专题1.4 不等式拓展（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式、万能k法）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式及万能k法四大核心拓展考点，按“原理阐释-典例精析-分层练习”逻辑架构，通过考点梳理、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建不等式问题的解题体系，突破高考难点。 资料以生活情境（如糖水变甜）引入概念，用“数学眼光”抽象数量关系，通过对比柯西与权方和不等式的推导培养“数学思维”，设置从基础到综合的梯度训练，配合万能k法的步骤化教学，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供实用指导。

专题1.4 不等式拓展（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式、万能k法） 1.4.1 糖水不等式 假如有一杯糖水，糖水质量为a，糖水中糖的质量为b，则此时糖水的浓度为：，此时a>b>0，若向杯中加入m(m>0)克糖，此时糖水的质量为a+m，糖的质量为b+m，则此时糖水的浓度为.由生活常识可知，糖水会变甜，即加入糖后，糖水的浓度变大了.由此可得糖水不等式：. 例1.已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水 中含糖浓度更大），对应的不等式为，若x1＝log32，x2＝log2114， x3＝log6328，则（　　） A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x3＜x1＜x2 例2.比较和的大小. 例3.已知.设,则( ) A. B. C. D. 例4.已知,则( ) A. B. C. D. 例5.已知,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 1.a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度， 如果再添加m克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 ，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的 是（　　 ） A．log85＜log1610 B． C． D． 2.(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 3.若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如 果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 （a＞b＞0，m＞0）数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可判断log32与log1510的 大小：例如，试比较log43　 　log54的大小（填” ＜”或”＞”或”＝”）． 4.设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 5.使得不等式对唯一的整数k成立的最大正整数n为　 　． 6.已知,,.则（ ） A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 7.已知b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），往糖水中加入m克糖（m＞0），（假设全部溶解）糖水更甜了．这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）利用（i）的结论比较的大小． 8.比较以下三个值的大小：log23，log34，log45． 9.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖 (假设全部溶解)，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立; （2）在锐角中，根据(1)中的结论，证明：. 1.4.2 柯西不等式 1.（1）二维柯西不等式：，等号成立条件： . （2）多维柯西不等式:.等号成立条件:. 2.（1）二维柯西不等式的代数法证明：.当且仅当,即时成立. （2）多维柯西不等式向量法证明：令 则= . ∵， ∴. 则.等号成立条件： . 例1.柯西不等式（Caulhy﹣SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别 独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2） ≥（ac+bd）2，当且仅当时等号成立．根据柯西不等式，已知x＞0，y∈R，且x2+xy﹣ x+5y＝30，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 例2.设，则的最小值为 . 例3.已知，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 例4.已知实数，则的最小值是 . 例5.已知实数满足，则的最大值为 . 例6.已知均为非负数，且，则的最小值为 . 1.柯西不等式（Cauchy﹣SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独 立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2） ≥（ac+bd）2，当且仅当ad＝bc时即时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2.设，且，则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 3.若为实数，且，求的最小值为 . 4.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广 泛的应用．二维柯西不等式为（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成 立．已知a＞0，b＞0，直线y＝2x﹣3a与曲线y＝ln（2x+b）相切，则的最大值为 （　　） A． B． C． D． 5.由柯西不等式，当x+2y+z＝4时，求的最大值为（　　） A．10 B．4 C．2 D． 6.用柯西不等式求函数y的最大值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 7.若，则的最小值是 ( ) A. 0 B. C. D. 8.函数y＝5的最大值为　　 ，此时x＝　　 .（利用柯西不等式）. 9.已知实数x，y满足4，由柯西不等式可知x+y的最小值是　　 ． 10.实数x、y满足3x2+2y2＝6，则2x+y的最大值是　 　（用柯西不等式解）． 11.（1）证明二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）； （2）若实数x，y，z满足x2+y2+z2＝3，求x+2y﹣2z的取值范围． 12.（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2， 并指出此不等式里等号成立的条件： （2）用柯西不等式求函数y＝24的最大值． 1.4.3 权方和不等式 1.柯西不等式:对于任意的恒有不等式. 2.权方和不等式：当时，,当且仅当时,等号成立. 推导：由柯西不等式变形, 易得.在时,我们就有:,当且仅当时,等号成立.这就是权方和不等式.权方和不等式拓展形式: （1）若,则：成立,当且仅当时,等号成立. （2）对于, ,，当且仅当时,等号成立. 观察上式特征, 成为该不等式的权,它的特点是:分子的幂指数比分母的幂指数高次. 例1.已知，则最小值为 . 例2.已知，求最小值为 . 例3.若,且,则的最小值为 . 例4.已知,,则的最大值为 . 例5.已知，则最小值为 . 1.已知，且，则的最小值为 . 2.求的最大值为 . 3.已知，则的最小值为 . 4.已知，则最小值为 . 5.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表达式如下：设正数，满足，当且仅当时，等号成立.则函数的最小值为 . 6.已知,则的最小值为 . 7.若正数满足,则的最小值为 . 8.已知正数满足,则的最小值为 . 9.已知实数,且,则 的最小值为 . 10.已知，则最小值为 . 11.已知，求证：. 12.已知，求证：. 1.4.4 万能k法 万能k法求取值范围的核心思路： （1）对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于. （2）然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程. （3）然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可. 例1.已知实数满足，则的取值范围为 . 例2.若正实数满足，则的最小值为 . 例3.存在正数满足，则的最大值为 . 例4.已知，，则最小值为 . 例5.已知正实数满足,那么的最大值为 . 1.已知，则的取值范围为 . 2.若实数满足,则的最大值是 . 3.已知，则的取值范围为 . 4.实数满足，则的取值范围 . 5.存在实数，满足，且有解，则取值范围为 . 6.已知实数满足,则的取值范围是 . 7.已知满足，则的取值范围为 . 8.设正实数满足,则实数的取值范围是 . 9.实数满足，则的取值范围为 . 10.若存在正实数,使得,则实数的最大值为 . 11.，，则值域为 . 12.已知实数满足,则的最大值是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 不等式拓展（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式、万能k法） 1.4.1 糖水不等式 假如有一杯糖水，糖水质量为a，糖水中糖的质量为b，则此时糖水的浓度为：，此时a>b>0，若向杯中加入m(m>0)克糖，此时糖水的质量为a+m，糖的质量为b+m，则此时糖水的浓度为.由生活常识可知，糖水会变甜，即加入糖后，糖水的浓度变大了.由此可得糖水不等式：. 例1.已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水 中含糖浓度更大），对应的不等式为，若x1＝log32，x2＝log2114， x3＝log6328，则（　　） A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x3＜x1＜x2 解：因为不等式为成立， 由题意知， 又． 综上，x1＜x3＜x2．故选：A． 例2.比较和的大小. 解：∵，， 所以由糖水不等式可得：，∴. 例3.已知.设,则( ) A. B. C. D. 解:方法1: 由题意可知, ; 由,得,由,得, ,可得; 由,得,由,得, , ,可得. 综上所述,.故选: A. 方法2:先利用换底公式变化 , , ,排除D.故选A. 例4.已知,则( ) A. B. C. D. 解：据糖水不等式,所以, 所以,即.故选: B. 例5.已知,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解： 则， ，则.故选:D. 1.a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度， 如果再添加m克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 ，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的 是（　　 ） A．log85＜log1610 B． C． D． 解：对于A，lg8＞lg5，lg2＞0，，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误， 对于D，∵，∴，故D错误．故选：A． 2.(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 解：A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误. B. , 故 B 正确. C. , 故 C 正确. D. , , 故 D 正确.故选: BCD. 3.若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如 果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 （a＞b＞0，m＞0）数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可判断log32与log1510的 大小：例如，试比较log43　 　log54的大小（填” ＜”或”＞”或”＝”）． 解：依题意．故答案为：＜． 4.设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：由题意可知,, , 利用糖水不等式可知; 又,又因为, 同理根据糖水不等式,,即,故选：D. 5.使得不等式对唯一的整数k成立的最大正整数n为　 　． 解：由得，即1，整理，得， 由k的唯一性，得且，所以， 所以n≤2×195＝390，当n＝390时，由得208＜k＜210，所以k＝209， 且唯一存在．所以满足条件的最大正整数n为390．故答案为：390． 6.已知,,.则（ ） A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 解：方法一：显然，，则， 因此，令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，即有，于是，有， 则，即，所以.故选：. 方法二：，则；，则；根据糖水不等式得， .∴，故排除ABC.故选:D. 7.已知b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），往糖水中加入m克糖（m＞0），（假设全部溶解）糖水更甜了．这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）利用（i）的结论比较的大小． 解：（i）， 证明：， 因为b＞a＞0，m＞0，所以a﹣b＜0，b+m＞0，所以，即； （ii）M，N所以由（1）中的结论可得M＞N， 即M＞N． 8.比较以下三个值的大小：log23，log34，log45． 解：由（1）知b＞a＞0，m＞0时，，即； 则， ∴log23＞log34， 又， ∴log34＞log45 综上所述，log23＞log34＞log45． 9.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖 (假设全部溶解)，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立; （2）在锐角中，根据(1)中的结论，证明：. 解: (1)若，则. 证明: . 因为，所以，又，故.因此. (2)证明: 在锐角三角形中，由 (1) 得, 同理，.以上各式子相加得. 1.4.2 柯西不等式 1.（1）二维柯西不等式：，等号成立条件： . （2）多维柯西不等式:.等号成立条件:. 2.（1）二维柯西不等式的代数法证明：.当且仅当,即时成立. （2）多维柯西不等式向量法证明：令 则= . ∵， ∴. 则.等号成立条件： . 例1.柯西不等式（Caulhy﹣SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别 独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2） ≥（ac+bd）2，当且仅当时等号成立．根据柯西不等式，已知x＞0，y∈R，且x2+xy﹣ x+5y＝30，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 解：原式x2+xy﹣x+5y＝30，可化为（x+5）（x+y﹣6）＝0， 由x＞0，得x+y＝6，则， 由x＞0，2﹣x≥0，得0＜x≤2， 由柯西不等式得（）224， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为．故选：C． 例2.设，则的最小值为 . 解：方法一：， 当且仅当 时，等号成立. 方法二：由柯西不等式可知， 当且仅当 时，等号成立.故答案为：9. 例3.已知，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 解：由柯西不等式得: =. 所以时, 等号成立, 故选B. 例4.已知实数，则的最小值是 . 解: 当且仅当时取等号，故答案为:. 例5.已知实数满足，则的最大值为 . 解：根据柯西不等式:， 根据柯西不等式，对于实数，有. 令，则, , , , 当等号成立时，即 ，也就是，即. 此时取得最大值.故的最大值为. 例6.已知均为非负数，且，则的最小值为 . 解:因为 均为非负数, 且 , 则 , 所以由柯西不等式可得: 所以；当且仅当 即，解得： 即 时, 等号成立.故的最大值为2.故答案为：2. 1.柯西不等式（Cauchy﹣SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独 立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2） ≥（ac+bd）2，当且仅当ad＝bc时即时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号．故选：A． 2.设，且，则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解：∵， ∴，时等号成立.故选: . 3.若为实数，且，求的最小值为 . 解：由柯西不等式,得：， 因为,所以,当且仅当时,不等式取等号, 此时,所以 的最小值为4. 故答案为: 4. 4.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广 泛的应用．二维柯西不等式为（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成 立．已知a＞0，b＞0，直线y＝2x﹣3a与曲线y＝ln（2x+b）相切，则的最大值为 （　　） A． B． C． D． 解：因为y＝ln（2x+b），所以， 设直线y＝2x﹣3a与曲线y＝ln（2x+b）相切的切点为（x0，y0）， 则，即2x0+b＝1，则，得2x0﹣3a＝ln（2x0+b）＝ln1＝0， 所以，代入2x0+b＝1得3a+b＝1，因为a＞0，b＞0， 所以：， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立． 故选：B． 5.由柯西不等式，当x+2y+z＝4时，求的最大值为（　　） A．10 B．4 C．2 D． 解：由柯西不等式，得， 当且仅当，即x＝z，y时，等号成立． 因为x+2y+z＝4，所以， 则，故的最大值为．故选：D． 6.用柯西不等式求函数y的最大值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 解：由柯西不等式可得， 函数y•4， 当且仅当 时，等号成立，故函数y的最大值为4.故选：C． 7.若，则的最小值是 ( ) A. 0 B. C. D. 解：由已知， 整理得， 由柯西不等式得 ， 当 时取等号, 所以, 即 解得, 所以的最小值为.故选：C. 8.函数y＝5的最大值为　　 ，此时x＝　　 .（利用柯西不等式） 解：由柯西不等式得： [52+12][（）2+（）2]≥（51）2 ∴（5）2≤26×9， ∴53，当且仅当51时，取等号，即x时取等号．故答案为：3，. 9.已知实数x，y满足4，由柯西不等式可知x+y的最小值是　　 ． 解：∵实数x，y满足4， 由柯西不等式可得（2x+1+2y+3）（1+1）， 即 4x+4y+8≥16，求得x+y≥2，当且仅当 2时，取等号， 故x+y的最小值是2，故答案为：2． 10.实数x、y满足3x2+2y2＝6，则2x+y的最大值是　 　（用柯西不等式解）． 解：由柯西不等式得 （3x2+2y2）（）≥（2x+y）2，故（2x+y）2≤611， ∴2x+y，∴2x+y的最大值是，故答案为：． 11.（1）证明二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）； （2）若实数x，y，z满足x2+y2+z2＝3，求x+2y﹣2z的取值范围． 解：（1）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2d2﹣2adbc+b2c2＝（ad﹣bc）2≥0， ∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，当且仅当ad＝bc时取得等号． （2）∵（x+2y﹣2z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+（﹣2）2）＝3×9＝27， ∴． 12.（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2， 并指出此不等式里等号成立的条件： （2）用柯西不等式求函数y＝24的最大值． 解：（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2d2+b2c2﹣2adbc＝（ad﹣bc）2≥0， 当且仅当ad﹣bc＝0时，等号成立． （2）解：函数的定义域为[3，5]，且y＞0， 则， 当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值． 1.4.3 权方和不等式 1.柯西不等式:对于任意的恒有不等式. 2.权方和不等式：当时，,当且仅当时,等号成立. 推导：由柯西不等式变形, 易得.在时,我们就有:,当且仅当时,等号成立.这就是权方和不等式.权方和不等式拓展形式: （1）若,则：成立,当且仅当时,等号成立. （2）对于, ,，当且仅当时,等号成立. 观察上式特征, 成为该不等式的权,它的特点是:分子的幂指数比分母的幂指数高次. 例1.已知，则最小值为 . 解：， 则，，当且仅当：等号成立. 故答案为：. 例2.已知，求最小值为 . 解：， 等号条件：，，，等号成立.故答案为：6. 例3.若,且,则的最小值为 . 解:当且仅当,当且仅当时取等号. 故答案为：. 例4.已知,,则的最大值为 . 解：，则，当且仅当时取等号.故答案为：2. 例5.已知，则最小值为 . 解：，当，时等号成立. 故答案为：54. 1.已知，且，则的最小值为 . 解：方法一：设， 可解得，从而 =， 当且仅当时取等号.故答案为:. 方法二: 考虑直接使用柯西不等式的特殊形式, 即权方和不等式: ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为:. 2.求的最大值为 . 解:， 当且仅当 即或时取等号. 故答案为: . 3.已知，则的最小值为 . 解：，当等号成立.则的最小值为3.故答案为：. 4.已知，则最小值为 . 解：，当时等号成立.所以最小值为3.故答案为：3. 5.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表达式如下：设正数，满足，当且仅当时，等号成立.则函数的最小值为 . 解：因为,则,当且仅当时等号成立,又,即, 于是得,当且仅当,即时取“=”, 所以函数的最小值为.故答案为：. 6.已知,则的最小值为 . 解:令. ,, 当且仅当取等号，故答案为：. 7.若正数满足,则的最小值为 . 解:,当且仅当时取等号.解得：. 故答案为: 9. 8.已知正数满足,则的最小值为 . 解:,当且仅当时取等. 故答案为:1. 9.已知实数,且,则 的最小值为 . 解:, 当且仅当 时取等号.故答案为：. 10.已知，则最小值为 . 解： .所以最小值为.故答案为：. 11.已知，求证：. 解：， 原式，等号成立. 所以. 12.已知，求证：. 解：，等号成立. 所以. 1.4.4 万能k法 万能k法求取值范围的核心思路： （1）对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于. （2）然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程. （3）然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可. 例1.已知实数满足，则的取值范围为 . 解：令，代入原式：， ， ， 关于一元二次方程有实根，：， 解得：，所以.故答案为：. 例2.若正实数满足，则的最小值为 . 解：由，令， 代入得：， 化简得：， 结合，可解得，. 故答案为：. 例3.存在正数满足，则的最大值为 . 解：交叉相乘：， 看作一元二次，，令关于：， 则，解得， 故.故答案为：. 例4.已知，，则最小值为 . 解：由， 令，整理：， ，有实根，结合范围，解得. 故答案为：. 例5.已知正实数满足,那么的最大值为 . 解：正实数满足，化为，关于的一元二次方程有正实数根，，又，解得.那么的最大值为 .故答案为 . 1.已知，则的取值范围为 . 解：令，代入：， 设，，，解得：. 故答案为：. 2.若实数满足,则的最大值是 . 解：方法1(万能法): 令, 则 , 代入得：, 整理可得：,即 . ,得：,故. 方法2: , . , .解得：. 故可知的最大值是.故答案为. 3.已知，则的取值范围为 . 解：令，代入：， 化简得：，则， 解得：.故答案为：. 4.实数满足，则的取值范围 . 解：原式，令，代入得： ， 设，， 故，故. 故答案为：. 5.存在实数，满足，且有解，则取值范围为 . 解：，令，， 构造方程得：，， 再结合，，， 联立两式判别式，最终解得：. 故答案为：. 6.已知实数满足,则的取值范围是 . 解：设,则. , ,整理得：. 是正实数, ,即, 整理得：, 解得：或 (舍去).故答案为：. 7.已知满足，则的取值范围为 . 解：令，原式配方： 代入整理一元二次，： 解得：.故答案为：. 8.设正实数满足,则实数的取值范围是 . 解：正实数满足，化为， 关于的方程有正实数根，. 又，与同号，，解得：. 由，，. ，， ，解得:. 实数的取值范围是.故答案为. 9.实数满足，则的取值范围为 . 解：令，∵，则， 所求，由存在，：， 代入解不等式得，二次函数在区间最值：. 故答案为：. 10.若存在正实数,使得,则实数的最大值为 . 解：, , , , ， 解得：① ， ② 由①②可得： 综上：的最大值是.故答案为. 11.，，则值域为 . 解：，代入得：， ， ，解得：或. 故答案为：. 12.已知实数满足,则的最大值是 . 解：方法1:令,则,代入原式化简得, 因为存在实数,则,即, 化简得：,解得：, 故的最大值是. 方法2:,整理得, 令,其中, 则, 所以,则,即时,取得最大值.故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $