第16讲 对数与对数运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第16讲 对数与对数运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 对数式与指数式互化 题型2 利用对数性质解对数方程 题型3 利用对数运算性质化简 题型4 利用以已知等式关系表示某对数 题型5 利用换底公式求值或证明等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数 真数 常用对数 自然对数 对数运算 换底公式 1. 理解对数概念：了解引入对数的必要性，掌握定义，熟练进行指数式与对数式的互化. 2. 掌握运算性质：了解性质推导过程，掌握积、商、幂的对数运算性质，体会运算的“降级”特征. 3. 运用换底公式：理解换底公式的推导，能将其转化为常用或自然对数，并进行化简求值. 4. 提升核心素养：体会转化与化归、类比迁移思想，培养数学抽象、逻辑推理和运算素养. 学习重点：（1）概念与互化：准确理解对数定义，熟练掌握指数式与对数式的相互转化. （2）性质与公式：掌握对数运算性质及换底公式，能灵活运用其进行化简、求值和证明. 学习难点：（1）概念理解：对数符号较抽象，易与指数混淆，且易忽视底数与真数的限制条件. （2）性质推导：通过指对互化推导对数性质的逻辑过程易使学生困惑. （3）换底公式应用：换底公式推导需较强逻辑推理能力，学生灵活选底并简化计算的能力有待提高. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数的概念与性质 1.对数的概念： 如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 . 其中， 是底数， 是真数. 2.常用对数与自然对数： 名称 定义 记法 常用对数 以 为底的对数 自然对数 以无理数 为底的对数 3.对数的性质： （1）指数与对数的互化：当 且 时， ； （2）真数的范围：负数和 没有对数，即 ； （3）特殊值： 的对数是 ，即 （ 且 ）； 底数的对数是 ，即 （ 且 ）； （4）对数恒等式： ； （5）幂的对数： . 即时即练 在对数式中，实数的取值范围是__________． 【答案】且 【详解】由对数式可知： ,解之得：且 故答案为：且． 【方法总结】 利用式子⇒b求字母的范围. 知识点02 对数的运算性质及应用 1.运算性质（前提： 且 ， ， ）： （1）积的对数： ； （2）商的对数： ； （3）幂的对数： . 2.换底公式： （1）基本形式： （要求 且 ， 且 ， ）； （2）推论（由换底公式证明）： ① 倒数关系： ； ② 连乘积为1： ； ③ 底数和真数同次幂： ； ④ 底数和真数不同次幂： ； ⑤ 底数为倒数： . 知识点03 对数运算常用方法技巧 1.对数混合运算的一般原则： （1）化简真数和底数：将真数和底数化为“指数幂”形式（使真数、底数最简），再用公式 合并； （2）统一底数：利用换底公式，将不同底的对数转化为同底对数； （3）逆用运算性质：将同底对数的和、差、倍运算，转化为真数的积、商、幂（如 ）； （4）拆分真数：若真数是“因数/因式的乘除”，拆分为多个对数的加减（如 ），再化简； （5）处理小数/分数：真数的小数化成分数，分数写成对数的差（如 ）. 2.对数运算的5个技巧： （1） 的应用：若出现 和 ，通过提公因式、平方差等变形，凑出 再化简； （2） 的应用：若两个对数“底数与真数颠倒相乘”，直接用此式化简； （3）指对互化：若已知 ，设其等于（ ），则 ， ， ，代入目标式求解. 题型1 对数式与指数式互化 【例1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 【方法总结】 指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； 对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【变式1-1】将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1），可得. （2），可得. （3），可得. （4），可得. 题型2 利用对数性质解对数方程 【例2】方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 解得或， 解得或， 所以方程的解集为. 【方法总结】 简单的对数方程是指在对数符号后面含有未知数的方程，求解时通常需要考虑定义域、使用特定方法如同底法、换元法、转换法等，并且最后要验根以排除增根. 【变式2-1】方程的实数解为_________. 【答案】 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去）， 所以. 题型3 利用对数运算性质化简或求值 【例3】求值：________. 【答案】5 【详解】原式 . 【方法总结】 利用对数运算性质化简的原则和方法: ① “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ② “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式3-1】以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 题型4 利用以已知等式关系表示某对数 【例4】已知，，则______.（用、表示） 【答案】 【详解】因为，则，又， 所以. 故答案为： 【方法总结】 用以已知等式关系表示某对数解题三步走： ① 定底数（统一阵营）：观察已知条件（如），确定公共底数（本题为6），利用换底公式，将目标式转化为以该公共底数为底的分式，例：. ② 拆真数（寻找关系）：分析分母中的真数（如20），将其拆解为已知真数（如5, 2）的积、商或幂， 例：. ③ 代字母（得出结果）：利用对数运算性质展开，将已知的对数值（ ）代入替换，整理即得答案， 例：. 