解题大招05 解决不等式问题的四大秘密武器：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以四大不等式为核心，构建“定义-题型-技巧”三维方法体系，通过典型例题实现知识逻辑与解题能力的统一，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |权方和不等式|1典例+3跟踪|分子次数比分母多1，构造定值|从二维到一般形式，聚焦分式最值| |琴生不等式|1典例+2跟踪|构造凹凸函数，利用加权不等式|定义凹凸性，推导不等关系，解决多元最值| |糖水不等式|2典例+3跟踪|添常数凑形式，利用浓度增大原理|从基础到对数型，覆盖分式比较与证明| |万能K法|2典例+3跟踪|设k联立二次式，用判别式求范围|通过消元转化，适用于齐次式与二元范围|

解题大招05 解决不等式问题的四大秘密武器：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法 知识点01 权方和不等式 1．二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． 2．一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 知识点02 琴生不等式 1.凹(凸)函数的定义 设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f ≤，则称f(x)为[a，b]上的凹函数； 反之，若有f ≥，则称f(x)为[a，b]上的凸函数. 2.琴生不等式 (1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”). (2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，=1，有. 说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式. 知识点03 糖水不等式 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 知识点04 万能K法 对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法. 题型01 权方和不等式的应用 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次. 【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数详解式变形，从而利用权方和不等式求最值. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 2．（2026·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 题型02 琴生不等式的应用 琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值. 【典例2-1】半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是　　　　　　.  【答案】 【详解】 设圆O的内接三角形为． 显然当是锐角或直角三角形时，面积可以取得最大值 （因为若是钝角三角形，可将钝角（不妨设为）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为 ．因此， ）． 设， 则 ． 由讨论知可设，而在 上是凸函数. 则由琴生不等式知 所以 ， 当且仅当 是正三角形时，等号成立 【跟踪训练】 1．设x1，x2，…，x2 027>0，且x1+x2+…+x2 027=1，则的最小值为 __________. 【答案】 【详解】构造函数，易证函数 在 上为凹函数． 由琴生不等式，得 即 ． 所以 ，当且仅当 时， 的最小值为． 2．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数． (1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)试判断在上的凹凸性，并说明理由； (3)设，，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)在上为凹函数，理由见详解； (3) 【分析】（1）利用单调性化简不等式为，再用恒成立并结合最值求解. （2）判断函数的凹凸性，再利用凹函数的定义推理证明. （3）结合（2）判断为凹函数，再利用琴生不等式求的最值. 【详解】（1）函数在上单调递增， 不等式， 依题意，对任意，恒成立，即对任意，恒成立， 而当时，，则； 当，即时，，则， 所以实数的取值范围是. （2）函数在上为凹函数. 证明如下： ，， 则 ， 所以在上为凹函数. （3）令，由（2）知在上为凹函数， 因此在上为凹函数， 由，得， 由琴生不等式得， 即， 因此，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 题型03 糖水不等式定理的应用 熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误. 【典例3-1】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】法一：，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 法二：由糖水不等式的倒数形式， , 则有 ,故B正确； 以下同解法一. 【典例3-2】设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由题意可知,, , 利用糖水不等式可知; 又, 又因为, 同理根据糖水不等式,,即,故选：D. 【跟踪训练】 1.(多选题)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 【答案】ABC 【详解】 由,则.若 , . 若,则，故. 若,则，故. 由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC. 2.(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 【答案】BCD 【详解】A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误. B. , 故 B 正确. C. , 故 C 正确. D. , , 故 D 正确.故选: BCD. 3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）利用（1）的结论比较的大小. 【答案】 (i)，证明见详解；(ii） 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 题型04 对数糖水不等式的应用 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 【典例4】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一（对数型糖水不等式） 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 选 A. 解法二（普通型糖水不等式） 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 选 A. 【跟踪训练】 1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数性质知， ， ， 所以，，； 由糖水不等式知：， 所以,所以. 2．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：， 所以则， ， 所以，所以. 由对数型糖水不等式得：，， 所以则，所以. 3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 令，， ， 因为，所以， 令，，在上恒成立，在上单调递增， 故，所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，即， 故选：D. 秒解：由对数糖水不等式得，即 题型05 万能K法的应用 设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程. 利用方程有实根，由判别式 Δ≥0建立不等式求解k范围. 适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值. 技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零. 局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算. 【典例5-1】若存在正实数,使得,则实数的最大值为（ ） A. B. C.1 D.2 【答案】A 【详解】, , , , ， 解得：① ， ② 由①②可得： 综上：的最大值是.故答案为. 【典例5-2】1.已知实数满足,则的最大值是 . 【答案】 【详解】方法1:令,则,代入原式化简得, 因为存在实数,则,即, 化简得：,解得：, 故的最大值是,故选：C. 方法2:,整理得, 令,其中, 则, 所以,则,即时,取得最大值. 【跟踪训练】 1.若实数满足,则的最大值是（ ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【详解】方法1(万能法): 令, 则 , 代入得：, 整理可得：,即 . ,得：, 故. 方法2: , . , .解得：. 故可知的最大值是.故答案为. 2．实数满足,设,则 . 【答案】. 【详解】方法1: 令,则. , . . 又. 关于的方程在上有解.. . 的最小值为.. . 又. 设. .即. . . . .故答案为：. 方法2:令. 整理得： . 即. 解得：. . . 3．已知实数满足,,则的最大值是 . 【答案】. 【详解】方法 1:令时,. 为实数, ,即,解得：. 方法2:，因为, 所以 , 解得：, 所以的最大值为, 故答案为：. 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一： 所以. 解法二：由糖水不等式可得，即a<b<c。 2．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】D 【详解】，因函数在上单调递增， 则，. ，因，则 . 故， （另：也可用对数糖水不等式直接得到） 综上有. 3．已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】据糖水不等式,所以, 所以,即.故选: B. 4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 5．在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是(　　) A. B.3 C. D. 【答案】D 【详解】因为在区间上是凸函数，根据琴生不等式可得， 得，当且仅当时等号成立， 即的最大值是 ． 则 ，即， 另一方面， 由均为锐角，则，从而 ． 又 有 综上， ． 6.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 【答案】ABC 【详解】 由,则.若 , . 若,则，故. 若,则，故. 由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用不等式构造定值求解即可. 【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 10．若正实数满足,则的最小值为 . 【答案】. 【详解】方法1: 正实数 满足 , ∴， 当且仅当,即时取等号,则的最小值为. 方法2: 令,则带入原式, 整理得,从而, , 解得：或(舍),故答案为：. 11．已知正实数满足,那么的最大值为 . 【答案】. 【详解】正实数满足，化为，关于的一元二次方程有正实数根，，又，解得.那么的最大值为 .故答案为 . 12．已知实数满足,则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设,则. , ,整理得：. 是正实数, ,即, 整理得：, 解得：或 (舍去).故答案为：. 13．设 分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 的取值范围为 【答案】 【详解】在长方体中有， 注意到 因为，均为锐角，所以 ． 从而，即 ． 同理， 又 在 上为凸函数，由琴生不等式有 则 ，即 ． 另一方面， 由 均为锐角，则 ．从而 ． 又 有 综上， ． 14．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见详解； (2)60； (3)解法不正确，理由见详解. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招05 解决不等式问题的四大秘密武器：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法 知识点01 权方和不等式 1．二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． 2．一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 知识点02 琴生不等式 1.凹(凸)函数的定义 设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f ≤，则称f(x)为[a，b]上的凹函数； 反之，若有f ≥，则称f(x)为[a，b]上的凸函数. 2.琴生不等式 (1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”). (2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，=1，有. 说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式. 知识点03 糖水不等式 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 2.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 知识点04 万能K法 对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法. 题型01 权方和不等式的应用 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次. 【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 2．（2026·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 题型02 琴生不等式的应用 琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值. 【典例2-1】半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是　　　　　　.  【跟踪训练】 1．设x1，x2，…，x2 027>0，且x1+x2+…+x2 027=1，则的最小值为 __________. 2．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数． (1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)试判断在上的凹凸性，并说明理由； (3)设，，且，求的最小值． 题型03 糖水不等式定理的应用 熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误. 【典例3-1】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【跟踪训练】 1.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 2.(多选) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）利用（1）的结论比较的大小. 题型04 对数糖水不等式的应用 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 【典例4】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型05 万能K法的应用 设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程. 利用方程有实根，由判别式 Δ≥0建立不等式求解k范围. 适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值. 技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零. 局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算. 【典例5-1】若存在正实数,使得,则实数的最大值为（ ） A. B. C.1 D.2 【典例5-2】1.已知实数满足,则的最大值是 . 【跟踪训练】 1.若实数满足,则的最大值是（ ） A.1 B. C. D.2 2．实数满足,设,则 . 3．已知实数满足,,则的最大值是 . 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 3．已知,则( ) A. B. C. D. 4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 5．在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是(　　) A. B.3 C. D. 6.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 7．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 10．若正实数满足,则的最小值为 . 11．已知正实数满足,那么的最大值为 . 12．已知实数满足,则的取值范围是 . 13．设 分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 的取值范围为 14．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $