求解单个字母，先观察式子结构。 13．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 命题透视 ►核心考点：垂直平分线、直角三角形斜边中线与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：以尺规作图（作垂直平分线）为背景，结合直角三角形进行线段计算。 （2）问题设计：题目通过作图得到垂直平分线，要求学生利用垂直平分线性质、直角三角形斜边中线性质与勾股定理求线段长度。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟悉尺规作图的几何意义及相关性质。 答案与解析 【答案】 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点F是的中点，．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由勾股定理求出，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点F是的中点，， ∵，， ∴， ∴在中，． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得 ∴． 知识总结 ① 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；其逆命题也成立。② 直角三角形斜边中线等于斜边的一半。③ 勾股定理是求线段长度的核心工具，常通过设未知数列方程。 14．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 命题透视 ►核心考点：垂径定理与勾股定理的应用 ►命题分析： （1）情境创设：以苏州园林月洞门为地方文化情境，将圆弧形门洞抽象为圆与弦的问题。 （2）问题设计：题目给出月洞门的最高点到地面距离、相关线段长度，要求求出圆弧所在圆的半径，需构造垂径定理模型。 （3）考查目标：考查模型观念与几何直观，要求学生能将实际物体抽象为圆与弦的几何模型。 答案与解析 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 知识总结 ① 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧。② 常与勾股定理结合，构造直角三角形求半径。③ 实际问题中需先识别圆心、弦、弦心距等基本元素。 15．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 命题透视 ►核心考点：抛物线与正方形性质综合 ►命题分析： （1）情境创设：以二次函数图象与直线交点为几何背景，引入正方形条件。 （2）问题设计：题目给出抛物线与直线交于A、B两点，过顶点作x轴平行线，A、B向该线作垂线形成正方形，要求求参数m的值。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能结合抛物线对称性、正方形边长相等等条件列方程。 答案与解析 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 知识总结 ① 抛物线顶点式可快速确定顶点与对称轴。② 正方形四边相等、四角为直角，常转化为坐标差相等。③ 联立抛物线与直线方程求交点坐标是常用策略。 16．如图，在等边中，，分别是，边上的点，．将沿翻折得到，若点恰好落在边上，则线段长度的最小值为_________． 命题透视 ►核心考点：等边三角形折叠与线段最值 ►命题分析： （1）情境创设：以等边三角形中沿某线折叠为几何变换情境。 （2）问题设计：题目在等边三角形中给出线段关系，将三角形某部分折叠后使点落在边上，要求求另一线段长度的最小值。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能利用折叠对称性、等边三角形性质与最值思想。 答案与解析 【答案】/ 【分析】过点D作于点H，则．设，则，，根据列出不等式，求解即可． 【详解】解：过点D作于点H，则． 设，则， 由折叠可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴的最小值为． 知识总结 ① 折叠是一种轴对称变换，对应线段相等、对应角相等。② 等边三角形三边相等、三角均为60°。③ 求线段最值常转化为点到直线的距离或利用不等式、二次函数。 三、解答题 17．计算：． 命题透视 ►核心考点：实数的混合运算 ►命题分析： （1）情境创设：以纯数学计算题为背景，考查实数运算综合能力。 （2）问题设计：题目给出一个包含乘方、开方、绝对值、三角函数值等的综合算式，要求计算结果。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生熟练掌握实数运算顺序与特殊角的三角函数值。 答案与解析 【答案】9 【详解】解：原式 知识总结 ① 实数混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号。② 熟记特殊角三角函数值。③ 注意符号变化与分母有理化。 18．解不等式组： 命题透视 ►核心考点：解一元一次不等式组 ►命题分析： （1）情境创设：以纯数学计算题为背景，考查不等式组的解法。 （2）问题设计：题目给出一个一元一次不等式组，要求写出解集，并注意数轴表示。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能正确求解每个不等式并确定公共解集。 答案与解析 【答案】 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集是． 知识总结 ① 分别求出每个不等式的解集，再取公共部分。② 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解。③ 注意不等号方向在乘除负数时要改变。 19．先化简，再求值：，其中． 命题透视 ►核心考点：整式与分式的化简求值 ►命题分析： （1）情境创设：以纯数学计算题为背景，考查代数式的化简与代入求值。 （2）问题设计：题目要求先化简分式或整式，再代入具体数值求值，强调运算的规范性与准确性。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握因式分解、通分、约分等代数变形技巧。 答案与解析 【答案】；6 【详解】解：原式 当时，原式． 知识总结 ① 先化简：通分、因式分解、约分。② 再代入：注意代入值是否使原式分母为零。③ 书写规范，避免跳步导致符号错误。 20．为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示： 项目 主题 A 红色光影—革命事迹影展 B 红色工坊—袖章主题手作 C 红色出发—重走红色五卅 D 红色讲述—苏州解放故事 甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加． (1)甲同学选择项目C的概率为_________； (2)求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 命题透视 ►核心考点：列表法或树状图求概率 ►命题分析： （1）情境创设：以学校“青春荟萃·追光少年”红色主题活动为情境，两位同学从四个项目中选择参加活动。 （2）问题设计：第（1）问直接用概率公式求单人选中某项目的概率；第（2）问要求用树状图或列表法求两人选择相同项目的概率。 （3）考查目标：考查数据观念与模型观念，要求学生能列举所有等可能结果并计算概率。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解： 甲同学选择项目C的概率为； （2）解：列表如下： 甲乙 A B C D A B C D ∴共有16种可能结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果有4种， ∴甲、乙两位同学选择相同项目的概率为． 知识总结 ① 概率=所求事件发生的结果数/所有可能结果数。② 两步试验常用列表法或树状图列举。③ 区分“放回”与“不放回”对结果数的影响。 21．如图，在中，点E，F分别是边，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 命题透视 ►核心考点：平行四边形的判定与性质、解直角三角形 ►命题分析： （1）情境创设：以平行四边形中点连线为几何情境。 （2）问题设计：第（1）问证明四边形为平行四边形；第（2）问在给定边长与角度条件下求平行四边形面积，需解直角三角形求高。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟练运用平行四边形性质与解直角三角形。 答案与解析 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点分别是边的中点， ． ． ∵， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，再根据中点的定义得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）过作，垂足为．通过解直角三角形求出，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作，垂足为． ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 知识总结 ① 平行四边形判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、对角线互相平分等。② 求平行四边形面积常用底×高，高常通过解直角三角形得到。③ 注意选择便于计算的底和高。 22．某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 课外阅读一周累计时长统计表 组别 累计时长（单位：分） 人数 A 8 B 12 C 25 D m E 6 课外阅读一周累计时长扇形统计图 请根据以上信息，完成下列问题： (1)上述图表中，_________，_________； (2)在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角为_________°； (3)若该校八年级学生一共有1020人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数． 命题透视 ►核心考点：频数分布表、扇形统计图与样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：以学校八年级学生课外阅读时长调查为统计情境。 （2）问题设计：题目给出频数分布表与扇形统计图的部分信息，要求学生补全数据、计算圆心角，并用样本估计总体。 （3）考查目标：考查数据分析与数据观念，要求学生能从统计图表中提取信息并进行合理推断。 答案与解析 【答案】(1)9，10 (2)150 (3)680人 【分析】（1）将B组人数除以其百分比，得到本次调查的总人数，将总人数减去已知其他各组的人数，即可求出m的值，将E组人数除以总人数，即可求出n的值； （2）将C组人数所占比例乘以，即可解答； （3）将全校人数乘以调查的学生中一周累计时长超过120分钟的学生比例，即可解答． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）， D组的人数， E组所占百分比为，即． （2）解：“C组”所对应的扇形的圆心角为． （3）解：（人）， 答：估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生有680人． 知识总结 ① 频数=总数×频率，频率=频数/总数。② 扇形圆心角=360°×频率。③ 样本估计总体时，用样本比例乘以总体容量。 23．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 命题透视 ►核心考点：一次函数与反比例函数综合 ►命题分析： （1）情境创设：以平面直角坐标系中一次函数与反比例函数图象交点为函数情境。 （2）问题设计：第（1）问用待定系数法求一次函数解析式中的参数；第（2）问在反比例函数图象上构造等腰直角三角形，求点坐标与反比例系数k。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生能结合函数图象性质与几何图形特征进行综合分析。 答案与解析 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 知识总结 ① 待定系数法求函数解析式：代入已知点坐标列方程。② 反比例函数图象上的点满足xy=k。③ 等腰直角三角形可利用“横纵坐标差相等”或“旋转90°”建立关系。 24．如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 命题透视 ►核心考点：等边三角形判定、光的反射定律与解直角三角形 ►命题分析： （1）情境创设：以物理光学中的光的反射为跨学科情境，将反射定律转化为几何角度关系。 （2）问题设计：第（1）问利用反射定律证明某三角形为等边三角形；第（2）问在平面镜旋转后求特定角度及光点移动距离。 （3）考查目标：考查模型观念与几何直观，要求学生能将物理规律翻译为几何条件并运用三角函数求解。 答案与解析 【答案】(1) 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； (2)①75    ②的长为厘米 【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论； (2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到； ②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由(1)知，由①知， ∴． 由(1)知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵， ∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 知识总结 ① 光的反射定律：反射角等于入射角。② 等边三角形判定：三边相等、三角均为60°或两边相等且夹角为60°。③ 解直角三角形时常用30°-60°-90°与45°-45°-90°的边长比例。 25．如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求的值． 命题透视 ►核心考点：圆的切线、相似三角形与锐角三角函数 ►命题分析： （1）情境创设：以圆外一点引切线、连接中点的几何情境。 （2）问题设计：第（1）问证明某直线为圆的切线；第（2）问在已知边长与三角函数值条件下求线段长与三角函数值，提供多种解法。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，要求学生熟练运用切线判定、全等相似、解直角三角形等知识。 答案与解析 【答案】(1)证明：为的切线， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 是的半径， 为的切线． (2)；② 【分析】（1）由为的切线，得到．根据平行线的性质得到，结合，得到，从而证明，因此，即可得证结论； （2）①连接，通过解直角三角形得到，因此，由是的直径得到，在中解直角三角形即可求解； ②方法一：取的中点，连接，则，根据得到，根据三角形中位线的性质得到，．证明，得出，进而可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解； 方法二：过点作，交的延长线于点．证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而求出．再证明，求出，即可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴ 是的直径， ∴，． ∴． ②方法一：取的中点，连接，则． ， ∴． ∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴在中，． 方法二：过点作，交的延长线于点． ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴． ∴在中，． 知识总结 ① 切线判定：连半径，证垂直。② 证明线段相等常考虑全等三角形。③ 求三角函数值可构造直角三角形，或利用相似三角形对应边成比例。 26．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 命题透视 ►核心考点：一次函数模型、不等式组与方案选择 ►命题分析： （1）情境创设：以道路红绿灯控制为实际应用情境，将车辆通过路口问题抽象为函数与不等式组问题。 （2）问题设计：题目给出三路口红绿灯周期与距离，第（1）问判断特定速度下能否不停车通过；第（2）问求速度取值范围；第（3）问探究存在性问题。 （3）考查目标：考查模型观念与应用意识，要求学生能将实际时间窗口转化为不等式组并求解。 答案与解析 【答案】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； (2) (3)或 【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可； （3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； （3）解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 知识总结 ① 建立路程=速度×时间模型。② 不停车通过意味着到达路口时刻落在绿灯窗口内。③ 多路口连续通过需同时满足多个不等式，注意端点是否取等。④ 存在性问题常需分类讨论不同绿灯周期。 27．将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 命题透视 ►核心考点：“吸收函数”新定义、二次函数最值与面积问题 ►命题分析： （1）情境创设：以“二次函数对一次函数的吸收”为新定义情境，属于创新型函数综合题。 （2）问题设计：第（1）问根据新定义写出吸收函数表达式，利用与x轴交点求参数；第（2）问探究吸收函数最值与一次函数交点形成的三角形面积问题。 （3）考查目标：考查创新意识与推理能力，要求学生能理解新定义、进行代数变形并结合二次函数性质与面积公式求解。 答案与解析 【答案】(1) (2) ； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ． ， ； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 知识总结 ① 新定义题要严格按照定义写出函数表达式。② 二次函数最值问题注意开口方向与对称轴位置。③ 两函数图象交点坐标通过联立方程求解。④ 三角形面积常用“铅垂高×水平宽÷2”或分割法计算。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $