广东省湛江市赤坎区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

**基本信息** 以科技前沿（如DeepSeek图标平移）、文化传承（如抖空竹几何抽象）和生活实践（如汽车轮胎换位优化）为情境，通过基础题与创新题的梯度设计，全面考察七年级数学核心知识与抽象、推理、应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、调查方式、坐标系、方程解、无理数估算|结合科技情境（第1题）和文化素材（第9题），考察空间观念与应用意识| |填空题|5/15|样本容量、立方根、不等式解集、逻辑推理、分式应用|第15题以汽车轮胎换位为背景，体现数学建模与优化思想| |解答题|7/75|实数运算、不等式组、平行线证明、统计分析、新定义（t系数补角）、动点综合|第22题新定义问题考察推理能力，第23题动点问题融合坐标系与面积计算，提升综合应用能力|

广东省湛江市赤坎区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）DeepSeek的图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着DeepSeek在人工智能领域的深度探索精神．以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列问题中应采用全面调查的是（　　） A．检测某城市的空气质量 B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C．调查某池塘中现有鱼的数量 D．企业招聘，对应聘人员进行面试 3．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 4．（3分）下列各组x，y的值是方程x+y＝10的解的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）估计的值在（　　） A．4到5之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．5到6之间 6．（3分）若a＜b，则下列不等式中不正确的是（　　） A．a+3＜b+3 B．﹣a＜﹣b C．a﹣2＜b﹣2 D． 7．（3分）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 8．（3分）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C．3 D．﹣1 9．（3分）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝22°，∠ECD＝103°，则∠A的度数为（　　） A．77° B．80° C．81° D．99° 10．（3分）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（　　） A．振 B．兴 C．中 D．华 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）某中学八年级有1500名学生，为了解八年级学生的身高情况，在全校八年级中抽取了100名学生进行检测，在这个问题中，样本容量是　 　 ． 12．（3分）的立方根是　 　 ． 13．（3分）如图，这是某个表示在数轴（不完整）上的关于x的一元一次不等式的解集．若 x＝m+6是该不等式的一个解，则m的取值范围是 　 　 ． 14．（3分）如图，有P、Q、R、S四个小朋友去公园玩跷跷板，则这四个小朋友中，最重的是 　 　 ． 15．（3分）【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣：如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】据调查，某品牌汽车前轮轮胎一般在汽车行驶达到m万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到n万公里时报废（m＜n）． 【问题解决】如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，为了使该品牌汽车的两对轮胎最终同时报废，那么应在汽车行驶里程达到若干万公里后交换前、后轮轮胎，交换轮胎后继续行驶直到最终报废时，这套轮胎总里程为　 　 万公里（用含m、n式子表示）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18．（7分）如图，点D、E、F、G均在△ABC的边上，连接BD、DE、FG，∠3＝∠CBA，FG∥BD．求证：∠1+∠2＝180°． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第19题9分，第20题9分，第21题10分，共28分。 19．（9分）已知2a﹣1的平方根是±3，25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根． （1）求a、b、m的值； （2）若m的整数部分是x，小数部分是y，求y﹣x的值． 20．（9分）为了更好地满足家长和学生的需求，周口某中学积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，为了解家长对课后延时服务的满意情况，在全校学生家长中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成 如图尚不完整的统计图． （1）本次活动共调查了　 　 人，扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是　 　 ； （2）请补全条形统计图； （3）若本校共有4800人，请通过此次问卷调查结果，估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数． 21．（10分）开学初，小芳和小亮去商店购买中性笔和笔记本，小芳用17元钱买了1支中性笔和3本笔记本；小亮用29元钱买了同样的中性笔2支和笔记本5本． （1）求每支中性笔和每本笔记本的价格； （2）运动会结束后，班主任把奖励金交给班长，叮嘱他使用这笔钱购买不能超过180元的奖品，购买上述价格的中性笔和笔记本共48件作为奖品，并要求笔记本数不少于中性笔数，共有多少种购买方案，请写出来． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题14分，共26分。 22．（12分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 关于“t系数补角”的研究报告 研究人员：博学小组 出示概念：在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义： 若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”． 例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 理解概念：若∠P＝60°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“4系数补角”是　 　 ． 深入理解：如图，AB∥CD，E为直线AB上的一点，F为直线CD上的一点． ①如图1，M为平面内一点，连接ME，MF，∠DFM＝50°，若∠BEM是∠EMF的“6系数补角”，求∠BEM的大小． 解：如图1，过点M作MN∥AB． … ②如图2，∠AEF和∠CFE的平分线相交于点G，H为平面内一点，连接EH，FH，若∠H是∠G的“3系数补角”，求∠H的大小． 任务：（1）研究报告中“▲”处空缺的内容：　 　 ． （2）请补全材料中“…”处的求解过程． （3）直接写出研究报告问题②中∠H的大小． 23．（14分）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）求A、B、C三点的坐标和三角形AOH的面积； （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n； （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 广东省湛江市赤坎区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）DeepSeek的图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着DeepSeek在人工智能领域的深度探索精神．以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移变换的定义判断即可． 【解答】解：能通过如图平移得到的是选项C， 故选：C． 【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移变换、旋转、翻折变换的性质是解答此题的关键． 2．（3分）下列问题中应采用全面调查的是（　　） A．检测某城市的空气质量 B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C．调查某池塘中现有鱼的数量 D．企业招聘，对应聘人员进行面试 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【解答】解：A．检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意； B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； C．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意； D．企业招聘，对应聘人员进行面试，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 3．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可． 【解答】解：A．（3，2）在第一象限，故选项不符合题意； B．（﹣3，2）在第二象限，故选项不符合题意； C．（﹣3，﹣2）在第三象限，故本选项符合题意； D．（3，﹣2）在第四象限，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4．（3分）下列各组x，y的值是方程x+y＝10的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程的解的定义把x、y的值代入方程分别验证即可． 【解答】解：A、把代入方程x+y＝10中，左边＝0+0＝0，右边＝10，左边≠右边，所以不是方程x+y＝10的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程x+y＝10中，左边＝2+8＝10，右边＝10，左边＝右边，所以是方程x+y＝10的解，故此选项符合题意； C、把代入方程x+y＝10中，左边＝﹣10+0＝﹣10，右边＝10，左边≠右边，所以不是方程x+y＝10的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程x+y＝10中，左边＝11+1＝12，右边＝10，左边≠右边，所以不是方程x+y＝10的解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 5．（3分）估计的值在（　　） A．4到5之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．5到6之间 【分析】利用算术平方根判断无理数的范围． 【解答】解：∵＜＜， ∴3＜＜4． ∴的值在3和4之间． 故选：C． 【点评】本题考查了无理数大小的估算，利用算术平方根找到接近的有理数是解决本题的关键． 6．（3分）若a＜b，则下列不等式中不正确的是（　　） A．a+3＜b+3 B．﹣a＜﹣b C．a﹣2＜b﹣2 D． 【分析】运用不等式的基本性质“不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此判定即可． 【解答】解：A、若a＜b，则a+3＜b+3，正确，不符合题意； B、若a＜b，则﹣a＞﹣b，原变形错误，符合题意； C、若a＜b，则a﹣2＜b﹣2，正确，不符合题意； D、若a＜b，则，正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟记不等式的性质． 7．（3分）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【解答】解：根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短判断可得： A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意． 故答案为：A． 【点评】本题考查垂线段最短，正确进行计算是解题关键． 8．（3分）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C．3 D．﹣1 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：若开始输入x的值为﹣， ∵﹣＜﹣1， ∴y＝（﹣）2+1＝2+1＝3， 故选：C． 【点评】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 9．（3分）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝22°，∠ECD＝103°，则∠A的度数为（　　） A．77° B．80° C．81° D．99° 【分析】直接利用三角形外角的性质求出∠EFC＝81°，再利用平行线的性质得出∠A＝∠EFC＝81°即可； 【解答】解：如图所示：延长DC交AE于点F， 由条件可知∠EFC＝∠ECD﹣∠E＝103°﹣22°＝81°． ∴∠A＝∠EFC＝81°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关键． 10．（3分）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（　　） A．振 B．兴 C．中 D．华 【分析】找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【解答】解：找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律如下： “中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为2025÷4＝506……1， 所以数2025对应的字“兴”， 故选：B． 【点评】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）某中学八年级有1500名学生，为了解八年级学生的身高情况，在全校八年级中抽取了100名学生进行检测，在这个问题中，样本容量是　100　 ． 【分析】总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【解答】解：由题意可得：样本容量是100， 故答案为：100． 【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，根据题意即可得出答案，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象． 12．（3分）的立方根是　2　 ． 【分析】先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【解答】解：∵，8的立方根是 2， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了算术平方根，立方根，熟记定义是解题的关键． 13．（3分）如图，这是某个表示在数轴（不完整）上的关于x的一元一次不等式的解集．若 x＝m+6是该不等式的一个解，则m的取值范围是 m＞﹣5　 ． 【分析】由图形得：x＞1，根据x＝m+6是该不等式的一个解得出m+6＞1，据此进一步求解即可． 【解答】解：由图形得：x＞1， 因为 x＝m+6是该不等式的一个解，所以m+6＞1，解得m＞﹣5， 故答案为：m＞﹣5． 【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 14．（3分）如图，有P、Q、R、S四个小朋友去公园玩跷跷板，则这四个小朋友中，最重的是 R ． 【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可． 【解答】解：根据题意得S＞P， R+P＞Q+S， ∴R﹣Q＞S﹣P＞0，R﹣S＞Q﹣P， ∴R＞Q， 由图3可知：R+Q＝S+P， ∴R﹣S＝P﹣Q， ∴P﹣Q＞Q﹣P， ∴P＞Q， ∴R﹣S＞0， ∴R＞S， 则有P、Q、R、S四个小朋友中，最重的是R． 故答案为：R． 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（3分）【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣：如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】据调查，某品牌汽车前轮轮胎一般在汽车行驶达到m万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到n万公里时报废（m＜n）． 【问题解决】如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，为了使该品牌汽车的两对轮胎最终同时报废，那么应在汽车行驶里程达到若干万公里后交换前、后轮轮胎，交换轮胎后继续行驶直到最终报废时，这套轮胎总里程为　　 万公里（用含m、n式子表示）． 【分析】根据题意，用含m，n的代数式表示出轮胎的总里程数即可． 【解答】解：设每个轮胎的总磨损量为1， 则前轮每万公里磨损，后轮每万公里磨损， 设汽车行驶x万公里后交换轮胎，再行驶y万公里后轮胎同时报废， 则， 两式相加得，（x+y）（）＝2， 所以x+y＝， 即这套轮胎总里程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列代数式，能根据题意用含m，n的代数式表示出轮胎的总里程数是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 【分析】先算乘方、开立方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解： ＝﹣1+（﹣8）×+3× ＝﹣1+（﹣1）+（﹣1） ＝﹣3． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（7分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x≤4， 在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集是x＜2． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 18．（7分）如图，点D、E、F、G均在△ABC的边上，连接BD、DE、FG，∠3＝∠CBA，FG∥BD．求证：∠1+∠2＝180°． 【分析】根据平行线的判定可得AB∥DE，根据平行线的性质可得∠2＝∠DBA，再根据平行线的性质和等量关系可得∠1+∠2＝180°． 【解答】证明：∵∠3＝∠CBA， ∴AB∥DE， ∴∠2＝∠DBA， ∵FG∥BD， ∴∠1+∠DBA＝180°， ∴∠1+∠2＝180°． 【点评】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的判定和性质解答． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第19题9分，第20题9分，第21题10分，共28分。 19．（9分）已知2a﹣1的平方根是±3，25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根． （1）求a、b、m的值； （2）若m的整数部分是x，小数部分是y，求y﹣x的值． 【分析】（1）根据平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值，再计算a+b的值，然后根据算术平方根的定义求出m的值； （2）根据无理数的估算方法估算的取值范围，即可求出x、y的值，再计算即可． 【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， ∴a＝5， ∵25+b的立方根是3， ∴25+b＝27， ∴b＝2， ∴a+b＝5+2＝7， ∵7的算术平方根是， ∴m＝； （2）由（1）知m＝， ∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分是， ∴x＝2，y＝， ∴y﹣x＝． 【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，正确计算是解题的关键． 20．（9分）为了更好地满足家长和学生的需求，周口某中学积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，为了解家长对课后延时服务的满意情况，在全校学生家长中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成 如图尚不完整的统计图． （1）本次活动共调查了　80　 人，扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是　45°　 ； （2）请补全条形统计图； （3）若本校共有4800人，请通过此次问卷调查结果，估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数． 【分析】（1）由由条形图与扇形统计图可知：比较满意的家长人数有20人，占25%，求出参与调查的总人数，进而求出扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数即可； （2）求出非常满意的人数补全统计图即可； （3）用总人数乘以“基本满意”的占比即可． 【解答】解：（1）由条件可知本次活动共调查人数为人， 扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是， 故答案为：80，45°； （2）非常满意的人数为80﹣20﹣35﹣10＝15（人）， 补全统计图如下： （3）用总人数乘“基本满意”的占比可得： 人， 答：估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数为2100人． 【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，求扇形统计图圆心角，有样本估计总体，根据条形统计图与扇形统计图的综合求出参与调查的总人数是解答本题的关键． 21．（10分）开学初，小芳和小亮去商店购买中性笔和笔记本，小芳用17元钱买了1支中性笔和3本笔记本；小亮用29元钱买了同样的中性笔2支和笔记本5本． （1）求每支中性笔和每本笔记本的价格； （2）运动会结束后，班主任把奖励金交给班长，叮嘱他使用这笔钱购买不能超过180元的奖品，购买上述价格的中性笔和笔记本共48件作为奖品，并要求笔记本数不少于中性笔数，共有多少种购买方案，请写出来． 【分析】（1）设每支中性笔的价格为x元，每本笔记本的价格为y元，根据“小芳用17元买了1支中性笔和3本笔记本；小亮用29元买了同样的中性笔2支和笔记本5本”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组可得出结论． （2）设中性笔a支，笔记本（48﹣a）本，根据笔记本数不少于中性笔数，总费用不大于180，列出不等式组，再进行求解即可得出答案． 【解答】解：（1）设每支中性笔和每本笔记本的价格分别为x元，y元，则， ∴． 答：每支中性笔和每本笔记本的价格分别为2元，5元． （2）设中性笔a支，笔记本（48﹣a）本，则根据题意，得， 解得：20≤a≤24． ∵a为正整数， ∴a可取20，21，22，23，24， ∴共有5种购买方案，分别是： 方案1：购买中性笔20支，笔记本28本． 方案2：购买中性笔21支，笔记本27本． 方案3：购买中性笔22支，笔记本26本． 方案4：购买中性笔23支，笔记本25本． 方案5：购买中性笔24支，笔记本24本． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中的等量关系或不等量关系． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题14分，共26分。 22．（12分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 关于“t系数补角”的研究报告 研究人员：博学小组 出示概念：在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义： 若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”． 例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 理解概念：若∠P＝60°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“4系数补角”是　∠3　 ． 深入理解：如图，AB∥CD，E为直线AB上的一点，F为直线CD上的一点． ①如图1，M为平面内一点，连接ME，MF，∠DFM＝50°，若∠BEM是∠EMF的“6系数补角”，求∠BEM的大小． 解：如图1，过点M作MN∥AB． … ②如图2，∠AEF和∠CFE的平分线相交于点G，H为平面内一点，连接EH，FH，若∠H是∠G的“3系数补角”，求∠H的大小． 任务：（1）研究报告中“▲”处空缺的内容：　∠3　 ． （2）请补全材料中“…”处的求解过程． （3）直接写出研究报告问题②中∠H的大小． 【分析】（1）根据定义直接得解； （2）过点M作MN∥AB，利用平行线的性质得出等角关系，再利用“t系数补角”的定义求解即可； （3）由平行线的性质可得∠AEF+∠CFE＝180°，再由角平分线的定义得∠GEF＝∠AEF，∠GFE＝∠CFE，从而可求得∠GEF+∠GFE＝90°，利用三角形的内角和即可求∠G的度数，再利用“t系数补角”的定义求解即可． 【解答】解：（1）由题意，∵∠P＝60°，∠3＝30°， ∴∠P+4∠3＝180°， ∴∠P的“4系数补角”是∠3， 故答案为：∠3； （2）①过点G作MN∥AB， ∵AB∥CD，MN∥AB， ∴MN∥CD， ∴∠NMF＝∠DFM＝50°． ∵MN∥AB， ∴∠NME＝∠BEM， ∴∠EMF＝50°﹣∠BEM． ∵∠BEM是∠EMF的“6系数补角”， ∴∠EMF+6∠BEM＝180°， ∴（50°﹣∠BEM）+6∠BEM＝180°， 即∠BEM＝26°； （3）∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∵EG平分∠AEF，FG平分∠CFE， ∴∠GEF＝∠AEF，∠GFE＝∠CFE， ∴∠GEF+∠GFE＝（∠AEF+∠CFE）＝90°， ∴∠EGF＝180°﹣（∠GEF+∠FGE）＝90°， ∵∠H是∠G的“3系数补角”， ∴∠G+3∠H＝180°， ∴90°+3∠H＝180°， ∴∠H＝30°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、角的和差、余角和补角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 23．（14分）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）求A、B、C三点的坐标和三角形AOH的面积； （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n； （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【分析】（1）先根据非负性求出a，b，根据平移的性质即可得到结论； （2）根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积表示出△OAH的面积，即可证明； （3）分情况讨论：当点P在线段BO上，当点P在BO的延长线上时，分别求解即可． 【解答】（1）解：∵+（b﹣3）2＝0， 又∵≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0）， ∵将线段AO平移至线段BC， ∴需要将线段AO向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度； ∵O（0，0）， ∴C（2，﹣4）； ∵AH⊥x轴， ∴△OAH的面积＝×1×4＝2； （2）证明：如图，连接DH， ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴×1×n+×4×（1﹣m）＝2， ∴4m ＝ n； （3）解：①当点P在线段BO上， ×（3﹣2t）×4＝×2t， 解得t ＝1.2，此时P（0.6，0）； ②当点P在BO的延长线上时， ×（2t﹣3）×4＝×2×t， 解得t＝2，此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【点评】本题是几何变换综合题．考查坐标与图形变化平移，一元一次方程的实际应用，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $