26.4　实际问题与二次函数第1课时课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用二次函数解决最大高度、图形面积问题”，通过“抛球最大高度、篱笆围最大面积”等生活情境导入，衔接二次函数图象与性质，搭建从数学知识到实际问题的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，通过跳水高度计算、矩形菜园面积求解等例题及跟踪训练，培养学生的模型意识、抽象能力和推理能力。采用“情境—建模—反思”教学法，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升应用意识，也为教师提供了完整的教学流程与实例。

第1课时　最大高度、图形 面积问题 第二十六章　26.4　实际问题与二次函数 2026-2027学年人教版数学九年级上册 学习目标 1.能利用二次函数解决与最大高度、最大图形面积有关的实际问题.(重点、难点) 2.在利用二次函数解决实际问题的过程中，体会利用二次函数刻画现实生活的意义，加深对二次函数的图象和性质的理解，提高建立数学模型的能力与数学的应用意识. 情境引入 在日常生活中，经常会遇到“把球上抛的最大高度”“跳高运动员跳起的最大高度”“用同样长的篱笆围成面积最大场地”等实际问题，下面我们开始学习利用二次函数的图象和性质解决上述问题. 一、 与最大高度有关的实际问题 例1　(课本P51例1)在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位) 解　对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11， 当t=-=-≈0.3时，h有最大值 ==11.4. 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m. 跟踪训练1　小郑同学观看了一场篮球比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，且他发现某球员在命中三分球时，篮球出手高度约为2.35 m，球在飞越7 m之后准确地落入高度为3.05 m的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4 m时，篮球恰好达到最大高度. (1)如图，小郑同学建立了平面直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标(4，h)来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度h； 解　∵顶点坐标为(4，h)，设函数表达式为y=a(x-4)2+h， 将点(0，2.35)，(7，3.05)代入， 得 解得 ∴篮球在空中飞行的最大高度h为3.95 m. (2)此时，若对方球员在该球员面前1.4 m处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为3.14 m，那么对方球员能否拦截成功？ 解　由(1)得，函数表达式为y=-0.1(x-4)2+3.95， 将x=1.4代入，得 y=-0.1×(1.4-4)2+3.95=3.274， ∵3.274-3.14=0.134>0， ∴若对方球员在该球员面前1.4 m处起跳拦截，拦截不成功. 二、 与最大面积有关的实际问题 例2　(课本P51例2)如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解　设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x)， 即S=-2x2+20x(0<x<10). 当x=-=-=5时，S有最大值 ==50. 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 反思感悟 在解决与面积有关的实际问题时，可先根据实际问题建立与图形面积有关的二次函数模型，由此把求图形的面积，转化为求该二次函数的最大值，问题即可解决. 跟踪训练2　在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用32 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=x m. (1)若花园的面积为252 m2，求x的值； 解　由AB=x m，可知BC=(32-x)m，根据题意得x(32-x)=252. 解得x1=18，x2=14， ∴x的值为18或14. 跟踪训练2　在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用32 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=x m. (2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园的最大面积S. 解　S=x(32-x)=-(x-16)2+256. ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17 m和6 m， ∴6≤x≤15. ∴当x=15时，S最大=-(15-16)2+256=255(m2). ∴花园的最大面积是255 m2. 课堂小结 1.如图，利用一面墙，用40 m长的篱笆围成一块矩形场地ABCD，如果墙长为25 m，那么围成矩形场地的最大面积是 A.150 m2 B.200 m2 C.250 m2 D.400 m2 随堂演练 √ 随堂演练 解析　设AB=x m，则BC=(40-2x)m， ∴40-2x≤25，解得x≥，令矩形场地的面积为y m2，则y=x(40-2x)= -2(x-10)2+200， ∴当x=10时，y有最大值200， ∴围成矩形场地的最大面积是200 m2. 2.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高高度的是 A.第2.5 s B.第3 s C.第3.5 s D.第4 s 随堂演练 解析　由小球发射后第2 s与第6 s时的高度相等，可得抛物线的对称轴为直线x==4，即第4 s时小球达到最高高度. √ 3.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线y=-x2+2x(单位：m)的一部分，则水喷出最大高度与此时喷出的水平距离分别为 A.1 m，2 m B.2 m，2 m C.2 m，3 m D.2 m，4 m 随堂演练 √ 随堂演练 解析　变形，得y=-(x-2)2+2， ∴x=2时，y有最大值2，即水喷出的最大高度是2 m，此时喷出的水平距离为2 m. 4.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=　　m时，矩形土地ABCD的面积最大.  随堂演练 225 随堂演练 解析　设矩形土地ABCD的面积为S m2，AB=x m，则BC= m， ∴矩形土地ABCD的面积S=AB·BC=x·=-x2+300x=-(x-225)2+33 750， ∵-<0，其图象开口向下， ∴当x=225时，S取得最大值为33 750. 即当AB=225 m时，矩形土地ABCD的面积最大. 谢谢观看 $