【变式4-1】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 题型5 利用换底公式求值或证明等式 【例5】（1）________． 【答案】 【详解】 . 故答案为： （2）已知条件：，利用对数的换底公式证明： 【证明】利用换底公式，将左边转化为以 为底的自然对数： 利用对数的幂运算性质 ： 所以， 再次利用换底公式逆运算 ： 所以， 证毕. 【方法总结】 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 利用换底公式求值或证明等式两个策略： ① 统一底数：用换底公式将等式两边的对数转化为同一种底数（如 ln或 lg ），消除“底数不同”的差异. ② 化简变形：利用对数的幂、积、商运算性质，对分子分母进行约分、提取系数等. 【变式5-1】若 ，求 的值. 【答案】 【详解】由已知方程 ，可得： 利用换底公式的推论 ，可得： 利用对数幂性质 ： ，所以 所以 【变式5-1】已知条件：，利用对数的换底公式证明： 【证明】由换底公式可得： 证毕. 一、单选题 1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 2．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ∴． 设，则，解之得：． ∴或，解之得：或． 经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是． 3．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 4．设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于①②③，由，令， ，①错误； ，②错误； ，③错误； 对于④，取，，④错误， 因此①②③④都错误. 5．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 6．心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，可得， 所以，故， 二、多选题 7．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】依题意，由可得： 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 8．下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确. 9．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】因为，则，且，则 则，故A正确； ，故B正确； 由可得，则， 故C正确； 因为，则，则， 所以，所以，故D错误. 三、填空题 10．已知，则_________.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系得到，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 11．若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为________. 【答案】1 【详解】由题意，正实数a、b、c均不为1， 设， 则，，， 即，，， 由，得， 即，即. 12．已知是定义域为的奇函数且，当时，．那么______ 【答案】 【分析】由得的周期，进而得，即，最后利用奇函数结合对数恒等式即可求解. 【详解】由，所以是以为周期的周期函数， 因为，所以，所以， 又为奇函数， 所以 ， 四、解答题 13．解下列关于的方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)， 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴（舍去）或， ∴． （2）由， 得，即， 解得或． 经检验知，当时，，，不满足真数大于0，舍去； 当时，，，符合题意．故． （3）原方程整理得，即， 所以或，解得或． 经检验知，，都是原方程的根． 14．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1） （2）. （3） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 对数与对数运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 对数式与指数式互化 题型2 利用对数性质解对数方程 题型3 利用对数运算性质化简 题型4 利用以已知等式关系表示某对数 题型5 利用换底公式求值或证明等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数 真数 常用对数 自然对数 对数运算 换底公式 1. 理解对数概念：了解引入对数的必要性，掌握定义，熟练进行指数式与对数式的互化. 2. 掌握运算性质：了解性质推导过程，掌握积、商、幂的对数运算性质，体会运算的“降级”特征. 3. 运用换底公式：理解换底公式的推导，能将其转化为常用或自然对数，并进行化简求值. 4. 提升核心素养：体会转化与化归、类比迁移思想，培养数学抽象、逻辑推理和运算素养. 学习重点：（1）概念与互化：准确理解对数定义，熟练掌握指数式与对数式的相互转化. （2）性质与公式：掌握对数运算性质及换底公式，能灵活运用其进行化简、求值和证明. 学习难点：（1）概念理解：对数符号较抽象，易与指数混淆，且易忽视底数与真数的限制条件. （2）性质推导：通过指对互化推导对数性质的逻辑过程易使学生困惑. （3）换底公式应用：换底公式推导需较强逻辑推理能力，学生灵活选底并简化计算的能力有待提高. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数的概念与性质 1.对数的概念： 如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 . 其中， 是底数， 是真数. 2.常用对数与自然对数： 名称 定义 记法 常用对数 以 为底的对数 自然对数 以无理数 为底的对数 3.对数的性质： （1）指数与对数的互化：当 且 时， ； （2）真数的范围：负数和 没有对数，即 ； （3）特殊值： 的对数是 ，即 （ 且 ）； 底数的对数是 ，即 （ 且 ）； （4）对数恒等式： ； （5）幂的对数： . 即时即练 在对数式中，实数的取值范围是__________． 【方法总结】 利用式子⇒b求字母的范围. 知识点02 对数的运算性质及应用 1.运算性质（前提： 且 ， ， ）： （1）积的对数： ； （2）商的对数： ； （3）幂的对数： . 2.换底公式： （1）基本形式： （要求 且 ， 且 ， ）； （2）推论（由换底公式证明）： ① 倒数关系： ； ② 连乘积为1： ； ③ 底数和真数同次幂： ； ④ 底数和真数不同次幂： ； ⑤ 底数为倒数： . 知识点03 对数运算常用方法技巧 1.对数混合运算的一般原则： （1）化简真数和底数：将真数和底数化为“指数幂”形式（使真数、底数最简），再用公式 合并； （2）统一底数：利用换底公式，将不同底的对数转化为同底对数； （3）逆用运算性质：将同底对数的和、差、倍运算，转化为真数的积、商、幂（如 ）； （4）拆分真数：若真数是“因数/因式的乘除”，拆分为多个对数的加减（如 ），再化简； （5）处理小数/分数：真数的小数化成分数，分数写成对数的差（如 ）. 2.对数运算的5个技巧： （1） 的应用：若出现 和 ，通过提公因式、平方差等变形，凑出 再化简； （2） 的应用：若两个对数“底数与真数颠倒相乘”，直接用此式化简； （3）指对互化：若已知 ，设其等于（ ），则 ， ， ，代入目标式求解. 题型1 对数式与指数式互化 【例1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【方法总结】 指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； 对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【变式1-1】将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)；(4)． 题型2 利用对数性质解对数方程 【例2】方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 【方法总结】 简单的对数方程是指在对数符号后面含有未知数的方程，求解时通常需要考虑定义域、使用特定方法如同底法、换元法、转换法等，并且最后要验根以排除增根. 【变式2-1】方程的实数解为_________. 题型3 利用对数运算性质化简或求值 【例3】求值：________. 【方法总结】 利用对数运算性质化简的原则和方法: ① “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ② “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式3-1】以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 利用以已知等式关系表示某对数 【例4】已知，，则______.（用、表示） 【方法总结】 用以已知等式关系表示某对数解题三步走： ① 定底数（统一阵营）：观察已知条件（如），确定公共底数（本题为6），利用换底公式，将目标式转化为以该公共底数为底的分式，例：. ② 拆真数（寻找关系）：分析分母中的真数（如20），将其拆解为已知真数（如5, 2）的积、商或幂， 例：. ③ 代字母（得出结果）：利用对数运算性质展开，将已知的对数值（ ）代入替换，整理即得答案， 例：. 【变式4-1】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 题型5 利用换底公式求值或证明等式 【例5】（1）________． （2）已知条件：，利用对数的换底公式证明： 【方法总结】 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 利用换底公式求值或证明等式两个策略： ① 统一底数：用换底公式将等式两边的对数转化为同一种底数（如 ln或 lg ），消除“底数不同”的差异. ② 化简变形：利用对数的幂、积、商运算性质，对分子分母进行约分、提取系数等. 【变式5-1】若 ，求 的值. 【变式5-1】已知条件：，利用对数的换底公式证明： 一、单选题 1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 6．心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 9．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 三、填空题 10．已知，则_________.（用含的式子表示） 11．若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为________. 12．已知是定义域为的奇函数且，当时，．那么______ 四、解答题 13．解下列关于的方程： (1)； (2)； (3)． 14．计算下列各题： (1)； (2). 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