期末复习训练2025-2026学年度人教版广东中山市七年级下册数学

**基本信息** 结合2026春晚智能机器人、汉字书写等时代与文化情境，梯度设计覆盖实数、坐标系、平行线等七年级下册核心知识，注重数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（数据观念）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较（1）、坐标系应用（2、3）、平行线判定（5）|以弘义阁坐标（2）、春晚机器人零件普查（4）创设真实情境| |填空题|5/15|平方根立方根（11）、点坐标（12）、不等式整数解（15）|基础概念与计算结合，如第四象限点到坐标轴距离（12）| |解答题|8/75|方程组与不等式应用（21）、几何证明（20、23）、数据统计（19）|物流机器人分拣方案（21）考查模型意识，汉字书写调查（19）培养数据观念，健身器材几何证明（20）体现空间观念|

2025-2026学年度人教版广东省中山市七年级下册数学期末复习训练 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数，﹣π中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣3 C． D．﹣π 2．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　） A．（4，﹣1） B．（﹣1，4） C．（﹣2，0） D．（﹣2，4） 3．若点P（2m﹣1，3﹣m）在第二象限，则m的取值范围是（　　） A． B．m＜3 C． D．m＞3 4．下面调查统计中，适合采用普查方式的是（　　） A．了解某爆款商品的受众群体的收入情况 B．了解某市学生观看春节档电影的情况 C．了解郑州市民对2026年总台春晚的喜爱程度 D．了解春晚节目《武BOT》中H1型人形机器人的所有零件情况 5．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DE的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠B+∠EDC＝180° D．∠B＝∠4 6．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（　　） A．600cm2 B．800cm2 C．1000cm2 D．1200cm2 7．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如果，那么m的取值范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 9．①两点之间，垂线段最短；②同位角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若mn＜0，则点P（m，n）在第四象限；⑤|3.14﹣π|＝π﹣3.14；⑥． 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD；②∠ABM＝∠BAM；③∠NBC＝∠BDH；④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°．其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．49的算术平方根是　 　 ，﹣8的立方根是　 　 ，1的平方根是　 　 ． 12．平面直角坐标系第四象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则点P的坐标为　 　 ． 13．已知关于x和y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k＝　 　 ． 14．某校为了解全校学生课后参与“德育、智育、体育、美育、劳育”五育实践活动的偏好，随机抽取400名学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制为如下条形统计图，若该校共有3600名学生，则课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有　 　 人． 15．关于x的不等式组有且只有5个整数解，则常数k的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：． 17．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣9与3+a，且2b+2的立方根是﹣2． （1）求a，b的值； （2）求2a﹣b的平方根． 18．已知点A（2a﹣3，4+a），解答下列问题： （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）若点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求a的值． 四．解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19．汉字是世界上唯一延续至今且仍在使用的自源性文字符号系统，是中华文明的源头所在、极脉所系．某校为了解八年级学生汉字书写情况，从中随机抽取50名学生进行书写测试，获得了他们的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息（数据分成5组）． 组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率 第一组 25≤x＜30 6 0.12 第二组 30≤x＜35 8 0.16 第三组 35≤x＜40 a 0.32 第四组 40≤x＜45 b c 第五组 45≤x≤50 10 0.20 根据以上信息．回答下列问题： （1）写出表中a，b，c的值； （2）请你把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于40分为优秀，假设该校八年级240名学生都参加测试，估计该校八年级测试成绩优秀的人数． 20．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的∠GBA为110°，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70°． （1）证明：AB∥CD； （2）若拉绳与地面平行，即AB∥EF，∠ACE＝90°，∠CEF＝50°，求∠A的度数． 21．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 五．解答题（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．在平面直角坐标系xOy中，点A为（a，0），点B为（0，b），且a，b满足． （1）求点A，点B的坐标； （2）若点M在直线AB上，且S△AOM＝2S△BOM，求点M的横坐标； （3）点P（t，﹣2）是平面内的动点，若S△ABP≤S△AOB，直接写出t的取值范围． 23．【问题感知】：（1）如图1，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA． 【问题探索】：（2）如图2，直线AB，CD被直线AC所截，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，连接EF，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC． 【延伸拓展】：（3）如图3，将（2）中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，连接ME， ①若∠CMA＝57°，∠MEF＝18°，则∠AME＝　 　 °． ②若∠C＝α，∠MEF＝β，则∠AME＝　 　 （用含α、β的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度人教版广东省中山市七年级下册数学期末复习训练 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数，﹣π中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣3 C． D．﹣π 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣π＜﹣3＜0， ∴最小的数是：﹣π． 故选：D． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　） A．（4，﹣1） B．（﹣1，4） C．（﹣2，0） D．（﹣2，4） 【分析】根据题意先画出相应的坐标系，然后即可写出表示乾清门的点的坐标． 【解答】解：平面直角坐标系如下所示， ， 由上可得，表示乾清门的点的坐标（﹣1，4）， 故选：B． 【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的坐标系． 3．若点P（2m﹣1，3﹣m）在第二象限，则m的取值范围是（　　） A． B．m＜3 C． D．m＞3 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列不等式组，即可作答． 【解答】解：由条件可得：， 解不等式2m﹣1＜0，解得， 解不等式3﹣m＞0，得m＜3， 取两个不等式解集的公共部分，得． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 4．下面调查统计中，适合采用普查方式的是（　　） A．了解某爆款商品的受众群体的收入情况 B．了解某市学生观看春节档电影的情况 C．了解郑州市民对2026年总台春晚的喜爱程度 D．了解春晚节目《武BOT》中H1型人形机器人的所有零件情况 【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【解答】解：A、了解某爆款商品的受众群体的收入情况，适合采用抽样调查方式，不符合题意； B、了解某市学生观看春节档电影的情况，适合采用抽样调查方式，不符合题意； C、了解郑州市民对2026年总台春晚的喜爱程度，适合采用抽样调查方式，不符合题意； D、了解春晚节目《武BOT》中H1型人形机器人的所有零件情况，适合采用普查方式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DE的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠B+∠EDC＝180° D．∠B＝∠4 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【解答】解：A、由∠A＝∠3，可以根据同位角相等，两直线平行判定AB∥DE，不符合题意； B、由∠1＝∠2，可以根据内错角相等，两直线平行判定AB∥DE，不符合题意； C、由∠B+∠EDC＝180°，∠B，∠EDC不是同旁内角，不能判定AB∥DE，符合题意； D、由∠B＝∠4，可以根据同位角相等，两直线平行判定AB∥DE，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（　　） A．600cm2 B．800cm2 C．1000cm2 D．1200cm2 【分析】根据长方形的对边相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入xy中，即可求出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴xy＝60×20＝1200， ∴每个小长方形的面积是1200cm2． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解不等式x+2≥0得：x≥﹣2， 解不等式x﹣1＜0得：x＜1， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜1， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 8．如果，那么m的取值范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 【分析】利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，先确定的取值范围，再推导m的取值范围． 【解答】解：∵， ∴， 不等式三边同时减1得． ， 即4＜m＜5． 故选：D． 【点评】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 9．①两点之间，垂线段最短； ②同位角相等； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若mn＜0，则点P（m，n）在第四象限； ⑤|3.14﹣π|＝π﹣3.14； ⑥． 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别根据绝对值的性质，算术平方根的性质，坐标与图形的性质及平行公理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①两点之间，垂线段最短；说法正确，是真命题； ②两直线平行，同位角相等；原说法错误，是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；说法正确，是真命题； ④若mn＜0，则点P（m，n）在第二或四象限；原说法正确，是假命题； ⑤|3.14﹣π|＝π﹣3.14；说法正确，是真命题； ⑥；原说法正确，是假命题． 综上：①③⑤是真命题． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理，绝对值，算术平方根，坐标与图形的性质，垂线段最短，同位角、内错角、同旁内角，关键是相关知识的熟练掌握． 10．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【分析】AB平分∠DAC，得到∠MAB＝∠BAD，平行线的性质得到∠ABM＝∠BAD，进而得到∠ABM＝∠BAM，BN平分∠FBC，结合平行线的性质，得到∠NBC＝∠BDH，三角形内角和求出∠CMB，平行线的性质，得到∠CAD的度数，角平分线求出∠BAD的度数，设∠CBM＝α，根据角的和差关系求出∠DBA＝55°． 【解答】解：∵AB平分∠DAC， ∴∠MAB＝∠BAD（角平分线的定义）；故①正确； ∵EF∥GH， ∴∠ABM＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABM＝∠BAM；故②正确； ∵EF∥GH， ∴∠NBF＝∠BDH（两直线平行，同位角相等）， ∵BN平分∠FBC， ∴∠NBC＝∠NBF， ∴∠NBC＝∠BDH；故③正确； ∵∠ACB＝110°，∠CBM＝α， ∴∠CMB＝180﹣110°﹣α＝70°﹣α， ∵EF∥GH， ∴∠CAD＝∠CMB＝70°﹣α， ∵AB平分∠DAC， ∴；故④错误； 设∠CBM＝α，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴∠DBA＝180°﹣∠ABN＝55°；故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．49的算术平方根是　7　 ，﹣8的立方根是　﹣2　 ，1的平方根是　±1　 ． 【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的定义进行计算． 【解答】解：49的算术平方根是，﹣8的立方根是，1的平方根是． 故答案为：7；﹣2；±1． 【点评】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，掌握相应的定义是关键． 12．平面直角坐标系第四象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则点P的坐标为　（6，﹣2）　 ． 【分析】设点P的坐标是（x，y），根据点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为6得出|y|＝2，|x|＝6，分别求出x、y的值，再根据点P在第四象限进一步确定x、y的值，即可得出点P的坐标． 【解答】解：设点P的坐标是（x，y）， ∵点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴|y|＝2，|x|＝6， ∴x＝±6，y＝±2， ∵点P在第四象限， ∴x＞0，y＜0， ∴x＝6，y＝﹣2， ∴点P的坐标是（6，﹣2）， 故答案为：（6，﹣2）． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离的意义是解题的关键． 13．已知关于x和y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k＝　1　 ． 【分析】将方程组中两个方程相加变形，再结合已知条件求解即可． 【解答】解：由①+②得3x+3y＝3k， ∴3（x+y）＝3k， 化简得x+y＝k， ∴k＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键． 14．某校为了解全校学生课后参与“德育、智育、体育、美育、劳育”五育实践活动的偏好，随机抽取400名学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制为如下条形统计图，若该校共有3600名学生，则课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有　1800　 人． 【分析】根据样本估算总体解答即可． 【解答】解：根据样本估算总体可知课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有： （人）． 故答案为：1800． 【点评】本题考查了图象统计图、样本估计总体，熟练掌握以上知识点是关键． 15．关于x的不等式组有且只有5个整数解，则常数k的取值范围是　﹣1＜k≤0　 ． 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有5个整数解，确定出所有整数解，列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围． 【解答】解：解不等式4x﹣3≥2x﹣5得：x≥﹣1， 解不等式x+2＜k+6得：x＜k+4， ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜k+4， ∵不等式组有且只有5个整数解， ∴不等式组的5个整数解为﹣1，0，1，2，3． ∴3＜k+4≤4， 解得﹣1＜k≤0． 故答案为：﹣1＜k≤0． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：． 【分析】根据实数的运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ＝0． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 17．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣9与3+a，且2b+2的立方根是﹣2． （1）求a，b的值； （2）求2a﹣b的平方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程2a﹣9+3+a＝0，即可求解a，再根据立方根的定义得到2b+2＝﹣8，即可求解b； （2）将求解得a，b代入2a﹣b进行求值，再求解平方根． 【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣9与3+a， ∴2a﹣9+3+a＝0， 解得a＝2， ∵2b+2的立方根是﹣2， ∴2b+2＝﹣8， 解得b＝﹣5； （2）由（1）知，a＝2，b＝﹣5， ∴2a﹣b＝2×2﹣（﹣5）＝9， ∵9的平方根是±3， ∴2a﹣b的平方根是±3． 【点评】本题考查了立方根和平方根，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． 18．已知点A（2a﹣3，4+a），解答下列问题： （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）若点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半，求a的值． 【分析】（1）根据点A在y轴上得出点A的横坐标为0求出a的值，再求出点A的纵坐标即可； （2）根据点A到x轴的距离等于它到y轴距离的一半列出关于a的绝对值方程求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，2a﹣3＝0， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）根据题意可知，， ∴2|4+a|＝|2a﹣3|， ∴2（4+a）＝2a﹣3或2（4+a）＝﹣2a+3， 解2（4+a）＝2a﹣3得：无解； 解2（4+a）＝﹣2a+3得：， 综上，． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的特点是关键． 四．解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19．汉字是世界上唯一延续至今且仍在使用的自源性文字符号系统，是中华文明的源头所在、极脉所系．某校为了解八年级学生汉字书写情况，从中随机抽取50名学生进行书写测试，获得了他们的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息（数据分成5组）． 组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率 第一组 25≤x＜30 6 0.12 第二组 30≤x＜35 8 0.16 第三组 35≤x＜40 a 0.32 第四组 40≤x＜45 b c 第五组 45≤x≤50 10 0.20 根据以上信息．回答下列问题： （1）写出表中a，b，c的值； （2）请你把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于40分为优秀，假设该校八年级240名学生都参加测试，估计该校八年级测试成绩优秀的人数． 【分析】（1）由频率即可求出被调查总人数，进而求出成绩在“第三组”的频数a，由各组频数之和等于样本容量求出b的值，进而求出c的值； （2）根据a、b的值，即可补全频数分布直方图； （3）求出样本中，成绩不低于40分的学生所占的百分比，估计总体中成绩不低于40分的学生所占的百分比，由频率进行计算即可． 【解答】解：（1）被调查人数为：8÷0.16＝50（人）， a＝50×0.32＝16（人）， b＝50﹣6﹣8﹣16﹣10＝10， c＝10÷50＝0.20， 答：a＝16，b＝10，c＝0.20； （2）补全频数分布直方图如下： （3）240×（0.20+0.20）＝96（人）， 答：该校八年级240名学生中，测试成绩优秀的人数大约有96人． 【点评】本题考查频数分布直方图，频数分布表以及样本估计总体，掌握频率是正确解答的关键． 20．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的∠GBA为110°，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70°． （1）证明：AB∥CD； （2）若拉绳与地面平行，即AB∥EF，∠ACE＝90°，∠CEF＝50°，求∠A的度数． 【分析】（1）结合邻补角定义求出∠GBA＝∠GDC，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠GDH+∠GDC＝180°，∠GDH为70°， ∴∠GDC＝110°， ∵∠GBA为110°， ∴∠GBA＝∠GDC， ∴AB∥CD； （2）解：如图， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A＝∠ACM，∠ECM＝∠CEF＝50°， ∵∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝90°， ∴∠ACM＝40°， ∴∠A＝40°． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 21．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人（10﹣a）台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【解答】解：（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意列二元一次方程组得：， 解得， 即A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹， 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人（10﹣a）台． 由题意列一元一次不等式组得：， ∴解得4≤a≤6． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 五．解答题（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．在平面直角坐标系xOy中，点A为（a，0），点B为（0，b），且a，b满足． （1）求点A，点B的坐标； （2）若点M在直线AB上，且S△AOM＝2S△BOM，求点M的横坐标； （3）点P（t，﹣2）是平面内的动点，若S△ABP≤S△AOB，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点M的横坐标为m，当M在线段AB上时，当点M在线段AB的延长线上时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式列不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵． ∴a﹣8＝0，b﹣4＝0， ∴a＝8，b＝4， ∴点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，4）； （2）设点M的横坐标为m， 当M在线段AB上时， ∵S△AOM＝2S△BOM， ∴S△BOMS△BOA， ∴4m4×8， 解得m； 当点M在线段AB的延长线上时， ∵S△AOM＝2S△BOM， ∴S△BOA＝S△BOM， ∴4×（﹣m）4×8， ∴m＝﹣8， 综上所述，点M的横坐标为或﹣8； （3）∵点A（8，0），点B（0，4），点P（t，﹣2），由题意得S△AOP+S△AOB﹣S△BOP≤16， 当P在直线AB的左侧时， ∵P（t，﹣2）， ∵△ABP≤S△AOB， ∴， ∴t≥4； 当P在直线AB的右侧时，S△BOP﹣S△AOP﹣S△AOB≤16， ∴4t2×8﹣16≤16， ∴t≤20， 当点P在AB上，S△BOP＝S△AOP+S△AOB， ， ∴t＝12， 综上所述，若△ABP≤S△AOB，t的取值范围为4≤t≤20（t≠12）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，三角形的面积的计算，非负数的性质，分类讨论是解题的关键． 23．【问题感知】：（1）如图1，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA． 【问题探索】：（2）如图2，直线AB，CD被直线AC所截，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，连接EF，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC． 【延伸拓展】：（3）如图3，将（2）中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，连接ME， ①若∠CMA＝57°，∠MEF＝18°，则∠AME＝　75　 °． ②若∠C＝α，∠MEF＝β，则∠AME＝　．　 （用含α、β的式子表示）． 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可； （2）先证明AB∥CD，得出∠AEF＝∠EFD，再证明∠EFD＝∠C，根据平行线的判定得出结论即可； （3）①根据角平分线定义得出∠BAM＝∠CMA＝57°，∠BAC＝2×57°＝114°，根据平行线的性质求出∠C＝180°﹣∠BAC＝66°，求出∠AEM＝66°﹣18°＝48°，最后根据平行线的性质求出结果即可；②由AB∥CD，可得∠DME＝∠AEM，从而得到∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝α﹣β，进而得到∠DME＝∠AEM＝α﹣β，∠AMC＝∠CAM∠BAC＝90°，再由∠AMC+∠AME+∠DME＝180°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AM平分∠BAC， ∴∠CAM＝∠BAM， ∵AB∥CD， ∴∠CMA＝∠BAM， ∴∠CAM＝∠CMA； （2）证明：∵AM平分∠BAC， ∴， ∵∠CAM＝∠CMA， ∴∠BAM＝∠CMA， ∴AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∵∠AEF＝∠C， ∴∠EFD＝∠C， ∴EF∥AC； （3）解：①∵，∠BAM＝∠CMA＝57°，∠MEF＝18°， ∴∠BAC＝2×57°＝114°， 根据探索可知：AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠BAC＝66°， ∴∠AEF＝∠C＝66°， ∴∠AEM＝66°﹣18°＝48°， ∵AB∥CD， ∴∠DME＝∠AEM＝48°，∠AMC＝∠BAM＝57°， ∴∠AME＝180°﹣∠AMC﹣∠DME＝75°， 故答案为：75； ②根据探索可知：AB∥CD， ∴∠DME＝∠AEM，∠C+∠BAC＝180°， ∵∠AEF＝∠AEM+∠MEF，∠AEF＝∠C＝α，∠MEF＝β， ∴∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝α﹣β，∠BAC＝180°﹣α， ∴∠DME＝∠AEM＝α﹣β， ∵AM平分∠BAC， ∴， 又∵∠AMC+∠AME+∠DME＝180°， ∴∠AME＝180°﹣∠AMC﹣∠DME ， 故答案为：， 【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $